LucioDemeioDIISM CorsodiCalcoloNumerico

(1)

Calcolo Numerico Lucio Demeio

DIISM

Interpolazione:

Polinomio di Lagrange Differenze divise Splines

Corso di Laurea in Ingegneria Gestionale Sede di Fermo

Corso di Calcolo Numerico

3 - PROBLEMI DI INTERPOLAZIONE

Lucio Demeio

DIISM

(2)

DIISM

Interpolazione:

Interpolazione: Polinomio di Lagrange

Differenze divise

Splines

(3)

DIISM

Interpolazione:

Introduzione

Problemi di interpolazione

Supponiamo di avere un insieme di dati che rappresentano misurazioni della temperatura in una certa localit` a durante il mese di luglio con cadenza bisettimanale.

Rappresentiamo tali dati nella seguente tabella:

Giorno Temperatura

1 27.1

8 27.2

15 23.5

22 28.0

29 29.1

Supponiamo di voler conoscere la temperatura in un giorno del mese diverso da quelli tabulato, o di dover utilizzare la temperatura in un modello che la richiede continua, o di voler predire la temperatura pi` u avanti nel tempo.

Dobbiamo costruire una funzione continua che passi per i

punti della tabella: interpolazione!

(4)

DIISM

Interpolazione:

Interpolazione polinomiale

Problemi di interpolazione

Una classe di funzioni continue molto usate nei problemi di interpolazione sono i polinomi.

Sappiamo che per n + 1 punti assegnati,

{(x

0

, y

0

), (x

1

, y

1

), ..., (x

n

, y

n

)} passa uno ed un solo polinomio P

n

(x) di grado n.

Approssimazione polinomiale delle funzioni

Una propriet` a importante dei polinomi ` e che possono approssimare bene quanto si vuole una qualunque funzione continua su un intervallo chiuso. In particolare vale il seguente teorema:

Theorem (Teorema di Weierstrass)

Sia f : [a, b] → R una funzione continua e sia ε > 0 arbitrario.

Allora esiste un polinomio P (x) tale che, per ogni x ∈ [a, b], si

ha |f (x) − P (x)| < ε.

(5)

DIISM

Interpolazione:

Interpolazione di Lagrange

Polinomio interpolatore di Lagrange

Supporremo nel seguito che le y

i

siano i valori di una funzione nei punti x

i

, chiamati nodi: y

i

= f (x

i

)

Siano {(x

0

, y

₀

), (x

₁

, y

₁

), ..., (x

_n

, y

_n

)} n + 1 punti del piano cartesiano. Chi ` e il polinomio di grado n che passa per essi?

Cominciamo dalle cose semplici, n = 1: {(x

0

, y

0

), (x

1

, y

1

)}.

Allora

P

1

(x) = y

0

x − x

1

x

0

− x

1

+ y

1

x − x

0

x

1

− x

0

Si vede facilmente che P

1

(x

0

) = y

0

e P

1

(x

1

) = y

1

. n = 2: {(x

0

, y

₀

), (x

₁

, y

₁

), (x

₂

, y

₂

)}. Allora

P

2

(x) = y

0

(x − x

1

)(x − x

2

) (x

₀

− x

₁

)(x

₀

− x

₂

) + y

1

(x − x

0

)(x − x

2

) (x

₁

− x

₀

)(x

₁

− x

₂

) +y

₂

(x − x

0

)(x − x

1

)

(x

₂

− x

0

)(x

₂

− x

1

)

(6)

DIISM

Interpolazione:

Interpolazione di Lagrange

Polinomio interpolatore di Lagrange

In generale, per n + 1 punti:

P

n

(x) = y

0

(x − x

1

)(x − x

2

)...(x − x

n

) (x

0

− x

1

)(x

0

− x

2

)...(x

0

− x

n

) + +y

1

(x − x

0

)(x − x

2

)...(x − x

n

) (x

₁

− x

₀

)(x

₁

− x

₂

)...(x

₁

− x

_n

) + ...

+y

_k

(x − x

₀

)...(x − x

_k−1

)(x − x

_k+1

)...(x − x

_n

) (x

k

− x

0

)...(x

k

− x

k−1

)(x

k

− x

k+1

)...(x

k

− x

n

) + ...

+y

n

(x − x

₀

)(x − x

₁

)...(x − x

_n−1

)

(x

n

− x

0

)(x

n

− x

1

)...(x

n

− x

n−1

)

(7)

DIISM

Interpolazione:

Interpolazione di Lagrange

Notazione

I coefficienti delle y

_k

si indicano solitamente con L

_n,k

(x) e sono polinomi di grado n:

L

n,k

(x) = (x − x

0

)...(x − x

k−1

)(x − x

k+1

)...(x − x

n

) (x

k

− x

0

)...(x

k

− x

k−1

)(x

k

− x

k+1

)...(x

k

− x

n

) cos`ı che il polinomio interpolatore di Lagrange si pu` o scrivere come

P

n

(x) =

n

X

k=0

y

k

L

n,k

(x)

Come son fatti gli L

n,k

?

(8)

DIISM

Interpolazione:

Interpolazione di Lagrange

Esempi degli L

_n,k

su [0, 1]

n = 10, k = 5

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

-1 1 2 3

n = 100, k = 5

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

(9)

DIISM

Interpolazione:

Interpolazione di Lagrange

Esempio

f (x) = sin 2πx nell’intervallo [0, 1], nodi equispaziati;

n = 3

0.2 0.4 0.6 0.8 1

-1 1

n = 5

0.2 0.4 0.6 0.8 1

-1 1

Mathematica file Interpol1.nb

n = 5

0.2 0.4 0.6 0.8 1

-1 1

(10)

DIISM

Interpolazione:

Interpolazione di Lagrange

Theorem (Errore)

Sia f ∈ C

ⁿ⁺¹

[a, b] e siano x

0

, x

1

, ..., x

n

i nodi

dell’interpolazione in [a, b], distinti ma altrimenti arbitrari.

Allora, ∀ x ∈ [a, b] esiste un numero ξ(x) ∈ [a, b] tale che

f (x) = P

n

(x) + f

ⁿ⁺¹

(ξ(x))

(n + 1)! (x − x

0

)(x − x

1

)...(x − x

n

)

Vediamo che f (x

_k

) = P

_n

(x

_k

) (ovvio!!) e che l’errore ` e

proporzionale alla derivata di ordine n + 1 ed inversamente

proporzionale ad (n + 1)! Se la derivata (n + 1)-esima ` e limitata,

allora l’errore va a zero molto rapidamente all’aumentare di n.

(11)

DIISM

Interpolazione:

Interpolazione di Lagrange

Altro esempio

f (x) = tanh x nell’intervallo [−1, 1], nodi equispaziati;

n = 10

-1 -0.5 0.5 1

-1 1

Mathematica file Interpol1.nb

(12)

DIISM

Interpolazione:

Differenze divise

Un metodo molto usato per la generazione del polinomio interpolatore ` e quello delle differenze divise.

Siano x

k

∈ [a, b], k = 0, n i nodi e sia f (x) una funzione continua definita anch’essa in [a, b]. Sia inoltre P

_n

(x) il polinomio interpolatore di Lagrange di grado n.

Il polinomio si pu` o scrivere nella forma

P

n

(x) = a

0

+ a

1

(x − x

0

) + a

2

(x − x

0

)(x − x

1

) + ...

+a

n

(x − x

0

)(x − x

1

)...(x − x

n−1

) dove gli a

k

sono dei coefficienti da determinare.

Sostituendo x

₀

al posto di x, i vede subito che

a

₀

= P

_n

(x

₀

) = f (x

₀

)

(13)

DIISM

Interpolazione:

Differenze divise

Sostituiamo ora x

1

al posto di x:

f (x

₁

) = a

₀

+ a

₁

(x

₁

− x

0

) ovvero a

₁

= f (x

₁

) − f (x

₀

)

x

1

− x

0

Continuando:

a

₂

= f (x

₂

) − f (x

₀

) − a

₁

(x

₂

− x

0

) (x

2

− x

0

)(x

2

− x

1

)

= f (x

2

) − f (x

1

) + f (x

1

) − f (x

0

) − a

1

(x

2

− x

0

) (x

2

− x

0

)(x

2

− x

1

)

=

f (x2)−f (x1)

x₂−x1

−

^{f (x}_x¹^{)−f (x}⁰⁾

2−x1

x2−x0

x₁−x0

− 1 x

2

− x

0

=

f (x2)−f (x1)

x₂−x1

−

^{f (x}_x¹^{)−f (x}⁰⁾

1−x0

x

2

− x

0

(14)

DIISM

Interpolazione:

Differenze divise

Queste espressioni si possono scrivere pi` u sinteticamente introducendo le differenze divise per la funzione f . La definizione delle differenze divise ` e induttiva:

Diff. divisa di ord. ZERO: f [x

_i

] = f (x

_i

);

Diff. divisa di ord. UNO:

f [x

_i

, x

_i+1

] = f [x

_i+1

] − f [x

_i

] x

i+1

− x

i

= f (x

_i+1

) − f (x

_i

) x

i+1

− x

i

Diff. divisa di ord. DUE:

f [x

i

, x

i+1

, f

i+2

] = f [x

_i+1

, x

_i+2

] − f [x

_i

, x

_i+1

] x

i+2

− x

i

= f (x

_i+2

) − 2 f (x

_i+1

) + f (x

_i

)

x

i+2

− x

i

(15)

DIISM

Interpolazione:

Differenze divise

La differenza divisa di ordine UNO pu` o essere vista come un rapporto incrementale della funzione, tra x

_i

e x

_i+1

; La differenza divisa di ordine DUE pu` o essere vista come un rapporto incrementale della derivata della funzione, tra x

_i

e x

_i+2

(rapporto incrementale secondo);

Vedremo in seguito, che i rapporti incrementali si possono usare per approssimare numericamente le derivate; quindi, le differenze divise di ordine UNO approssimano la derivata prima, quelle di ordine DUE la derivata seconda;

Diff. divisa di ord. k:

f [x

i

, x

i+1

, ..., x

i+k

] = f [x

i+1

, x

i+2

, ..., x

i+k

] − f [x

i

, x

i+1

, ..., x

i+k−1

]

x

i+k

− x

i

(16)

DIISM

Interpolazione:

Differenze divise

Con queste definizioni, possiamo allora scrivere che

a

0

= f (x

0

) = f [x

0

] a

1

= f (x

1

) − f (x

0

)

x

₁

− x

₀

= f [x

1

] − f [x

0

]

x

₁

− x

₀

= f [x

0

, x

1

] a

2

= f [x

1

, x

2

] − f [x

0

, x

1

]

x

2

− x

0

= f [x

0

, x

1

, x

2

] ...

a

k

= f [x

0

, x

1

, x

2

, ..., x

k

]

Il polinomio interpolatore si pu` o dunque scrivere come

P

n

(x) = f [x

0

] +

n

X

k=1

f [x

0

, x

1

, ..., x

k

] (x − x

0

)(x − x

1

)...(x − x

k−1

)

detta

formula di interpolazione di Newton alle differenze divise

(17)

DIISM

Interpolazione:

Differenze divise

Mathematica file DiffDiv1.nb

(18)

DIISM

Interpolazione:

Differenze divise

Differenze divise - Legame con le derivate

Dal Teorema di Lagrange: se f (x) ` e derivabile, ∃ξ ∈ [x

0

, x

1

] tale che

f [x

₀

, x

₁

] = f (x

₁

) − f (x

₀

) x

1

− x

0

= f

⁰

(ξ)

Theorem

Sia f ∈ C

ⁿ

[a, b] e siano x

₀

, x

₁

, ..., x

_n

i nodi in [a, b], distinti ma altrimenti arbitrari. Allora ∃ξ ∈ (a, b) tale che

f [x

0

, x

1

, ..., x

n

] = f

⁽ⁿ⁾

(ξ)

n!

(19)

DIISM

Interpolazione:

Differenze divise

Proof.

Sia g(x) = f (x) − P

n

(x). Evidentemente g(x

k

) = 0, ∀k. Per il Teorema di Rolle generalizzato, ∃ξ ∈ (a, b) tale che

g

⁽ⁿ⁾

(ξ) = f

⁽ⁿ⁾

(ξ) − P

n⁽ⁿ⁾

(ξ) = 0. Ma P

n⁽ⁿ⁾

(x) = n! f [x

0

, x

1

, ..., x

n

], da cui la tesi.

Teorema di Rolle generalizzato

Data una funzione f : [a, b] → R , di classe C

ⁿ

[a, b], se esistono

n + 1 punti, x

₀

, x

₁

, ..., x

_n

∈ [a, b] tali che f (x

_k

) = 0, k = 0, ..., n,

allora esiste un punto ξ ∈ [a, b] tale che f

ⁿ

(ξ) = 0.

(20)

DIISM

Interpolazione:

Differenze divise

Differenze divise - Nodi equispaziati

Siano ora i nodi (x

0

, x

1

, ..., x

n

) uniformemente distribuiti in [a, b], cio` e x

i+1

− x

i

= h = cost., con , x

0

= a e x

n

= b, ed h = (b − a)/n ` e detto passo di discretizzazione.

Allora possiamo scrivere che

x

i

= x

0

+ i h x

i

− x

j

= (i − j) h

Se x ∈ [a, b], possiamo scrivere x = x

₀

+ s h, dove s ` e un numero reale con 0 ≤ s ≤ n;

s = 0 → x = a, s = i → x = x

i

, s = n → x = b i < s < i + 1 → x

_i

< x < x

_i+1

b

a h

x x₁

x₀ x₂ x₃ x_n

x

(21)

DIISM

Interpolazione:

Differenze divise

Notazione binomiale

Avremo dunque

x − x

0

= s h, x − x

1

= (s − 1) h (x − x

₀

)(x − x

₁

) = s(s − 1) h

²

(x − x

0

)(x − x

1

)...(x − x

k

) = s(s − 1)...(s − k) h

^k+1

Il polinomio interpolatore di Lagrange diventa allora

P

n

(x) = P

n

(x

0

+ sh) = f [x

0

] + s h f [x

0

, x

1

] +s(s − 1) h

²

f [x

₀

, x

₁

, x

₂

] + ...

+s(s − 1)...(s − n + 1) h

ⁿ

f [x

0

, x

1

, ..., x

n

]

=

n

X

k=0

s(s − 1)...(s − k + 1) h

^k

f [x

₀

, x

₁

, ..., x

_k

]

(22)

DIISM

Interpolazione:

Differenze divise

Notazione binomiale - Differenze divise in avanti

Ricordando la definizione dei coefficienti binomiali

n k

= n(n − 1)...(n − k + 1)

k! ;

estendendola anche al campo reale, possiamo scrivere

P

_n

(x) = f [x

₀

] +

n

X

k=1

s k

k! h

^k

f [x

₀

, x

₁

, ..., x

_k

]

che ` e detta formula alle differenze divise in avanti di

Newton

(23)

DIISM

Interpolazione:

Differenze divise

Differenze finite in avanti, formula di Newton

Le formule per le differenze divise si possono mettere in una forma diversa e pi` u utile per sviluppi futuri. A tal scopo introduciamo la notazione ∆ di Aitken:

∆f (x

_i

) = f (x

_i+1

) − f (x

_i

).

Abbiamo allora che

f [x

0

, x

1

] = f (x

₁

) − f (x

₀

) x

1

− x

0

= 1

h ∆f (x

0

) f [x

₀

, x

₁

, x

₂

] = f [x

₁

, x

₂

] − f [x

₀

, x

₁

]

x

2

− x

0

= 1 2h

∆f (x

₁

) − ∆f (x

₀

) h

= 1

2h

²

∆

²

f (x

0

)

(24)

DIISM

Interpolazione:

Differenze divise

Differenze finite in avanti, formula di Newton

ed in generale

f [x

0

, x

1

, ..., x

k

] = 1

k! h

^k

∆

^k

f (x

0

)

cos`ı che il polinomio di Newton pu` o ora essere scritto come

P

n

(x) = f [x

0

] +

n

X

k=1

s k

∆

^k

f (x

0

)

detta Formula di Newton per le differenze finite in

avanti.

(25)

DIISM

Interpolazione:

Differenze divise

Differenze finite all’indietro, formula di Newton

Il polinomio di Newton, invece che

P

_n

(x) = a

₀

+ a

₁

(x − x

₀

) + a

₂

(x − x

₀

)(x − x

₁

) + ...

+a

n

(x − x

0

)(x − x

1

)...(x − x

n−1

) pu` o anche essere scritto come

P

_n

(x) = a

_n

+ a

_n−1

(x − x

_n

) + a

_n−2

(x − x

_n

)(x − x

_n−1

) +... + a

1

(x − x

n

)(x − x

n−1

)...(x − x

2

)

+a

₀

(x − x

_n

)(x − x

_n−1

)...(x − x

₂

)(x − x

₁

)

che equivale a riordinare i nodi di interpolazione

all’indietro, (x

n

, x

n−1

, ..., x

1

, x

0

).

(26)

DIISM

Interpolazione:

Differenze divise

Differenze finite all’indietro, formula di Newton

Introducendo il simbolo ∇ (nabla) tale che

∇f (x

i

) = f (x

i

) − f (x

i−1

) e le differenze divise all’indietro

f [x

n

, x

n−1

] = 1

h ∇f (x

n

) ...

f [x

n

, x

n−1

, ..., x

n−k

] = 1

k! h

^k

∇

^k

f (x

n

)

generalizzando i coefficienti binomiali sui reali negativi,

−s k

= −s(−s − 1)...(−s − k + 1) k!

= (−1)

^k

s(s + 1)...(s + k − 1)

k!

(27)

DIISM

Interpolazione:

Differenze divise

Differenze finite all’indietro, formula di Newton

allora il polinomio di Newton pu` o essere scritto come

P

n

(x) = f [x

n

] +

n

X

k=1

(−1)

^k

−s k

∇

^k

f (x

n

)

detta Formula di Newton per le differenze finite all’indietro.

Le differenze finite all’indietro, qui introdotte nel contesto dell’interpolazione (ma noi non le useremo a tale scopo), torneranno utili pi` u avanti.

Esistono anche le differenze finite centrate, le vedremo in

seguito.

(28)

DIISM

Interpolazione:

Splines

Approssimazione polinomiale a tratti

Una filosofia diversa per l’approccio al problema dell’interpolazione ` e quella di costruire una curva

polinomiale a tratti, coincidente con i valori della funzione nei nodi, e soddisfacente a condizioni di continuit` a ai nodi.

La pi` u semplice ` e l’interpolazione lineare, che collega i punti di interpolazione con una spezzata.

b

a h

x x

₁

x

₀

x

₂

x

₃

x

_n

x

(29)

DIISM

Interpolazione:

Splines

Approssimazione polinomiale a tratti

Con la spezzata non si ha regolarit` a ai nodi.

Si fa quindi passare per ogni coppia di nodi un polinomio di grado pi` u alto imponendo condizioni di regolarit` a.

L’approssimazione polinomiale a tratti pi` u usata e’ quella

cubica, detta approssimazione con gli splines.

(30)

DIISM

Interpolazione:

Splines

Approssimazione polinomiale cubica

Sia f definita nell’intervallo [a, b] e siano (x

0

, x

1

, ..., x

n

) i nodi.

Sia S(x) un polinomio di terzo grado; indichiamo con S

_j

(x) il polinomio di terzo grado definito nell’intervallino [x

_j

, x

_j+1

], con j = 0, 1, ..., n − 1. Ciascun S

_j

contiene quattro coefficienti da determinare.

Le condizioni ai nodi interni sono:

S

_j

(x

_j

) = f (x

_j

), j = 0, 1, ..., n − 1 S

n−1

(x

n

) = f (x

n

),

S

_j+1

(x

_j+1

) = S

_j

(x

_j+1

), j = 0, 1, ..., n − 2 S

_j+1⁰

(x

j+1

) = S

_j⁰

(x

j+1

), j = 0, 1, ..., n − 2 S

_j+1⁰⁰

(x

j+1

) = S

_j⁰⁰

(x

j+1

), j = 0, 1, ..., n − 2

(queste sono 4n − 2 equazioni) ...

(31)

DIISM

Interpolazione:

Splines

Condizioni agli estremi

... mentre ai nodi estremi si impongono una delle due condizioni:

S

⁰⁰

(x

₀

) = S

⁰⁰

(x

_n

) = 0 detta spline naturale

S

⁰

(x

0

) = f

⁰

(x

0

) S

⁰

(x

n

) = f

⁰

(x

n

) spline completa

(32)

DIISM

Interpolazione:

Splines

Approssimazione polinomiale cubica

Scriviamo il polinomio j-esimo e le sue derivate come S

j

(x) = a

j

+ b

j

(x − x

j

) + c

j

(x − x

j

)

²

+ d

j

(x − x

j

)

³

S

_j⁰

(x) = b

j

+ 2 c

j

(x − x

j

) + 3 d

j

(x − x

j

)

²

S

_j⁰⁰

(x) = 2 c

_j

+ 6 d

_j

(x − x

_j

), j = 0, ..., n − 1 e notiamo che S

_j

(x

_j

) = a

_j

, S

_j⁰

(x

_j

) = b

_j

e S

⁰⁰_j

(x

_j

) = 2 c

_j

per ogni j = 0, 1, ..., n − 1 (*).

per convenienza, introduciamo h

j

= x

j+1

− x

j

; la condizione S

j

(x

j

) = f (x

j

) d` a immediatamente

a

j

= f (x

j

), per j = 0, 1, ..., n − 1; siano inoltre a

n

= f (x

n

), b

n

= S

⁰

(x

n

) e c

n

= S

⁰⁰

(x

n

)/2;

la condizione S

_j+1

(x

_j+1

) = S

_j

(x

_j+1

) d` a allora a

_j+1

= a

_j

+ b

_j

h

_j

+ c

_j

h

²_j

+ d

_j

h

³_j

per j = 0, 1, ..., n − 1.

...

(33)

DIISM

Interpolazione:

Splines

... la condizione S

_j+1⁰

(x

j+1

) = S

_j⁰

(x

j+1

) d` a b

j+1

= b

j

+ 2 c

j

h

j

+ 3 d

j

h

²_j

per j = 0, 1, ..., n − 1.

... la condizione S

_j+1⁰⁰

(x

j+1

) = S

_j⁰⁰

(x

j+1

) d` a c

j+1

= c

j

+ 3 d

j

h

j

per j = 0, 1, ..., n − 1.

Alla fine otteniamo il sistema

a

j+1

= a

j

+ b

j

h

j

+ c

j

h

²_j

+ d

j

h

³_j

b

_j+1

= b

_j

+ 2 c

_j

h

_j

+ 3 d

_j

h

²_j

c

j+1

= c

j

+ 3 d

j

h

j

per j = 0, 1, ..., n − 1. Assieme alle condizioni (*) viste prima,

queste danno un sistema algebrico lineare nei coefficienti c

j

.

(34)

DIISM

Interpolazione:

Splines

Ricaviamo d

_j

dalla terza equazione e sostituiamo nelle altre due:

a

_j+1

= a

_j

+ b

_j

h

_j

+ h

²_j

3 (2 c

_j

+ c

_j+1

) b

j+1

= b

j

+ h

j

(c

j

+ c

j+1

) (*)

Dalla prima di queste ricaviamo b

_j

:

b

j

= a

j+1

− a

j

h

j

− h

j

2 c

j

+ c

j+1

3 da cui

b

j−1

= a

j

− a

j−1

h

j−1

− h

j−1

2 c

j−1

+ c

j

3 Sostituendo nella (*) con j → j − 1 otteniamo il sistema

(35)

DIISM

Interpolazione:

Splines

h

j−1

c

j−1

+ 2 (h

j−1

+ h

j

) c

j

+ h

j

c

j+1

= 3 a

j+1

− a

j

h

j

− 3 a

j

− a

j−1

h

j−1

per j = 1, 2, ..., n − 1.

I membri di destra sono noti, in quanto a

j

= f (x

j

) e h

j

= x

j+1

− x

j

.

Si tratta di un sistema del tipo A x = b, con c

₀

e c

_n

assegnati dalle condizioni agli estremi: c

₀

= c

_n

= 0 per la spline naturale, mentre per la spline completa vengono assegnati b

0

= f

⁰

(a) e b

n

= f

⁰

(b).

La matrice A ` e tridiagonale e soddisfa le propriet` a

richieste per l’esistenza e l’unicit` a della soluzione del

sistema; quindi la soluzione ` e unica sia per la spline

naturale che per la spline completa.

(36)

DIISM

Interpolazione:

Splines

Spline naturale

x =





 c

0

c

1

. . . c

n







b =







0 3

^a²_h^−a¹

1

− 3

^a¹_h^−a⁰

0

...

3

^aⁿ_h^−aⁿ⁻¹

n−1

− 3

^aⁿ⁻¹_h^−aⁿ⁻²

n−2

0 





A =







1 0 0 ... ... 0

h

₀

2(h

₀

+ h

₁

) h

₁

... ... 0

0 h

₁

2(h

₁

+ h

₂

) h

₂

... 0

... ... ... ... ... ...

0 ... ... h

n−2

2(h

n−2

+ h

n−1

) h

n−1

0 ... ... ... ... 1







(37)

DIISM

Interpolazione:

Splines

Spline completa

x =





 c

0

c

1

. . . c

_n







b =







3

^a¹_h^−a⁰

0

− 3 f

⁰

(a) 3

^a²_h^−a¹

1

− 3

^a¹_h^−a⁰

0

...

3

n−1

− 3

^aⁿ⁻¹_h^−aⁿ⁻²

n−2

3 f

⁰

(b) − 3

n−1







A =







2 h

₀

h

₀

0 ... ... 0

h

₀

2(h

₀

+ h

₁

) h

₁

... ... 0

0 h

₁

2(h

₁

+ h

₂

) h

₂

... 0

... ... ... ... ... ...

0 ... ... h

n−2

2(h

n−2

+ h

n−1

) h

n−1

0 ... ... 0 h

n−1

2 h

n−1







(38)

DIISM

Interpolazione:

Splines

Theorem (Stima dell’errore)

Sia f ∈ C

⁴

[a, b] e sia

M = max

x∈[a,b]

|f

⁽⁴⁾

(x)|.

Allora, se S(x) ` e la spline completa (unica) per la funzione f sui nodi a = x

0

< x

1

< x

2

< ... < x

n

= b allora

max

x∈[a,b]

|f (x) − S(x)| ≤ 5 M

384 max

0≤j≤n−1

(x

j+1

− x

j

)

⁴

Applicazioni

La costruzione degli algoritmi di interpolazione tramite splines

implica la risoluzione di un sistema lineare, che vedremo in

futuro. Per ora accontentiamoci di qualche esempio elementare.