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Analisi Matematica 2 Ingegneria Civile/Ambientale 15 gennaio 2014

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nella tabella a fianco

1 2 3 4

COGNOME NOME Matr.

1A

Esercizio 1. Si consideri la curva γ : [0, 3π]→ R³definita da γ(t) = (t cost, 2t sint,t) e si consideri il campo di vettori F(x, y, z) =

0, 0,^2x+y_z  .

i^3p Si rappresenti la curva con un disegno.

ii^2p Si rappresenti il vettore F(γ(t)) nei punti t = π e t = 2π.

iii^5p Si calcoli il lavoro del campo F lungo la curva γ, cio`e l’integrale Z

[0,3π]

F(γ(t)) · γ⁰(t)dt.

1B

Esercizio 1. Si consideri la curva γ : [0, 3π]→ R³definita da γ(t) = (2t cost,t sint,t) e si consideri il campo di vettori F(x, y, z) =

0, 0,^2x+y_z  .

i^3p Si rappresenti la curva con un disegno.

ii^2p Si rappresenti il vettore F(γ(t)) nei punti t = ^π₂ e t = ³₂π.

iii^5p Si calcoli il lavoro del campo F lungo la curva γ, cio`e l’integrale Z

[0,3π]

F(γ(t)) · γ⁰(t)dt.

1C

Esercizio 1. Si consideri la curva γ : [0, 3π]→ R³definita da γ(t) = (t cost, 2t sint,t) e si consideri il campo di vettori F(x, y, z) =

0, 0,^x−2y_z  .

i^3p Si rappresenti la curva con un disegno.

ii^2p Si rappresenti il vettore F(γ(t)) nei punti t = π e t = 2π.

iii^5p Si calcoli il lavoro del campo F lungo la curva γ, cio`e l’integrale Z

[0,3π]

F(γ(t)) · γ⁰(t)dt.

1D

Esercizio 1. Si consideri la curva γ : [0, 3π]→ R³definita da γ(t) = (2t cost,t sint,t) e si consideri il campo di vettori F(x, y, z) =

0, 0,^x−2y_z  .

i^3p Si rappresenti la curva con un disegno.

ii^2p Si rappresenti il vettore F(γ(t)) nei punti t = ^π₂ e t = ³₂π.

iii^5p Si calcoli il lavoro del campo F lungo la curva γ, cio`e l’integrale Z

[0,3π]

F(γ(t)) · γ⁰(t)dt.

2A

Esercizio 2. Sia E il parallelogramma individuato dalle rette di equazioni x− 2y = 0 , x − 2y = −8 , x + 2y = 4 , x + 2y = 16 .

i^2p Si disegni l’insieme E e si trovino le coordinate dei vertici.

ii^2p Si scriva una parametrizzazione affine ψ dell’insieme E a partire dal quadrato standard [0, 1] × [0, 1].

iii^1p Si calcoli il determinante jacobiano di ψ.

iv^5p Si calcoli l’integrale Z

E

xdxdy.

2B

Esercizio 2. Sia E il parallelogramma individuato dalle rette di equazioni x− 2y = 0 , x − 2y = −8 , x + 2y = 4 , x + 2y = 16 .

i^2p Si disegni l’insieme E e si trovino le coordinate dei vertici.

ii^2p Si scriva una parametrizzazione affine ψ dell’insieme E a partire dal quadrato standard [0, 1] × [0, 1].

iii^1p Si calcoli il determinante jacobiano di ψ.

iv^5p Si calcoli l’integrale Z

E

ydxdy.

2C

Esercizio 2. Sia E il parallelogramma individuato dalle rette di equazioni

−x − 2y = 0 , −x − 2y = −8 , −x + 2y = 4 , −x + 2y = 16 . i^2p Si disegni l’insieme E e si trovino le coordinate dei vertici.

ii^2p Si scriva una parametrizzazione affine ψ dell’insieme E a partire dal quadrato standard [0, 1] × [0, 1].

iii^1p Si calcoli il determinante jacobiano di ψ.

iv^5p Si calcoli l’integrale Z

E

xdxdy.

2D

Esercizio 2. Sia E il parallelogramma individuato dalle rette di equazioni

−x − 2y = 0 , −x − 2y = −8 , −x + 2y = 4 , −x + 2y = 16 . i^2p Si disegni l’insieme E e si trovino le coordinate dei vertici.

ii^2p Si scriva una parametrizzazione affine ψ dell’insieme E a partire dal quadrato standard [0, 1] × [0, 1].

iii^1p Si calcoli il determinante jacobiano di ψ.

iv^5p Si calcoli l’integrale Z

E

ydxdy.

3A Esercizio 3. Si consideri il campo di vettori F(x, y) = (x²+ y²)¹³(x, y) e l’insieme Ω = {(x, y)

x²+ y²< R², y > 0 , y > x}.

i^1p Si descriva e si rappresenti con un disegno l’insieme Ω.

ii^1p Si scriva il versore ν(x, y) normale al bordo di Ω, diretto verso l’esterno, e lo si rappresenti sul disegno di Ω.

iii^2p Si calcoli la divergenza del campo di vettori F(x, y).

iv^3p Si calcoli l’integrale Z

Ω

divF(x, y)dxdy.

v^3p Si calcoli l’integrale Z

∂Ω

F· νds e si verifichi che `e uguale all’integrale della divergenza di F su Ω.

3B Esercizio 3. Si consideri il campo di vettori F(x, y) = (x²+ y²)¹³(x, y) e l’insieme Ω = {(x, y)

x²+ y²< R², x < 0 , x < −y}.

i^1p Si descriva e si rappresenti con un disegno l’insieme Ω.

ii^1p Si scriva il versore ν(x, y) normale al bordo di Ω, diretto verso l’esterno, e lo si rappresenti sul disegno di Ω.

iii^2p Si calcoli la divergenza del campo di vettori F(x, y).

iv^3p Si calcoli l’integrale Z

Ω

divF(x, y)dxdy.

v^3p Si calcoli l’integrale Z

∂Ω

F· νds e si verifichi che `e uguale all’integrale della divergenza di F su Ω.

3C Esercizio 3. Si consideri il campo di vettori F(x, y) = (x²+ y²)²³(x, y) e l’insieme Ω = {(x, y)

x²+ y²< R², y > 0 , y > x}.

i^1p Si descriva e si rappresenti con un disegno l’insieme Ω.

ii^1p Si scriva il versore ν(x, y) normale al bordo di Ω, diretto verso l’esterno, e lo si rappresenti sul disegno di Ω.

iii^2p Si calcoli la divergenza del campo di vettori F(x, y).

iv^3p Si calcoli l’integrale Z

Ω

divF(x, y)dxdy.

v^3p Si calcoli l’integrale Z

∂Ω

F· νds e si verifichi che `e uguale all’integrale della divergenza di F su Ω.

3D Esercizio 3. Si consideri il campo di vettori F(x, y) = (x²+ y²)²³(x, y) e l’insieme Ω = {(x, y)

x²+ y²< R², x < 0 , x < −y}.

i^1p Si descriva e si rappresenti con un disegno l’insieme Ω.

ii^1p Si scriva il versore ν(x, y) normale al bordo di Ω, diretto verso l’esterno, e lo si rappresenti sul disegno di Ω.

iii^2p Si calcoli la divergenza del campo di vettori F(x, y).

iv^3p Si calcoli l’integrale Z

Ω

divF(x, y)dxdy.

v^3p Si calcoli l’integrale Z

∂Ω

F· νds e si verifichi che `e uguale all’integrale della divergenza di F su Ω.

4A Esercizio 4. Si consideri la funzione f (x, y) = e^x2−2y2 .

ii^1p Si descriva e si rappresenti l’insieme D⁺₁ dei punti in cui f (x, y) > 1.

ii^2p Si descrivano e si rappresentino gli insiemi di livello E_t= { f (x, y) = t} della funzione f .

iii^2p Si scriva il gradiente ∇ f (x, y) e si scriva l’equazione del piano tangente al grafico di f nel punto P= (1, 1, f (1, 1)).

iv^5p Si calcolino i valori massimi e minimi della funzione f sulla circonferenza C di raggio 1 e centro nel punto P = (1, 0) e si dica in quali punti di C vengono presi il valore massimo e il valore minimo.

4B Esercizio 4. Si consideri la funzione f (x, y) = e^−x2+2y2 .

ii^1p Si descriva e si rappresenti l’insieme D⁺₁ dei punti in cui f (x, y) > 1.

ii^2p Si descrivano e si rappresentino gli insiemi di livello E_t= { f (x, y) = t} della funzione f .

iii^2p Si scriva il gradiente ∇ f (x, y) e si scriva l’equazione del piano tangente al grafico di f nel punto P= (1, 1, f (1, 1)).

iv^5p Si calcolino i valori massimi e minimi della funzione f sulla circonferenza C di raggio 1 e centro nel punto P = (1, 0) e si dica in quali punti di C vengono presi il valore massimo e il valore minimo.

4C Esercizio 4. Si consideri la funzione f (x, y) = e^2x2−y2 .

ii^1p Si descriva e si rappresenti l’insieme D⁺₁ dei punti in cui f (x, y) > 1.

ii^2p Si descrivano e si rappresentino gli insiemi di livello E_t= { f (x, y) = t} della funzione f .

iii^2p Si scriva il gradiente ∇ f (x, y) e si scriva l’equazione del piano tangente al grafico di f nel punto P= (1, 1, f (1, 1)).

iv^5p Si calcolino i valori massimi e minimi della funzione f sulla circonferenza C di raggio 1 e centro nel punto P = (1, 0) e si dica in quali punti di C vengono presi il valore massimo e il valore minimo.

4D Esercizio 4. Si consideri la funzione f (x, y) = e^−2x2+y2 .

ii^1p Si descriva e si rappresenti l’insieme D⁺₁ dei punti in cui f (x, y) > 1.

ii^2p Si descrivano e si rappresentino gli insiemi di livello E_t= { f (x, y) = t} della funzione f .

iii^2p Si scriva il gradiente ∇ f (x, y) e si scriva l’equazione del piano tangente al grafico di f nel punto P= (1, 1, f (1, 1)).

iv^5p Si calcolino i valori massimi e minimi della funzione f sulla circonferenza C di raggio 1 e centro nel punto P = (1, 0) e si dica in quali punti di C vengono presi il valore massimo e il valore minimo.