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6 L’integrale stocastico 107

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Academic year: 2021

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6 L’integrale stocastico 107 6.1 Processi elementari . . . 107

Definizione 6.1 Lemma 6.2 Lemma 6.3 Definizione 6.4 Lemma 6.5 Lemma 6.6

6.2 L’integrale stocastico . . . 113 Teorema 6.7

Teorema 6.8 Proposizione 6.9 Teorema 6.10 Teorema 6.11 Teorema 6.12

6.3 L’integrale stocastico come funzione dell’estremo d’integrazione 118 Proposizione 6.13

Teorema 6.14 Teorema 6.15 Proposizione 6.16 Teorema 6.17 Proposizione 6.18

6.4 Teoremi d’arresto . . . 122 Lemma 6.19

Teorema 6.20 Proposizione 6.21 Proposizione 6.22

6.5 Martingale locali . . . 125 Definizione 6.23

Proposizione 6.24

Proposizione e Definizione 6.25 Proposizione 6.26

Corollario 6.27 Proposizione 6.28

1

(2)

7 Calcolo stocastico 129 7.1 La formula di Ito . . . 129

Esempio 7.1 Esempio 7.2 Proposizione 7.3 Teorema 7.4

7.2 Applicazioni . . . 134 Proposizione 7.5

Teorema 7.6 Proposizione 7.7

7.3 Integrale stocastico multidimensionale . . . 139 Definizione 7.10

Lemma 7.11 Proposizione 7.12 Proposizione 7.13 Teorema 7.14 Proposizione 7.15 Teorema 7.16 Corollario 7.17 Proposizione 7.18

7.4 Il Teorema di Girsanov . . . 144 7.5 Le martingale della filtrazione browniana . . . 149

2

(3)

8 Equazioni differenziali stocastiche 159 8.1 Generalit` a . . . 159

Definizione 8.1 Definizione 8.2 Definizione 8.3 Definizione 8.4

8.2 Esempi . . . 160 8.3 Primo teorema di esistenza . . . 162

Lemma 8.5 (Gronwall) Ipotesi (A)

Lemma 8.6 Teorema 8.7 Teorema 8.8

8.4 Localizzazione . . . 167 Teorema 8.9

Ipotesi (A’) Teorema 8.10

8.5 Unicit` a in legge . . . 170 8.6 Stime in L

p

e dipendenza dal dato iniziale . . . 171

Proposizione 8.13 Teorema 8.14 Proposizione 8.15 Proposizione 8.16 Teorema 8.17 Proposizione 8.18 Corollario 8.19

8.7 La propriet` a di Markov . . . 175 Proposizione 8.20

Teorema 8.21 Teorema 8.22

8.8 Soluzione del problema delle diffusioni . . . 178 8.9 La formula di Cameron-Martin . . . 180

3

(4)

9 Problemi alle derivate parziali associati a una diffusione 189 9.1 Rappresentazione delle soluzioni del problema di Dirichlet . . 189

Proposizione 9.1 Proposizione 9.2 Teorema 9.3 Esempio 9.4

9.2 Equazioni paraboliche . . . 193 Teorema 9.5

Teorema 9.6

9.3 La formula di Feynman-Kac, l’equazione backward . . . 194 9.4 Costruzione delle soluzioni del problema di Dirichlet . . . 203

4

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