Vettori Numerici

(1)

Vettori Numerici

 Definizione di vettore numerico.

 Vettore nullo.

 Addizione di vettori numerici.

 Opposto di un vettore.

 Sottrazione tra due vettori numerici.

 Moltiplicazione di uno scalare per un vettore.

 Prodotto scalare di due vettori.

 Modulo di un vettore numerico.

Definizione di vettore numerico. Abbiamo definito nella Fisica i vettori come degli enti geometrici, costituiti da segmenti nel piano o nello spazio, dotati di un modulo, di una direzione e di un verso. Abbiamo rappresentato i vettori mediante segmenti dotati di una freccetta.

Ma i vettori si possono definire anche da un punto di vista strettamente algebrico, riferendosi solo a numeri. Vediamo come.

Si definisce vettore a due dimensioni o vettore bidimensionale una coppia ordinata di numeri reali, ad esempio:

4,6



a oppure b3,2

oppure c1,1.

Per comodità indicheremo i vettori come fatto in Fisica, con una lettera sormontata da una freccetta.

+4 e –6 sono le componenti o coordinate del vettore a; +4 è la 1ª componente; -6 è la 2ª componente. Analogamente la 1ª componente di b

è –3 mentre la 2ª è +2.

Analogamente si definisce vettore a tre dimensioni o vettore tridimensionale una terna ordinata di numeri reali, come ad esempio:

2,6,3



x oppure y0,2,0 oppure z2,0,10.

Si possono definire anche vettori a 4, 5 dimensioni ed oltre. Noi ci riferiamo per il momento solo a vettori bidimensionali e tridimensionali.

Vettore nullo. Si dice vettore nullo ogni vettore le cui componenti siano tutte zero. Esso si indica con 0. Quindi il vettore nullo a due dimensioni è: ⁰^ ^⁽⁰^,⁰⁾, mentre il vettore nullo a tre dimensioni è ⁰^ ^⁽⁰^,⁰^,⁰⁾.

Addizione di vettori numerici. I vettori numerici della stessa dimensione possono essere addizionati tra loro, dando per risultato un vettore della stessa dimensione; assegnati due vettori ae

b

, il vettore somma a b si ottiene addizionando la 1ª componente di a con la 1ª componente di

b

e la 2ª componente di a con la 2ª componente di b

:

   

 4, 3  2, 7  4 2, 3 7  2, 4

7 , 2 3

, 4



































 b a

b a 

 

. Analogamente si definisce la somma di vettori tridimensionali:

   

 1, 3,0  2, 4, 5  3, 3, 7  1 2 3, 3 4 3,0 5 7 0, 4, 2

5 , 4 , 2 0

, 3 , 1







































 y x

y x 



(2)

Opposto di un vettore. Dato un qualunque vettore x, il vettore opposto a x, indicato con  x, è quel vettore le cui componenti sono l’opposto delle componenti di x.

   

 4, 3, 7  4, 3, 7

4 , 6 4

, 6

































a a

x

x 



Sottrazione tra due vettori numerici. La differenza tra due vettori numeri è definita come la somma del 1° vettore con l’opposto del 2°.

   

   2, 8  1, 5 1, 3

5 , 1 8

, 2



































w v w v

w

v   



Moltiplicazione di uno scalare per un vettore. Gli scalari sono numeri semplici, quelli che già conosciamo; essi possono essere riconosciuti dal fatto che non hanno la freccetta. È possibile effettuare la moltiplicazione di uno scalare per un vettore, e il risultato è un altro vettore; dato lo scalare a ed il vettore v, il prodotto dello scalare a v si ottiene moltiplicando il valore dello scalare a per ognuna delle componenti di v:

 

 2, 7, 4  6, 21, 12

3

4 , 7 , 2 3



























 v a

v a 



.

Prodotto scalare di due vettori. È possibile effettuare la moltiplicazione tra due vettori della stessa dimensione, ma il risultato è uno scalare. Assegnati due vettori x e ^y^, il prodotto scalare ^{x }^{ }^y si ottiene prima moltiplicando a due a due le rispettive componenti di x e ^y^ (la 1ª di x con la 1ª di

y, la 2ª di x con la 2ª di ^y^, ecc.) e poi eseguendo la somma dei valori ottenuti.

   

           1 2 3 4 0 5 2 12 0 14 5

, 4 , 2 0

, 3 , 1



































 y x

y x 



Modulo di un vettore numerico. Per ogni vettore numerico x si può calcolare il modulo o lunghezza, indicato con ^x^ . Esso si ottiene in tre passi: prima si calcolano i quadrati delle componenti; poi si sommano; infine si calcola la radice quadrata della somma risltante.

 

 1  3  6 1 9 36 46 6,78 6

, 3 , 1

2 2

2        









 x x



(3)

Vettori Numerici – Esercizi

Esercizio 1. Somma algebrica tra vettori. Dati i vettori

1,2,3  0,4,7  2,5,0  4,1,3

 b c d

a    , calcolare:

b

a   c d b

 a b c d

d c b

a  abcd abcd a 0 b0 a

2 b

3 2c d

4 0a

d c b

a 3 2 4

2   

Esercizio 2. Prodotto scalare e modulo di vettori. Dati i vettori

1,2,3  0,4,7  2,5,0  4,1,3

 b c d

a    , calcolare:

b

a   b  c

 c d a  c a d

d b 

 ^a^ ^b^ ^c^ ^d^

Esercizio 3. Calcoli misti. È possibile addizionare tra lo loro i due vettori seguenti? E farne il prodotto scalare?

1,2 0,4,3

 b

a 

(4)

Matrici Numeriche

 Definizione di matrice numerica.

 Suddivisione in vettori-riga e vettori-colonna.

 Matrice nulla.

 Addizione di matrici.

 Opposto di una matrice.

 Sottrazione tra matrici.

 Moltiplicazione di uno scalare per una matrice.

 Prodotto righe per colonne tra matrici.

Definizione di matrice numerica. Si definisce matrice numerica ad m righe ed n colonne una tabella di numeri reali, composta da m righe ed n colonne e indicata con una lettera maiuscola, come ad esempio:





















0 1 4 2

1 0 2 4

5 1 0 2

A



















 

2 3

4 1

2 0

2 1

B _



 



 0

C 1





















5 3 0 0 0 2

2 0 1 1 0 0

0 1 0 2 0 1 D

La matrice A ha 3 righe e 4 colonne; la matrice B ha 4 righe e 2 colonne; la matrice C ha 2 righe ed una sola colonna; la matrice D ha 3 righe e 6 colonne. Il tipo di una matrice è il numero di righe e colonne di cui essa è costituita: si dice allora che la matrice A è di tipo [3;4]; la matrice B è di tipo [4;2]; la matrice C è di tipo [2;1]; la matrice D è di tipo [3;6].

Una matrice generica ad m righe ed n colonne si indica nel seguente modo:















n m m

m

n n

a a

a

a a

a

a a

a A

...

2 1

2 22

21

1 12

11

; con ai j si indica l’elemento di riga i e colonna j.

Anche i vettori visti precedentemente possono essere riguardati come matrici: ad esempio, il vettore

4,6



a è una matrice a una riga e 2 colonne; il vettore z2,0,10 è una matrice a 1 riga e 3 colonne.

Suddivisione della matrice in vettori-riga e vettori-colonna. Le singole righe delle matrici possono vedersi come dei vettori; la matrice A è costituita ad esempio da 3 vettori-riga:





































3 2 1

0 1 4 2

1 0 2 4

5 1 0 2

r r r

A 



con

) 0 , 1 , 4 , 2 (

) 1 , 0 , 2 , 4 (

) 5 , 1 , 0 , 2 (

3 2 1











 r r r



Analogamente, anche le singole colonne delle matrici possono intendersi come vettori a sviluppo

(5)

Matrice nulla. Una matrice è nulla se essa è costituita da tutti zero, come ad esempio:



 



 0 0

0

A 0



















0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 D

Addizione di matrici. Si può definire la somma di due matrici A e B solo se sono dello stesso tipo, cioè con lo stesso numero di righe e colonne. Date due matrici A e B, si definisce somma di A e di B una matrice C dello stesso tipo in cui ogni elemento è somma dei corrispondenti elementi di A e di B:



 





 



 





















 



 



 





 



 







 

5 4 0

2 3 1 1 6 0 4 3 3

4 2 3 0 0 1 1

0 3

4 3 0 6

4 3

2 0

1 B C A B

A

Opposta di una matrice. Data una matrice A, si definisce opposta di A e la si indica con –A la matrice i cui elementi sono l’opposto di quelli di A:



 







 

 



 







 

10 3

2

0 5 1 10

3 2

0 5

1 A

A

Sottrazione di matrici. Anche la sottrazione di matrici si può definire solo tra matrici dello stesso tipo. Date due matrici A e B, si definisce differenza tra A e B una matrice D uguale alla somma di A con l’opposta di B:



 







 



 







 



 







 









 



 







 



 







 

3 7

6 3 3

4 5 1 0

3 1 ) 2

3 ( 4

5 1 0

3 1

2 B D A B A B

A

Moltiplicazione di uno scalare per una matrice. È possibile effettuare la moltiplicazione di uno scalare per una matrice, e il risultato è ancora una matrice dello stesso tipo; dato lo scalare a e la matrice A, il prodotto a·A si ottiene moltiplicando il valore dello scalare a per ognuna delle componenti di A:









































 



















6 12 30

9 0 6

0 6 3

2 4 10

3 0 2

0 2 1 3 2

4 10

3 0 2

0 2 1

3 A a A

a

Moltiplicazione righe per colonne di matrici. Date due matrici, A di tipo [m;n] e B di tipo [p;q], la moltiplicazione righe per colonne tra A e B si può eseguire solo se n = q, cioè se il numero di colonne di A è numero al numero di righe di B. Vediamo come si costruisce la matrice prodotto P = A·B.

La matrice prodotto è di tipo [m;q], ha cioè il numero di righe di A e il numero di colonne di B. Gli elementi di P si ottengono effettuando il prodotto scalare dei vettori-riga di A e dei vettori-colonna di B.



 







 

















 



 







 

24 23 21 21

14 13 12 11

0 2 2 1

0 2 0 5

6 2 1 0 8

4 5

2 0 1

p p p p

p p p B p

A P B

A

(6)

   



5, 4,8,

 

6,0,0



(5) ( 6) ( 4) (0) (8) (0) 30 0 0 30 34 16 8 10 ) 2 ( ) 8 ( ) 2 ( ) 4 ( ) 2 ( ) 5 ( 2 , 2 , 2 , 8 , 4 , 5

11 16 0 5 ) 2 ( ) 8 ( ) 0 ( ) 4 ( ) 1 ( ) 5 ( 2 , 0 , 1 , 8 , 4 , 5

28 8 20 0 ) 1 ( ) 8 ( ) 5 ( ) 4 ( ) 0 ( ) 5 ( 1 , 5 , 0 , 8 , 4 , 5

6 0 0 6 ) 0 ( ) 2 ( ) 0 ( ) 0 ( ) 6 ( ) 1 ( 0 , 0 , 6 , 2 , 0 , 1

2 4 0 2 ) 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 0 ( ) 2 ( ) 1 ( 2 , 2 , 2 , 2 , 0 , 1

5 4 0 1 ) 2 ( ) 2 ( ) 0 ( ) 0 ( ) 1 ( ) 1 ( 2 , 0 , 1 , 2 , 0 , 1

2 2 0 0 ) 1 ( ) 2 ( ) 5 ( ) 0 ( ) 0 ( ) 1 ( 1 , 5 , 0 , 2 , 0 , 1

24 23 22 21 14 13 12 11



































































































































































































































































p p p p p p p p

e infine _



 









 



 28 11 34 30

6 2 5 B 2

A P