Teoria dei Sistemi e del Controllo Compito A del 23 Gennaio 2013
Domande ed esercizi
Nome:
Nr. Mat.
Firma:
C.L.: Info. k Elet. k Telec.
1. Scrivere l’andamento temporale della funzione di uscita y(k), soluzione dell’equazione alle differenze x(k + 1) = Ax(k) + Bu(k) e dell’equazione statica y(k) = Cx(k) + Du(k) a partire dalla condizione iniziale x(h) all’istante h:
y(k) =
2. Scrivere la soluzione generale della seguente equazione differenziale tempo-variante ˙x = A(t)x(t)+
B(t)u(t), essendo x(t0) lo stato all’istante iniziale t0: x(t) =
dove con Φ(t, τ ) si `e indicata la matrice di transizione dello stato nell’intervallo [τ, t].
3. Calcolare la matrice di raggiungibilit`a R+e la matrice di osservabilit`a O−del seguente sistema:
˙x(t) =
−1 0 −2
2 1 2
0 0 1
x(t)+
1
−1 1
u(t)
y(t) =
0 1 −1 x(t)
R+=
, O−=
Il sistema `e: raggiungibile? non raggiungibile? osservabile? non osservabile?
Fornire una base del sottospazio raggiungibile X+ e una base del sottospazio non osservabile E−:
X+= Im
, E−= Im
.
4. Indicare come si calcola il polinomio caratteristico ∆A(λ) di una matrice A ∈ Rn×n:
∆A(λ) =
Le radici del polinomio caratteristico:
sono gli autovalori della matrice A;
sono gli autovettori della matrice A;
possono essere complesse;
hanno sempre molteplicit`a unitaria;
sono sempre in numero pari ad n;
sono sempre reali;
5. Sia dato un sistema lineare tempo continuo: ˙x(t) = Ax(t) + Bu(t) e y(t) = Cx(t) + Du(t).
Applicare la trasformata di Laplace al sistema e fornire l’espressione della trasformata y(s) del vettore di uscita y(t) corrispondente alla sola evoluzione forzata del sistema:
y(s) =
6. Sia dato un sistema autonomo ˙x(t) = Ax(t) del quarto ordine dove la matrice A viene messa in forma “reale” di Jordan AR= T-1RATR utilizzando la trasformazione x = TRx:
A=
1 1 0 2
0.4 −2.2 0.4 1.6
−4 −2 −3 −4
0.8 0.6 0.8 −1.8
, AR=
−2 −1 0 0
1 −2 0 0
0 0 1 0
0 0 0 −3
, TR=
−1 0 −1 0
1 1 0 −2
0 −2 1 0
1 0 0 1
a) Scrivere gli autovalori λi e degli autovettori vi che caratterizzano la matrice A:
λ1 = λ2 = λ3 = λ4 =
v1=
, v2=
, v3=
, v4=
.
b.1) Disegnare qualitativamente le traietto- rie generate nel piano Xa dai due autovalori complessi coniugati del sistema dinamico:
b.2) Disegnare qualitativamente le traiettorie generate nel piano Xb dai due autovalori reali del sistema dinamico:
Xa Xb
c.1) Indicare il tipo di traiettorie: c.2) Indicare il tipo di traiettorie:
Nodo? Fuoco? Sella? Nodo? Fuoco? Sella?
Stabile? Instabile? Stabile? Instabile?
d.1) Fornire una base Badel piano Xa= ImBa:
Ba=
d.2) Fornire una base Bb del piano Xb = ImBb:
Bb=
7. Relativamente ad un sistema lineare stazionario discreto x(k + 1) = Ax(k) + Bu(k) che ha almeno un autovalore nell’origine, `e possibile affermare che:
se il sistema `e completamente osservabile allora `e anche completamente ricostruibile;
se il sistema `e completamente ricostruibile allora `e anche completamente osservabile;
se il sistema `e completamente controllabile allora `e anche completamente raggiungibile;
se il sistema `e completamente raggiungibile allora `e anche completamente controllabile;
il sistema pu`o essere asintoticamente stabile;
8. Uno stimatore asintotico dello stato “in catena aperta” pu`o essere utilizzato se e solo se il sistema `e osservabile;
se e solo se il sistema `e asintoticamente stabile;
se e solo se la parte instabile del sistema `e osservabile;
se e solo se la parte non osservabile del sistema `e asintoticamente stabile;
9. Un sistema (A, B, C) `e “stabilizzabile” mediante retroazione statica dello stato se il sistema `e stabile;
se il sistema `e osservabile;
se la parte instabile del sistema `e raggiungibile;
se la parte non raggiungibile del sistema `e stabile;
10. La formula di Ackermann per il calcolo del vettore kT permette il posizionamento arbitrario degli autovalori del sistema retroazionato e pu`o essere utilizzata
per qualunque sistema;
solo se il sistema `e raggiungibile;
solo per sistemi ad un solo ingresso;
anche per sistemi instabili;
Si fornisca inoltre la descrizione esplicita della formula di Ackermann e del polinomio deside- rato p(λ) nel caso in cui si voglia posizionare tutti gli n poli del sistema in λ = −3:
kT = p(λ) =
11. Sia dato un sistema lineare SISO del quarto ordine (n = 4), completamente raggiungibile, caratterizzato dalle matrici A, b e c.
a) Indicare la struttura delle matrici Ac, bc e cc della corrispondente forma canonica di controllo. Sia p(λ) = λ4+α3λ3+α2λ2+α1λ+α0 il polinomio caratteristico della matrice A.
Ac =
, bc =
, cc =h i
b) Indicare inoltre la struttura della matrice T che, unita alla trasformazione x = Txc, porta il sistema originario in forma canonica di controllo.
T=
12. Sia dato il seguente sistema lineare tempo-continuo ˙x(t) = Ax(t) + Bu(t), y(t) = Cx(t).
Scrivere l’espressione delle matrici F, G e H che caratterizzano il corrispondente sistema a segnali campionati x(k + 1) = Fx(k) + Gu(k), y(k) = Hx(k) con periodo T :
F= G= H=
13. Scrivere come si determina la matrice P-1 della trasformazione x = Px che potra un sistema non completamente osservabile in forma standard di osservabilit`a:
P-1 =
Indicare inoltre la struttura a blocchi delle matrici A, B e C che si ottengono:
A =
, B=
, C=h i
Scrivere la forma semplificata della matrice di trasferimento H(s) del sistema S in funzione delle sottomatrici Ai,j, Bi e Cj che caratterizzano il sistema ¯S = (A, B, C):
H(s) =
14. Enunciare la Propriet`a di separazione del regolatore:
15. Si consideri il problema di controllo punto a punto per un sistema lineare tempo-discreto. Tra le infinite soluzioni u che permettono far passare il sistema dallo stato iniziale x(0) allo stato finale x(k) nell’intervallo di tempo [0, k] indicare la struttura della soluzione u che minimizza la norma eucludea ||u||:
u=
16. Enunciare il Lemma di Heymann:
17. Si consideri un sistema non lineare tempo continuo ˙x(t) = f (x(t), u(t)) e sia x0 un punto di equilibrio del sistema per ingresso costante u0. Scrivere la parte lineare dello sviluppo in serie della funzione f (x(t), u(t)) nell’intorno del punto (x0, u0):
f(x, u) =
18. Calcolare i 3 punti di equilibrio x1, x2 e x3 del seguente sistema non lineare tempo–continuo:
˙x1(t) = x2(t)
˙x2(t) = x1(t) (x21(t) − 1) − 2x2(t) ⇒
x1 = ( , )
x2 = ( , )
x3 = ( , )
19. Calcolare i 3 punti di equilibrio ˜x1, ˜x2 e ˜x3 del seguente sistema non lineare tempo–discreto:
x1(k + 1) = x2(k)
x2(k + 1) = x1(k) (x21(k) − 1) − 2x2(k) ⇒
˜
x1 = ( , )
˜
x2 = ( , )
˜
x3 = ( , )
20. Si consideri il seguente circuito elettrico costituito dalle capacit`a C1, C2, C4, dall’induttanza L3 e dalle resistenze Ra, Rb e Rc. Sul sistema agiscono due ingressi: la tensione Vae la corrente Ib. Le uscite del sistema sono: la corrente Ia e la tensione Vb.
Va
Ia Ra
V1 C1
V2
C2 Rb
Ic
Rc
L3 I3
V4
C4 Ib
Il modello P.O.G. del circuito elettrico assegnato ha la seguente struttura:
Va
Ia
-
1 Ra
?
?
Ia
-
-
6
1 s
6Q1
1 C1
6
V1
-
V2
- -
6
6 ?
1 Rb
1 C2s
6
6
-
1 Rc
?
?
Ic
-
?
1 s
?φ3
1 L3
?I3
- -
-
6
1 s
6Q4
1 C4
6
V4
-
Vb
Ib
Sia x =
V1 V2 I3 V4 T
il vettore di stato, u =
Va Ib T
il vettore degli ingressi e y =
Ia Vb T
il vettore delle uscite. Scrivere il corrispondente sistema dinamico L ˙x = Ax + Bu e y = Cx + Du nello spazio degli stati:
| {z }
L
V˙1 V˙2
˙I3
V˙4
| {z }
˙x
=
| {z }
A
V1 V2 I3 V4
| {z } x
+
| {z }
B
"
Va Ib
#
| {z } u
"
Ia Vb
#
| {z } y
=
| {z }
C
x +
| {z }
D
" Va
Ib
#
| {z } u
21. Indicare le variabili energia q1, q2 e le variabili di potenza in uscita v1 e v2 degli elementi dinamici D1 e D1 che caratterizzano i vari ambiti energetici:
Elettrico Meccanico. Tras. Meccanico Rot. Idraulico
D1 C Capacit`a M Massa J Inerzia CI Capacit`a idr.
q1 v1
D2 L Induttanza E Molla E Molla torsionale LI Induttanza idr.
q2 v2
22. Sia dato il seguente sistema non–lineare x(k + 1) = f (x(k)), tempo–discreto:
x1(k + 1) = αx2(k) − x21(k)x2(k) x2(k + 1) = −αx1(k) + x1(k)x22(k)
E facile verificare che l’origine x` 1 = (0, 0) `e un punto di equilibrio per il sistema.
a) Calcolare lo Jacobiano A(x) = ∂f (x)∂x del sistema non lineare:
A(x) = ∂f(x)
∂x =
b) Calcolare la matrice A1 del sistema linearizzato nel punto x1 = (0, 0):
A1=
c) Studiare, al variare del parametro α, la stabilit`a del sistema non lineare discreto nell’intorno del punto punto x1 = (0, 0) utilizzando il criterio ridotto di Lyapunov:
d) Nel caso α = 1, studiare la stabilit`a del sistema non lineare nell’intorno dell’origine x1 = (0, 0) utilizzando il criterio “diretto” di Lyapunov e la funzione: V (x(k)) = x21(k)+x22(k).
(Facoltativo: eventualmente si utilizzi il criterio di La Salle - Krasowskii).
