Analisi Stocastica – Foglio di esercizi n. 1
Esercizio 1. Data una variabile aleatoria reale X ∼ N (0, σ2), si calcoli E(etX2), per ogni t ∈ R.
[Sugg. Si usi il teorema di passaggio alla misura immagine]
Esercizio 2. Siano X1, . . . , Xn variabili aleatorie reali i.i.d. con legge N (0, σ2). In altri termini, X := (X1, . . . , Xn) ∼ N (0, σ2In). Definiamo Yk := Pk
i=1Xi, per 1 ≤ k ≤ n (cio`e Y1 := X1, Y2 := X1+ X2, . . . , Yn := X1+ . . . + Xn).
Si mostri che Y ∼ N (µ, Γ), si determinino µ e Γ e si scriva la densit`a di Y . [Sugg. Si esprima Y come trasformazione lineare di X]
Esercizio 3. Sia X = (X1, . . . , Xn) un vettore aleatorio normale in Rn, X ∼ N (0, Γ), con Γ matrice non invertibile.
(a) Si mostri che esiste u ∈ Rn\ {0} tale che E(hu, Xi2) = 0 (dove h·, ·i indica il prodotto scalare standard).
(b) (*) Si deduca che X non `e assolutamente continuo.
[Sugg. Si proceda per assurdo: se X avesse una densit`a fX, usando il teorema di passaggio alla misura immagine si potrebbe scrivere E(hu, Xi2) = . . . ]
Esercizio 4. (a) Sia {xn}n∈N una successione reale (o, pi`u in generale, a valo- ri in uno spazio metrico) con la seguente propriet`a: esiste x ∈ E tale che, per ogni sottosuccessione {xnk}k∈N di {xn}n∈N, `e possibile estrarre un’ulteriore sotto-sottosuccessione {xnkj}j∈N che converge a x. Si dimostri che la successione originale {xn}n∈N converge a x.
[Sugg. Si mostri che dalle ipotesi segue che, per ogni ε > 0, i termini xn che distano da x pi`u di ε sono necessariamente in numero finito.]
(b) Si deduca che se X, {Xn}n∈Nsono variabili aleatorie reali tali che, per ogni sotto- successione di {Xn}n∈N, si pu`o estrarre una sotto-sottosuccessione che converge a X in Lp (risp. in probabilit`a), allora la successione completa {Xn}n∈Nconverge a X in Lp (risp. in probabilit`a).
[Sugg. Si ragioni sulle successioni reali {kXn− Xkp}n∈N e {P(|Xn− X| > ε)}n∈N]
Ultima modifica: 9 gennaio 2010.
