M r X ˙ r dr che si pu` o scrivere in modo pi` u conveniente cos`ı

(1)

Siano dati due processi stocastici X _t e M _t . Supponiamo inoltre che il processo X _t abbia traiettorie derivabili, con derivata in L ¹ (0, T ), e che il processo M _t ab- bia traiettorie continue. Ebbene esiste l’integrale (alla Stieltjes) del processo X _t rispetto al processo M _t (traiettoria per traiettoria) ed ` e

Z t s

X _r dM _r = X _t M _t − X _s M _s − Z t

s

M _r X ˙ _r dr che si pu` o scrivere in modo pi` u conveniente cos`ı

Z t s

X _r dM _r = X _s (M _t − M _s ) + Z t

s

(M _t − M _r ) ˙ X _r dr

Sia data una filtrazione {F _t } ed una martingala (rispetto a questa filtrazione) M _t con traiettorie continue. Denotiamo con A _t ` e la variazione quadratica di M _t cio` e

n−1

X

i=0

(M t

i+1

− M t

i

) ^{2 →}

P

A t

quando la partizione π = {t ₀ = 0 < t ₁ < . . . < t _n = t} tende all’infinito, e che spesso si denota anche con hM i _t (il crochet di P.A. Meyer). Si ha anche che

M _t ² − A _t ` e una martingala Risulta facilmente che

E((M t − M _s ) ² | F _s ) = A _t − A _s .

Supponiamo inoltre che X t sia progressivamente misurabile (rispetto alla fil- trazione data) e tale che (t, ω) → ˙ X _t (ω) ∈ L ² ([0, T ] × Ω, dA _t ⊗ dP), cio`e

E

Z T 0

X _t ² dA _t

< ∞

Teorema 1 Risulta che

E

Z t 0

X r dM r

= 0 (1)

e

E h Z t

0

X _r dM _r 2 i

= E Z t

0

X _r ² dA _r . (2)

1

(2)

Inoltre

E

Z t 0

X r dM r | F s

= Z s

0

X r dM r (3)

e

E h Z t

s

X _r dM _r 2

| F _s i

= E h Z t s

X _r ² dA _r | F _s i

. (4)

Dimostrazione. La (1) ` e facile. Per la (2) consideriamo

X ₀ (M _t − M ₀ ) + Z t

0

(M _t − M _r ) ˙ X _r dr 2

= X ₀ ² (M _t − M ₀ ) ² + 2X ₀ (M _t − M ₀ )

Z t 0

(M _t − M _r ) ˙ X _r dr + Z t

0

Z t 0

(M _t − M _r ) ˙ X _r (M _t − M _ρ ) ˙ X _ρ dr dρ dove il secondo addendo ` e conveniente riscriverlo come

X ₀ (M _t −M ₀ ) Z t

0

(M _t −M _r ) ˙ X _r dr = X ₀ Z t

0

(M _t −M _r ) ² X ˙ _r dr+

Z t 0

(M _r −M ₀ ) (M _t −M _r ) ˙ X _r dr il cui valore di aspettazione risulta

E X ₀ Z t

0

(A _t − A _r ) ˙ X _r dr = E − A t X ₀ ² + X ₀ Z t

0

X _r dA _r Il valore di aspettazione del primo pi` u il secondo termine ` e quindi

E(A t X ₀ ² )+2 E −A _t X ₀ ² +X 0

Z t 0

X r dA r = E[−A t X ₀ ² +2X 0

Z t 0

X r dA r ] = E[

Z t 0

X _r ² dA r − Z t

0

(X r −X ₀ ) ² dA r ] D’altra parte conviene riscrivere l’ultimo addendo (supponendo r < ρ)

(M t − M _r ) ˙ X r (M t − M _ρ ) ˙ X ρ = ˙ X r (M t − M _ρ ) ² X ˙ ρ + (M ρ − M _r ) ˙ X r (M t − M _ρ ) ˙ X ρ

da cui il valore di aspettazione risulta

E( X ˙ _r X ˙ _ρ (A _t − A _ρ )) e quindi

E

"

Z t 0

(M t −M _r ) ˙ X r (M t −M _ρ ) ˙ X ρ dr dρ

#

= 2 E

"

Z t 0

dρ Z ρ

0

(M t −M _r ) ˙ X r (M t −M _ρ ) ˙ X ρ dr

#

E

"

Z t 0

(M _t − M _r ) ˙ X _r (M _t − M _ρ ) ˙ X _ρ dr dρ

#

= 2 Z t

0

dρ Z ρ

0

E( X ˙ _r X ˙ _ρ (A _t − A _ρ )) dr

= 2E Z t

0

(A _t −A _ρ ) ˙ X _ρ dρ Z ρ

0

X ˙ _r dr = 2E Z t

0

(A _t −A _ρ ) ˙ X _ρ (X _ρ −X ₀ )dρ = E Z t

0

(A _t −A _ρ ) d

dρ (X _ρ −X ₀ ) ² dρ

2

(3)

= E Z t

0

(X _ρ − X ₀ ) ² dA _ρ Sommando otteniamo

E h Z t

0

X _r dM _r 2 i

= E Z t

0

X _r ² dA _r .

In quanto alla (3), dalla Z t

s

X _r dM _r = X _s (M _t − M _s ) + Z t

s

(M _t − M _r ) ˙ X _r dr otteniamo

E

Z t 0

X r dM r | F _s

= E

Z t s

X r dM r | F _s +

Z s 0

X r dM r

E

Z t s

X _r dM _r | F _s

= E

X _s (M _t − M _s ) + Z t

s

(M _t − M _r ) ˙ X _r dr | F _s

= X _s E(M t − M _s ) + E Z t s

(M _t − M _r ) ˙ X _r dr | F _s

= 0 + Z t

s

E

E (M t − M _r ) ˙ X r | F _r | F _s dr

= Z t

s

E

X r E(M t − M _r ) | F s

dr = 0

Infine per dimostrare la (4) si procede come per dimostrare la (2)

E h Z t

0

X r dM r

2 | F _s i

= ( Z s

0

X r dM r ) ² +2 Z s

0

X r dM r E h Z t

s

X r dM r | F _s i +E

h Z t s

X r dM r

2 | F _s i

= ( Z _s

0

X _r dM _r ) ² + E h Z _t

s

X _r dM _r 2

| F _s i

perch´ e il termine medio ` e nullo per la terza formula. Calcoliamo l’ultimo addendo:

X _s (M _t − M _s ) + Z t

s

(M _t − M _r ) ˙ X _r dr 2

= X _s ² (M t − M _s ) ² + 2X s (M t − M _s ) ·

Z t s

(M t − M _r ) ˙ X r dr +

Z t s

(M t − M _r ) ˙ X r dr

2 Abbiamo tre termini. Per il primo

E(X s ² (M _t − M _s ) ² | F _s ) = X _s ² E(A t − A _s | F _s )

3

(4)

Per il secondo X s (M t −M _s )·

Z t s

(M t −M _r ) ˙ X r dr = X s

Z t s

(M t −M _r ) ² X ˙ r dr+X s

Z t s

(M r −M _s )(M t −M _r ) ˙ X r dr Z t

s

(A _t − A _r ) ˙ X _r dr = −(A _t − A _s )X _s + Z t

s

X _r dA _r e quindi sommando i primi due termini abbiamo

E h

X _s ² (M t − M _s ) ² + 2X s (M t − M _s ) · Z t

s

(M t − M _r ) ˙ X r dr | F s

i

=

= −E(A _t − A _s | F _s )X _s ² + 2X _s Z t

s

E(X r | F _s ) dA _r = Z t

s

E((2X s X _r − X _s ² ) | F _s ) dA _r

= Z t

s

E(X r ² | F _s ) dA _r − Z t

s

E((X r − X _s ) ² | F _s ) dA _r Infine per l’ultimo termine

Z t s

(M _t − M _r ) ˙ X _r dr 2

= 2 Z t

s

dρ Z ρ

s

(M _t − M _r ) ˙ X _r (M _t − M _ρ ) ˙ X _ρ dr E( X ˙ _r X ˙ _ρ (A _t − A _ρ ) | F _s )

E

Z _t

s

(M t − M _r ) ˙ X r dr 2

| F _s

= 2 Z _t

s

dρ Z _ρ

s

E( X ˙ r X ˙ ρ (A t − A _ρ ) | F s ) dr

= E

Z t s

(X ρ − X _s ) ² dA ρ | F _s Il teorema 1 ` e dimostrato.

La (3) ci dice che l’integrale stocastico ` e anch’esso una martingala. Inoltre abbiamo

E h Z t

0

X _r dM _r 2

− Z t

0

X _r ² dA _r | F _s i

= Z s 0

X _r dM _r 2

− Z s

0

X _r ² dA _r Infatti

E h Z t

0

X _r dM _r 2

− Z t

0

X _r ² dA _r | F _s i

= Z s 0

X _r dM _r 2

− Z s

0

X _r ² dA _r

+E h Z t s

X _r dM _r 2

+ 2 Z s

0

X _r dM _r Z t

s

X _r dM _r − Z t

s

X _r ² dA _r | F _s i

= Z s 0

X _r dM _r 2

− Z s

0

X _r ² dA _r

In altre parole la variazione quadratica associata all’integrale stocastico ` e D Z t

M r X ˙ r dr che si pu` o scrivere in modo pi` u conveniente cos`ı

Z t s

X r dM r = X t M t − X s M s − Z t

s

M r X ˙ r dr che si pu` o scrivere in modo pi` u conveniente cos`ı

Z t s

X r dM r = X s (M t − M s ) + Z t

s

(M t − M r ) ˙ X r dr

Sia data una filtrazione {F t } ed una martingala (rispetto a questa filtrazione) M t con traiettorie continue. Denotiamo con A t ` e la variazione quadratica di M t cio` e

n−1

X

i=0

(M t

− M t

) 2 →

P

A t

quando la partizione π = {t 0 = 0 < t 1 < . . . < t n = t} tende all’infinito, e che spesso si denota anche con hM i t (il crochet di P.A. Meyer). Si ha anche che

M t 2 − A t ` e una martingala Risulta facilmente che

E((M t − M s ) 2 | F s ) = A t − A s .

Supponiamo inoltre che X t sia progressivamente misurabile (rispetto alla fil- trazione data) e tale che (t, ω) → ˙ X t (ω) ∈ L 2 ([0, T ] × Ω, dA t ⊗ dP), cio`e

E

 Z T 0

X t 2 dA t 

< ∞

Teorema 1 Risulta che

E

 Z t 0

X r dM r



= 0 (1)

e

E h Z t

0

X r dM r  2 i

= E Z t

0

X r 2 dA r . (2)

1

Inoltre

E

 Z t 0

X r dM r | F s



= Z s

0

X r dM r (3)

e

E h Z t

s

X r dM r  2

| F s i

= E h Z t s

X r 2 dA r | F s i

. (4)

Dimostrazione. La (1) ` e facile. Per la (2) consideriamo



X 0 (M t − M 0 ) + Z t

0

(M t − M r ) ˙ X r dr  2

= X 0 2 (M t − M 0 ) 2 + 2X 0 (M t − M 0 )

Z t 0

(M t − M r ) ˙ X r dr + Z t

0

Z t 0

(M t − M r ) ˙ X r (M t − M ρ ) ˙ X ρ dr dρ dove il secondo addendo ` e conveniente riscriverlo come

X 0 (M t −M 0 ) Z t

0

(M t −M r ) ˙ X r dr = X 0 Z t

0

(M t −M r ) 2 X ˙ r dr+

Z t 0

(M r −M 0 ) (M t −M r ) ˙ X r dr il cui valore di aspettazione risulta

E X 0 Z t

0

(A t − A r ) ˙ X r dr = E − A t X 0 2 + X 0 Z t

0

X r dA r Il valore di aspettazione del primo pi` u il secondo termine ` e quindi

E(A t X 0 2 )+2 E −A t X 0 2 +X 0

X _r dM _r = X _t M _t − X _s M _s − Z t

M _r X ˙ _r dr che si pu` o scrivere in modo pi` u conveniente cos`ı

X _r dM _r = X _s (M _t − M _s ) + Z t

(M _t − M _r ) ˙ X _r dr

Sia data una filtrazione {F _t } ed una martingala (rispetto a questa filtrazione) M _t con traiettorie continue. Denotiamo con A _t ` e la variazione quadratica di M _t cio` e

) ^{2 →}

quando la partizione π = {t ₀ = 0 < t ₁ < . . . < t _n = t} tende all’infinito, e che spesso si denota anche con hM i _t (il crochet di P.A. Meyer). Si ha anche che

M _t ² − A _t ` e una martingala Risulta facilmente che

E((M t − M _s ) ² | F _s ) = A _t − A _s .

Supponiamo inoltre che X t sia progressivamente misurabile (rispetto alla fil- trazione data) e tale che (t, ω) → ˙ X _t (ω) ∈ L ² ([0, T ] × Ω, dA _t ⊗ dP), cio`e

Z T 0

X _t ² dA _t

Z t 0

E h Z t

X _r dM _r 2 i

X _r ² dA _r . (2)

Z t 0

E h Z t

X _r dM _r 2

| F _s i

X _r ² dA _r | F _s i

X ₀ (M _t − M ₀ ) + Z t

(M _t − M _r ) ˙ X _r dr 2

= X ₀ ² (M _t − M ₀ ) ² + 2X ₀ (M _t − M ₀ )

(M _t − M _r ) ˙ X _r dr + Z t

(M _t − M _r ) ˙ X _r (M _t − M _ρ ) ˙ X _ρ dr dρ dove il secondo addendo ` e conveniente riscriverlo come

X ₀ (M _t −M ₀ ) Z t

(M _t −M _r ) ˙ X _r dr = X ₀ Z t

(M _t −M _r ) ² X ˙ _r dr+

(M _r −M ₀ ) (M _t −M _r ) ˙ X _r dr il cui valore di aspettazione risulta

E X ₀ Z t

(A _t − A _r ) ˙ X _r dr = E − A t X ₀ ² + X ₀ Z t

X _r dA _r Il valore di aspettazione del primo pi` u il secondo termine ` e quindi

E(A t X ₀ ² )+2 E −A _t X ₀ ² +X 0

X r dA r = E[−A t X ₀ ² +2X 0

X _r ² dA r − Z t

(X r −X ₀ ) ² dA r ] D’altra parte conviene riscrivere l’ultimo addendo (supponendo r < ρ)

(M t − M _r ) ˙ X r (M t − M _ρ ) ˙ X ρ = ˙ X r (M t − M _ρ ) ² X ˙ ρ + (M ρ − M _r ) ˙ X r (M t − M _ρ ) ˙ X ρ

E( X ˙ _r X ˙ _ρ (A _t − A _ρ )) e quindi

(M t −M _r ) ˙ X r (M t −M _ρ ) ˙ X ρ dr dρ

(M t −M _r ) ˙ X r (M t −M _ρ ) ˙ X ρ dr

(M _t − M _r ) ˙ X _r (M _t − M _ρ ) ˙ X _ρ dr dρ

E( X ˙ _r X ˙ _ρ (A _t − A _ρ )) dr

(A _t −A _ρ ) ˙ X _ρ dρ Z ρ

X ˙ _r dr = 2E Z t

(A _t −A _ρ ) ˙ X _ρ (X _ρ −X ₀ )dρ = E Z t

(A _t −A _ρ ) d

dρ (X _ρ −X ₀ ) ² dρ

(X _ρ − X ₀ ) ² dA _ρ Sommando otteniamo

E h Z t

X _r dM _r 2 i

X _r ² dA _r .

X _r dM _r = X _s (M _t − M _s ) + Z t

(M _t − M _r ) ˙ X _r dr otteniamo

Z t 0

X r dM r | F _s

Z t s

X r dM r | F _s +