Limiti di successioni Algebra dei limiti

(1)

Limiti di successioni Algebra dei limiti

Raul Paolo Serapioni

Analisi Matematica A – Secondo modulo Corso di Laurea in matematica

Università di Trento

ottobre 2019

(2)

Teorema del confronto

Se a n ≤ s ⁿ ≤ b ⁿ , definitivamente per n → +∞, e se

n→+∞ lim a n = lim

n→+∞ b n

allora

n→+∞ lim s n = lim

n→+∞ a n . Variante del teorema confronto

Se a n ≤ s ⁿ , definitivamente per n → +∞, e se

n→+∞ lim a n = +∞

allora

(3)

Example

Se β ∈ R, β > 0 e s ⁿ := √

ⁿ

β.

n→+∞ lim

pβ = 1.

n

Cenno di prova: Se β > 1 allora s n > 1. Quindi s n = 1 + h n con h n > 0.

Per disuguaglianza di Bernoulli β = (1 + h n ) ⁿ ≥ 1 + nh ⁿ , quindi 0 < h n ≤ (β − 1)/n =⇒ h n → 0.

Se 0 < β < 1, allora √

ⁿ

β = _1+k ¹

_n

con k n > 0. Segue che

0 < k n ≤ 1 n ( 1

β − 1) =⇒ k n → 0.

(4)

Example

Se β ∈ R, β > 0 e s ⁿ := √

ⁿ

β.

n→+∞ lim

pβ = 1.

n

Cenno di prova: Se β > 1 allora s n > 1. Quindi s n = 1 + h n con h n > 0.

Per disuguaglianza di Bernoulli β = (1 + h n ) ⁿ ≥ 1 + nh ⁿ , quindi 0 < h n ≤ (β − 1)/n =⇒ h n → 0.

Se 0 < β < 1, allora √

ⁿ

β = _1+k ¹

_n

con k n > 0. Segue che

0 < k n ≤ 1 n ( 1

β − 1) =⇒ k n → 0.

(5)

Example

Se β ∈ R, β > 0 e s ⁿ := √

ⁿ

β.

n→+∞ lim

pβ = 1.

n

Cenno di prova: Se β > 1 allora s n > 1. Quindi s n = 1 + h n con h n > 0.

Per disuguaglianza di Bernoulli β = (1 + h n ) ⁿ ≥ 1 + nh ⁿ , quindi 0 < h n ≤ (β − 1)/n =⇒ h n → 0.

Se 0 < β < 1, allora √

ⁿ

β = _1+k ¹

_n

con k n > 0. Segue che 0 < k n ≤ 1

n ( 1

β − 1) =⇒ k n → 0.

(6)

Example (La progressione geometrica) Se α ∈ R e s ⁿ := α ⁿ .

n→+∞ lim α ⁿ =



 



 



0 se −1 < α < 1

1 se α = 1

+∞ se α > 1

non esiste se α ≤ −1.

(7)

Example (La serie geometrica) Sia α ∈ R e

s n := 1 + α + α ² + · · · + α ⁿ =

n

X

k =0

α ^k

Osserviamo che

1 + α + α ² + · · · + α ⁿ = 1 − α ⁿ⁺¹ 1 − α quindi se |α| < 1

+∞

X

k =0

α ^k := lim

n→+∞

1 + α + α ² + · · · + α ⁿ

= 1

1 − α .

(8)

Example (Le serie numeriche)

a 1 , a 2 , a 3 , . . . è una successione di numeri reali (o complessi).

La successione delle somme parziali degli a k è

s n := a 1 + a 2 + · · · + a ⁿ =

n

X

k =1

a k

Definiamo

+∞

X

k =1

a k := lim

n→+∞

n

X

k =1

a k .

(9)

Teorema di esistenza del limite per successioni monotone Sia (s n ) n : N → R monotona crescente.

Se (s n ) n è limitata superiormente allora

n→+∞ lim s n = sup

n s n ; se (s n ) n è superiormente illimitata allora

n→+∞ lim s n = +∞.

Analogamente se (s n ) n : N → R monotona decrescente.

(10)

Cenno di prova:

Se esiste ¯ n tale che sup _k s k = s ¯ n allora la successione è definitivamente costante e uguale a s ¯ n .

Se s n < sup _k s k , ricordando la caratterizzazione dell’estremo superiore:

per ogni ε > 0 esiste (almeno) un elemento s ¯ n tale che sup

n

s n − ε < s ^¯ ⁿ ≤ sup

n

s n . Per la monotonia di (s n ) n

sup

n

s n − ε < s ^m ≤ sup

n

s n per ogni m > ¯ n.

Per l’arbitrarietà di ε questo implica lim s n = sup s n .

(11)

Example

Se α > 0 e se b > 1

n→+∞ lim n ^α = +∞

n→+∞ lim 1 b ⁿ = 0

n→+∞ lim log n = +∞

(12)

Teorema: algebra dei limiti

Se (a n ) n e (b n ) n sono successioni convergenti e se

n→+∞ lim a n = α, lim

n→+∞ b n = β allora

n→+∞ lim (a n + b n ) = α + β;

n→+∞ lim (a n − b ⁿ ) = α − β

n→+∞ lim (a n b n ) = αβ

n→+∞ lim a n

b n

= α

β , se β 6= 0.

(13)

Teorema: algebra dei limiti

Se (a n ) n e (b n ) n sono successioni convergenti e se

n→+∞ lim a n = α > 0 lim

n→+∞ b n = β allora

n→+∞ lim a ^b _n

ⁿ

= lim

n→+∞ e ^b

ⁿ

^{log a}

ⁿ

= α ^β .

(14)

Algebra dei limiti: qualche generalizzazione Se lim

n→+∞ a n = α e lim

n→+∞ b n = +∞ allora

n→+∞ lim (a n + b n ) = +∞.

Se lim

n→+∞ a n = α > 0 e lim

n→+∞ b n = +∞ allora

n→+∞ lim (a n b n ) = +∞.

(15)

Algebra dei limiti: qualche generalizzazione Se (a n ) n è limitata e lim

n→+∞ b n = +∞ allora

n→+∞ lim (a n + b n ) = +∞.

Se (a n ) n è limitata e lim

n→+∞ b n = +∞ allora

n→+∞ lim a n

b n

= 0.

(16)

Algebra dei limiti: qualche generalizzazione Se 1 < α ≤ (a ⁿ ) n e lim

n→+∞ b n = +∞ allora

n→+∞ lim a ^b _n

ⁿ

= +∞.

Se 0 ≤ (a ⁿ ) n ≤ α < 1 e lim _n→+∞ b n = +∞ allora

n→+∞ lim a ^b _n

ⁿ

= 0.

(17)

Sono casi critici nell’algebra dei limiti

n→+∞ lim a n = +∞ e lim _n→+∞ b n = −∞, sono informazioni non sufficienti per conoscere esistenza e/o valore di

n→+∞ lim (a n + b n ).

n→+∞ lim a n = 0 e lim

n→+∞ b n = ±∞, sono informazioni non sufficienti per conoscere esistenza e/o valore di

n→+∞ lim (a n b n ).

n→+∞ lim a n = ±∞ e lim _n→+∞ b n = ±∞ (oppure lim _n→+∞ a n = 0 e

n→+∞ lim b n = 0), sono informazioni non sufficienti per conoscere esistenza e/o valore di

lim a n

.

Limiti di successioni Algebra dei limiti

Limiti di successioni Algebra dei limiti

Raul Paolo Serapioni

Analisi Matematica A – Secondo modulo Corso di Laurea in matematica

Università di Trento

ottobre 2019

Teorema del confronto

Se a n ≤ s n ≤ b n , definitivamente per n → +∞, e se

n→+∞ lim a n = lim

n→+∞ b n

allora

n→+∞ lim s n = lim

n→+∞ a n . Variante del teorema confronto

Se a n ≤ s n , definitivamente per n → +∞, e se

n→+∞ lim a n = +∞

allora

Example

Se β ∈ R, β > 0 e s n := √

β.

n→+∞ lim

pβ = 1.

Cenno di prova: Se β > 1 allora s n > 1. Quindi s n = 1 + h n con h n > 0.

Per disuguaglianza di Bernoulli β = (1 + h n ) n ≥ 1 + nh n , quindi 0 < h n ≤ (β − 1)/n =⇒ h n → 0.

Se 0 < β < 1, allora √

β = 1+k 1

con k n > 0. Segue che

0 < k n ≤ 1 n ( 1

β − 1) =⇒ k n → 0.

Example

Se β ∈ R, β > 0 e s n := √

β.

n→+∞ lim

pβ = 1.

Cenno di prova: Se β > 1 allora s n > 1. Quindi s n = 1 + h n con h n > 0.

Per disuguaglianza di Bernoulli β = (1 + h n ) n ≥ 1 + nh n , quindi 0 < h n ≤ (β − 1)/n =⇒ h n → 0.

Se 0 < β < 1, allora √

β = 1+k 1

con k n > 0. Segue che

0 < k n ≤ 1 n ( 1

β − 1) =⇒ k n → 0.

Example

Se β ∈ R, β > 0 e s n := √

β.

n→+∞ lim

pβ = 1.

Cenno di prova: Se β > 1 allora s n > 1. Quindi s n = 1 + h n con h n > 0.

Per disuguaglianza di Bernoulli β = (1 + h n ) n ≥ 1 + nh n , quindi 0 < h n ≤ (β − 1)/n =⇒ h n → 0.

Se 0 < β < 1, allora √

β = 1+k 1

con k n > 0. Segue che 0 < k n ≤ 1

n ( 1

β − 1) =⇒ k n → 0.

Example (La progressione geometrica) Se α ∈ R e s n := α n .

n→+∞ lim α n =



 



 



0 se −1 < α < 1

1 se α = 1

+∞ se α > 1

non esiste se α ≤ −1.

Example (La serie geometrica) Sia α ∈ R e

s n := 1 + α + α 2 + · · · + α n =

n

X

k =0

α k

Osserviamo che

1 + α + α 2 + · · · + α n = 1 − α n+1 1 − α quindi se |α| < 1

+∞

X

k =0

α k := lim

n→+∞



1 + α + α 2 + · · · + α n 

= 1

1 − α .

Se a n ≤ s ⁿ ≤ b ⁿ , definitivamente per n → +∞, e se

Se a n ≤ s ⁿ , definitivamente per n → +∞, e se

Se β ∈ R, β > 0 e s ⁿ := √

Per disuguaglianza di Bernoulli β = (1 + h n ) ⁿ ≥ 1 + nh ⁿ , quindi 0 < h n ≤ (β − 1)/n =⇒ h n → 0.

β = _1+k ¹

Se β ∈ R, β > 0 e s ⁿ := √

Per disuguaglianza di Bernoulli β = (1 + h n ) ⁿ ≥ 1 + nh ⁿ , quindi 0 < h n ≤ (β − 1)/n =⇒ h n → 0.

β = _1+k ¹

Se β ∈ R, β > 0 e s ⁿ := √

Per disuguaglianza di Bernoulli β = (1 + h n ) ⁿ ≥ 1 + nh ⁿ , quindi 0 < h n ≤ (β − 1)/n =⇒ h n → 0.

β = _1+k ¹

Example (La progressione geometrica) Se α ∈ R e s ⁿ := α ⁿ .

n→+∞ lim α ⁿ =

s n := 1 + α + α ² + · · · + α ⁿ =

α ^k

1 + α + α ² + · · · + α ⁿ = 1 − α ⁿ⁺¹ 1 − α quindi se |α| < 1

α ^k := lim

1 + α + α ² + · · · + α ⁿ

s n := a 1 + a 2 + · · · + a ⁿ =

Se esiste ¯ n tale che sup _k s k = s ¯ n allora la successione è definitivamente costante e uguale a s ¯ n .

Se s n < sup _k s k , ricordando la caratterizzazione dell’estremo superiore:

s n − ε < s ^¯ ⁿ ≤ sup

s n − ε < s ^m ≤ sup

n→+∞ lim n ^α = +∞

n→+∞ lim 1 b ⁿ = 0

n→+∞ lim (a n − b ⁿ ) = α − β

n→+∞ lim a ^b _n

n→+∞ e ^b

^{log a}

= α ^β .