ANALISI MATEMATICA I Corso di Laurea in Matematica - A.A. 2010/2011

ANALISI MATEMATICA I Corso di Laurea in Matematica - A.A. 2010/2011

I anno, I semestre, CFU 9, docente: D. De Acutis

1. SISTEMA DEI NUMERI REALI. Assioma di Dedekind. Estremo superiore ed inferiore di un insieme di numeri reali. Proprieta’ di densita’ dei razionali. . Topologia della retta: insiemi aperti e chiusi. Punti di accumulazione,frontiera e chiusura di insiemi. Teorema di Bolzano-Weiestrass. Numeri naturali e principio d’induzione.

2. SUCCESSIONI NUMERICHE. Limiti di successioni e loro proprieta’.

Operazioni con i limiti. Successioni monotone e definizione del numero di Nepero. Sottosuccessioni, massimo e minimo limite. Criterio di convergenza di Cauchy.

3. FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE. Generalita’. Grafico di funzione.

Funzione composta e funzione inversa. Limite di funzione, limite destro e limite sinistro. Limite di funzioni monotone. Funzioni continue. Punti di discontinuita’. Teorema degli zeri. Teorema dei valori intermedi e Teorema di Weiestrass. Uniforme continuita’ e Teorema di Heine- Cantor. Funzioni continue invertibili (senza dimostrazione).

4. CALCOLO DIFFERENZIALE. Definizione geometrica e analitica di derivata.

Regole di derivazione. Punti di non derivabilita’ Intervalli di monotonia e derivabilita’. Massimi e minimi relativi e Teorema di Fermat. Massimi e minimi assoluti su insiemi compatti. Teoremi di Rolle,Lagrange e Cauchy. Teoremi di de L’Hopital ( dimostrazione nel caso 0/0 ).Studio di funzioni e grafici (senza derivata seconda)

5. INTEGRAZIONE. Primitive di funzioni continue e integrale indefinito.

Integrazione per parti e per sostituzione. Integrazione di funzioni razionali.

Alcune sostituzioni speciali (integrali binomi).Integrale di Riemann e sue proprieta’. Criterio di integrabilità’. Integrabilita’ di funzioni continue e di funzioni monotone . Teorema fondamentale del Calcolo integrale. Funzioni integrali.

Testo consigliato: PRIMO CORSO DI ANALISI MATEMATICA (Acerbi-Buttazzo )

Pitagora Editrice Bologna