Lezione 5
Ragionamenti enunciativi (pt.2)
Metodo dei tableaux
Congiunzione p q
| p q Disgiunzione
p q
╱ ╲
p q
Implicazione p → q
╱ ╲
p q
Equivalenza p ↔ q
╱ ╲
p p
q q
Legge di De Morgan 1
(p q)
|
p
q
Legge di De Morgan 2
(p q)
╱ ╲
p q
Negazione dell’implicazione
(p → q)
| p
q
Dimostrazione tramite tableau
d → (a → g), d ↔ (a c), a ⊢ g
d → (a → g) d ↔ (a c)
a
g
╱ ╲
d a → g
╱ ╲ ╱ ╲
d d a g
a c (a c) x x
x |
a
c x
Dimostrazione condizionale
Teorema di deduzione:
Se vale : p, q, r, s ⊢ t
allora vale anche: p, q, r ⊢ (s → t)
Se piove, andremo al cinema o staremo a casa a guardare la televisione. Ma tu non ne puoi più di televisione. Quindi, se piove andremo al cinema.
p → c t, t ⊢ (p → c)
1. p → c t P
2. t P
3. p Assunzione condizionale
4. c t MP 1, 3
5. c SD 2, 4
Premesse coerenti o incoerenti
Premesse incoerenti
Per mostrare l’incoerenza delle premesse:
derivare una contraddizione
Se il contratto è valido, Giacomo è responsabile. Se Giacomo è responsabile, fallirà. Se la banca gli farà un prestito non fallirà. Di fatto, il contratto è valido e la banca gli farà prestito.
c → r, r → f,p → f, c p ⊢ ?
1. c → r P
2. r → f P
3. p → f P
4. c p P
5. c E 4
6. c → f SI 1, 2
7. f MP 5, 6
8. p E 4
9. f MP 3, 8
10. f f I 7, 9
Premesse coerenti
Per mostrare la coerenza delle premesse:
trovare un modello
(per la logica degli enunciati basta usare le tavole di verità) Se la guerra si approssima l’esercito si mobilita. Se l’esercito si mobilita, il costo del lavoro sale. Comunque, la guerra non si approssima, eppure il costo del lavoro è elevato.
g → e, e → l, g l ⊢ ?
1. g → e P
2. e → l P
3. g l P
Possibile modello:
g = ‘2 + 2 = 5’ (F) e = ‘1 + 1 = 2’ (V) l = ‘2 + 2 = 4’ (V)
1. F → V V
2. V → V V
V V
Dimostrazione indiretta (per riduzione all’assurdo)
Si dimostra una tesi se, assumendo la sua negazione, si deriva una contraddizione.
Se il cavallo A vince, allora o il cavallo B o il cavallo C si piazzerà. Se a piazzarsi sarà il cavallo B, allora il cavallo A non vincerà. Ma se il cavallo D si piazzarà, il cavallo C non lo farà. Quindi, se A vincerà, D non si piazzerà.
a → b c, b → a,d → c ⊢ a → d
1. a → b c P
2. b → a P
3. d → c P
4. a d P (negazione della tesi)
5. b c MP 1, 4
6. c MP 3, 4
7. b SD 5, 6
8. a MP 2, 7
9. a a I 4, 9
10. a d → a a PC 4-9
11. a → d RAA 10
Esercizi
Dimostrazioni di due tipi
Per dimostrare usa sia il metodo lineare che quello dei tableaux (1) Alberta, Chiara e Barbara sono tre gemelle perfettamente indistinguibili. Una sera al pub vedo una gemella, ma non so chi sia. La mattina dopo mi viene chiesto: "C'era Alberta?". lo so che Chiara non esce senza una delle due sorelle, e Barbara non esce senza Alberta, dunque rispondo "sì".
(2) Se ieri finivi il lavoro e oggi c’era bel bel tempo, andavi al mare; oggi era il giorno in cui andavi al mare o compravi un nuovo cellulare; ma non sei andato al mare: vorrà dire che ieri non hai finito il lavoro, o oggi non c'era bel tempo, comunque il cellulare te lo sei comprato.
A condizione che …
I) Se Rossi si candida, allora, se anche Verdi si candida, nessuno di loro andrà al ballottaggio. Ma Verdi si candida.
Quindi, se Rossi si candida, nessuno di loro andrà al ballottaggio.
r → (v → b), v ⊢ (r → b)
N.B. Si può dimostrare anche senza prova condizionale.
II) Se tu sei il dirigente, e si scopre che un tuo impiegato ha rubato, se tu non prendi tempestivamente le distanze dal tuo impiegato finirai per essere inquisito. Il tuo impiegato ha davvero rubato e tu non hai preso tempestivamente le distanze da lui. Dunque, se tu sei il suo dirigente, finirai per esere inquisito.
d r → (t → i), r t ⊢ (d → i)
III) Se tanto il Bar della Borsa quanto il Bar Gambrinus sono chiusi allora, se tu insisti a volere un caffè, dovrai andare al Bar della Stazione ma te ne pentirai. Quando il Bar della Borsa è chiuso anche il Bar Gambrinus è chiuso. Quindi, quando il Bar della Borsa è chiuso, se tu insisti a volere un caffè, te ne pentirai.
b g → (c → s p), b → g ⊢ b → (c → p)
N.B. Ci può essere una prova doppiamente condizionale.
