Sulla struttura dello spaz~o-tempo (*)(**).
S u m m a r y . - The paper ]its i s the sphere o] ]oundational researches on Physical Geometry.
A methodological line is ]ollowed which aims at giving general mathematical models o] space and time and capturing the ]oundational value of the corresponding chronogeometrical struc- tures; along this line a canonical model o] space-time is provided which ]orms the largest substratum underlying both the ~ewtouian and the relativistic models o/ space-time, whose peculiar ]eatures are then derived by means o] the invariance conditions imposed upon the ehronogeometrical structures by some additional physical hypotheses.
I n t r o d u z i o n e .
Con lo sviluppo della Teoria della Relativit~ ~ invalso il p u n t o di vista di conside- rare elemento primitive della Geometria Fisica, sia helle teorie newtoniane ehe in que]le relativistiche~ lo spazio-tempo o universe degli eve~ti, di cui poi ciascuna teoriu ~ intesa fornire u n p~rticolare modello matematico. ~ e ~ seguit~ quindi l'esigenz~ di ~n~lizzare in dettaglio le s t r u t t u r e inerenti i suddetti mode]li e specinlmente le relazioni Ira ta]i s t r u t t u r e e le ~ssunzioni fisiche che esse esprimono [1].
P e r t~l via si ~ v e n u t o costituendo u n quudro di ricerche comparate sui fonda- m e n t i della Geometria Fisica n e w t o n i a n a c relativistic% nel quule si distinguono dub linee direttrici princip~li: da u n lute ]e ricerche sugli uspetti relativistici dello spuzio- t e m p o newtoniuno [2-5], rivolte nd ~n~lizzare in questo le successive s t r u t t u r e geo- metrico-differenziali (eonforme, proiettiv~, ui~ine, metrics) assunte come fondumentali in l~el~tivit~ [6, 7]; dall'~]tro le ricerche sugli aspetti newtoniuni dello spuzio-tempo relutivistico [8-12]~ rive]re a d e r i w r e in questo s t r u t t u r e corrispendenti ulle nozioni newtoniune di spuzio e t e m p o ed uvcnti il signific~to operuzionale di osserv~bili fisiehe.
R e c e n t e m e n t e si ~ v e n n t ~ poi configur~ndo un~ terza line~ di rieerc~, r i v o l ~ ~lla descrizione formale generale dello spazio e dcl t e m p o ed al reeupero del va.lore fondu- zionule del]e corrispondenti strutture cronogeometriche.
Precisumente, nell'umbito di ta.le linea di ricerca, C. H a r r i s o n ha i n t r o d o t t o [13]
nell'univcrso degli eventi s t r u t t u r e cronogeometriche g~obali (sistema spazio-temporale, classe canonica di sistemi spazio-temporali) che risult~no u n comune f o n d a m e n t o delle teorie piatte~ n e w t o n i a n e e relativistich% dello spazio-tempo.
(*) L~voro eseguito nell's~mbito del Gruppo Nazionale per 1~ Fisic~ M~tem~tica del C.N.R.
(**) Entrata in :Red~zione il 5 dicembre 1978.
358 ~E~A~O G n A s s ~ : Sulla struttura dello spazio-tempo
D ' a l t r a p~rte, n e l l ' a m b i t o dell~ medesimu linea di ricerca, ho i n t r o d o t t o [14-16]
in u n modello generule d'universo, eostituito du unu 4-variet~ ~ connessione affine [17], s t r u t t u r e cronogeometriche locali (1-/orma temporale, metrica spaziale, eonnessione spaziale) che risultano comuni a n e h e ulle teorie non piatte dello spazio-tempo.
T e l presente lavoro, su]la base di quest'ultim~ impostazione metodologiea, pro- pongo u n a generalizzazione dellu teoria form~le di C. H a r r i s o n che, sintetizzando i risultati cronogeometrici dci w r i lavori p r e c e d e n t e m e n t e citati, realizza u n approecio fondazionule nnificato a tutte le teoric, n e w t o n i a n e e rel~tivistiehe, dello spazio-tempo.
M o m e n t o centrule di tale approccio ~ l'individuuzione di u n modello canonico di spazio.
tempo, che cvidenzia il completo baguglio di s t r u t t u r e cronogeometriche e corrispon- denti ~ssunzioni fisiehe costitucnti il c o m u n e f o n d a m e n t o delle s u d d c t t e teorie.
I1 piano del l~voro (~) ~ il seguente:
(i) I n u n a 4-vuriet~ M, a s s u n t a comb modello m u t e m a t i c o f o n d a m e n t a l e d'universo, si ridefiniscono (w167 1, 2) le s t r u t t u r e eronogeometriehe di C. t t a r r i s o n , in corrispondenza, u nozioni loeali di spazio e t e m p o intese nella molteplicit~ delle relutive d e t e r m i n a z o n i fisiche.
(ii) L ' i n t r o d u z i o n e in M di unu classe canonica C di sistemi spuzio-temporali e di u n a conncssione affine D, collegate da naturuli condizioni di comp~tibilits con- duce (w 3) nl pre~nnunci~to modello cunonico di spnzio-tempo.
(iii) Condizioni di i n v a r i u n z a imposte ull'interno di C d~ u n prineipio di isotropia ottic~ e dal suo limite n e w t o n i a n o condncono (w167 4, 5) alle speeiulizzuzioni einsteiniun~
e n e w t o n i a n u del modc]lo canonico. L~ p r i m a viene u identificarsi (nel c~so generale) con lo spuzio-tempo di E i n s t e i n - C a r t a n [23, 24], di cui poi 1~ second~ forniscc ]'unalogo newtoniano.
l . - S i s t e m a s p a z i o - t e m p o r a l e .
1.1 De/inizione.
Sis M u n a vnriet~ differenzinle re~le 4-dimensional% ussunta comb modello m~te- m~tico f o n d a m e n t u l e d'univcrso.
L e nozioni di spazio e t e m p o (e quelle correlate di misura ed evoluzione) saranno m o d e l l a t e in M m e d i a n t e ]a s t r u t t u r ~ di sistema 8pazio-temporaZe S, definito come segue:
1-1 D ] ~ F n ~ i z i o ~ . - S ~ u n sistem~ sp~zio-tempor~le in M se
= (11, g, V) ,
(i) Per le tecniche matematiehe in esso adoperate (teoria dei fibrati vettoriali e strutture associate), cf. [18-20]; per le tecniche logiehe (metodo di assiomatizzazione mediante predicati teorico-insiemistici), cf. [21, 22].
~[:~E:NATO G ~ S S ~ I : Sulla struttura dello spazio-tempo 359
d e n o t a n d o (17, g, V) u n insieme costituito d s u n s s t r u t t u r s qussi:prodotto / / , u n s m e t r i c a l o r e n t z i s n s g ed u n s connessione sffine V verificsnti i seguenti sssiomi-
(~1) H decompone il fibrato t s n g e n t e T M hells s o m m s di W h i t n e y
(1.1) T M = a @ 0 ,
dove a denotu unu distribuzione 3-dimensionule e 0 un~ distribuzione o r i e n t a t a 1-di- mensionMe su M.
($2) g si decompone nella s o m m a (3)
(1.2) g = g , o ~ § goor ,
dove g~ d c n o t s u n s m e t r i c s fibruts definits positivs in a e go u n s m e t r i c s fibrstu deft- n i t s n e g s t i v s in 0.
($3) V si decompone nells s o m m s
(1.3) V = V~o$, -~
Voo$o,
dove V~ d e n o t s un~ connessione m e t r i c s in a e V0 u n s connessione m e t r i c s in 0.
1.2 Propriet&
a) L ' a s s i o m s ($1) dcscrive, 9recisundone ls struttm'~ topologicu, le nozioni di sp~zio e t e m p o locMi.
P r e c i s a m e n t e , H definisce hello spszio t s n g e n t e T ~ M (per ogni x e M) due re- lszioni di equivnlenzs, curutterizzate da q u o z i e n t i Z = e O. costituiti dsi lutersli di 0. c a , r i s p e t t i v s m e n t e , tMi che, stunte (1.1), T~M risults isomorfo, tr~mite le corrispon- d e n t i proiezioni canoniche, ~1 p r o d o t t o curtesiuno 3 ~- 1-dimensionMe Z~• O..
Identificando T=M con u n intorno infmitesimo di x in M, ]e s u d d c t t e reluzioni surunno ullors i n t e r p r e t u t e come rel~zioni di genidentit5 e simuItaneitd locali in M, ossiu relazioni i cui quozienti Z . e O~ (isomorfi u a~ e 0. rispettiv~mente) defiaiscono spazio e tempo locali in M (per questi sssumendo v~lidu l'ordinsris geometris sffine).
I1 9refisssto o r i e n t s m e n t o su O, t h e ssrs denotuto con 1, corrisponder~ poi sll'assun- zione che sis u n i v o c a m e n t e d e t e r m i n u t o il verso del tempo.
Con riferimento sl sistems S, a e 0 si d i r s n n o distribuzioni spaziale e temporale e H , t h e lc sintetizzs, strutt~ra spazio-temporale.
Si osservi che ls distribuzione t e m p o r s l e 0, essendo 1-dimensionsle, ~ senz'~ltro integrubfle. ~5 p e r t a n t o possibile riguurdare 18 vurie relazioni di genidentit~ locale
(3) Con r TM---> a, $0: TM--->O si indicheranno le proiezioni su a e 0 definite da / / in TM.
360 t~E~ATO GI~ASSI~I: Sulla struttura dello spazio-tempo
come d e t e r m i n a z i o n i di u n ' u n i c a relazionc di genidentitd globale, c s r a t t e r i z z a t a d s u n quoziente X eostituito dalle s o t t o v a r i e t ~ integrs]i m u s s i m s l i di 0. Lo spazio glo- bale Z (recante g e n e r s ] m e n t e u n a s t r u t t u r a differenzisle, m s n o n affine) ssrs inteso r a p p r e s e n t s t i v o di u n eontinuo 3 - d i m e n s i o n s l e di psrticelle (resli o idesli) o v v e r o di u n sistema di ri]erimento, e o s t i t u e n t e il s u p p o r t o fisico di 2.
b) L ' a s s i o m s (22) definisee la s t r u t t u r a m e t r i c s dello spszio e del t e m p o loesli.
P r e e i s s m e n t % g si d e c o m p o n % s t s n t e (1.2), in unu e o p p i a di m e t r i e h e degeneri (semidefinite e di o p p o s t e s e g n s t u r e ) , g~oC$o e goo fro, che r i s u l t s n o i n v s r i s n t i p e r t r s - s f o r m s z i o n i di T M p r e s e r v s n t i r i s p e t t i v s m e n t e ls genidentit~ e ls simultaneits
I r e l s t i v i i n t e r v s l l i e l e m e n t a r i s s r s n n o allora i n t e r p r e t a t i come intervalli spaziale e iemporale, c o r r i s p o n d e n t i alle m i s u r e locali di d i s t a n z s e d u r s t a (per queste sssu- m e n d o v a l i d s l ' o r d i n s r i a g e o m e t r i s euclidea).
Con r i f e r i m e n t o sl s i s t e m s S, g~ e go si d i m n n o metriche spaziale e temporale e g, che le sintetizzs, metrica spazio-temporale (~).
A1 fine di un~ulteriore c s r s t t e r i z z s z i o n e delle m e t r i c h e g verificanti l ' s s s i o m a (22), consideriamo, insieme alls clssse ~ delle m e t r i e h e s u d d e t t e , la elssse ~' delle coppie (v, h) costituite da
(i) u n s 1-]orma temporale v(4), ossia u n a 1 - f o r m a o v u n q u e non nulla in M veri- ficsnte le condizioni
(1.4) K e r (3) ----
(1.5) ~ - - or (0) = ] (~)
(una s i f f s t t s 1 - f o r m s , oltre s descrivere la s t r u t t u r a topologics e l ' o r i e n t s m e n t o del t e m p o locale, definisce u n a m e t r i c ~ t e m p o r s l e k d a t s da koff0 ~- -- ~ G v);
(ii) u n a m e t r i c a s p s z i s l e h (~).
Ogni m e t r i c a g e ~ ~ suseettibile, in m o d o univoeo, dells decomposizione
(1.6) g = - - 3 | ~ + h o ~ ,
in cui la coppia (3, h) e ~' ~ d a t a da
(1.7) 3 = - g(~)
(1.8) h = g o ,
(8) L'introduzione in M della metriea spazio-temporale g consente di fornire un'interpre - tazione potenzialmente operativa alla struttura differenziale d i $ / , che viene infatti ad am- mettere un atlante di coordinate interpretabili, nell'intorno infmitesimo di eiascun punto, come misure di distanza e durata.
(4) Cf. [14], pp. 721-722.
(5) Si ~ posto Ker (T) = {u e TM: <T, u> = 0}; inoltre T-or (0) denota il T-orientamento di 0 (definito dal generatore globale p caratterizzato dalla condizione <T, p> = 1).
(~) Cf. [16], p. 510.
RE~h~O GRhSS~Z: Sulla struttura dello spazio-tempo 361
denota.ndo 7 il generutore globule ]-orientuto di 0 cur~tterizzuto d~lla condizione
(1.9) g(7, 7) : - - 1
e g(y) lu relutiva immagine nell'isomorfismo definito da g fra T M e il suo duale.
D ' a l t r a parte, ad ogni coppia (z, h ) e ~' l'equazione (1.6) associa evidentcmente u n a metrica g e g, sicchg sussiste la seguente proposizione:
1-2 P~oPosIzIo~E. - L'equazione (1.6) definisce un~ biiezione di ~ su ~'.
c) L'~ssiomu ($3) introduce-una connessione tru le v~rie detcrmin~zioni dello sp~zio e del tempo loculi.
Precisumente, V si decompone, st~nte (1.3)~ in una coppia di connessioni metriche in M, V~o ~ e Voo ~o, che risult~no inv~riunti per trasform~zioni preserv~nti rispetti- v~mente ]u genidentit~ e 1~ simultaneitY.
Le eorrispondenti derivuzioni eovuriunti s~ranno ullor~ interpretate come deriva- zioni spaziale e temporale~ utte ~ deserivere loeulmente (in uccordo con l~ordinuriu geometriu euclidea) Fevoluzione rel~tiv% spuzi~le e temporule, di grandezze fisiche.
Con riferimento ul sistemu S, V~ e V0 si dir~nno connessioni spaziale (7) e temporale e V~ che le sintetizz% co~nessione spazio-temporale.
A1 fine di an~ul~eriore cur~tterizzuzione della eonnessione spazio-tempor~lc V~
consideri~mone i coefiicienti c5~ (s) relutivi nll~ genericu sezione s del fibr~to B(I1) = ((ei)/e~ e c~, eo e O}
costituito d~lle busi di T M adattate ~ H.
Lu decomponibilit~ (1.3)~ che equivule ~11~ duplice condizione di a e 0-riducibilit~
di V~ ~ espress~ in s d~lle equuzioni (9)
( 1 . 1 0 ) ~ 0 ~o __ 0 - - ~ ~ 0 0 - - " ~ - - 0 ;
i rimunenti coefficienti ~5~, ~o ~ curatterizzuno le connessioni ridotte V~ e Vo, il cui ~ - r~ttere metrico ~ espresso in s, se quest~ ~ g-ortonormule, d~lle condizioni di untisim- metriu (lo)
(1.11) aS~ -~ ~ = 0 i e5 ~ ~-~ 0 .
Sussiste pertanto le seguente proposizione:
(7) Cf. [15], p. 212.
(s) Gli indici latini variano da 0 a 3, quelli greci da 1 a 3.
(9) Cf. [15], p.. 216.
(10) Cf. [18], p. 118,
362 RE~ATO G~ASSI~I: Sulla struttura dello spazio-tempo
1-3 PaoPomzm~'E. - L s eonnessione spazio-temporMe V a m m e t t e , in ogni sezione g-ortonormMe di B(H), eocificienti verifieanti le condizioni (1.10, 11).
d) Sis S = (H, g, V) u n sistems spazio-temporsle in M.
1-4 DEFI:NIZIOgE. - S ~ u n sistems spszio-temporMe piatto se V g u n s eonnes- sione g l o b s l m e n t e p i s t t s in M(11).
L a connessione g l o b a l m e n t e p i a t t a V stsbilisee tru le fibre di T M u n isomorfismo csnonico che consente di identificsrle t u t t e con u n unieo spszio vettoriMe M. Nel s u d d e t t o isomorfismo si corrispondono isometricamente~ s t s n t e (~3), sis le fibre di ehe quelle di 0. Di eonseguenzs, s t s n t e ($1) e ($2), il sistema p i s t t o S risults c s r s t t e - rizzato hello spszio sffine (M, M) t o m e segue:
(i) L s s t r u t t u r s H = (a, 0) risults c o s t i t u i t s da u n a eoppia di sottospazi v e t t o - risli s u p p l e m e n t a r i di M (con 0 direzione orientata). Questi definiscono in M due relazioni di equivMenzs (genidentit~ e simultsneits g]obMi)~ c s r a t t e r i z z a t e da quo- zienti 22 e O (spazio e t e m p o globMi) costituiti dsi sottospszi sffini di direzione 0 e ~ r i s p e t t i v s m e n t e e m u n i t i di n s t u r M i s t r u t t u r e affini (X, a), (O, 0) che rendono u n isomorfismo ls proiezione c s n o n i c s di M nel p r o d o t t o csrtesiano Z •
(ii) L s m e t r i c s spszio-temporMe g = (g,, go) risults costituita d~ u n s coppia di m e t r i c h e s t r e t t s m e n t e euclidee (di opposte segnsture) in (Z, ~) e (0, 0), cui eorri- spondono in M intervMli spsziale e temporMe globMi.
(iii) L s connessione spszio-temporale V = (V~, Vo) risulta c o s t i t u i t s dallu coppia delle eonnessioni p i s t t e di (Z, a) e (O, 0), cui corrispondono ]e derivszioni ordinarie in a e 0 .
2. - Classe c a n o n l c a di s i s t e m i s p a z i o - t e m p o r a l i .
2.1 DeJinizione.
I1 e a r s t t e r e r e l s t i v o (al sistema di riferimento) delle nozioni di si0szio e t e m p o , modellate in M m e d i a n t e la s t r u t t u r a di sistems spszio-temporsle, induce s consi- derare in 3 / c l s s s i di sistemi siffstti.
Preeissmente~ s d ogni collezione di sistemi di riferimento corrisponder~ in M u n s elasse canonica C di sistemi spazio-temporMi, definita come segue:
2-1 DEFINIZIONE. -- C b ttna classe canoniea di sistemi spszio-temporali in M se b c = {s, ...),
(11) V 6 ciog caratterizzata, ill coordinate globali su M, da coeilicienti identieamente nulli.
~E~ATO GRASSI~I: SuZla struttura dello spazio-tempo 363
4enotando {S, S', ...} u n insieme costituito da sistemi spazio-temporali in M veri- ficanti i seguenti assiomi:
(C1) Per ogni S, S'E C, ed in ogni punto di M, vale la disequazione (1~)
(2.1) g(Y, y ' ) < 0 .
(C2) Per ogni S, S ' e C, ed in ogni p u n t o di M, valgono le implicazioni (la)
(2.2) 0 = 0'::~ v : 3'
(2.3) a = a'::> h = h'
e inoltre
(2.4) a -- a' ~ V~ = V'o,.
2.2 Propriet&
a) L'assioma (C1) impone a C u n a condizione di ammissibilit~ fisic~.
Precisamente, siano Tc la classe dei vettori del genere tempo (costituita dai vettori non nulli appartenenti alle distribuzioni temporali di C) ed So la elasse dei vettori del genere spazio (costituita dai vettori non nulli appartenenti alle distribuzioni spa- ziali di C). Da (C1) segue che dette classi sono disgiunte,
(2.5) To n s o = o .
Inoltre eiascun sistema S e C realizza, medi~nte le sottoclassi T j = {u e To: g@, u) > 0}
T + = {u e To: g(y, u) < 0},
u n a partizione passato-futuro P~ di Tc che, stante (C1), risulta invariante al variare di S in C. I n f a t t i , indicata con u' la componente del generico vettore u e Ta h n g o il generatore y' della distribuzione temloorale 0' che lo contiene, per ogni S e C sus- siste, stante (2.1), l'equivalenza
g(y, u) ~ 0 ~ u' ~ 0
(12) Per S' si adotteranno, munite di apici, le medesime notazioni introdotte per S.
(13) In corrispondenza al generico sistema spazio-temporale S, (T, h) denoter~ ia coppia caratterizzata da (1.7,8). \
364 ~E~ATO GRASSI~I: Sulla struttura ddlo spazio-tempo
il cui seeondo m e m b r o g i n d i p e n d e n t e da N; cib p r o v a a p p u n t o la p r e a n n u n e i a t a con- dizione di invarianza
(2.6) P~ -~ Ps' (VS, S'~ C).
I n v e r s a m e n t e , o r e sussistano per ipotesi le eondizioni (2.5, 6), risulta senz'altro verifieato l'assioma (C1). I n tal easo infatti, per ogni S, S'e C ed in ogni p u n t o di M non possono essere verifieate n~ la condizione g(y, ) / ) = 0 (che comporterebbe, in e o n t r a s t o con (2.5), la relazione assurda y'c Tc (3 So), ng ]a condizione g(y, y ' ) > O (ehe, coesistendo con g~(y', y')--- 1, eomporterebbe, stante (2.6), la relazione as- surda 7' e !r~ (h + 9 2%), r i m a n e ciuindi verificata ]~ condizione (2.1) ehe p r o v a r a s s e r t o .
Sussiste p e r t a n t o 1~ seguente proposizione:
2-2 PROPOSIZIO~E. - L'assioma (C1) ~ e o m p l e t a m e n t e equivalente alle con- dizioni (2.5, 6).
Le condizioni (2.5, 6), r i g u a r d a n d o i v e t t o r i del genere t e m p o come traiettorie d'uni- verso loeali di particelle (14), h a n n o il seguente significato fisieo: la condizione (2.5) conforme all'assunzione che, r i s p e t t o a eiascun sistema di riferimento, ogni partieella abbia velocit~ finita; la eondizione (2.6) g eonforme all'assunzione che sia i n v a r i a n t e l'ordine t e m p o r a l e degli e v e n t i causalmente connettibili.
b) L'assioma (C2) riduce C ad una elasse eli sistemi spazio-temporali fisica- m e n t e distinti.
P r e e i s a m e n t e , le condizioni (2.2, 3) riehiedono che su ciascllna fibra delle distribu- zioni spaziali e t e m p o r a l i di C la s t r u t t u r a metriea, che ~ a priori d e t e r m i n a t a solo a meno di isomorfismi, sia u n i v o c a m e n t e fissata (la (2.2) richiede anche ehe a eiascuna fibra t e m p o r a l e risulti u n i v o c a m e n t e assoeiato u n o r d i n a m e n t o t e m p o r a l e locale in M).
A n a l o g ~ m e n t e (deriv~ndo da (2.2) l'implicazione 0 -~ 0' ~ V 0 = V'0,) le condizio- ni (2.2, 4) riehiedono t h e su ciascuna distribuzione spaziale e t e m p o r a l e di C anehe 1~
connessione m e t r i e a sia u n i v o c ~ m e n t e fiss~ta.
Se no deduce, t e n e n d o eonto anche di (2.1), la seguente proposizione:
2-3 PI~OPOSlZlO~NE. - I sistemi spazio-temporali S, S I ... costituenti u n a classe canonica h a n n o supporti fisici distinti, ovvero
S s ~ S' <=> Z : # Z ' .
c) Si assuma ora che la elasse canonica C corrisponda alla totalitd dei sistemi di riferimento.
I n tal caso, Tc dovr~ essere r i g u a r d a t a come 1~ totalit~ delle t r a i e t t o r i e d'universo locali di partieelle; in particolare, ogni distribuzione 0 del genere t e m p o (generata
(14) Cf. il comm~ a) del n. 1.2.
I%E~AT0 GRASSI~I: Sulla struttura delio spazio-tempo 365
cio6 d s sezioni di To) r a p p r e s e n t e r ~ un continuo che, s t a n t e l'ipotesi dianzi a s s u n t s su C, d o v r s n e c e s s a r i a m e n t e costituire il s u p p o r t o fisico di u n s i s t e m a S e C.
P e r t a n t o , nel caso in esame, C d e v e possedere il seguente requisito di T-massimalitd:
2-4 DEFINIZIONE. -- C 6 u n s classe canonica T - m a s s i m a l e se, p e r ogni distribuzione 0 del genere tempo~ esiste un s i s t e m a S e C che h a 0 come sua distribuzione t e m p o r M e .
d) Sis C u n a classe canonica di sistemi s p a z i o - t e m p o r a l i in M.
2-5 D]~FINIZI0~E. -- C 6 u n a classe csnonica piatta se 6 c o s t i t u i t a d a sistemi p i a t t i a v e n t i la m e d e s i m s connessione spazio-temporMe.
D s u n p u n t o di v i s t a geometrico, C i n d i v i d u s u n i v o c a m e n t e in M u n a s t r u t t u r a di spszio u r i n e (M, M) r e c a n t e u n a classe p r i v i l e g i a t s di sistemi c a r a t t e r i z z a t i dai requisiti (i), (ii), (iii) di cui sl u. 1.2 d).
D a u n p u n t o di v i s t a cinematico, C risulta costituita da sistemi r e c i p r o c a m e n t e a n i m s t i di m o t o t r a s l s t o r i o uniforme. B a s r a i n f a t t i osservare che, i n d i c s t o con v = -- ri,(y')/g(y, y ' ) fl c a m p o delle velocits r e l a t i v e di d u e sistemi s p s z i o - t e m p o r a l i S ed S ' , dalla condizione V = V', verificats in C, si deduce la condizione Vv = 0~ che e a r a t t e r i z z a a p p u n t o u n m o t o t r s s l a t o r i o uniforme.
3. - M o d e l l o c a n o n i c o di s p a z i o - t e m p o .
3.1 De/inizione.
I n t u t t e le attuMi teorie fisiche il modello m s t e m ~ t i c o i o n d a m e n t a l e d ' u n i v e r s o M si considers altresi m u n i t o di u n a connessione Jondamentale D, necesssria ai fini della f o r m u l a z i o n e differenziale g e n e r a l m e n t e c o v s r i a n t e delle teorie.
I n t r o d u c e n d o in M u n a t s l eonnessione insieme s d u n a clssse canonica di sistemi spazio-temporali, si p e r v i e n e s d u n modeUo canonico di spazio-tempo K, dcfinito come segue:
3-1 DEFII~IZIONE. -- K 6 u n modello canonico di s p a z i o - t e m p o se 6 K = (M~ C~ D)
d e n o t a n d o (M, C, D) u n insieme costituito da u n a 4-variet~ M, u n a classe canonica T - m s s s i m a l e C in M ed u n s connessione sfiine D in M, verificanti i seguenti assiomi:
(K1) P e r ogni S e C valgono le relazioni
(3.1) V~ = ria(D), V0 = rio(D).
(K2) L e cl~ssi Tc cd Sc sono D - i n v a r i a n t i (15).
(15) I1 trasporto parMlelo definito da D in TM trasforma vettori di T e (risp. So) in vet- tori di T o (risp. SG).
Risultano poi separatamente D-invarianti le sottoclassi T~, T +.
366 RE~A~o G~ASSINI: Suila struttura ddio spazio-tempo 3.2 Proprietdt.
a) L ' a s s i o m a (K 1) d e t e r m i n a u n i v o c a m e n t e , per ogni S e C, il criterio di scelta (che ~ a priori del t u t t o arbitrario) della r e l a t i v a connessione spazio-temporale V.
P r e c i s a m e n t e , s t a n t e (3.1), V definisee, lungo la generiea linea 1 di M, u n t r a s p o r t o parallelo (e,) in B(II) ehe si identifica con il trasporto generalizzato di ~ermi-Walker, sia della t e r n a Sl~ziale (e~) (xe) e sia dell'asse temporMe eo, ivi definito da D m e d i a n t e le relazioni di parallelismo naturale
r = = e o ,
in eui la base ~e~) b da intendersi definita dai differenziali, v a l u t a t i lungo l, De, ~-
l
~ i - e i 9
Dall'assioma (K1) si deduce la seguente proposizione:
3-2 P~oPosIzIo~E. - I n u n modeUo canonico K sussiston% in corrispondenza a ciascun sistema S e C, le equazioni di struttura
(3.2) ~$~a(Dg) = 0 , ~oo(Dg) = 0
o e q u i v a l e n t e m e n t e
(3.3) r = 0 , il'o(D~) = 0 .
i coefiicienti di D in u n a sezione s di B(ll), le condizioni (3.1) I n d i c a t i i n f a t t i con %
sono espresse da
(3.4) ~ ~
Se poi s ~ g-ortonormale, da (1.11) e (3.4) si deducono le equazioni
(3.5) ~
ch% in t e r m i n i intrinseei, si scrivono nella f o r m a (3.2) o (3.3).
b) L ' a s s i o m a (K2) esprime u n n a t u r a l e requisito di compatibflit~ fra le s t r u t t u r e c o m p o n e n t i C e / ) imposte alla variet~ di base M dalla s t r u t t u r a c o m p o s t a K .
D a tale requisito consegue che:
3-3 P~o~osizioNE. - I n u n modello canonico K r i n s i e m e delle geodetiche delia connessione f o n d a m e n t a l e D risulta r i p a r t i t o nelle seguenti classi: geodetiehe del
(16) Cf. [14], pp. 723 e seg.
RE,AT0 G~AssI~I: Suila struttura ddlo spazio-tempo 367
genere tempo, ovunque tangenti a vettori di To; geodetiche del genere spazio, ovunque t~ngenti a vettori di So; infine geodetiehe ovunque tangenti a vettori di Lc = T M -
- - ( T o U
~'o).
La suddett~ ripartizione eonsente di individu~re nelFinsieme delle geodetiehe di D elussi di traiettorie d'universo fisicamente privilegiate. In partieolare, si indicher~
con ~ la sottoclasse privilegiata di C costituita dai sistemi spazio-temporali a supporto geodetico, eio5 dai sistemi S e C il eui supporto fisieo 27 ~ una congruenzu di geodetiche~
del genere tempo, di D.
c) Sis K : (M, C~ D) un modello eanonieo di spazio-tempo.
3-4 DEFI~IZIO~E. -- K ~ un modello canonico piatto di spazio-tempo se (i) D 5 una connessione globalmente piatta in M;
(ii) per ogni S e C, vale l~implieazione D 0-riducibile ~ D a-riducibile.
Stante (i), Finsieme dei campi vettoriali D-uniformi su M ~ senz~altro non vuoto;
in partieolare risulta non vuoto, stante (K2), il sottoinsieme costituito dai campi del genere tempo, eiaseuno dei quali genera, per la T-massimalit~ di C, il supporto, evi- dentemente geodetieo, di un sistema S e C. Risultu pert~nto provato che:
3-5 P~oPosIzIo~E. - La classe C dei sistemi a supporto geodetico ~ non vuota.
Stante (ii)~ la connessione D, ehe in eiascun sistema S e C ~ gi~ 0-riducibile, risulta ivi altresi a-ridueibile; dette eondizioni di ridueibilit~, unite alle condizioni (3.1), identificano D con la connessione spazio-temporale V relativa ad S,
(3.6) D : V.
Ne segue che:
3-6 PROPOSIZI0~E. - C ~ una classe c~noniea piatta, con connessione spazio- temporale D.
Vulgono dunque per C le considerazioni, geometriche e cinematiche, esposte al n. 2.2 d).
Dal punto di vista geometrico va peraltro preeisato che la classe C ~ completamente e~ratterizzata in C dall~ condizione
(3.7) Dy--~ O.
Infatti, ogni sistema S e C verifieante (3.7) ha un supporto evidentemente geode- tico ed ~ppartiene quindi a C; vicevers% ogni sistem~ S e C verifica, st~nte 3-6, ]a condizione (3.6), da cui, tenendo eonto di (1.10)2 e (1.11)~, segue 18 (3.7).
l~imane dunque provato che:
368 ~ENATO GRASSI~I: Sulla struttura dello spazio-tempo
3-7 P ~ o P o s i z I o ~ E . - A p p ~ r t e n g o n o ~ C t u t t i e soli i sistemi S e C verifieanti 1~
condizione (3.7).
D~I p u n t o di vist~ c i n e m a t i c o v a inoltre precisuto che C 6 u n a classe c o m p l e t a di sistemi r e c i p r o c a m e n t e a n i m a t i di m o t o trasla~torio u n i f o r m e .
I n f a t t i , 1~ condizione Dv : O, che c ~ r a t t e r i z z a i m o t i tr~slatori u n i f o r m i di sistemi S ' e C r i s p e t t o a d u n prefiss~to s i s t e m a S e C, risulta equiv~lente alla condizione DV'= 01 che car~tterizza, s t a n t e 3-7, l ' a p p a r t e n e n z ~ di S ' a C.
R i m a n e d u n q u e p r o v ~ t o che:
3-8 PROPOSlZ~O~E. - F i s s a t o u n generico s i s t e m a S e CI r i s u l t a n o a p p a r t e n e r e a t u t t i e soli i sistemi S ' e C a n i m a t i di m o t o t r a s l a t o r i o u n i f o r m e r i s p e t t o ad 8.
4. - M o d e l l o e i n s t e i n i a n o di s p a z i o - t e m p o .
4.1 De]inizione.
Si a s s u m a che in ogni sistem~ di r i f e r i m e n t o un a g e n t e fisico L(la luce) si p r o p a g h i i s o t r o p i c a m e n t e con velocit~ c ~- 1.
I n d i o a t a con C u n a classe canonica T - m a s s i m ~ l e , r a p p r e s e n t a t i v a della t o t a l i t ~ dei sistemi di r i f e r i m e n t o I si consideri, in corrispondenz~ a ciascun s i s t e m a S e C, la s t r u t t u r a c o n f o r m e K e r (g) (17) definita in M dalla r e l ~ t i w m e t r i c a sp~zio-tempo- rale g.
I1 principio di isotropia ottica dianzi e n u n c i a t o si f o r m u l a in M richiedendo llinva - rianz~ della s u d d e t t a s t r u t t u r a c o n f o r m e al v a r i a r e di S in C 1 ovvero, p e r ogni S, Sr~ C~
K e r (g) = K e r (g') . D~ d e t t a condizione di invarianz~ segue 1~ rel~zione
g = fg',
con ] funzione differenziabile su M alla qu~le u n principio di reciprocitd i m p o n e di soddisfare anche la relazione
g ' = t g ,
che, insieme ~lla p r e c e d e n t e 1 r e n d e p e r essa possibili solo le d e t e r m i n a z i o n i ] = 1 t ] = - - 1 ;
(17) Si 6 posto Ker (g) = {u e TM: g(u, u) = 0}.
~E~ATO GRASSI~I: Sulla struttura deilo spazio-tempO 369 di queste solo la p r i m a ~ t o m p a t i b i l e con l'assioma (C1), sicth~, per ogni 2, 2'~ C, risulta
g = g ' .
Si 6 p e r t ~ n t o i n d o t t i ad assumere t h e la tlasse C sia p r e t i s a m e n t e una classe cane.
nica massimale di sistemi spazio-temporali in M ~venti la medesima m e t r i t a spazio- temporale. D e n o m i n a t a elasse einsteiniana una siffatta classe tanonita~ si perviene per tal via ad u n meddle einsteiniano di spazio-tempo E , definite t o m e segue:
4-] DEFI~IZIOSIE, - E ~ u n modello einsteiniano di spazio-tempo se
d e n o t a n d o (M, C, D) u n modello tanonico di spazio-tempo v e r i f i t a n t e l'assioma (E) C ~ u n a tlasse einsteini~n~.
4.2 Propriet&
a) Sia E - ~ (M, C, D) u n modello einsteiniano di spazio-tempo.
I sistemi 2 E C definiscono in M (stante l'assioma (E)) u n a metrica spazio-temporale assoluta g, t o n K e r (g) u n i v o t ~ m e n t e o r i e n t a t e (stante l'assioma (C1)) dai rel~tivi g e n e r a t o r i y (is).
I n o l t r e la connessione f o n d a m e n t a l e D soddisfa l'equazione di struttura
(4.1) Dg -~ 0 .
I n f a t t i , in t o r r i s p o n d e n z a a t i a s t u n sistema S e C risultano soddisfatte (st~nte 3-2) le equazioni di s t r u t t u r a (3.2); si perviene allora alla (4.1) m o s t r a n d o che in 2 risul- t a n o soddisfatte a n t h e le equazioni
~o(Dg) = 0 .
A tale scope b a s r a osservare t h e !'equazione del t r a s p o r t o parallelo D u = O, lunge la g e n e r i t a linea di M, a m m e t t e t o m e soluzioni (stante (K2)) a n t h e sezioni di Lc;
per ognuna di t~li soluzioni, in u n a sezione di B ( I I ) si ha (Dg~o) u ~ u ~ 0 ,
(is) Le classi T o, Lo, S o vengono a idelltificarsi rispettivamente con l'interno, la fron- tiera, l'esterno dei coni nulli costitllenti le fbre di Ker (g) e la partizione invariante (T~, T +) di T o si identifica con quella ivi determinata dall'orientamento di Ker (g).
2 4 - Annali di Matema~ica
370 i ~ ] + : ~ o GnASSI~I: Sulla struttura dello spazio-tempo
du cui, p o t e n d o ~ s s e g n s r e v n l o r i iniziuli u r b i t r ~ r i ~d u ~, segue
Dg~o = 0 o v v e r o ]~9~sserto.
Sussiste p e r t u n t o lu s e g u e n t e p r o p o s i z i o n e :
4-2 P ~ o ~ o s ~ z l o ~ E . - P ~ s s u n d o d~ u n ~ cl~sse einsteini~nu C ull~ c o r r i s p o n d e n t e m e t r i c ~ s p ~ z i o - t e m p o r ~ l e u s s o l u t a gr si v i e n e u definire u n ' ~ p p l i c ~ z i o n e
T : E -+ E ~
che a d ogni m o d e l t o e i n s t e i n i s n o di s p ~ z i o - t e m p o
(4.2)
~ssoci~ u n a s t r u t t u r u g e o m e t r i c ~
(4.3)
/~ = (M, Cr D)
E ' = ( M r gr D)
c o s t i t u i t u d s u n n 4 - v u r i e t ~ M r e c u n t e u n s m e t r i c s l o r e n t z i u n u g c o n K e r (g) o r i e n t s t o ed u n s c o n n e s s i o n e ufiine D v e r i f i c a n t e (4.1).
Sia o r a E ' = (Mr g, D) u n u s t r u t t u r ~ g e o m e t r i e u del t i p o (4.3).
D~gli ~ssiomi dells teori~ si d e d u c e che u n m o d e l l o einsteini~no E v e r i f i c s n t e 1s c o n d i z i o n e
T ( E ) = ~ ' ,
se esiste, ~ u n i v o e ~ m e n t e d e t e r m i n ~ t o ed ~ d ~ t o p r e c i s ~ m e n t e d~ E - ~ ( M , C, D), d o v e C d e n o t ~ 1~ cl~sse di t u t t i e soli i sistemi S = (H, g, V) eosl c o s t i t u i t i :
(i) H eonsiste di u n ~ d i s t r i b u z i o n e 1 - d i m e n s i o n ~ l e 0 i n t e r n ~ ed e q u i o r i e n t s t ~ s K e r (g) [19);
(ii) g e E ' (.~0);
(iii) V ~ d u t % in f u n z i o n e di D ~ E ' r d~ (1.3)r (3.1) (~1).
(19) Per l'esistenza di un~ siffat~a distribuzione, cf. [19], p. 531.
(20) La 1-forma temporale e la me~ric~ spaziale dedotte da g, in corrispondenza a II, me- diante (1.7,8) si identificano con il tempo stasdard e 1~ metrica spaziale standard introdotti in [8].
(21) Le connessioni verificanti, in corrispondenza a //, la condizione (1.3) si identificano con le connessioni adattate introdotte in [24]. I n particolare, la connessione (1.3), (3.1) si identifica con la connessione vincolata introdotta in [25].
I%ENATO GlcAssn~I: Sulta struttura dello spazlo-tempo 371
D ' s l t r s p~rte, con tale determinazione dells el~sse C (senz'altro non vuot~), risultsno soddisfstti, s t s n t e (4.1), t u t t i gli assiomi che gsrsntiscono che E sis effet-
" t i v s m e n t e u n modello einsteinisno di sp~zio-tempo.
l~imsne p e r t ~ n t o p r o v s t o che:
4-3 PRoP0SlZI0Z~E. - L'upplicszione kP' b biiettivs.
L e proposizioni 4-2 e 4-3 forniscono u n s e s r s t t e r i z z s z i o n e del modello einsteiniano di sp~zio-tempo (4.2) in termini dells b e n n o t s strutt~trs g e o m e t r i e s (4.3), c o s t i t u e n t e lo spazio-tempo di Einstein-Cartan (~) del qu~le ls formulazione (4.2) fornisee la com- p l e t s ~nMisi cronogeometries.
b) Si~ E = (M, C, D) a n modello einsteiniano di sp~zio-tempo con connessione f o n d s m e n t s l e D piatta.
I n t~l e~so C definisce u n i v o c s m e n t e in M, st~nte (4.1), u n s metriea g minkowskiana e kg(E) ~ 1o spazio-tempo di Minkowski (M, g).
Sussistono le seguenti proposizioni:
4-4 P~OVOSIZI0~E. - E ~ u n modello csnonico p i s t t o .
B~st~ inf~tti osserv~re ehe, st~nte (4.1), per ogni S e C sono soddisf~tte, nells generie~ sezione g-ortonormsle s di B(II), le equszioni
Dg~o = (D,x- (DO o ~.~ 0 ;
poieh6 d'altr~ Iosrte le condizioni di 0 e a-riducibilits di D sono espresse in s dalle equuzioni
o 0
O) 0 ~ 0 ~ (Dtr ~
risult~ verific~ts anehe 1~ condizione (ii) dells definizione 3-4.
4-5 P~OP0SIZI0~E. - C si identific~ con 1~ dasse minkowskiana costituit~ dai sistemi sp~zio-tempor~li pi~tti di m e t r i c s g.
B~st~ inf~tti osservare che, st~nte (4.1), C es~urisce l'inter~ classe dei sistemi sp~zio- tempor~li p i a t t i al0p~rtenenti ~ C, 1~ qu~l% per l~ costituzione di C, coincide a p p u n t o con l~ suddett~ cl~sse minkowski~na.
5. - Modello n e w t o n i a n o di s p a z i o . t e m p o .
5.1 De/inizione.
Si assuma or~ che l'~gente fisieo L (1~ luce) in ogni sistem~ di riferimento si pro- paghi isotropicamente con velocits e = c~.
(22) Cf. [23].
372 RE~)~ro G ~ A s s y ~ : Sulla struttura dello spazio-tempo
I n d i c a t a con C u n a classe canonica T-massimale~ r a p p r e s e n t a t i v a della t o t a l i t ~ dei sistemi di riferimento, si consideri, in t o r r i s p o n d e n z a a c i a s t u n s i s t e m a S e C, la s t r u t t m ' a c o n f o r m e (degenere) K e r (3) definita in M dalla r e l a t i v a 1 - f o r m a t e m p o - t a l e 3.
I1 limite newtoniano dianzi a t c o l t o si f o r m u l a in M richiedendo l~invarianza dell~
s u d d c t t a s t r u t t u r a c o n f o r m e al v a r i a r e di S in C, o v v e r o , p e r ogni S~ S'e C, K e r (3) -= K e r (3') .
D a d e t t a eondizione di i n v a r i a n z a segue la relazione
T = ] T r ,
t o n ] funzione differenziabile su M all~ quale u n principio di r e t i p r o c i t ~ i m p o n e di soddisfare a n c h e la r e l a z i o n e .
T p = ] 3 ,
che, insieme alla pretedente~ r e n d e per essa possibile solo le d e t e r m i n a z i o n i
] = 1 , ] = - - 1 ;
di queste solo la p r i m a ~ c o m p a t i b i l e t o e l ~ s s i o m ~ (C1), sitch~, per ogni S~ S ' ~ C~
risulta
T ~ _ T ~
da cui, s t a n t e (2.3), segue a n c h e
h ~ - h ' .
Si 5 p e r t ~ n t o i n d o t t i a d a s s u m e r e t h e 1~ tl~sse C sia p r e c i s ~ m e n t e u n a classe c~no- nic~ m a s s i m ~ l e di sistemi s p a z i o - t e m p o r a l i in M a v e n t i la m e d e s i m ~ 1-form~ t e m p o r ~ l e e 1~ m e d e s i m ~ m e t r i e a sp~zi~le. D e n o m i n a t ~ classe newtoniana u n a siff~tta classe canonica, si p e r v i e n e p e r t a l v i a a d u n modeIlo newtoniano di spazio-tempo N, definito come segue:
5-1 DEFINIZI0~E. -- ~u 5 u n modello newtoni~no di s p a z i o - t e m p o se N = (M, C , D ) ,
d e n o t a n d o (M~ C~ D) u n modello eanonico di sp~zio-tempo verificante l'~ssioma (N) C ~ u n a cl~sse n e w t o n i ~ n ~ .
RE,AT0 G~ASSI~: Sulla struttq~ra dello spazio-tempo 373
5.2 Proprietd~.
a) Sia N ~-- (M, C, D) u n mode]lo n e w t o n i a n o di spazio-tempo.
I sistemi S E C definiscono in M ( s t a n t e l ' a s s i o m a (N)) u n a 1-]orma temporale assoluta ~ (~a) ed u n a melriea spaziale assoluta h.
I n o l t r e la connessione f o n d s m e n t a l e D soddisfa le equazioni di struttura
(5.1) D r -~ 0 , Dh -~ 0 .
I n f ~ t t i , in corrispondenzg ~ ciascun sistemu S E C risult~no soddisfatte (stgnte 3-2) le equazioni di s t r u t t u r ~ (3.3); si perviene a]lora slle (5.1) m o s t m n d o che in S risu]tuno s o d d i s f a t t e anche le equazioni
r = o .
A tale scopo b ~ s t a osservare che l'eqnazione dcl t r s s p o r t o para~llclo D u ~-- 0, lungo lg gcnericu lineu di M, ~ m m e t t e come soluzioni (stante (K2)) gnche sezioni di So; per ognung di tgli soluzioni, in u n a sezione di B ( I I ) si h a
( D ~ ) u ~ = 0 ,
da cui~ p o t e n d o ussegnure vulori inizi~li urbitrari ~d u ~, segue /)T~ ---~ 0
o v v e r o l ' a s s e r t o (2~).
Sussiste p e r t u n t o la seguente proposizione:
5-2 P ~ o P o s i z i o ~ E . . - P s s s a n d o d~ un~ clusse n e w t o n i a n a C alle corrispondenti m e t r i c h e spaziale e t e m p o r ~ l e ~ssolute (~, h), si viene ~ definite u n ' u p p l i c s z i o n e
r - + N ' che ~d ogni modello n e w t o n i a n o di s p a z i o i t e m p o
(5.2) N = (M, C, 1))
~ssocia un~ s t r u t t u r a g e o m e t r i c s
(5.3) 2 1 ' = (M, v, h, D)
(28) Le classi T o ed S o vengono a iden~ificarsi rispettivamente con l'interno e la frontiera dei eoni nulli (degeneranti in iperpiani) costituenti le fibre di Ker (3) e la partizione inva- riante (TO, T +) di T o si identifiea con quella ivi determinata dal T-orientamento.
(~) Se D 6 simmetrica~ l'equazione (5.1)1 assicura in particolare l'integrabilit~ della distri- buzione Ker (3) (cf. [5], p. 447).
374 R E ~ A T O G~Ass~z~x: Sulla struttura delve spazio-tempo
e o s t i t u i t a d~ u n a 4 - v a r l e t 4 M r e e a n t e u n a l - r e t i n a ~ o v u n q u e n o n null% u n a m e t r i e a f i b r g t a h in K e r (~) definita p o s i t i v a ed u n a eonnessione aifine D verifie~nte (5.1).
Sia e r a N ' = (M~ ~, h, D) u n a s t r u t t u r a g e o m e t r i c a del tipo (5.3).
Dagli assiomi della t e o r i a si deduce ehe un modello n e w t o n i a n o N verifie~nte la condizione
~ ( N ) = N ' ,
se esiste, ~ u n i v o c a m e n t e d e t e r m i n a t e ed 5 d a t e p r e c i s a m e n t e da N -~ (M, C, D), d o v e C d e n o t a la elasse di t u t t i e sell i sistemi S - ~ (]7, g, V) cosl eostituiti:
(i) H consiste di u n a distribuzione 1-dimensionale 0 r K e r (~)(35), ~-orien- t a t s , e da ~ = K e r (~);
(ii) g ~ d a t a , in funzione di v, h e N ' , da (1.6);
(iii) V ~ dat% in funzione di D e N ' , da (1.3), (3.1).
D ' a l t r ~ p a r t e , con t a l e d e t e r m i n a z i o n e della classe C (senz'gltro non v u o t a ) , r i s u l t a n o soddisfatti, s t a n t e (5.1), t u t t i gli assiomi che gargntiseono che N sia effet- t i v a m e n t e u n modello n e w t o n i a n o di sp~zio-tempo.
R i m a n e p e r t a n t o p r o r a t e ehe:
5-3 P~oPosIzIoz~E. - L ' a p p l i c a z i o n e q~ ~ b i i e t t i v a .
L e proposizioni 5-2 e 5-3 forniscono u n a e a r a t t e r i z z a z i o n e del mode]lo n e w t o n i a n o di s p a z i o - t e m p o (5.2) in t e r m i n i della b e n n o t a s t r u t t u r a g e o m e t r i e a (5.3), c o s t i t u e n t e lo spazio-tempo di Newton-Caftan (analogo n e w t o n i a n o dello s p a z i o - t e m p o relativi- stieo di E i n s t e i n - C a f t a n ) del quale la f o r m u l a z i o n e (5.2) fornisce la c o m p l e t a analisi cronogeometricao
b) Sia N = (M, C, D) u n modello n e w t o n i a n o di s p a z i o - t e m p o con connessione f o n d a m e n t a l e piatta.
I n t a l ease C definisce in M, s t a n t e (5.1)7 u n a metriea ('c, h) galiIeiana (2~) e O(N) 1o spazio-tempo di Galilei (M, ~, h).
Poieh~ d a (5.1) segue la riducibilit~ di 39 in K e r (~) e r i c o r d a n d o la eostituzione di C, sussistono le seguenti proposizioni:
5-4 P~0P0SlZI0Z~E. - N ~ un modello c~nonico p i a t t o .
5-5 PROP0SIZIONE. -- C si identifica con la classe galileiana costituit~ d~i sistemi sp~zio-tempor~li p i a t t i di m e t r i c a (v, h).
(35) Per l'esistenza di una siffatta distribuzione, cf. [5], p. 447.
(36) La metrica (T, h) ~ cio~ caratterizzata, in coordinate globali su M, da componenti costanti.
~EI~ATO Gl%ASSINI: Sulla struttura dello spazio-tempo 375
B I B L I O G R A F I A
[1] A. T~VT~AN, Invariance o] Lagrangian systems, in L. O'Raifeartaigh (ed.), General Relativity, Clarendon Press, Oxford (1972).
[2] A. T~AVTMAN, Sur la thdorie newtonienne de la gravitation, Comp. Rend. Paris, 257, (1963), p. 617.
[3] A. TI~A~TMAN, Comparison o/Newtonian and relativistic theories o/space-time, in B. Hoff- man (ed.), Perspectives on Geometry and t~elativity, Indiana University Press, Bloo- mington (1966).
[4] P. HAVAS, .Four-dimensional /ormulations o/ JVewtonian mechanics and their relation to the special and the general theory o/relativity, ]~ev. Mod. Phys., 36 (1964), p. 938.
[5] H. P. KUNZL~, Covariant ~ewtonian limit o/ Lorentz space.times, Gen. ]%el. Gray., 7 (1976), p. 445.
[6] R. PENROSW, The structure o/space.time, in C. M. De Witt, J. A. Wheeler (ed.), Battelle Rencontres, :Benjamin Inc. (1968).
[7] J. E~L~I~s - F. A. E. PIRA~I - A. SC]~ILD, The geometry o / / t e e / a l l and light propagatioq%
in L. O'•aifeartaigh (ed.), General Relativity, Clarendon Press, Oxford (1972).
[8] C. CAT~AN]~O, General relativity: relative standard mass, momentum, energy and gravita- tional /ield in a general system o/ re/erence, I1 Nuovo Cimento, 10 (1958), p. 318.
[9] C. CATTA~]~O, Introduzione alla teoria ei~steiniana della gravitazione, Veschi, Roma (1961).
[10] C. CATTA~EO, Sur la loi relative du mouvement d'une partieule d'~pve~ve gravitant fibre raent, Compt. Rend. Paris, 256 (1963), p. 3974.
[llJ F. EAST~OOK - H. WA~LQWST, Dyadic analysis o] space-time congruences, J. Math.
Phys., 5 (1964), p. 1629.
[12] C. M~LL]~R, The Theory o/ Relativity, Clarendon Press, 0 x l e r d (1972).
[13] C. HA~I~ISON, On the structure o/ space-time, in P. Suppes (ed.), Space, Time and Geo- metry, Reidel Publ. Co. (1973).
[14] ]%. G]~AssINI, Estensione del trasporto misto di _Fe~'mi ad un modello generale di spazio- tempo, Atti Ace. Naz. Lincei, Rend. C1. Sci. Fis. Mat. Nat., 56 (1974), p. 720.
[15] R. G~ASS~NI, Ri/erime~ti ]isici e relative eonnessioni spaziali in un modello matematico generate di spazio-tempo, Rend. Acc. Sci. Fis. Mat. Napoli, 41 (1974), p. 209.
[16] R. GRASSiNg, Misura ed evoluzione di grandezze /isiehe relative in un modello matematieo generale di spazio-tempo, Boll. U.M.I., 11 (1975), p. 507.
[17] A. T~AUT~N, Foundations and current problems o/ general relativity, in S. Deser - K. Ford (ed.), Lectures oq~ General Relativity, Brandeis Summer Institute in Theoretical Physics, vol. 1, Prentice-Hall, Englewood Cliffs (1965).
[18] S. KO]~Y~SH~ - K. N o ~ z v , Foundation o/ Di]]erential Geometry, vol. 1, Interscience Publ. (1963).
[19] G. S. WHIS~ON, Topics on space-time geometry, Gcn. Rel. Gray., 5 (1974), p. 526.
[20] A. TR~VT~N, Fibre bundles associated with space.time, Rep. Math. Phys., 1 (1970), p. 29.
[21] P. Sv~I~s, Introduction to Logic, Van Nostrand Co. (1967).
[22] J. D. SNE~D, The Logical Structure o/ Mathematical Physics, l~eidel Publ. (1971).
[23] A. TR~VT~AN, On the structure o/ Einstein-Caftan equations, Syrup. Math., 12 (1973), io. 139.
[24] E. MASSA, Space tensors in general relativity, Gen. Rel. Gray., 5 (1974), p. 555.
[25] I. C ~ T ~ ] ~ O G ~ s P ~ I ~ I , Deriv~e covariant lide dans nne V~+~ riemannienne ~ structure presque produit, Compt. Rend. Paris, 256 (1963), p. 2089.
