1 TUTORATO CALCOLO DELLE PROBABILITA’ - LEZIONE 4
Esercizio 1
Si consideri una variabile casuale normale con media 100 e varianza 25. Calcolare:
1. la probabilità che X sia maggiore di 110;
2. la probabilità che X sia minore di 95;
3. la probabilità che X sia compresa tra 95 e 110;
4. la probabilità che X sia compresa tra 105 e 110;
5. la probabilità che X sia compresa tra 85 e 95.
Esercizio 2
1. Si trovi il valore della costante k per cui la funzione φ(x) = kx-1/2 (0<x<1) rappresenta la funzione di densità di una v.c. unidimensionale X e se ne determini la funzione di ripartizione.
2. Si determini la funzione di densità della v.c. Y=X1/2 e si calcoli la varianza di Y.
3. Si calcoli Cov (X,Y).
Esercizio 3
Si consideri la funzione di probabilità di una v.c. bidimensionale discreta (X,Y) definita dalla tabella seguente.
Y = 0 Y = 1
X = 1 0.05 0.15
X = 2 0.15 0.25
X = 3 0.35 0.05
1. Si calcolino la media e la varianza di X.
2. Si determini la funzione di ripartizione di Y e la si rappresenti graficamente.
3. Si calcolino P(Y = 0 | X = 1) e P(X + Y < 2.3).
4. Si calcolino E(XY) e Cov(X,Y)
Esercizio 4
Siano X1,X2, . . . variabili aleatorie i.i.d. che si distribuiscono secondo una Poisson(4) e sia S = X1+… + X100.
1. Qual è la densità di S?
2. Quanto vale approssimativamente P(S≤390)?
3. Quante variabili aleatorie indipendenti e con densità di Poisson di parametro 4 dobbiamo sommare (almeno) affinchè P(X1 +…+ Xn>390) > 0.5?
Esercizio 5
Siano X1, X2, …, X3, ... una successione di v.c stocasticamente indipendenti e identicamente distribuite con legge gaussiana standardizzata.
1. Mostrare che la v.c. Sn= X21+X22+…+X2n ha legge Chi−quadrato con n gradi di libertà.
2 2. Si calcoli la convergenza in probabilità della seguente successione {Un}, dove U = e si
motivi la risposta
Esercizio 6
Sia Y una v.a. Binomiale di parametri n e 1>>0. Si determini la funzione generatrice dei momenti e si verifichi tramite essa che E(X) = n e Var(X) = n(1).
