Estremi vincolati

Estremi vincolati

Raul Paolo Serapioni

Analisi Matematica A – Secondo modulo Corso di Laurea in Matematica

Università di Trento

Lezione 25

Supponiamo che:

A sia un aperto di R

, f : A → R e f ∈ C

(A);

r : (t

− ε, t

+ ε) → A sia una curva C

con r

(t) 6= 0;

γ sia il supporto di r;

r(t

) sia il punto di massimo (o di minimo) di f su γ, cioè f (r(t

)) ≥ f (r(t)), per ogni t ∈ (t

− ε, t

+ ε).

Allora,

f ◦ r : (t

− ε, t

+ ε) → R è derivabile e ha un punto di massimo in t

, quindi

0 = d

dt (f ◦ r)

= ∂

f

r

(t

) + ∂

f

r

(t

).

f ∈ C

(A),

r è una curva di classe C

, contenuta in A e r

(t) 6= 0, r(t

) è un punto di massimo/minimo locale di f ristretto al supporto di r, cioè esiste ε > 0 tale che

(t₀−ε,t

max

f(r(t)) = f (r(t

)),

allora,

h(∇f )

, r

(t

)i = 0, o, equivalentemente,

nei punti di massimo/minimo locale vincolati la componente del

gradiente tangenziale al vincolo è nulla.

Definizione

Sia A ⊂ R

, f e F : A → R.

(x

, y

) è un punto di massimo di f vincolato a F (x, y) = 0 se F (x

, y

) = 0

f (x, y) ≤ f (x

, y

) per ogni (x, y) tale che F (x, y) = 0.

Analogamente

(x

, y

) è un punto di massimo locale di f vincolato a F (x, y) = 0 se

F (x

, y

) = 0

se esiste r > 0 tale che f (x, y) ≤ f (x

, y

) per ogni

(x, y) ∈ B((x

, y

), r ) tale che F (x, y) = 0.

Teorema

Sia A aperto in R

, (x

, y

) ∈ A.

Supponiamo che F : A → R sia di classe C

in A e che F (x

, y

) = 0 e ∇F (x

, y

) 6= 0.

Se g : A → R è di classe C

, se (x

, y

) è un punto di massimo o minimo locale di g vincolato a F (x, y) = 0 allora

esiste λ ∈ R tale che ∇g(x

, y

) = λ∇F (x

, y

).

Definizione

Sia A ⊂ R

, f e F : A → R.

(x

, y

) è un punto di massimo di f vincolato a F (x, y) = 0 se F (x

, y

) = 0

f (x, y) ≤ f (x

, y

) per ogni (x, y) tale che F (x, y) = 0.

Analogamente

(x

, y

) è un punto di massimo locale di f vincolato a F (x, y) = 0 se

F (x

, y

) = 0

se esiste r > 0 tale che f (x, y) ≤ f (x

, y

) per ogni

(x, y) ∈ B((x

, y

), r ) tale che F (x, y) = 0.

Teorema (uguale in 3 variabili) Sia A aperto in R

, (x

, y

, z

) ∈ A.

Supponiamo che F : A → R sia di classe C

in A e che F (x

, y

, z

) = 0 e ∇F (x

, y

, z

) 6= 0.

Se g : A → R è di classe C

, se (x

, y

, z

) è un punto di massimo o minimo locale di g vincolato a F (x, y, z) = 0 allora

esiste λ ∈ R tale che ∇g(x

, y

, z

) = λ∇F (x

, y

, z

).

I punti critici di f : R

→ R vincolati al vincolo F (x, y) = 0 sono punti critici liberi della funzione di Lagrange

L(x, y, λ) := f (x, y) − λF (x, y) cioè punti per i quali ∇

L(x, y, λ) = 0. Infatti

∇L(x, y, λ) =

= (∂

f(x, y) − λ∂

F (x, y), ∂

f (x, y) − λ∂

F (x, y), −F (x, y)) e la condizione ∇L(x

, y

, λ

) = 0 è equivalente a







∂

f (x

, y

) = λ

∂

F (x

, y

)

∂

f (x

, y

) = λ

∂

F (x

, y

) F (x

, y

) = 0

cioè

 ∇f (x

, y

) = λ∇F (x

, y

)

F (x

, y

) = 0

I punti critici di f : R

→ R vincolati al vincolo F (x, y, z) = 0 sono punti critici liberi della funzione di Lagrange

L(x, y, z, λ) := f (x, y, z) − λF (x, y, z) cioè punti per i quali ∇

L(x, y, z, λ) = 0. Infatti

∇

L = (∇

f − λ∇

F , −F ) = 0 e

∇

L(x

, y

, z

, λ

) = 0 è equivalente a

 ∇f (x

, y

, z

) = λ

∇F (x

, y

, z

)

F (x

, y

, z

) = 0

Example (Problema 1)

Sia C := {x ∈ R

: kxk = 1}, A una matrice 2 × 2 simmetrica e q

: R

→ R la forma quadratica associata:

q

(x) := x

· A · x

Trovate punti e valori di massimo/minimo assoluto di q

su C.

Example (Stesso problema in più di 2 variabili)

Sia S := {x ∈ R

: kxk = 1}, A una matrice 3 × 3 simmetrica e q

: R

→ R la forma quadratica associata:

q

(x) := x

· A · x

Trovate punti e valori di massimo/minimo assoluto di q

su S.

Cerchiamo i punti y ∈ C tali che

∇q

(y) = 2A · y sia ortogonale a C in y.

Poiché C è una linea di livello, per esempio, di g(x) := kxk

∇g(x) = 2x è ortogonale a C in ogni suo punto.

Cerchiamo quindi i punti y ∈ C, tali che

∇q

(y) è multiplo di ∇g(x).

Equivalentemente, cerchiamo gli y ∈ C per i quali esiste λ 6= 0 tale che

A · y = λy

I punti di massimo e minimo di q

sul cerchio unitario C sono gli autovettori di norma unitaria di A.

Se v

è l’autovettore associato all’autovalore λ

q

(v

) := (v

)

· A · v

= (v

)

· λ

v

= λ

kv

k

= λ

.

Il massimo autovalore di A è il valore massimo della forma quadratica q

sul cerchio unitario;

Il punto di massimo assoluto di q

è l’autovettore associato al massimo autovalore.

Analogamente per il valore minimo e per il minimo autovalore.