LucioDemeioDIISM CorsodiCalcoloNumerico

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Integrazione numerica:

formule di Newton-Cotes semplici Formule di Newton-Cotes composte Metodo di Romberg

Corso di Laurea in Ingegneria Gestionale Sede di Fermo

Corso di Calcolo Numerico

5 - INTEGRAZIONE NUMERICA

Lucio Demeio

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Integrazione numerica: formule di Newton-Cotes semplici

Formule di Newton-Cotes composte

Metodo di Romberg

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Integrazione numerica:

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Introduzione

Idea di base

Spesso si devono calcolare integrali del tipo

Z b a

f (x) dx

quando non si conosce una primitiva della f o la f stessa ` e nota solo su un insieme discreto di punti (nodi).

L’integrale viene allora approssimato, con varie tecniche e varie metodologie, da opportune somme di Riemann, del tipo

Z b a

f (x) dx ≈

n

X

i=0

w _i f (x _i ).

accompagnate da una stima dell’errore.

Le formule che si ottengono si chiamano formule (o

regole) di quadratura.

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Introduzione

Idea di base

Spesso si devono calcolare integrali del tipo

Z b a

f (x) dx

quando non si conosce una primitiva della f o la f stessa ` e nota solo su un insieme discreto di punti (nodi).

L’integrale viene allora approssimato, con varie tecniche e varie metodologie, da opportune somme di Riemann, del tipo

Z b a

f (x) dx ≈

n

X

i=0

w _i f (x _i ).

accompagnate da una stima dell’errore.

Le formule che si ottengono si chiamano formule (o

regole) di quadratura.

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Introduzione

Idea di base

Spesso si devono calcolare integrali del tipo

Z b a

f (x) dx

quando non si conosce una primitiva della f o la f stessa ` e nota solo su un insieme discreto di punti (nodi).

L’integrale viene allora approssimato, con varie tecniche e varie metodologie, da opportune somme di Riemann, del tipo

Z b a

f (x) dx ≈

n

X

i=0

w _i f (x _i ).

accompagnate da una stima dell’errore.

Le formule che si ottengono si chiamano formule (o

regole) di quadratura.

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Introduzione

Idea di base

Spesso si devono calcolare integrali del tipo

Z b a

f (x) dx

quando non si conosce una primitiva della f o la f stessa ` e nota solo su un insieme discreto di punti (nodi).

L’integrale viene allora approssimato, con varie tecniche e varie metodologie, da opportune somme di Riemann, del tipo

Z b a

f (x) dx ≈

n

X

i=0

w _i f (x _i ).

accompagnate da una stima dell’errore.

Le formule che si ottengono si chiamano formule (o

regole) di quadratura.

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Formule di Newton-Cotes

Regola dei trapezi

La metodologia che illustreremo ` e quella di utilizzare il polinomio interpolatore di Lagrange con un numero adeguato di nodi. Iniziamo con il caso pi` u elementare, con 2 nodi, x ₀ = a ed x ₁ = b. Il polinomio interpolatore con resto ` e in tal caso

f (x) = f (x 0 ) x − x 1

x ₀ − x ₁ +f (x 1 ) x − x 0

x ₁ − x ₀ + (x − x 0 ) (x − x 1 )

2 f ⁰⁰ (ξ(x)) ed integrando si ottiene, dopo qualche passaggio,

Z x

x

f (x) dx = h

2 [f (x 0 ) + f (x 1 )] − h ³ 12 f ⁰⁰ (ξ) dove h = x 1 − x 0 = b − a e l’ultimo termine ` e stato ottenuto applicando il teorema della media pesata sull’integrale

Z x

x

(x − x 0 ) (x − x 1 )

2 f ⁰⁰ (ξ(x))dx

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Formule di Newton-Cotes

Regola dei trapezi

L’approssimazione ottenuta per questa via ` e dunque

Z b a

f (x) dx ≈ h

2 [f (x ₀ ) + f (x ₁ )]

che viene detta regola del trapezio, in quanto consiste nel sostituire l’area vera sottesa dalla curva con il trapezio in figura.

Formula dei trapezi

f(x)

f(b) f(a)

a=x

b=x

x

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Formule di Newton-Cotes

Regola dei trapezi

L’approssimazione ottenuta per questa via ` e dunque

Z b a

f (x) dx ≈ h

2 [f (x ₀ ) + f (x ₁ )]

che viene detta regola del trapezio, in quanto consiste nel sostituire l’area vera sottesa dalla curva con il trapezio in figura.

Formula dei trapezi

f(x)

f(b) f(a)

a=x

b=x

x

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Formule di Newton-Cotes

Regola di Simpson

L’approssimazione successiva si ha utilizzando 3 nodi, con x ₀ = a, x ₁ = (a + b)/2 ed x ₂ = b. In tal caso ` e conveniente, invece di seguire la strada del polinomio interpolatore di Lagrange, di sviluppare f (x) con il polinomio di Taylor al terz’ordine attorno ad x ₁ .

Abbiamo allora:

f (x) = f (x ₁ ) + f ⁰ (x ₁ )(x − x ₁ ) + f ⁰⁰ (x ₁ )

2 (x − x ₁ ) ² + f ⁰⁰⁰ (x 1 )

6 (x − x 1 ) ³ + f ⁽⁴⁾ (ξ(x))

24 (x − x 1 ) ⁴ dove ξ(x) ∈ (x 0 , x 2 ).

Integrando questa espressione, applicando il teorema della

media pesata sull’ultimo termine ...

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Regola di Simpson

L’approssimazione successiva si ha utilizzando 3 nodi, con x ₀ = a, x ₁ = (a + b)/2 ed x ₂ = b. In tal caso ` e conveniente, invece di seguire la strada del polinomio interpolatore di Lagrange, di sviluppare f (x) con il polinomio di Taylor al terz’ordine attorno ad x ₁ .

Abbiamo allora:

f (x) = f (x ₁ ) + f ⁰ (x ₁ )(x − x ₁ ) + f ⁰⁰ (x ₁ )

2 (x − x ₁ ) ² + f ⁰⁰⁰ (x 1 )

6 (x − x 1 ) ³ + f ⁽⁴⁾ (ξ(x))

24 (x − x 1 ) ⁴ dove ξ(x) ∈ (x 0 , x 2 ).

Integrando questa espressione, applicando il teorema della

media pesata sull’ultimo termine ...

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Regola di Simpson

L’approssimazione successiva si ha utilizzando 3 nodi, con x ₀ = a, x ₁ = (a + b)/2 ed x ₂ = b. In tal caso ` e conveniente, invece di seguire la strada del polinomio interpolatore di Lagrange, di sviluppare f (x) con il polinomio di Taylor al terz’ordine attorno ad x ₁ .

Abbiamo allora:

f (x) = f (x ₁ ) + f ⁰ (x ₁ )(x − x ₁ ) + f ⁰⁰ (x ₁ )

2 (x − x ₁ ) ² + f ⁰⁰⁰ (x 1 )

6 (x − x 1 ) ³ + f ⁽⁴⁾ (ξ(x))

24 (x − x 1 ) ⁴ dove ξ(x) ∈ (x 0 , x 2 ).

Integrando questa espressione, applicando il teorema della

media pesata sull’ultimo termine ...

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Regola di Simpson

L’approssimazione successiva si ha utilizzando 3 nodi, con x ₀ = a, x ₁ = (a + b)/2 ed x ₂ = b. In tal caso ` e conveniente, invece di seguire la strada del polinomio interpolatore di Lagrange, di sviluppare f (x) con il polinomio di Taylor al terz’ordine attorno ad x ₁ .

Abbiamo allora:

f (x) = f (x ₁ ) + f ⁰ (x ₁ )(x − x ₁ ) + f ⁰⁰ (x ₁ )

2 (x − x ₁ ) ² + f ⁰⁰⁰ (x 1 )

6 (x − x 1 ) ³ + f ⁽⁴⁾ (ξ(x))

24 (x − x 1 ) ⁴ dove ξ(x) ∈ (x 0 , x 2 ).

Integrando questa espressione, applicando il teorema della

media pesata sull’ultimo termine ...

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Formule di Newton-Cotes

Regola di Simpson

... notando che Z x

x

(x − x ₁ ) dx = Z x

x

(x − x ₁ ) ³ dx = 0

ed utilizzando per la derivata seconda l’approssimazione

f ⁰⁰ (x ₁ ) = f (x ₀ ) − 2 f (x ₁ ) + f (x ₂ )

h ² − h ²

12 f ⁽⁴⁾ (ξ)

abbiamo, dopo qualche semplice passaggio,

Z x

x

f (x) dx = h

3 [f (x ₀ ) + 4 f (x ₁ ) + f (x ₂ )] − h ⁵

90 f ⁽⁴⁾ (ξ)

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Regola di Simpson

... notando che Z x

x

(x − x ₁ ) dx = Z x

x

(x − x ₁ ) ³ dx = 0

ed utilizzando per la derivata seconda l’approssimazione

f ⁰⁰ (x ₁ ) = f (x ₀ ) − 2 f (x ₁ ) + f (x ₂ )

h ² − h ²

12 f ⁽⁴⁾ (ξ)

abbiamo, dopo qualche semplice passaggio,

Z x

x

f (x) dx = h

3 [f (x ₀ ) + 4 f (x ₁ ) + f (x ₂ )] − h ⁵

90 f ⁽⁴⁾ (ξ)

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Regola di Simpson

... notando che Z x

x

(x − x ₁ ) dx = Z x

x

(x − x ₁ ) ³ dx = 0

ed utilizzando per la derivata seconda l’approssimazione

f ⁰⁰ (x ₁ ) = f (x ₀ ) − 2 f (x ₁ ) + f (x ₂ )

h ² − h ²

12 f ⁽⁴⁾ (ξ)

abbiamo, dopo qualche semplice passaggio,

Z x

x

f (x) dx = h

3 [f (x ₀ ) + 4 f (x ₁ ) + f (x ₂ )] − h ⁵

90 f ⁽⁴⁾ (ξ)

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Formule di Newton-Cotes

Regola di Simpson

L’approssimazione ottenuta per questa via ` e dunque

Z b a

f (x) dx ≈ h

3 [f (x 0 ) + 4 f (x 1 ) + f (x 2 )]

che viene detta regola di Simpson.

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Formule di Newton-Cotes

Grado di accuratezza

Nella regola dei trapezi, l’errore ` e proporzionale alla derivata seconda, quindi la regola dei trapezi ` e esatta per polinomi di grado zero e grado uno;

Nella regola di Simpson, l’errore ` e proporzionale alla derivata quarta, quindi la regola ` e esatta per polinomi fino al terzo grado.

Il grado di accuratezza di una formula di quadratura ` e il grado del polinomio di grado massimo per cui la formula

`

e esatta. La regola dei trapezi ha grado di precisione uno,

la regola di Simpson tre.

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Grado di accuratezza

Nella regola dei trapezi, l’errore ` e proporzionale alla derivata seconda, quindi la regola dei trapezi ` e esatta per polinomi di grado zero e grado uno;

Nella regola di Simpson, l’errore ` e proporzionale alla derivata quarta, quindi la regola ` e esatta per polinomi fino al terzo grado.

Il grado di accuratezza di una formula di quadratura ` e il grado del polinomio di grado massimo per cui la formula

`

e esatta. La regola dei trapezi ha grado di precisione uno,

la regola di Simpson tre.

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Grado di accuratezza

Nella regola dei trapezi, l’errore ` e proporzionale alla derivata seconda, quindi la regola dei trapezi ` e esatta per polinomi di grado zero e grado uno;

Nella regola di Simpson, l’errore ` e proporzionale alla derivata quarta, quindi la regola ` e esatta per polinomi fino al terzo grado.

Il grado di accuratezza di una formula di quadratura ` e il grado del polinomio di grado massimo per cui la formula

`

e esatta. La regola dei trapezi ha grado di precisione uno,

la regola di Simpson tre.

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Grado di accuratezza

Nella regola dei trapezi, l’errore ` e proporzionale alla derivata seconda, quindi la regola dei trapezi ` e esatta per polinomi di grado zero e grado uno;

Nella regola di Simpson, l’errore ` e proporzionale alla derivata quarta, quindi la regola ` e esatta per polinomi fino al terzo grado.

Il grado di accuratezza di una formula di quadratura ` e il grado del polinomio di grado massimo per cui la formula

`

e esatta. La regola dei trapezi ha grado di precisione uno,

la regola di Simpson tre.

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Formule di Newton-Cotes

Formula aperte e formule chiuse

Le formule di quadratura appena viste sono esempi di formule dette di Newton-Cotes e sono dette formule chiuse perch` e gli estremi dell’intervallo sono inclusi nei nodi. Esistono anche formule aperte (estremi non inclusi), che per ora lasciamo stare.

Esempi numerici:

Mathematica file Integrazione1.nb

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Formula aperte e formule chiuse

Le formule di quadratura appena viste sono esempi di formule dette di Newton-Cotes e sono dette formule chiuse perch` e gli estremi dell’intervallo sono inclusi nei nodi. Esistono anche formule aperte (estremi non inclusi), che per ora lasciamo stare.

Esempi numerici:

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Formule di Newton-Cotes

Formula aperte e formule chiuse

Le formule di quadratura appena viste sono esempi di formule dette di Newton-Cotes e sono dette formule chiuse perch` e gli estremi dell’intervallo sono inclusi nei nodi. Esistono anche formule aperte (estremi non inclusi), che per ora lasciamo stare.

Esempi numerici:

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Formule di Newton-Cotes composte

Quando l’intervallo d’integrazione [a, b] ` e troppo grande o la

funzione varia molto all’interno dell’intervallo, le formule viste

in precedenza, applicate al singolo intervallo, non danno pi` u

una buona approssimazione all’integrale. Si ricorre allora alla

metodologia seguente: si suddivide l’intervallo [a, b] in tanti

piccoli intervallini ed a ciascuno di essi vengono applicate le

formule di Newton-Cotes (chiuse). Illustriamo questa tecnica,

che ` e quella pi` u usata nell’integrazione numerica, prima nel

caso della regola dei trapezi e poi a quella di Simpson.

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Formule di Newton-Cotes composte

Regola dei trapezi

Sia

Z b a

f (x) dx

l’integrale da calcolare. Introduciamo una decomposizione dell’intervallo [a, b] costituita da n + 1 nodi

x ₀ = a, x ₁ , ..., x _n = b che supponiamo equispaziati, con passo di discretizzazione h = (b − a)/n, cio` e x _j+1 = x _j + h.

f(x)

f(b) f(a)

a=x ₀ x ₁ x ₂ x ₃ x ₄ x ₅ b=x _n x

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Regola dei trapezi

Abbiamo ovviamente:

Z b a

f (x) dx = Z x

x

f (x) dx + Z x

x

f (x) dx + ... + Z x

x

f (x) dx

=

n

X

j=1

Z x

x

f (x) dx.

A ciascun intervallino applichiamo ora la regola dei trapezi, completa dell’errore. Otteniamo:

Z b a

f (x) dx = h 2

n

X

j=1

[f (x _j−1 ) + f (x _j )] − h ³ 12

n

X

j=1

f ⁰⁰ (ξ _j )

con ξ j un punto opportuno nell’intervallo [x j−1 , x j ].

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Regola dei trapezi

Esplicitiamo la prima sommatoria:

n

X

j=1

[f (x j−1 ) + f (x j )] = [f (x 0 ) + f (x 1 )] + [f (x 1 ) + f (x 2 )] + [f (x ₂ ) + f (x ₃ )] + ... + [f (x _n−2 ) + f (x _n−1 )] + [f (x _n−1 ) + f (x _n )]

= f (x 0 ) + 2

n−1

X

j=1

f (x j ) + f (x n )

Il primo termine complessivamente quindi ` e

h 2



f (a) + 2

n−1

X

j=1

f (x j ) + f (b)





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Regola dei trapezi

Esplicitiamo la prima sommatoria:

n

X

j=1

[f (x j−1 ) + f (x j )] = [f (x 0 ) + f (x 1 )] + [f (x 1 ) + f (x 2 )] + [f (x ₂ ) + f (x ₃ )] + ... + [f (x _n−2 ) + f (x _n−1 )] + [f (x _n−1 ) + f (x _n )]

= f (x 0 ) + 2

n−1

X

j=1

f (x j ) + f (x n )

Il primo termine complessivamente quindi ` e

h 2



f (a) + 2

n−1

X

j=1

f (x j ) + f (b)





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Formule di Newton-Cotes composte

Regola dei trapezi

Esplicitiamo la prima sommatoria:

n

X

j=1

[f (x j−1 ) + f (x j )] = [f (x 0 ) + f (x 1 )] + [f (x 1 ) + f (x 2 )] + [f (x ₂ ) + f (x ₃ )] + ... + [f (x _n−2 ) + f (x _n−1 )] + [f (x _n−1 ) + f (x _n )]

= f (x 0 ) + 2

n−1

X

j=1

f (x j ) + f (x n )

Il primo termine complessivamente quindi ` e

h 2



f (a) + 2

n−1

X

j=1

f (x j ) + f (b)





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Regola dei trapezi

Per ottenere una stima dell’errore, supponiamo che f sia di classe C ² in [a, b]. Indicando con m ed M rispettivamente il minimo ed il massimo di f ⁰⁰ in [a, b], si ha:

n

X

j=1

m ≤

n

X

j=1

f ⁰⁰ (ξ _j ) ≤

n

X

j=1

M

n m ≤

n

X

j=1

f ⁰⁰ (ξ _j ) ≤ n M

m ≤ 1 n

n

X

j=1

f ⁰⁰ (ξ j ) ≤ M

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Regola dei trapezi

Per ottenere una stima dell’errore, supponiamo che f sia di classe C ² in [a, b]. Indicando con m ed M rispettivamente il minimo ed il massimo di f ⁰⁰ in [a, b], si ha:

n

X

j=1

m ≤

n

X

j=1

f ⁰⁰ (ξ _j ) ≤

n

X

j=1

M

n m ≤

n

X

j=1

f ⁰⁰ (ξ _j ) ≤ n M

m ≤ 1 n

n

X

j=1

f ⁰⁰ (ξ j ) ≤ M

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Regola dei trapezi

Per il teorema dei valori intermedi, esiste pertanto ξ ∈ [a, b] tale che

1 n

n

X

j=1

f ⁰⁰ (ξ j ) = f ⁰⁰ (ξ)

e quindi

h ³ 12

n

X

j=1

f ⁰⁰ (ξ j ) = h ² 12

b − a n

n

X

j=1

f ⁰⁰ (ξ j ) = b − a

12 h ² f ⁰⁰ (ξ)

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Regola dei trapezi

Per il teorema dei valori intermedi, esiste pertanto ξ ∈ [a, b] tale che

1 n

n

X

j=1

f ⁰⁰ (ξ j ) = f ⁰⁰ (ξ)

e quindi

h ³ 12

n

X

j=1

f ⁰⁰ (ξ j ) = h ² 12

b − a n

n

X

j=1

f ⁰⁰ (ξ j ) = b − a

12 h ² f ⁰⁰ (ξ)

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Regola dei trapezi

Per il teorema dei valori intermedi, esiste pertanto ξ ∈ [a, b] tale che

1 n

n

X

j=1

f ⁰⁰ (ξ j ) = f ⁰⁰ (ξ)

e quindi

h ³ 12

n

X

j=1

f ⁰⁰ (ξ j ) = h ² 12

b − a n

n

X

j=1

f ⁰⁰ (ξ j ) = b − a

12 h ² f ⁰⁰ (ξ)

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Regola dei trapezi

La regola dei trapezi porta dunque alla formula composta

Z b a

f (x) dx = h 2



f (a) + 2

n−1

X

j=1

f (x j ) + f (b)



 − b − a

12 h ² f ⁰⁰ (ξ).

Vediamo che l’errore ` e quadratico nel passo di discretizzazione

h.

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Formule di Newton-Cotes composte

Regola di Simpson

Introduciamo anche in questo caso una decomposizione dell’intervallo [a, b] costituita da n + 1 nodi

x 0 = a, x 1 , ..., x n = b equispaziati, con passo di

discretizzazione h = (b − a)/n, cio` e x j+1 = x j + h, solo che questa volta n deve essere pari.

Questa volta scriviamo:

Z b a

f (x) dx = Z x

x

f (x) dx + Z x

x

f (x) dx + ... + Z x

x

f (x) dx

=

n/2

X

j=1

Z x

x

f (x) dx.

cio` e accoppiamo gli intervallini a due a due. A ciascun

doppio intervallino applichiamo ora la regola di Simpson,

completa dell’errore.

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Formule di Newton-Cotes composte

Regola di Simpson

Introduciamo anche in questo caso una decomposizione dell’intervallo [a, b] costituita da n + 1 nodi

x 0 = a, x 1 , ..., x n = b equispaziati, con passo di

discretizzazione h = (b − a)/n, cio` e x j+1 = x j + h, solo che questa volta n deve essere pari.

Questa volta scriviamo:

Z b a

f (x) dx = Z x

x

f (x) dx + Z x

x

f (x) dx + ... + Z x

x

f (x) dx

=

n/2

X

j=1

Z x

x

f (x) dx.

cio` e accoppiamo gli intervallini a due a due. A ciascun

doppio intervallino applichiamo ora la regola di Simpson,

completa dell’errore.

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formule di Newton-Cotes semplici Formule di Newton-Cotes composte Metodo di Romberg

Formule di Newton-Cotes composte

Regola di Simpson

Introduciamo anche in questo caso una decomposizione dell’intervallo [a, b] costituita da n + 1 nodi

x 0 = a, x 1 , ..., x n = b equispaziati, con passo di

discretizzazione h = (b − a)/n, cio` e x j+1 = x j + h, solo che questa volta n deve essere pari.

Questa volta scriviamo:

Z b a

f (x) dx = Z x

x

f (x) dx + Z x

x

f (x) dx + ... + Z x

x

f (x) dx

=

n/2

X

j=1

Z x

x

f (x) dx.

cio` e accoppiamo gli intervallini a due a due. A ciascun

doppio intervallino applichiamo ora la regola di Simpson,

completa dell’errore.

Calcolo Numerico Lucio Demeio

DIISM

Integrazione numerica:

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Formule di Newton-Cotes composte

Regola di Simpson

Otteniamo:

Z b a

f (x) dx = h 3

n/2

X

j=1

[f (x _2j−2 ) + 4 f (x _2j−1 ) + f (x _2j )]

− h ⁵ 90

n/2

X

j=1

f ⁽⁴⁾ (ξ j )

con ξ _j un punto opportuno nell’intervallo [x _2j−2 , x _2j ].

Calcolo Numerico Lucio Demeio

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Integrazione numerica:

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Formule di Newton-Cotes composte

Regola di Simpson

Otteniamo:

Z b a

f (x) dx = h 3

n/2

X

j=1

[f (x _2j−2 ) + 4 f (x _2j−1 ) + f (x _2j )]

− h ⁵ 90

n/2

X

j=1

f ⁽⁴⁾ (ξ j )

con ξ _j un punto opportuno nell’intervallo [x _2j−2 , x _2j ].

Calcolo Numerico Lucio Demeio

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Integrazione numerica:

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Formule di Newton-Cotes composte

Regola di Simpson

Esplicitiamo la prima sommatoria:

n/2

X

j=1

[f (x _2j−2 ) + 4 f (x _2j−1 ) + f (x _2j )]

= [f (x 0 ) + 4 f (x 1 ) + f (x 2 )] + [f (x 2 ) + 4 f (x 3 ) + f (x 4 )] ... + [f (x n−2 ) + 4 f (x n−1 ) + f (x n )]

Il primo termine complessivamente quindi ` e

h

3 [f (a) + 4 f (x 1 ) + 2 f (x 2 ) + 4 f (x 3 ) + ...

+ 2 f (x n−2 ) + 4 f (x n−1 ) + f (b)]

Calcolo Numerico Lucio Demeio

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Formule di Newton-Cotes composte

Regola di Simpson

Esplicitiamo la prima sommatoria:

n/2

X

j=1

[f (x _2j−2 ) + 4 f (x _2j−1 ) + f (x _2j )]

= [f (x 0 ) + 4 f (x 1 ) + f (x 2 )] + [f (x 2 ) + 4 f (x 3 ) + f (x 4 )]

... + [f (x n−2 ) + 4 f (x n−1 ) + f (x n )]

Il primo termine complessivamente quindi ` e

h

3 [f (a) + 4 f (x 1 ) + 2 f (x 2 ) + 4 f (x 3 ) + ...

+ 2 f (x n−2 ) + 4 f (x n−1 ) + f (b)]

Calcolo Numerico Lucio Demeio

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Integrazione numerica:

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Formule di Newton-Cotes composte

Regola di Simpson

Esplicitiamo la prima sommatoria:

n/2

X

j=1

[f (x _2j−2 ) + 4 f (x _2j−1 ) + f (x _2j )]

= [f (x 0 ) + 4 f (x 1 ) + f (x 2 )] + [f (x 2 ) + 4 f (x 3 ) + f (x 4 )]

... + [f (x n−2 ) + 4 f (x n−1 ) + f (x n )]

Il primo termine complessivamente quindi ` e

h

3 [f (a) + 4 f (x 1 ) + 2 f (x 2 ) + 4 f (x 3 ) + ...

+ 2 f (x n−2 ) + 4 f (x n−1 ) + f (b)]

Calcolo Numerico Lucio Demeio

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Integrazione numerica:

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Formule di Newton-Cotes composte

Regola di Simpson

Per ottenere una stima dell’errore, supponiamo che f sia di classe C ⁴ in [a, b] e procediamo come per la regola dei trapezi.

Otteniamo alfine:

Z b a

f (x) dx = h

3 [f (a) + 4 f (x ₁ ) + 2 f (x ₂ ) + 4 f (x ₃ ) + ...

+ 2 f (x _n−2 ) + 4 f (x _n−1 ) + f (b)] − b − a

180 h ⁴ f ⁽⁴⁾ (ξ)

per un opportuno ξ ∈ [a, b]. Vediamo che l’errore ` e del

quart’ordine nel passo di discretizzazione h.

Calcolo Numerico Lucio Demeio

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Integrazione numerica:

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Formule di Newton-Cotes composte

Formule di quadratura

La formule composte basate sulla regola dei trapezi e sulla regola di Simpson si possono scrivere nella forma di una somma pesata sui valori della funzione ai nodi:

Z b a

f (x) dx ≈

n

X

j=0

w j f (x j )

dove i coefficienti w j sono detti pesi della formula di quadratura.

Nel caso della regola dei trapezi abbiamo w ₀ = w _n = h/2, w _j = h, per j 6= 0, n;

per la regola di Simpson abbiamo invece w 0 = w n = h/3,

w j = 4h/3 per j 6= 0, n e j pari, w j = 2h/3 per j 6= 0, n e j

dispari (ricordiamo che per questa regola di quadratura n

deve essere pari).

Calcolo Numerico Lucio Demeio

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Formule di Newton-Cotes composte

Formule di quadratura

La formule composte basate sulla regola dei trapezi e sulla regola di Simpson si possono scrivere nella forma di una somma pesata sui valori della funzione ai nodi:

Z b a

f (x) dx ≈

n

X

j=0

w j f (x j )

dove i coefficienti w j sono detti pesi della formula di quadratura.

Nel caso della regola dei trapezi abbiamo w ₀ = w _n = h/2, w _j = h, per j 6= 0, n;

per la regola di Simpson abbiamo invece w 0 = w n = h/3,

w j = 4h/3 per j 6= 0, n e j pari, w j = 2h/3 per j 6= 0, n e j

dispari (ricordiamo che per questa regola di quadratura n

deve essere pari).

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Formule di Newton-Cotes composte

Formule di quadratura

La formule composte basate sulla regola dei trapezi e sulla regola di Simpson si possono scrivere nella forma di una somma pesata sui valori della funzione ai nodi:

Z b a

f (x) dx ≈

n

X

j=0

w j f (x j )

dove i coefficienti w j sono detti pesi della formula di quadratura.

Nel caso della regola dei trapezi abbiamo w ₀ = w _n = h/2, w _j = h, per j 6= 0, n;

per la regola di Simpson abbiamo invece w 0 = w n = h/3,

w j = 4h/3 per j 6= 0, n e j pari, w j = 2h/3 per j 6= 0, n e j

dispari (ricordiamo che per questa regola di quadratura n

deve essere pari).

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Formule di quadratura

La formule composte basate sulla regola dei trapezi e sulla regola di Simpson si possono scrivere nella forma di una somma pesata sui valori della funzione ai nodi:

Z b a

f (x) dx ≈

n

X

j=0

w j f (x j )

dove i coefficienti w j sono detti pesi della formula di quadratura.

Nel caso della regola dei trapezi abbiamo w ₀ = w _n = h/2, w _j = h, per j 6= 0, n;

per la regola di Simpson abbiamo invece w 0 = w n = h/3,

w j = 4h/3 per j 6= 0, n e j pari, w j = 2h/3 per j 6= 0, n e j

dispari (ricordiamo che per questa regola di quadratura n

deve essere pari).

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Integrazione numerica:

formule di Newton-Cotes semplici Formule di Newton-Cotes composte Metodo di Romberg

Formule di Newton-Cotes composte

Formule di quadratura

Menzioniamo infine (senza ricavarla) la formula 3/8 di Simpson, per la quale n deve essere un multiplo di 3: w ₀ = w _n = 3 h/8, w ₁ = w ₂ = 9 h/8, w ₄ = 3 h/4, w ₅ = w ₆ = 9 h/8, w ₇ = 3 h/4, ...,w _n−3 = 2,

w _n−2 = w _n−1 = 9 h/8. Anche in questo caso l’errore ` e del

quart’ordine nel passo h.

Calcolo Numerico Lucio Demeio

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Formule di Newton-Cotes composte

Formule di quadratura

Menzioniamo infine (senza ricavarla) la formula 3/8 di Simpson, per la quale n deve essere un multiplo di 3:

w ₀ = w _n = 3 h/8, w ₁ = w ₂ = 9 h/8, w ₄ = 3 h/4, w ₅ = w ₆ = 9 h/8, w ₇ = 3 h/4, ...,w _n−3 = 2,

w _n−2 = w _n−1 = 9 h/8. Anche in questo caso l’errore ` e del

quart’ordine nel passo h.

Calcolo Numerico Lucio Demeio

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Integrazione numerica:

formule di Newton-Cotes semplici Formule di Newton-Cotes composte Metodo di Romberg

Formule di Newton-Cotes composte

Confronto fra le quadrature dei trapezi e di Simpson

Da calcolare

Z 1 0

e ^x dx

Z 2π 0

x sin x dx

errore (in funzione di h) per i trapezi (rosso), e per

Simpson (blu ∗1000):

Calcolo Numerico Lucio Demeio

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Formule di Newton-Cotes composte

Confronto fra le quadrature dei trapezi e di Simpson

Da calcolare

Z 1 0

e ^x dx

Z 2π 0

x sin x dx

errore (in funzione di h) per i trapezi (rosso), e per

Simpson (blu ∗1000):

Calcolo Numerico Lucio Demeio

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Integrazione numerica:

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Formule di Newton-Cotes composte

Confronto fra le quadrature dei trapezi e di Simpson

Da calcolare

Z 1 0

e ^x dx

Z 2π 0

x sin x dx

errore (in funzione di h) per i trapezi (rosso), e per

Simpson (blu ∗1000):

Calcolo Numerico Lucio Demeio

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Integrazione numerica:

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Formule di Newton-Cotes composte

Confronto fra le quadrature dei trapezi e di Simpson

Da calcolare

Z 1 0

e ^x dx

Z 2π 0

x sin x dx

errore (in funzione di h) per i trapezi (rosso), e per Simpson (blu ∗1000):

0 0.05 0.1 0.15 0.2

0.001 0.002 0.003 0.004 0.005

0 0.05 0.1 0.15

0.01 0.02 0.03 0.04

Calcolo Numerico Lucio Demeio

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Integrazione numerica:

formule di Newton-Cotes semplici Formule di Newton-Cotes composte Metodo di Romberg

Metodo di Romberg

Idea di base

Il metodo di Romberg ` e una tecnica per accelerare la convergenza delle formule di quadratura. Si basa

sull’applicazione dell’estrapolazione di Richardson al metodo dei trapezi; il passo di discretizzazione del metodo dei trapezi viene dimezzato ad ogni iterazione.

Idea di base

Sia, come al solito,

I = Z b

a

f (x) dx

l’integrale da calcolare. Supponiamo, almeno per ora, f ∈ C ^∞ [a, b] e consideriamo la regola dei trapezi (non composta, per ora) sull’intervallo [a, b]:

Z b a

f (x) dx ≈ h

2 [f (a) + f (b)]

dove h = b − a.

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Metodo di Romberg

Idea di base

Il metodo di Romberg ` e una tecnica per accelerare la convergenza delle formule di quadratura. Si basa

sull’applicazione dell’estrapolazione di Richardson al metodo dei trapezi; il passo di discretizzazione del metodo dei trapezi viene dimezzato ad ogni iterazione.

Idea di base

Sia, come al solito,

I = Z b

a

f (x) dx

l’integrale da calcolare. Supponiamo, almeno per ora, f ∈ C ^∞ [a, b] e consideriamo la regola dei trapezi (non composta, per ora) sull’intervallo [a, b]:

Z b a

f (x) dx ≈ h

2 [f (a) + f (b)]

dove h = b − a.

Calcolo Numerico Lucio Demeio

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Metodo di Romberg

Iterazioni successive dei trapezi

Consideriamo ora applicazioni successive della regola dei trapezi, con il passo dimezzato ad ogni iterazione:

Il passo ad ogni iterazione risulta allora h _k = (b − a)/2 ^k−1 , con k = 1 che corrisponde alla regola dei trapezi applicata su tutto l’intervallo e h _k+1 = h _k /2;

ad ogni iterazione si aggiungono nuovi punti alla

decomposizione dell’intervallo.

Calcolo Numerico Lucio Demeio

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Metodo di Romberg

Iterazioni successive dei trapezi

Consideriamo ora applicazioni successive della regola dei trapezi, con il passo dimezzato ad ogni iterazione:

f(x)

f(b)

b f(a)

a x

Il passo ad ogni iterazione risulta allora h k = (b − a)/2 ^k−1 , con k = 1 che corrisponde alla regola dei trapezi applicata su tutto l’intervallo e h k+1 = h k /2;

ad ogni iterazione si aggiungono nuovi punti alla

decomposizione dell’intervallo.

Calcolo Numerico Lucio Demeio

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Metodo di Romberg

Iterazioni successive dei trapezi

Consideriamo ora applicazioni successive della regola dei trapezi, con il passo dimezzato ad ogni iterazione:

f(x)

f(b)

b f(a)

a x

Il passo ad ogni iterazione risulta allora h k = (b − a)/2 ^k−1 , con k = 1 che corrisponde alla regola dei trapezi applicata su tutto l’intervallo e h k+1 = h k /2;

ad ogni iterazione si aggiungono nuovi punti alla

decomposizione dell’intervallo.

Calcolo Numerico Lucio Demeio

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Metodo di Romberg

Iterazioni successive dei trapezi

Consideriamo ora applicazioni successive della regola dei trapezi, con il passo dimezzato ad ogni iterazione:

f(x)

f(b)

b f(a)

a x

Il passo ad ogni iterazione risulta allora h k = (b − a)/2 ^k−1 , con k = 1 che corrisponde alla regola dei trapezi applicata su tutto l’intervallo e h k+1 = h k /2;

ad ogni iterazione si aggiungono nuovi punti alla

decomposizione dell’intervallo.

Calcolo Numerico Lucio Demeio

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Metodo di Romberg

Iterazioni successive dei trapezi

Consideriamo ora applicazioni successive della regola dei trapezi, con il passo dimezzato ad ogni iterazione:

f(x)

f(b)

b f(a)

a x

Il passo ad ogni iterazione risulta allora h k = (b − a)/2 ^k−1 , con k = 1 che corrisponde alla regola dei trapezi applicata su tutto l’intervallo e h k+1 = h k /2;

ad ogni iterazione si aggiungono nuovi punti alla

decomposizione dell’intervallo.

Calcolo Numerico Lucio Demeio

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Integrazione numerica:

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Metodo di Romberg

Iterazioni successive dei trapezi

Consideriamo ora applicazioni successive della regola dei trapezi, con il passo dimezzato ad ogni iterazione:

f(x)

f(b)

b f(a)

a x

Il passo ad ogni iterazione risulta allora h k = (b − a)/2 ^k−1 , con k = 1 che corrisponde alla regola dei trapezi applicata su tutto l’intervallo e h k+1 = h k /2;

ad ogni iterazione si aggiungono nuovi punti alla

decomposizione dell’intervallo.

Calcolo Numerico Lucio Demeio

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Integrazione numerica:

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Metodo di Romberg

Iterazioni successive dei trapezi

Consideriamo ora applicazioni successive della regola dei trapezi, con il passo dimezzato ad ogni iterazione:

f(x)

f(b)

b f(a)

a x

Il passo ad ogni iterazione risulta allora h k = (b − a)/2 ^k−1 , con k = 1 che corrisponde alla regola dei trapezi applicata su tutto l’intervallo e h k+1 = h k /2;

ad ogni iterazione si aggiungono nuovi punti alla

decomposizione dell’intervallo.

Calcolo Numerico Lucio Demeio

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Integrazione numerica:

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Metodo di Romberg

Iterazioni successive dei trapezi

Usando la formula composta alla k-esima iterazione abbiamo dunque, con m = 2 ^k−1 (numero degli intervalli alla k−esima iterazione),

I = h k

2



f (a) + 2

m−1

X

j=1

f (x j ) + f (b)



 − b − a

12 h ² _k f ⁰⁰ (ξ).

Non ` e difficile dimostrare che l’errore che compare sopra pu` o essere scritto nella forma di una serie di potenze del tipo K 1 h ² _k + K 2 h ⁴ _k + ... = P ∞

j=1 K j h ^2j . Introducendo

R k1 = h k

2



f (a) + 2

m−1

X

j=1

f (x j ) + f (b)





Calcolo Numerico Lucio Demeio

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Integrazione numerica:

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Metodo di Romberg

Iterazioni successive dei trapezi

Usando la formula composta alla k-esima iterazione abbiamo dunque, con m = 2 ^k−1 (numero degli intervalli alla k−esima iterazione),

I = h k

2



f (a) + 2

m−1

X

j=1

f (x j ) + f (b)



 − b − a

12 h ² _k f ⁰⁰ (ξ).

Non ` e difficile dimostrare che l’errore che compare sopra pu` o essere scritto nella forma di una serie di potenze del tipo K 1 h ² _k + K 2 h ⁴ _k + ... = P ∞

j=1 K j h ^2j . Introducendo

R k1 = h k

2



f (a) + 2

m−1

X

j=1

f (x j ) + f (b)





Calcolo Numerico Lucio Demeio

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Metodo di Romberg

Iterazioni successive dei trapezi

Usando la formula composta alla k-esima iterazione abbiamo dunque, con m = 2 ^k−1 (numero degli intervalli alla k−esima iterazione),

I = h k

2



f (a) + 2

m−1

X

j=1

f (x j ) + f (b)



 − b − a

12 h ² _k f ⁰⁰ (ξ).

Non ` e difficile dimostrare che l’errore che compare sopra pu` o essere scritto nella forma di una serie di potenze del tipo K 1 h ² _k + K 2 h ⁴ _k + ... = P ∞

j=1 K j h ^2j .

Introducendo

R k1 = h k

2



f (a) + 2

m−1

X

j=1

f (x j ) + f (b)





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Iterazioni successive dei trapezi

Usando la formula composta alla k-esima iterazione abbiamo dunque, con m = 2 ^k−1 (numero degli intervalli alla k−esima iterazione),

I = h k

2



f (a) + 2

m−1

X

j=1

f (x j ) + f (b)



 − b − a

12 h ² _k f ⁰⁰ (ξ).

Non ` e difficile dimostrare che l’errore che compare sopra pu` o essere scritto nella forma di una serie di potenze del tipo K 1 h ² _k + K 2 h ⁴ _k + ... = P ∞

j=1 K j h ^2j . Introducendo

R k1 = h k

2



f (a) + 2

m−1

X

j=1

f (x j ) + f (b)





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Metodo di Romberg

Iterazioni successive dei trapezi

... possiamo allora scrivere

I = R k1 + K 1 h ² _k + K 2 h ⁴ _k + ...

Il calcolo di R _k1 non richiede il calcolo della funzione su tutti i nodi che compaiono nella sommatoria, ma soltanto sui nodi che non erano presenti nell’iterazione precedente. In particolare:

R k1 = h _k 2



f (a) + 2 X

j∈N

f (x j ) + f (b) + 2 X

j∈N

f (x j )



 = ...

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Metodo di Romberg

Iterazioni successive dei trapezi

... possiamo allora scrivere

I = R k1 + K 1 h ² _k + K 2 h ⁴ _k + ...

Il calcolo di R _k1 non richiede il calcolo della funzione su tutti i nodi che compaiono nella sommatoria, ma soltanto sui nodi che non erano presenti nell’iterazione precedente.

In particolare:

R k1 = h _k 2



f (a) + 2 X

j∈N

f (x j ) + f (b) + 2 X

j∈N

f (x j )



 = ...

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Iterazioni successive dei trapezi

... possiamo allora scrivere

I = R k1 + K 1 h ² _k + K 2 h ⁴ _k + ...

Il calcolo di R _k1 non richiede il calcolo della funzione su tutti i nodi che compaiono nella sommatoria, ma soltanto sui nodi che non erano presenti nell’iterazione precedente.

In particolare:

R k1 = h _k 2



f (a) + 2 X

j∈N

f (x j ) + f (b) + 2 X

j∈N

f (x j )



 = ...

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Metodo di Romberg

Iterazioni successive dei trapezi

... = 1 2

h _k−1 2



f (a) + 2 X

j∈N

f (x _j ) + f (b)



 + h _k X

j∈N

f (x _j )

= 1

2 R _k−1,1 + h _k X

j∈N

f (x _j )

dove N 1 ed N 2 sono gli insiemi di indici corrispondenti rispettivamente ai vecchi nodi ed ai nuovi nodi.

La relazione appena trovata fornisce una relazione di

ricorrenza per le R k1 . Dalle prime due iterazioni, ...

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Metodo di Romberg

Iterazioni successive dei trapezi

... = 1 2

h _k−1 2



f (a) + 2 X

j∈N

f (x _j ) + f (b)



 + h _k X

j∈N

f (x _j )

= 1

2 R _k−1,1 + h _k X

j∈N

f (x _j )

dove N 1 ed N 2 sono gli insiemi di indici corrispondenti rispettivamente ai vecchi nodi ed ai nuovi nodi.

La relazione appena trovata fornisce una relazione di

ricorrenza per le R k1 . Dalle prime due iterazioni, ...

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Iterazioni successive dei trapezi

R 11 = b − a

2 [f (a) + f (b)]

R 21 = b − a 4



f (a) + f (b) + 2 f  a + b 2



= 1

2 R 11 + b − a

2 f  a + b 2



ricostruiamo le iterazioni successive.

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Estrapolazione di Richardson

Riprendiamo l’espressione scritta in precedenza

I = R k1 + K 1 h ² _k + K 2 h ⁴ _k + ...

e mettiamola a sistema con la stessa calcolata all’iterazione k + 1, ricordando che h _k+1 = h _k /2:

I = R _k1 + K ₁ h ² _k + K ₂ h ⁴ _k + ... I = R k+1,1 + K 1

h ² _k 4 + K 2

h ⁴ _k 16 + ...

Moltiplicando la seconda per 4 e sottraendo si elimina il

termine quadratico in k (come gi` a visto in precedenza a

proposito dell’estrapolazione di Richardson).

Calcolo Numerico Lucio Demeio

DIISM

Integrazione numerica:

formule di Newton-Cotes semplici Formule di Newton-Cotes composte Metodo di Romberg

Metodo di Romberg

Estrapolazione di Richardson

Riprendiamo l’espressione scritta in precedenza

I = R k1 + K 1 h ² _k + K 2 h ⁴ _k + ...

e mettiamola a sistema con la stessa calcolata all’iterazione k + 1, ricordando che h _k+1 = h _k /2:

I = R _k1 + K ₁ h ² _k + K ₂ h ⁴ _k + ... I = R k+1,1 + K 1

h ² _k 4 + K 2

h ⁴ _k 16 + ...

Moltiplicando la seconda per 4 e sottraendo si elimina il

termine quadratico in k (come gi` a visto in precedenza a

proposito dell’estrapolazione di Richardson).

Calcolo Numerico Lucio Demeio

DIISM

Integrazione numerica:

formule di Newton-Cotes semplici Formule di Newton-Cotes composte Metodo di Romberg

Metodo di Romberg

Estrapolazione di Richardson

Riprendiamo l’espressione scritta in precedenza

I = R k1 + K 1 h ² _k + K 2 h ⁴ _k + ...

e mettiamola a sistema con la stessa calcolata all’iterazione k + 1, ricordando che h _k+1 = h _k /2:

I = R _k1 + K ₁ h ² _k + K ₂ h ⁴ _k + ...

I = R k+1,1 + K 1

h ² _k 4 + K 2

h ⁴ _k 16 + ...

Moltiplicando la seconda per 4 e sottraendo si elimina il

termine quadratico in k (come gi` a visto in precedenza a

proposito dell’estrapolazione di Richardson).