21/6/2011

C

P

P

21/6/2011

Esercizio 1

Si consideri il lancio di due dadi regolari e si indichino con X1 e X2, rispettivamente, il punteggio del primo e del secondo dado.

(1.1) Si determinino le distribuzioni delle v.c. X₁ e X₂ e della v.c. bidimensionale (X₁,X₂).

(1.2) Si stabilisca se le v.c. marginali sono indipendenti e/o identicamente distribuite, motivando le risposte.

Definiti gli eventi A = {la somma dei punteggi dei due dadi è 7}, B = {il punteggio del primo dado è 4} e C = {il punteggio del secondo dado è 3},

(1.3) si stabilisca se i tre eventi sono a due a due incompatibili, motivando la risposta;

(1.4) si calcolino P(A∪C) e P(B| A);

(1.5) si stabilisca se i tre eventi A, B e C sono indipendenti, motivando la risposta.

Soluzione

Si consideri il lancio di due dadi regolari e si indichino con X₁ e X₂, rispettivamente, il punteggio del primo e del secondo dado.

(1.1) Le v.c. X1 e X2 hanno distribuzione Uniforme discreta con supporto S = {1,2,3,4,5,6}, mentre la v.c. bidimensionale (X₁,X₂) ha distribuzione Uniforme discreta con supporto S×S.

(1.2) Le v.c. marginali sono indipendenti e identicamente distribuite […].

Si considerino gli eventi A = {X₁ + X₂ = 7}, B = {X₁ = 4} e C = {X₂ = 3}, ciascuno dei quali ha probabilità pari a 1/6.

(1.3) I tre eventi non sono a due a due incompatibili, in quanto P(A∩B) = P(A∩C) = P(B∩C) = 1/36 ≠ 0.

(1.4) P(A∪C) = P(A) + P(C) – P(A∩C) = 11/36 e P(B | A) = P(A∩B) / P(A) = 1/6;

(1.5) I tre eventi non sono indipendenti, poiché

P(A∩B) = 1/36 = P(A) P(B), P(A∩C) = 1/36 = P(A) P(C) e P(B∩C) = 1/36 = P(B) P(C), ma P(A∩B∩C) = P(B∩C) = 1/36 ≠ P(A) P(B) P(C) = 1/216.

Quesito

Se gli eventi A, B e C sono tali che A è indipendente sia da B che da C, allora A è necessariamente indipendente da B∩C? (In caso di risposta affermativa, si dimostri l’asserto; in caso contrario, si proponga un contro-esempio).

Soluzione

Gli eventi A, B e C definiti nell’esercizio 1 sono tali che A è indipendente da B e da C, ma A non è indipendente da B∩C.

Esercizio 2

Il 52% dei coralli presenti su un fondale marino appartiene alla specie S1, il 47.9% alla specie S2 e il restante 0.1% alla specie S₃.

Sia Xi il numero dei coralli appartenenti alla specie Si (i = 1, 2, 3) in un campione di numerosità 8 estratto con reinserimento.

(2.1) Si specifichi la distribuzione della v.c. X₁ e si calcoli P(6 ≤ X₁ < 8).

(2.2) Si determinino la media e la varianza della v.c. X2, motivando le risposte.

(2.3) Si specifichi la distribuzione della v.c. bidimensionale (X1,X2) con particolare riferimento al valore dei parametri che la caratterizzano e si calcoli P(X₁ = 4 , X₂ = 4).

Sia Y_i il numero dei coralli appartenenti alla specie S_i (i = 1, 2, 3) in un campione di numerosità 250 estratto con reinserimento.

(2.4) Si calcoli la probabilità che almeno 2 coralli selezionati appartengano alla specie S3 mediante un’opportuna approssimazione di Poisson per Y₃ e si enunci la proprietà che giustifica tale approssimazione.

(2.5) Si calcoli la probabilità che almeno 125 coralli selezionati appartengano alla specie S2 mediante un’opportuna approssimazione Normale per Y₂ e si enunci la proprietà che giustifica tale approssimazione.

Soluzione

Il 52% dei coralli presenti su un fondale marino appartiene alla specie S₁, il 47.9% alla specie S₂ e il restante 0.1% alla specie S₃.

Sia Xi il numero dei coralli appartenenti alla specie Si (i = 1, 2, 3) in un campione di numerosità 8 estratto con reinserimento.

(2.1) X₁ ~ Binomiale(n,P₁) con n = 8 e P₁ = 0.52;

P(6 ≤ X₁ < 8) = P(X₁ = 6) + P(X₁ = 7) = ^{6 2} 0.52⁷0.48¹ 7

48 8 . 0 52 . 6 0

8 





 +









= 28 (0.0198) (0.2304) + 8 (0.0103) (0.48) = 0.1277 + 0.0396 = 0.1673.

(2.2) E(X2) = 8 (0.479) = 3.832 e

Var(X₂) = 8 (0.479) (0.521) = 1.9965, essendo X2 ~ Binomiale(n,P2) con n = 8 e P2 = 0.479.

(2.3) (X1,X2) ~ Trinomiale(n,P1,P2) con n = 8, P1 = 0.52 e P2 = 0.47;

(

)

! 0

! 4

! 4

! 4 8

,

4 = =

= X X

P ≅ 70 (0.0731) (0.0526) = 0.2692.

Sia Yi il numero dei coralli appartenenti alla specie Si (i = 1, 2, 3) in un campione di numerosità n = 250 estratto con reinserimento.

(2.4) P(Y3 ≥ 2) = 1 − P(Y3 = 0) − P(Y3 = 1) ≅ 1 – 0.9735 = 0.0265, essendo Y3 ≈ Poisson(λ) con λ = nP3 = 0.25 e

P(Y3 = 0) ≅ e^-λ = 0.7788, P(Y3 = 1) ≅ e^-λ λ = 0.1947; […].

(2.5) P(Y2 ≥ 125) ≅ 







 ≥ −

3898 . 62

75 . 119 Z 125

P ≅ 1 – Φ(0.66) ≅ 1 – 0.7454 = 0.2546,

essendo Y2 ≈ N(µ,σ²) con µ = 250 (0.479) = 119.75 e σ² = 250 (0.479) (0.521) = 62.3898 […].

Esercizio 3

(3.1) Si verifichi che ^ϕ

( )

bidimensionale (X,Y).

(3.2) Si determinino le funzioni di densità delle v.c. marginali.

(3.3) Si stabilisca se X e Y sono indipendenti e/o identicamente distribuite, motivando le risposte.

(3.4) Si calcoli P(-1 ≤ X < 0) e si determini la mediana di Y.

Siano Y1,…,Yn v.c. indipendenti e distribuite come Y e si consideri la v.c. somma S = ∑Yi. (3.5) Si determini il valore g tale che S ~ χ²g e si motivi la risposta.

Soluzione (3.1) […].

(3.2) Le funzioni di densità delle v.c. marginali risultano:

g(x) = 2e^2x (x < 0) e h(y) = ^2y

1

2e 1 ⁻

(y > 0) […].

(3.3) X e Y sono indipendenti, ma non sono identicamente distribuite […].

(3.4) P(-1 ≤ X < 0) = 1 − e^-2 = 0.86466;

0.5 = P(Y ≤ m) = 1 − e^{-m / 2} implica e^{-m / 2} = 0.5, ovvero m = - 2 log(0.5) = 1.38629.

(3.5) Per la proprietà riproduttiva, S ha distribuzione Gamma(n,1/2) = χ²_g con g = 2n.