C.L.: Info. k Elet. k Telec. k Altro.

(1)

Controlli Automatici - Prima parte 10 Aprile 2017 - Esercizi

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Nr. Mat.

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C.L.: Info. k Elet. k Telec. k Altro.

Si risolvano i seguenti esercizi.

a.1) Calcolare la trasformata di Laplace X(s) dei seguenti segnali temporali x(t):

x1(t) = [2t³− 6 sin(3t)] e⁻^{2 t}, x2(t) = 3δ(t) + 2 e⁻^5tcos(3t)

a.2) Calcolare la risposta impulsiva gi(t) delle seguenti funzioni di trasferimento Gi(s):

G₁(s) = 16

s²(s + 2), G₂(s) = 2 e⁻^{3 s}+ 6 s²+ 81

b) Relativamente allo schema a blocchi di figura, calcolare la funzione di trasferimento G(s) = _R^Y¹₁^(s)_(s):

G(s) = . . .

R1(s) Y1(s)

- -

-

R1(s) Y1(s)

- -

- C

C DD EE

F F

A

A BB

c) I diagrammi riportati sotto sono relativi a due sistemi a fase minima G1(s) e G2(s).

Per ciascuno dei due sistemi e nei limiti della precisione consentita dai grafici, calcolare:

c.1) il margine di ampiezza Ma del sistema;

c.2) il margine di fase Mϕ del sistema;

c.3) il guadagno Kα per cui il sistema KαG(s) ha un margine di ampiezza Mα = 5;

c.4) la risposta a regime yr(t) del sistema G(s) ad un ingresso sinusoidale x(t) = 4 cos(8.2t);

G₁(jω)

−240 −230 −220 −210 −200 −190 −180 −170 −160 −150 −140 −130 −120

−30

−25

−20

−15

−10

−5 0 5 10

Phase [degrees]

Mag [db]

Diagramma di Nichols

3.9

4.7 5.6

6.8

8.2

10

12

15

18

c.1) Ma =. . . . c.2) Mϕ = . . . . c.3) Kϕ = . . . . c.4) yr(t) = . . . .

G₂(jω)

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2

−3

−2.5

−2

−1.5

−1

−0.5 0 0.5 1 1.5 2

Real

Imag

Diagramma di Nyquist

3.3 3.9

4.7 5.6

6.8

8.2 10

12 15

27

c.1) Ma=. . . . c.2) Mϕ = . . . . c.3) Kϕ = . . . . c.4) y_r(t) = . . . .

(2)

d) Sia dato il seguente sistema retroazionato:

- e(t)_-

K ^-

G(s) (s + 1)(s + 200) s(s²− 2s + 400)

- 6

r(t) y(t)

d.1) Determinare per quali valori di K il sistema retroazionato `e asintoticamente stabile.

d.2) Tracciare i diagrammi asintotici di Bode delle ampiezze e delle fasi della funzione G(s).

d.3) Disegnare qualitativamente il diagramma di Nyquist “completo” della funzione G(s). Cal- colare esattamente la posizione σa di un eventuale asintoto verticale, le eventuali intersezioni σ^∗_i con l’asse reale e i corrispondenti valori delle pulsazioni ω^∗_i.

d.4) Calcolare il valore di K necessario per avere un errore a regime |ev| = 0.01 per ingresso a rampa x(t) = 3t.

e) Sia dato il seguente sistema retroazionato:

- e(t)_-

K ^-

Ge(s) (s + 10)²

s(s + 1)

- 6

r(t) y(t)

e.1) Determinare per quali valori di K il sistema retroazionato `e asintoticamente stabile.

e.2) Tracciare i diagrammi asintotici di Bode delle ampiezze e delle fasi della funzione Ge(s).

e.3) Disegnare qualitativamente il diagramma di Nyquist “completo” della funzione Ge(s). Cal- colare esattamente la posizione σa dell’asintoto verticale e le eventuali intersezioni σ_i^∗ con l’asse reale.

e.4) Calcolare il valore di K necessario per avere un errore a regime |ev| = 0.02 per ingresso a rampa x(t) = 8 t.

f) Si faccia riferimento ai diagrammi di Bode della funzione G(s) mostrati in figura.

f.1) Nei limiti della precisione consentita dal grafico, ricavare l’espressione analitica della funzione G(s).

G(s) = . . .

Stimare in modo approssimato eventuali valori di δ.

f.2) Calcolare la risposta a regime y^∞(t) del sistema G(s) quando in ingresso `e presente il segnale:

x(t) = 3 sin(80 t + ^π₆).

10⁻² 10⁻¹ 10⁰ 10¹ 10² 10³

−20

−10 0 10 20 30

Diagramma dei moduli

Mag (db)

10⁻² 10⁻¹ 10⁰ 10¹ 10² 10³

−450

−360

−270

−180

−90

Diagramma delle fasi

Phase (deg)

Frequency [rad/s]

f.2) La risposta a regime del sistema G(s) al segnale dato `e la seguente:

y^∞(t) =

(3)

Controlli Automatici - Prima parte 10 Aprile 2017 - Domande

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Si risponda alle seguenti domande.

1. L’equazione differenziale ÿ+ 2 t y² = 2 x, dove x è l’ingresso e y è l’uscita, è:

lineare stazionaria

non lineare non stazionaria 2. Sia dato il diagramma di Nyquist della funzione G(s) = 18

(s + 2)³. In base al criterio di Nyquist `e possibile af-

fermare che il sistema retroazionato K G(s)

`e stabile per i seguenti valori di K:

. . . K . . .

Calcolare dal grafico, in modo approssimato, i valori limite dell’intervallo di ammissibilit`a del parametro K.

−1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5

−3

−2.5

−2

−1.5

−1

−0.5 0 0.5 1 1.5

Real

Imag

Diagramma di Nyquist

0.1

0.15 0.18 0.22 0.27 0.33 0.39

0.47 0.56 0.68 0.82 1 1.2 1.5 1.8 2.2 2.7

3.33.94.7 6.8

3. a) Scrivere, in funzione dei segnali F (t) e y(t), l’equazione differenziale corrispondente alla seguente funzione di trasferimento G(s):

G(s) = Y(s)

F(s) = 100

M s²+ B s + K → . . . b) Nel riquadro a fianco disegnare l’andamento qualitativo y(t) della risposta al gradino unitario supponendo che i poli del sistema G(s) siano complessi coniugati.

c) Posto M = 3, B = 6 e K = 300 del sistema, calcolare il valore a regime y^∞, il tempo di assestamento Ta e il periodo di oscillazione Tω della risposta al gradino y(t):

y∞ = . . . T_a≃ . . . T_ω ≃ . . . ^t

y1(t)

4. Enunciare il criterio di Nyquist nella formulazione valida anche per sistemi instabili ad anello aperto. Fornire sia l’ipotesi che la tesi del criterio.

Criterio di Nyquist. Nell’ipotesi ...

(4)

5. Calcolare la risposta a regime y(t) del sistema G(s) = _s+2³ quando in ingresso `e presente il seguente segnale x(t) = 2 + 4 cos(3t):

y(t) ≃

6. Calcolare il valore iniziale y0 = lim

t→0⁺y(t) e il valore finale y^∞ = lim

t→∞y(t) del segnale y(t) corrispondente alla seguente trasformata di Laplace Y (s):

Y(s) = 2 (5 − 3 s)(s + 3)

s(4 s + 1)(5 s + 10) → y0 = y^∞ =

7. Disegnare l’andamento qualitativo y1(t) della risposta al gradino unitario del seguente sistema:

G(s) = 300(2 + 0.3s)(s²+ 25s + 70²)

(5s + 21)(3s + 10)(s²+ 6s + 900)(s²+ 0.3s + 36) Calcolare inoltre:

a) il valore a regime y^∞ della risposta al gradino per t → ∞;

b) il tempo di assestamento Tadella risposta al gradino y₁(t);

c) il periodo Tω dell’eventuale oscillazione smorzata presente sul segnale y1(t):

y^∞ = Ta≃ Tω ≃

t y1(t)

8. In figura sono mostrati i diagrammi di Bode di un sistema lineare G(s) a fase minima. Nei limiti della precisione del grafico, calcolare:

a) la posizione della coppia di poli domi- nanti p_1,2 del sistema G(s):

p1,2 ≃ . . . .

b) il tempo di assestamento Ta della risposta al gradino del sistema G(s):

Ta≃ . . . .

c) i margini di stabilit`a del sistema G(s):

Mϕ ≃ . . . , Ma ≃ . . . , d) l’errore a regime del sistema retroaziona-

to per ingresso a gradino unitario:

ep ≃ . . . .

10⁻¹ 10⁰ 10¹ 10²

−40

−30

−20

−10 0 10 20 30 40

Diagramma dei moduli

Mag (db)

10⁻¹ 10⁰ 10¹ 10²

−270

−240

−210

−180

−150

−120

−90

−60

−30 0

Diagramma delle fasi

Phase (deg)

Frequency [rad/s]

9. Scrivere il modulo M (ω) = |G(jω)| e la fase ϕ(ω) = arg G(jω) della funzione di risposta armonica del seguente sistema G(s) supponendo t0 >0:

G(s) = (3s + 4)²

s(5 s − 3) e⁻^{2 t}⁰^s →







M(ω) = ϕ(ω) =

(5)

10⁻² 10⁻¹ 10⁰ 10¹ 10² 10³

−80

−60

−40

−20 0 20

Mag (db)

Frequency [rad/s]

Diagramma dei moduli: Gd(s)

10⁻² 10⁻¹ 10⁰ 10¹ 10² 10³

−450

−360

−270

−180

−90 0

Phase (deg)

Frequency [rad/s]

Diagramma delle fasi: Gd(s)

(6)

10⁻² 10⁻¹ 10⁰ 10¹ 10² 10³

−40

−20 0 20 40 60 80

Mag (db)

Frequency [rad/s]

Diagramma dei moduli: Ge(s)

10⁻² 10⁻¹ 10⁰ 10¹ 10² 10³

−270

−225

−180

−135

−90

−45 0 45 90

Phase (deg)

Frequency [rad/s]

Diagramma delle fasi: Ge(s)