Principiﬁsicidifunzionamentoepropriet`adelrumoreshotneidispositivinanoelettronici Capitolo1

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Capitolo 1

Principi fisici di funzionamento

e propriet`

a del rumore shot nei

dispositivi nanoelettronici

1.1 Introduzione

Lo scopo del progetto `e realizzare dispositivi nanoelettronici per la misura di rumore shot in regime diffusivo. In particolare, si vorrebbero rea-lizzare quantum wire gi`a studiati per quel che riguarda la dipendenza della conduttanza dalla tensione di gate, ma soltanto simulati per quanto concerne il rumore [1].

In questo capitolo presentiamo alcuni concetti che stanno alla base del funzionamento di tali dispositivi e dei fenomeni che si vogliono studiare.

1.2 Il gas bidimensionale di elettroni

Il gas bidimensionale di elettroni `e l’elemento chiave per la realizzazione di numerosi dispositivi nanoelettronici. Esso consiste in uno strato di elet-troni confinati verticalmente in uno spessore di pochi nanometri. Gli eletelet-troni sono liberi di muoversi nelle altre due direzioni.

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Si pu`o ottenere tale situazione realizzando un’eterostruttura di arse-niuro di gallio e arsearse-niuro di gallio-alluminio (GaAs/AlGaAs), cresciuta tramite la tecnica MBE, brevemente discussa nel Cap. 2. L’intera struttura `e composta, in generale, da 5 layer differenti, come mostrato in Fig. 1.1. Partendo da uno strato di GaAs non drogato, si crescono uno spacer layer di AlxGa1−xAs non drogato, uno strato di AlxGa1−xAs drogato con Si, una

barriera di AlxGa1−xAs non drogato e un cap layer di GaAs che previene

l’ossidazione degli strati sottostanti. Il silicio occupa i siti degli atomi del gruppo III nella struttura a zincoblenda dell’AlGaAs, comportandosi quindi da donatore. Solitamente si parte da un substrato di GaAs di tipo n sul quale viene cresciuto il GaAs non drogato (Buffer layer) poich´e si ottiene in questo modo una maggiore purezza rispetto all’utilizzo diretto di un substrato non drogato.

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Ci sono diverse ragione per la scelta di questa struttura: in primo luogo, AlGaAs e GaAs hanno gap di energia tra banda di conduzione e di valenza differenti, con il primo maggiore dell’altro. Quando i due materiali sono a contatto avviene un trasferimento di portatori: gli elettroni passano dallo strato drogato di AlGaAs al GaAs, lasciando una regione di carica spaziale positiva che genera un potenziale elettrostatico e causa un piegamento delle bande. Come risultato, gli elettroni sono confinati in una regione larga circa 10 nm nel GaAs, all’interfaccia con l’AlGaAs, dove il livello di Fermi `e mag-giore del minimo della banda di conduzione. In Fig. 1.2 `e rappresentato schematicamente l’andamento della banda di conduzione della struttura.

Fig. 1.2 Banda di conduzione della struttura AlGaAs/GaAs

L’andamento parabolico nell’AlGaAs `e dovuto, appunto, al trasferi-mento di carica nel GaAs, mentre in quest’ultima regione l’andatrasferi-mento non

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è perfettamente lineare, per la presenza inevitabile di drogaggio non inten-zionale. Gli elettroni confinati formano un canale conduttore detto gas bidi-mensionale di elettroni (2DEG) con una mobilità µ dei portatori molto ele-vata, fino a 106 _cm2_{/Vs, e una densità di circa 10}11_{÷ 10}12 _cm−2 _{(a basse}

temperature). Questo valore di densit`a pu`o essere facilmente variato con l’applicazione di un campo elettrico e implica un grande valore di λF che, in

combinazione con un lungo cammino libero medio, fa del 2DEG un mezzo conveniente per lo studio del trasporto quantistico.

L’altra proprietà importante di questa eterostruttura è che il GaAs e l’AlGaAs hanno la stessa costante reticolare a = 5.65 ˚A. Possono es-sere quindi cresciuti uno sull’altro senza provocare stress o dislocazioni all’interfaccia dei due materiali. Questo è un fattore fondamentale per il raggiungimento di alti valori di mobilità, poiché gli elettroni del 2DEG non sperimentano scattering dovuti ai difetti, cosa che invece limita, ad esempio, le prestazioni dei MOS tradizionali realizzati su silicio. La mobilità è ulterior-mente aumentata per la presenza di uno spacer layer che separa gli elettroni nel canale dalla zona dove sono presenti donatori ionizzati che sarebbero centri di scattering.

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1.3 Dispositivi elettronici basati sul 2DEG

Il gas bidimensionale di elettroni può essere usato per la realizzazione di numerosi dispositivi, tra i quali ad esempio gli HEMT (High Electron Mobil-ity Transistor), che sfruttano appunto l’alta mobilità del gas bidimensionale permettendo di raggiungere notevoli prestazioni in termine di velocità e di frequenza.

Anche molti dispositivi nanoelettronici sfruttano le caratteristiche del 2DEG. Tramite la polarizzazione inversa di gate deposti sulla superfice dell’eterostruttura, `e possibile confinare gli elettroni anche nelle altre di-rezioni spaziali, ottenendo in tal modo conduttori unidimensionali oppure isole di elettroni quasi 0D. Si possono cos`ı realizzare ad esempio quantum dot, quantum wire, quantum point contact, dispositivi che sfruttano la natura quantistica degli elettroni.

Grazie all’alta mobilità del 2DEG, si riesce a realizzare un regime di trasporto puramente balistico su lunghezze di centinaia di nanometri e osser-vare il fenomeno della quantizzazione della conduttanza, che verrà discusso nel seguito. Vediamo come si può realizzare un dispositivo utile per tale indagine su eterostruttura AlGaAs/GaAs.

Innanzitutto si definisce, tramite litografia ottica e successivo attacco chimico una ”mesa”, ovvero una regione sopraelevata rispetto al resto della

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struttura. Ai lati della mesa vengono definiti dei contatti ohmici che servi-ranno a collegare il dispositivo al resto del circuito. Nella zona centrale della mesa vengono realizzati, solitamente tramite litografia electron beam e lift-off, elettrodi metallici (gate), che consentono di definire, se polarizzati inversamente in modo da svuotare il gas di elettroni sottostante, un canale unidimensionale, di larghezza dipendente dal valore della tensione inversa applicata. In Fig. 1.3 `e rappresentata schematicamente la struttura ora descritta, dove le regioni quadrate scure sono i contatti ohmici.

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I processi tecnologici necessari alla sua realizzazione saranno discussi nel Cap. 2. Le caratteristiche del dispositivo dipenderanno dalla distanza tra i gate e dalla tensione applicata (che determinano la larghezza del canale) e dalla larghezza degli stessi (che invece determina la lunghezza del condut-tore).

1.4 Formula di Landauer

Consideriamo il sistema di Fig 1.4, composto da un canale unidimen-sionale (quantum wire) di lunghezza L e due reservoir con potenziali elet-trochimici µL e µR (con µL = µR+ eV e V infinitesimo). Si intendono come

reservoir delle regioni estese, che si trovano all’equilibrio termodinamico (per cui si pu`o definire un potenziale elettrochimico). All’interno del canale gli elettroni sperimentano trasporto balistico.

Fig. 1.4 Schema del sistema unidimensionale considerato

Supponiamo di operare a temperatura nulla: a sinistra saranno liberi tutti gli stati al di sopra di µL, mentre a destra quelli al di sopra di µR

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alla conduzione solo gli stati compresi nell’intervallo di ampiezza eV , tra µL

e µR. La corrente risulter`a pari alla somma dei contributi di ciascun modo,

ognuno dei quali è dato dal prodotto della velocità di gruppo del modo per la carica dell’elettrone, per il numero di elettroni coinvolti, per la probabilità che l’elettrone attraversi effettivamente il dispositivo:

I = Np X i=1 vieρ+i eV Np X j=1 Tij,

dove viè la velocità di gruppo dell’i-esimo modo, ρ+_i la densità degli stati che

vanno da sinistra a destra (quelli con k positivo, pari alla metà del totale) per la i-esima sottobanda 1D, e Tij è la probabilità che un elettrone entrante

nel modo i-esimo fuoriesca nel modo j-esimo. Dato che abbiamo assunto

V infinitesimo, possiamo rappresentare il numero di elettroni per unit`a di

volume come il prodotto della densit`a degli stati per l’intervallo infinitesimo di energia:

n = ρ+_i eV.

Inoltre sommando su tutti i modi di uscita possibili, troviamo la probabilit`a di passaggio del modo i : PNp

j=1Tij.

Ricordando, infine, che la velocità di gruppo è data dalla quantita di moto ¯hk divisa per la massa( vi = ¯hk/m) e che la densità degli stati con

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k > 0 nel caso 1D `e pari a ρ+_1D = m/(2π¯h2k), si ottiene, dopo le opportune semplificazioni I = e 2_V h Np X ij Tij.

Poich´e la conduttanza G `e pari a G = I/V , considerando la degenerazione di spin che raddoppia il numero di particelle coinvolte nella conduzione, ot-teniamo G = 2e 2 h Np X ij Tij,

che è la fomula di Landauer nella sua forma più comunemente adottata. Si è fatta l’ipotesi di assenza di scattering anelastici nel conduttore: al suo interno quindi non può essere dissipata energia. Viene allora da chiedersi, dato che abbiamo una resistenza R = 1/G, dove si dissipi l’energia corrispon-dente a V2_{G. Tale energia è effettivamente dissipata nelle reservoir, dove gli}

elettroni che hanno attraversato in modo balistico il conduttore possono in-fine scambiare energia. Anche il rumore termico, presente a temperatura finita, ha origine nelle reservoir. Si pu`o facilmente dimostrare che la formula di Landauer `e valida anche nel caso di struttura a bande generica (nella trat-tazione precedente l’espressione ρ+_1D = m/(2π¯h2k) era stata ricavata facendo

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Notiamo, infine, una caratteristica importante: ciascun modo per il quale si abbia trasmissione unitaria ( PNp

j=1Tij = 1 ) contribuisce alla

con-duzione con una unit`a G0 = 2e2/h, da cui si ricava il notevole risultato

della quantizzazione della conduttanza in multipli di G0 = 77.48 µS. In

particolare vediamo che il contributo di ciascun modo `e lo stesso, indipen-dentemente dall’energia, per la semplificazione tra la dipendenza diretta da

k nell’espressione della velocit`a e quella inversa della densit`a degli stati 1D.

In Fig. 1.5 `e rappresentato l’andamento ideale della conduttanza (a 0 K) tra i due contatti ohmici di un quantum point contact in funzione della tensione applicata ai gate. Al crescere della tensione la conduttanza risulta incremen-tata in corrispondenza dell’attivazione di ciascun nuovo modo trasverso.

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Il fenomeno di quantizzazione della conduttanza dipende molto dalla temperatura, ricordiamo infatti che abbiamo ricavato la formula di Landauer allo zero assoluto, per cui gli stati tra µRe µR+ eV sono liberi nella reservoir

a destra e occupati in quella a sinistra. A temperatura finita dobbiamo introdurre nel calcolo della corrente il fatto che il contributo netto di ciascun modo sar`a pari alla differenza tra la componente che scorre da sinistra a destra e quella che scorre nel verso opposto. La conduttanza `e data dalla media delle conduttanze alle singole energie usando come peso l’opposto della derivata della funzione Fermi-Dirac [2]:

G = 2e 2 h Z _XNp ij Tij(E)(−∂f ∂E)dE.

Si pu`o anche scrivere

G =

Z

G(E)(−∂f ∂E)dE,

con l’integrazione estesa a 5-10 kT nell’intorno del livello di Fermi. A tem-peratura nulla, la funzione −∂f /∂E `e una δ di Dirac con area unitaria e si ricade, quindi, nel caso precedentemente studiato.

L’introduzione della temperatura modifica l’andamento della condut-tanza in modo significativo. In particolare l’aumento della temperatura riduce il fenomeno della quantizzazione della conduttanza, diminuendo la pendenza dei gradini e l’ampiezza dei plateau, ottenendo a temperature suf-ficientemente elevate l’andamento classico della conduttanza tra due contatti

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ohmici. In Fig. 1.7 vediamo un grafico analogo a quello di Fig 1.6 dove per`o `e mostrato l’andamento della conduttanza a differenti temperature.

Fig. 1.7 Dipendenza della conduttanza dalla temperatura.

1.5 Il rumore shot

Il rumore shot nei dispositivi elettronici `e dovuto alla natura discreta della carica. Nel caso di non correlazione tra gli elettroni, il fenomeno si pu`o modellare come un processo di Poisson, e possiamo applicare la teoria di Schottky [3] ottenendo:

SI = 2qhIi

dove SI `e la densit`a spettrale di potenza di rumore e hIi il valor medio della

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Il rumore shot nei dispositivi mesoscopici può essere usato per ottenere informazioni sul sistema che non sono ottenibili tramite misure di condut-tanza. Il rumore shot è generalmente più sensibile ai fenomeni di interazione tra gli elettroni rispetto alla conduttanza media.

Non tutti i tipi di rumore portano informazione: ad esempio la flut-tuazione della tensione ai capi di un conduttore all’equilibrio `e semplicemente rumore, e si pu`o al massimo ricavare la temperatura T del conduttore.

Nel caso di correlazione tra gli elettroni, il processo non sarà più di Poisson e si può definire il fattore di Fano F come:

F = S SP =

S

2qI

dove S `e il valore effettivo della densit`a spettrale di potenza del rumore shot e SP il valore atteso dal teorema di Schottky.

Utilizzando il metodo delle matrici di scattering, a temperatura nulla la densit`a spettrale di potenza del rumore shot `e data dalla seguente espressione [4]:

SI = 4

e2

h|eV |T r[t†t(I − t†t)],

che, sfruttando le propriet`a di invarianza della traccia di una matrice per le rotazioni, diventa: SI = 4 e2 h|eV | X i Ti(1 − Ti),

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dove Ti `e l’i-esimo autovalore della matrice t†t e indica il coefficiente di

trasmissione del modo i-esimo. Poich´e dalla formula di Landauer-B¨uttiker la conduttanza `e data da G = 2e 2 h X i Ti

il fattore di Fano risulta

F =

P

iT_Pi(1 − Ti) iTi

,

formula che pu`o essere direttamente utilizzata nelle simulazioni numeriche. Notiamo che se si ha la condizione Ti ¿ 1 ∀i, otteniamo SI =

4(e2_{/h)|eV |}P

iTi = 2eI e si ricade, quindi, nel caso del teorema di Schottky

(F = 1).

Nel caso di conduttori diffusivi, `e stato dimostrato [5] che, indicati con

L la lunghezza del dispositivo e le la lunghezza di scattering elastico, se il

numero di modi di propagazione N nel conduttore `e tale che le ¿ L ¿ N le,

il fattore di Fano assume il valore di 1/3.

In questo caso, infatti, per gli autovalori Tiho una distribuzione continua

di tipo bimodale: P (T ) = le 2L 1 T√1 − T, di conseguenza S = 4e 2 h |eV | X i Ti(1 − Ti) = 4e 2 h |eV | Z ₁ 0 [T P (T ) − T2P (T )]dT.

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Per il fattore di Fano avremo: F = P iT_Pi(1 − Ti) iTi = 1 − R₁ 0 T2P (T )dT R₁ 0 T P (T )dT = 1 − 2 3 = 1 3 che si ottiene dal calcolo diretto del rapporto degli integrali.

La soppressione del rumore shot è una conseguenza della correlazione degli elettroni nel dispositivo: mentre nel caso di processo di Poisson gli eventi di passaggio sono totalmente incorrelati, l’introduzione di un nuovo elettrone è meno probabile se un altro già occupa uno dei modi propaganti, questo porta alla diminuzione della varianza della corrente e quindi riduce il valore della densità spettrale di potenza del rumore. Come si può facilmente intuire, questo fenomeno è diretta conseguenza del principio di esclusione di Pauli, valido per tutte quelle particelle che rispondono alla statistica di Fermi-Dirac (per questo dette fermioni), come gli elettroni, i protoni o i neutroni.

Un altro caso di soppressione del rumore shot si ha nelle cavit`a caotiche dove P (T ) = 1/πpT (1 − T ) e si ottiene con un procedimento analogo al

precedente F = 1/4 [6].

Può accadere che il quanto di carica q coinvolto nella conduzione non corrisponda alla carica elementare dell’elettrone. La corrente media non può rilevare questa differenza, come invece il rumore shot: poiché F = S/2eI, con e carica dell’elettrone, se ho q 6= e avrò di conseguenza F 6= 1. Un primo

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esempio di q 6= e si ha nella giunzione tunnel metallo superconduttore. Per la formazione delle coppie di Cooper, che sono la causa della superconduzione, ho q = 2e e ci si aspetta F = 2. Recenti esperimenti hanno confermato questa previsione, evidenziando una densit`a spettrale di potenza di rumore doppia rispetto a quella di tipo Poisson [7].

Un secondo esempio `e fornito dall’effetto Hall quantistico frazionario. `

E un’implicazione non banale della teoria di Robert Laughlin che il tunnel-ing attraverso una Hall bar in campo magnetico con filltunnel-ing factor frazionari proceda attraverso unit`a di frazione q = e/(2p + 1) della carica elementare [8]. Misure di rumore shot hanno dato il valore di F = 1/3 evidenziando il notevole risultato di quasi-particelle di carica q = e/3 [9].

Per i dispositivi da realizzare, esistono già simulazioni dal punto di vista del rumore [1]. Si vorrebbero , dunque, verificare i risultati ottenuti, vista anche la presenza in letteratura soltanto di poche misure di soppressione del rumore shot in dispositivi mesoscopici. In particolare, è stato simulato un dispositivo con split gate distanti 400 nm lungo 1 µm. Con questa lunghezza, si osserva un fattore di Fano molto inferiore a quello atteso di 1/3. Questo è dovuto probabilmente al fatto che le perturbazioni del potenziale dovute ai donatori presenti non sono abbastanza alte da causare sufficiente scattering e realizzare un regime diffusivo puro. Il trasporto, infatti, raggiunge una

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condizione intermedia tra quello balistico e quello diffusivo. Per indagare se il regime diffusivo possa essere raggiunto in dispositivi pi`u lunghi, sono state ripetute le simulazioni con lunghezze di 2 e 4 µm. Si nota che l’aumento della lunghezza porta all’aumento del fattore di Fano, anche se il valore asintotico risulta ancora inferiore al valore teorico.

1.6 Tecniche di misura del rumore shot

Analizziamo le tecniche di misura del rumore shot. In questo tipo di esperimenti è molto difficile rivelare direttamente il livello di rumore nel dispositivo con una corrente di inferiore a poche centinaia di picoampere. Questo è dovuto al fatto che la densità spettrale di rumore, per questi livelli di corrente, è dello stesso ordine di grandezza o addirittura inferiore a quella introdotta dagli amplificatori a basso rumore generalmente disponibili. Ci sono tecniche differenti di misura del rumore shot [10]:

1) Una tecnica consiste nel valutare accuratamente il rumore dovuto all’amplificatore e ad altre sorgenti spurie e sottrarlo dal rumore totale all’uscita dell’amplificatore di misura.

2) Un’altra tecnica per la riduzione del rumore consiste nell’usare due amplificatori di rumore, con i loro ingressi posti in serie o in parallelo al dispositivo da misurare (DUT) e calcolare la correlazione incrociata (cross-correlation) dei segnali all’uscita dei due amplificatore. In questo modo i

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contributi di rumore incorrelati (che provengono dagli amplificatori) vengono eliminati.

3) Un’ulteriore tecnica consiste nel raffreddare gli amplificatori, in par-ticolare le resistenze di reazione, in modo da migliorare la cifra di rumore riducendo il contributo delle sorgenti di rumore termico.

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E possibile implementare un sistema di misura che utilizzi la combi-nazione delle tre tecniche illustrate in precedenza. Gli amplificatori sono connessi con gli ingressi in serie al dispositivo sotto misura. Ogni ampli-ficatore è uno stadio transresistivo basato su ampliampli-ficatore operazionale a C-MOS, con un livello molto basso di densità spettrale di rumore di corrente all’ingresso, che è sostanzialmente pari alla densità spettrale di potenza di ru-more della corrente di perdita (circa 1 pA) dei gate dello stadio di ingresso. Le resistenze di reazione hanno un valore di 1 GΩ, che è il più grande a consentire un corretto funzionamento del circuito [11].

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Gli amplificatori di misura e il dispositivo sono collocati su due circuiti stampati separati; le resistenze di reazione e i condensatori di test sono collo-cati sulla stessa piastrina del DUT. Questo permette di tenere gli amplifica-tori a una temperatura adeguata per il loro corretto funzionamento, mentre il dispositivo, le resistenze di reazione e i condensatori di test sono tenuti in elio liquido. Tutti i collegamenti tra le piastrine e la strumentazione esterna de-vono essere fatti con cavi coassiali appositamente realizzati per applicazioni criogeniche. Buoni risultati di misura si ottengono con valori di capacit`a dei condensatori di 28.7 pF. Usando questa procedura `e possibile misurare il rumore shot di correnti dell’ordine di 0.2 pA, implementando anche la cor-rezione basata sulla sostituzione dell’impedenza che permette la sottrazione del contributo di rumore residuo dopo la procedura di cross-correlation.