5.8.2 Allineamenti per intersezione

5.8.2 Allineamenti per intersezione

Gli allineamenti per intersezione sono degli allineamenti “doppi” tra- mite i quali il punto da determinare viene ricavato per l’appunto dalla loro intersezione. Questa geometria è definita grazie al campo Angolo visto al paragrafo iniziale di questa sezione, dove abbiamo già chiarito trattarsi di un valore fittizio, che ha unicamente lo scopo di stabilire il verso, orario o antiorario, in cui si trova il punto da determinare rispetto alla direzione origine-orientamento.

Intersezione di circonferenze

L’utilizzo più diffuso degli allineamenti per intersezione è illustrato in Figura 148. Il punto da determinare è uno spigolo di fabbricato non rile- vabile direttamente dal GPS. Con la strumentazione satellitare si rilevano due punti nelle sue vicinanze e da questi si misurano le distanze allo spi- golo. Questo metodo è chiamato “intersezione di circonferenze” perché, come è intuitivo capire, lo spigolo è determinato dall’intersezione di due cerchi di raggio pari a tali due distanze. Naturalmente i due punti rilevati con il GPS (101 e 102 in Figura 148) devono formare un triangolo quanto più possibile equilatero per non generare approssimazioni eccessive nel caso di triangoli troppo schiacciati; tant’è che la normativa catastale im- pone che il rapporto tra i lati sia compreso tra 0.8 e 1. Il valore da dare all’angolo è illustrato nello schema riprodotto in Figura 148 (in basso), si indica +50 o -50⁴⁰ a seconda che il punto si trovi a destra oppure a sinistra della direzione origine-orientamento (le due circonferenze si intersecano su due punti da entrami i lati). Questa impostazione può essere detta in parole più semplici così:

Mi metto sul punto 101 e, guardando il punto 102, vedo che lo spigolo è alla mia destra (+50). Poi mi metto sul punto 102, e guardando il punto 101, vedo che lo spigolo è alla mia sinistra(-50).

In Figura 148 sono riportate le due righe da inserire nella tabella di Geocat per definire l’intersezione (più quelle create sul libretto Pregeo).

Va da sé che questa si concretizza soltanto se sono presenti entrambe e se contengono dati congruenti, vale a dire che le due distanze devono for- mare circonferenze che si intersecano effettivamente.

40 Si usa questo valore perché in queste trilaterazioni l’angolo è grosso modo pari a metà angolo retto, mentre si indica +100 e -100 quando è all’incirca un angolo retto, come vedremo più avanti negli esempi che riguardano i fabbricati.

Figura 148 - L’allineamento per intersezione di circonferenze: (sopra) foto in campo;

(al centro) le righe della tabella di Geocat e quelle generate sul libretto Pregeo; (sotto) lo schema grafico e l’indicazione del segno degli angoli.

A questo proposito apro una piccola parentesi dedicata a quelli di voi più appassionati alla topografia che, come tali, a volte non disdegnano di entrare nel merito degli algoritmi di calcolo. Vi illustro di seguito questo delle circonferenze il cui schema è riprodotto in Figura 149.

Figura 149 - Lo schema dell’intersezione tra due circonferenze. Legenda:

C1(a, b) e C2(c, d) ... centri e rispettive coordinate;

D ... distanza tra i due centri;

P1 , P2 ... punti di intersezione;

A ... area del triangolo formato dai due centri e un punto di intersezione: C1-C2-P1 o C1-C2-P2. Per risolverlo bisogna per prima cosa verificare se effettivamente le due circonferenze si intersecano. Questo avviene solo se la distanza 𝐷 tra i due centri è maggiore della differenza tra i due raggi e minore della loro somma. Deve cioè essere rispettata la condizione:

𝑟₁− 𝑟₂ ≤ 𝐷 ≤ 𝑟₁+ 𝑟₂

Con riferimento alla Figura 150, questo enunciato è sancito dalle cin- que possibili geometrie descritte di seguito.

Figura 150 - Le condizioni di intersezione, tangenza o separazione di due circonfe- renze, da verificare ancor prima di procedere al calcolo.

1. Se la differenza tra i due raggi è maggiore di 𝐷, la seconda circonfe- renza risulta completamente interna (inglobata) alla prima.

2. Se la differenza tra i due raggi è esattamente uguale a 𝐷, le due circon- ferenze sono tangenti tra loro, con la seconda completamente interna alla prima.

3. Se la somma tra i due raggi è esattamente uguale a 𝐷, le due circonfe- renze sono tangenti tra loro, con la seconda completamente esterna alla prima.

4. Se la differenza tra i raggi è minore di 𝐷 e la somma è invece maggiore, allora si intersecano in due punti.

5. Se la somma tra i due raggi è minore di 𝐷, le due circonferenze sono completamente separate ed esterne una dall’altra.

La condizione 4 è pertanto quella da verificare per capire se sussistono gli estremi per la risoluzione. Se così, il calcolo inizia con il trovare l’area 𝐴 di uno dei due triangoli (uguali tra loro) formati dai due centri e il ri- spettivo punto di intersezione tra le circonferenze, vale a dire il triangolo C1-C2-P1 oppure C1-C2-P2. Questa area si trova con la seguente formula⁴¹:

𝐴 =√(𝐷 + 𝑟₁+ 𝑟₂)(𝐷 + 𝑟₁− 𝑟₂)(𝐷 − 𝑟₁+ 𝑟₂)(−𝐷 + 𝑟₁+ 𝑟₂)

4 [ 1 ]

Dopodiché, con questo dato, più la distanza 𝐷 tra i due centri e le coor- dinate degli stessi (𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑), le coordinate dei due punti di intersezione si trovano con queste formule:

𝑥_𝑃1,𝑃2=𝑎 + 𝑐

2 +(𝑐 − 𝑎)(𝑟₁²− 𝑟₂²)

2 𝐷² ± 2 𝑏 − 𝑑 𝐷² 𝐴

[ 2 ] 𝑦_𝑃1,𝑃2=𝑏 + 𝑑

2 +(𝑑 − 𝑏)(𝑟12− 𝑟₂²)

2 𝐷² ∓ 2 𝑎 − 𝑐 𝐷² 𝐴

I simboli ± e ∓ che precedono la parte a destra delle formule [ 2 ] sono da intendersi così:

41 Sarebbe anche interessante dimostrare sia questa formula che le successive per il calcolo delle coordinate, ma lo sarebbe più per gli appassionati di matematica applicata alla topografia (come il sottoscritto), più che per gli appassionati di sola topografia.

Per le 𝑥: applicando il + si trova la coordinata di 𝑃₁; applicando il − si trova la coordinata di 𝑃2. Per le 𝑦: applicando il − si trova la coordinata di 𝑃1; applicando il + si trova la coordinata di 𝑃₂.

Naturalmente si deve poi stabilire quale dei due punti è quello deside- rato e questo lo si desume dalla convenzione vista sopra dell’angolo fitti- zio posto nelle due righe degli allineamenti, lo vedremo sviluppando l’esempio numerico riferito al rilievo di Figura 151. Si tratta di un rilievo GPS (tabella gialla al centro) che ha determinato i due punti 1001 e 1002 dai quali si è poi definito il punto 1 (spigolo di fabbricato non staziona- bile) mediante le rispettive distanze riportate nella colonna Dist. della ta- bella verde degli allineamenti (in alto).

Dalla tabella del calcolo (in basso in Figura 151), riscontriamo le coor- dinate dei due punti 1001 e 1002 derivanti dal rilievo GPS. Ignoriamo in- vece per il momento le coordinate del punto 1 che sono proprio lo scopo di questo esercizio. La prima operazione da fare è il calcolo della distanza 𝐷 tra i punti 1001 e 1002, vale a dire i centri delle due circonferenze. Que- sto risultato si ottiene semplicemente applicando il teorema di Pitagora alla differenza di coordinate dei punti stessi:

Figura 151 – Esem- pio di intersezione:

dai punti GPS 1001 e 1002 sono definite le due circonferenze di raggio indicato nella colonna “Dist.”.

𝐷 = √[216.823 − 210.199]²+ [−71.231 − (−76.880)]²= 8.706 Verifichiamo ora la condizione di intersezione delle circonferenze data dal confronto tra la distanza 𝐷 appena trovata e la differenza / somma dei due raggi:

7.326 − 5.963 < 8.706 < 7.326 + 5.963 1.363 < 8.706 < 13.289

Soddisfatta questa verifica, procediamo con il calcolo dell’area 𝐴 dei due triangoli formati dai raggi e da ciascuno dei due punti di intersezione, sviluppando la formula [ 1 ] a pag. 283. Troviamo dapprima i quattro fat- tori della moltiplicazione che appare sotto radice quadrata al numeratore della frazione:

𝐷 + 𝑟₁+ 𝑟₂= 8.706 + 5.963 + 7.236 = 21.905 𝐷 + 𝑟₁− 𝑟₂= 8.706 + 5.963 − 7.236 = 7.433

𝐷 − 𝑟₁+ 𝑟₂= 8.706 − 5.963 + 7.236 = 9.979

−𝐷 + 𝑟1+ 𝑟2= −8.706 + 5.963 + 7.236 = 4.493 Dopodiché troviamo l’area 𝐴:

𝐴 =√21.905 ∙ 7.433 ∙ 9.979 ∙ 4.493

4 = 21.360 𝑚²

Con questo dato, più le coordinate dei due centri 1001 e 1002, siamo ora in grado di calcolare le coordinate dei due punti di intersezione con le formule [ 2 ] a pag. 283. Troviamo dapprima i tre addendi di ciascuna formula e poi le coordinate dei due punti di intersezione:

𝑎 + 𝑐

2 =210.199 + 216.823

2 = 213.511

(𝑐 − 𝑎)(𝑟₁²− 𝑟₂²)

2 𝐷² =(216.823 − 210.199) ∙ (5.963²− 7.236²)

2 ∙ 8.706² = −0.734 2 𝑏 − 𝑑

𝐷² 𝐴 = 2 −76.880 − (−71.231)

8.706² 21.360 = −3.184

𝑥_𝑃1= 213.511 + (−0.734) + (−3.184) = 209.593 𝑥_𝑃2= 213.511 + (−0.734) − (−3.184) = 215.960

𝑏 + 𝑑

2 =−76.880 + (−71.231)

2 = −74.055

(𝑑 − 𝑏)(𝑟₁²− 𝑟₂²)

2 𝐷² =[−71.231 − (−76.880)] ∙ (5.963²− 7.236²)

2 ∙ 8.706² = −0.626 2 𝑎 − 𝑐

𝐷² 𝐴 = 2 210.199 − 216.823

8.706² 21.360 = −3.734 𝑦_𝑃1= −74.055 + (−0.626) − (−3.734) = −70.948 𝑦_𝑃2= −74.055 + (−0.626) + (−3.734) = −78.416 I due punti di intersezione hanno pertanto queste coordinate:

𝑃₁= 209.593, −70.948 𝑃₂= 215.960, −78.416

Dobbiamo ora stabilire quale dei due è il punto cercato. È evidente che se disegniamo sul CAD sia i punti 1001 e 1002 che i punti di intersezione 𝑃₁ e 𝑃2 appena calcolati, possiamo appurare immediatamente quale dei due è il punto corretto: basterà verificare quello che rispetta le direzioni oraria e antioraria definita per i due allineamenti 1001-1002 e 1002-1001 dagli angoli fittizi +50 e -50. Ma questo è ciò che possiamo fare noi ma- nualmente, mentre invece un software deve risolvere analiticamente l’am- biguità. Come si fa? Beh, esiste più di un procedimento, quello che de- scrivo qui è la procedura adottata in Geocat. Con riferimento alla Figura 152, consiste nel trovare gli “angoli interni con segno” dei due triangoli, cioè i valori angolari muniti di segno positivo o negativo a seconda che, per portare la congiungente 1001-1002 sopra la congiungente tra ciascuno di questi due punti e il punto di intersezione, si debba girare in senso orario oppure in senso antiorario. Trovati questi “angoli interni con se- gno”, è poi sufficiente confrontare in quale dei due triangoli i segni sono uguali a quelli degli angoli fittizi +50 e -50 degli allineamenti. Vediamo i vari passaggi da compiere. Gli angoli interni (con o senza segno) dei trian- goli in questione si trovano per differenza degli gli azimut tra il vertice considerato e gli altri due vertici del triangolo.

Figura 152 - Una volta calcolati i due punti di intersezione, bisogna stabilire quale dei due è quello cercato. Per fare questo, Geocat adotta il calcolo degli “angoli interni con segno” dei due triangoli 1001-P1-1002 e 1001-P2-1002.

Per prima cosa troviamo quindi l’azimut tra i punti 1001 e 1002 e gli azimut tra ciascuno di questi due punti e i due punti di intersezione. L’azi- mut 𝜗_𝑃𝑄 tra due punti 𝑃 e 𝑄 di coordinate note si trova calcolando dap- prima l’arcotangente del rapporto tra la differenza delle 𝑥 e quella delle 𝑦.

Il valore assoluto così trovato corrisponde all’angolo al vertice e va poi rapportato al valore effettivo in funzione del quadrante in cui si trova il punto 𝑄 rispetto al punto 𝑃. Quest’ultima operazione è illustrata in Figura 267 a pag. 489 nel paragrafo dedicato al calcolo di una stazione libera.

𝜗_𝑃−𝑄= 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 𝑥_𝑞− 𝑥_𝑝

𝑦_𝑞− 𝑦_𝑝 → 𝑟𝑎𝑝𝑝𝑜𝑟𝑡𝑜 𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑛𝑡𝑒

Si deve però fare attenzione al fatto che, nel calcolare la tangente di triangoli rettangoli con lati così corti (pochi metri), è necessario utilizzare molti decimali, altrimenti l’angolo calcolato risulta troppo approssimato.

Nei calcoli che seguono le lunghezze sono riportate con soli 3 decimali ma in realtà ne sono stati utilizzati ben 6. I risultati possono pertanto es- sere leggermente diversi da quelli ottenuti riproducendoli con la calcola- trice. Questa differenza non ha tuttavia alcuna rilevanza perché il valore degli angoli ci interessa unicamente per stabilirne il segno. Procediamo a calcolare tutti gli azimut necessari, iniziando dal 1001-1002:

𝜗_1001−1002= 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 216.823 − 210.199

−71.231 − (−76.880)= 55.0520 𝜗_1001−1002→ 1°𝑄 = 55.0520

L’azimut reciproco 1002-1001 si calcola, come noto, aggiungendo 200^g se l’azimut 1001-1002 è inferiore a 200^g, oppure sottraendo 200 ^g se è su- periore:

𝜗_1002−1001= 55.0520 + 200 = 255.0520

Passiamo ora agli azimut 𝜗_1001−𝑃1, 𝜗_1001−𝑃2, 𝜗_1002−𝑃1, 𝜗_1002−𝑃2:

𝜗1001−𝑃1= 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 209.594 − 210.199

−70.948 − (−76.880)= 6.4803 𝜗1001−𝑃1→ 4°𝑄 = 400 − 6.4803 = 393.5197

𝜗1001−𝑃2= 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 215.960 − 210.199

−78.416 − (−76.880)= 83.4156 𝜗1001−𝑃2→ 2°𝑄 = 200 − 83.4156 = 116.5844

𝜗1002−𝑃1= 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 209.593 − 216.823

−70.948 − (−71.231)= 97.5040 𝜗1002−𝑃1→ 4°𝑄 = 400 − 97.5040 = 302.4960

𝜗1002−𝑃2= 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 215.960 − 216.823

−78.412 − (−71.231)= 7.6080 𝜗1002−𝑃2→ 3°𝑄 = 200 + 7.6080 = 207.6080

Con gli azimut appena trovati passiamo ora a calcolare gli “angoli in- terni con segno”.

Questo calcolo si esegue facendo semplicemente la differenza tra i due azimut interessati. Se questo valore è compreso nell’intervallo tra -200^g e +200^g, abbiamo già il valore cercato. Viceversa, se fuoriesce da tale range, va rapportato a 400 ^g, come segue:

𝛼 = 𝜗₁− 𝜗₂

𝑠𝑒 → 𝛼 > +200 → 𝛼 = 𝛼 − 400 𝑠𝑒 → 𝛼 < −200 → 𝛼 = 𝛼 + 400 Procediamo:

𝑎𝑛𝑔 𝑃₁− 1001 − 1002 = 𝜗_1001−𝑃1− 𝜗_1001−1002 𝑎𝑛𝑔 𝑃₁− 1001 − 1002 = 393.5197 − 55.0520 = 338.4677 𝑎𝑛𝑔 𝑃₁− 1001 − 100 → > +200 → 338.4677 − 400 = −61.5323

𝑎𝑛𝑔 𝑃₂− 1001 − 1002 = 𝜗_1001−𝑝2− 𝜗_1001−1002 𝑎𝑛𝑔 𝑃₂− 1001 − 1002 = 116.5844 − 55.0520 = 61.5323

𝑎𝑛𝑔 𝑃₂− 1002 − 1001 = 𝜗_1002−𝑃1− 𝜗_1001−1002 𝑎𝑛𝑔 𝑃₂− 1002 − 1001 = 302.4960 − 255.0520 = 47.4440

𝑎𝑛𝑔 𝑃₂− 1002 − 1001 = 𝜗_1002−𝑝2− 𝜗_1002−1001

𝑎𝑛𝑔 𝑃₂− 1002 − 1001 = 207.6080 − 255.0520 = −47.4440

Analizziamo i risultati degli angoli interni in 1001 e 1002 appena cal- colati e verifichiamo che i valori corrispondenti agli angoli fittizi di +50 e -50 con i quali avevamo definito la direzione del punto di intersezione sono quelli del triangolo 𝑃2− 1002 − 1001, ovvero con positivo l’angolo in 1001 (61.5323) e negativo l’angolo in 1002 (−47.4440). Il punto di interse- zione cercato è pertanto 𝑃₂. La conclusione dell’esercizio sancisce che le coordinate del punto 1 misurato per doppia circonferenza dai punti GPS 1001 e 1002 sono:

𝑥₁= 215.960 𝑦₁= −78.416

Le stesse coordinate sono infatti quelle risultanti dal calcolo di Geocat mostrato in Figura 151 (tabella in basso) a pag. 284.

A conclusione di questo argomento, va rilevato che Geocat calcola an- che una particolare tipologia di allineamenti per intersezione codificata dagli strumenti GPS di alcune case produttrici. Questa codifica, anziché prevedere l’intersezione mediante la modalità standard di inserimento de- gli angoli con segno opposto, vista sopra, la determina con l’inserimento di un solo allineamento angolare (il primo) e della sola distanza (il se- condo). Lo schema è riprodotto in Figura 153: il primo allineamento (101- 102) è uguale al caso classico già visto, mentre il secondo riporta come orientamento il punto stesso da determinare (1). La Figura 153 mostra le righe da inserire nella tabella di Geocat e quelle che il programma inserirà nel libretto Pregeo.

Figura 153 - La particolare codifica di intersezione adottata da alcune case produttrici di strumentazioni GPS: viene definito un solo allineamento angolare, mentre il secondo riporta la sola distanza al punto da determinare.

Trilaterazione su spigolo nascosto di fabbricato

Un’altra applicazione degli allineamenti per intersezione, utile nei ri- lievi TS di fabbricati, è quello illustrato in Figura 154. Dalla stazione sono visibili tre dei quattro spigoli del fabbricato, mentre non è visibile il quarto. Per rilevare quest’ultimo si renderebbe quindi necessario il lancio di altre stazioni con il conseguente maggior dispendio di tempo. Se i tre spigoli di fabbricato visibili sono ortogonali fra loro, il quarto si può fa- cilmente determinare per intersezione.