4.1 Descrizione del modello
Per effettuare le verifiche di sicurezza previste dalla normativa vigente e quindi accertare o meno l’adeguatezza della struttura per i nuovi regimi di carico, è stato sviluppato un dettagliato modello numerico agli elementi finiti con il codice di calcolo SAP2000 V 10.0.1. Il modello del ponte è formato da elementi bidimensionali “shell” e “frame” presenti nella libreria del programma. Il modello è formato da14512 elementi shell, 387 elementi frame e da 14844 nodi. In figura 4.1 è riportata una rappresentazione del modello eseguito.
Gli elementi shell formano l’impalcato del ponte sia nella sezione corrente, sia nella sezione nella quale si aggiunge la soletta inferiore ed inoltre sono stati utilizzati anche per il modellamento dei diaframmi e dei terrazzini presenti sui due lati ogni 25 metri (figura 4.2 ).
Figura 4.2 : Particolare della modellazione della secondaria.
Con gli elementi frame sono invece state modellate le pile (figura 4.3)e quindi le due colonne che le compongono assieme ai due traversi,uno basso e uno alto (pulvino) .
Particolare attenzione è stata rivolta sia al nodo di collegamento principale-secondaria (figura 4.3), che a tutti quei punti dove se un nodo si venivano ad avere singolarità ovvero forze concentrate.
Per quanto riguarda il collegamento principale-secondaria, questo è stato risolto introducendo un elemento frame con rigidezza elevata, ma privo di massa e collocando nella mezzeria di questo una cerniera, così da riprodurre efficacemente il vincolo presente sulla struttura reale .
Figura 4.3 : Particolare della modellazione del nodo principale-secondaria.
Nei punti dove invece si avevano singolarità,cioè forze concentrate,sono stati introdotti elementi frame con rigidezza flessionale elevata e privi di massa, elementi che servono a ridistribuire le singolarità su più nodi sfruttando il comportamento a trave dell’elemento frame, così da evitare discontinuità sugli elementi shell .
Le dimensioni degli elementi shell sono state scelte in modo da mantenere per quanto possibile la forma quadrata.
Per le travi che corrono lungo tutto il ponte sono stati utilizzati 4 elementi shell per sezione trasversale in modo da ottenere una buona rappresentazione del campo tensionale interno. Il legame costitutivo utilizzato è quello elastico lineare inserendo come parametri meccanici quelli ricavati dalle prove sperimentali condotte in sito.
4.2 Primi risultati
I risultati dell’analisi modale sul modello così realizzato erano molto lontani da quelli sperimentali. Le differenze in frequenza per le forme modali corrispondenti fra risultati sperimentali e modello numerico risultavano piuttosto pronunciate (vedi tabella 4.1).
Modo Frequenza modello
[Hz] Frequenza sperimentale [Hz] Errore percentuale I 3.32 2.4 38.3 % II 5.93 7.1 16.5 % III 14.16 15.1 6.2 %
Tabella 4.1 : Primi risultati ed errori relativi.
Date queste differenze così pronunciate, sono state necessarie modifiche del modello attraverso la variazione dei valori dei parametri meccanici in modo tale da rappresentare meglio l’evidenza sperimentale
4.3 Taratura del modello
Ovviamente i valori delle frequenze del modello dipendono dai rapporti relativi fra masse e rigidezze.
Data la dettagliata mesh con cui è stata rappresentata la struttura del ponte e la scarsa variabilità della densità del cemento armato, la massa è stata ritenuta costante.
Si è quindi proceduto a valutare l’influenza di variazioni di rigidezza sulle proprietà dinamiche del modello. La struttura è stata suddivisa in diversi gruppi corrispondenti a porzioni di ponte assunte di proprietà omogenee :
• Anime secondaria rappresentante le travi 85 × 27.5 della trave secondaria
• Soletta superiore principale rappresentante la soletta di 20 cm posta fra le due travi al livello del piano stradale, della trave principale .
• Soletta superiore secondaria rappresentante la soletta di 20 cm di spessore posta fra le due travi al livello del piano stradale, della trave secondaria.
• Soletta inferiore principale rappresentante la soletta di 10 cm di spessore che serviva a formare la sezione a cassone nei punti dove era presente inversione del momento . • Sbalzi principale rappresentante le parti a sbalzo della principale .
• Sbalzi secondaria rappresentante le parti a sbalzo della secondaria .
E’ stato quindi fatto variare il modulo per ogni gruppo di elementi cercando comunque di trovare una soluzione nella quale lo stesso fosse il più possibile costante passando da un elemento ad un altro, questo perché è ragionevole pensare che il calcestruzzo cambiasse di poco le sue proprietà fra un getto ed un altro.
Per ogni tentativo svolto è stato necessario calcolare il MAC per poter confrontare i 100 modi calcolati dal programma con i 3 modi trovati sperimentalmente, così da poter scegliere quelli più vicini a quelli trovati .
4.4 Risultato finale
Dopo circa 20 tentativi si è giunti alla seguente soluzione :
OutputCase StepType StepNum Period Frequency CircFreq Eigenvalue
Text Text Unitless Sec Cyc/sec rad/sec rad2/sec2
MODAL Mode 1 0.407843 2.4519 15.406 237.34
MODAL Mode 15 0.151286 6.61 41.532 1724.9
MODAL Mode 54 0.062419 16.021 100.66 10133
Tabella 4.2 : Risultati finali .
Modo Frequenza modello
[Hz] Frequenza sperimentale [Hz] Errore percentuale I 2.45 2.4 2.0 % II 6.61 7.1 7.4 % III 16.02 15.1 6.0 %
Tabella 4.3 : Risultati finali ed errori relativi.
A questi risultati si è giunti utilizzando un modulo di elasticità equivalente del calcestruzzo pari a E = 24000 N/mm² su tutta la intera struttura.
Di seguito sono rappresentate le deformate modali individuate con il codice di calcolo SAP2000 V 10.0.1 presente in dipartimento .
I Modo : f = 2.45 Hz
Figura 4.4 : Prima forma modale trovata, f = 2.45 Hz .
Figura 4.5 : MAC della prima forma modale trovata, MAC = 78 .
La figura 4.5 mostra che il primo modo sperimentale (hz 2.4), confrontato con i 100 modi numerici determinati dal codice di calcolo, è uguale a quasi l’80%, utilizzando come parametro di confronto il MAC, alla prima forma trovata numericamente, mentre fra le altre individuate non si evidenziano particolari affinità.
II Modo : f = 6.61 Hz
Figura 4.6 : Seconda forma modale trovata, f = 6.61 Hz .
Figura 4.7 : MAC della seconda forma modale trovata, MAC = 74 .
La figura 4.7 mostra che il primo modo sperimentale (hz 7.1), confrontato con i 100 modi numerici determinati dal codice di calcolo, è uguale a quasi il 75%, utilizzando come parametro di confronto il MAC, alla tredicesima forma trovata numericamente, mentre fra le altre individuate non si evidenziano particolari affinità se non per la quarantacinquesima,ma in questo caso la similitudine è di circa il 38%.
III Modo : f = 16.02 Hz
Figura 4.8 : Terza forma modale trovata, f = 16.02 Hz
Figura 4.9 : MAC della terza forma modale trovata, MAC = 60 .
La figura 4.5 mostra che il primo modo sperimentale (hz 15.1), confrontato con i 100 modi numerici determinati dal codice di calcolo, è uguale al 60%, utilizzando come parametro di confronto il MAC, alla prima forma trovata numericamente, mentre fra le altre individuate
4.5 Confronto
E’ possibile adesso confrontare sia i primi risultati con quelli finali, sia le deformate modali sperimentali con quello trovate dalla modellazione numerica.
Modo Frequenza sperimentale [Hz] Frequenza modello (primo tentativo) [Hz] Frequenza modello (risultato finale) [Hz] MAC [%] I 2.4 3.32 2.45 78 II 7.1 5.93 6.61 74 III 15.1 14.16 16.02 60
Tabella 4.3 : Confronto dei risultati.
1 MAC 1 MAC 2 MAC 3 0 10 20 30 40 50 60 70 80 MAC 1 MAC 2 MAC 3
Confronto modo I
Figura 4.11 : Confronto fra il modo I trovato sperimentalmente (rosso) e quello trovato dal
modello numerico (blu)
Confronto modo II
Figura 4.12 : Confronto fra il modo II trovato sperimentalmente (rosso) e quello trovato dal
Confronto modo III
Figura 4.13 : Confronto fra il modo III trovato sperimentalmente (rosso) e quello trovato dal
4.6 Verifica di sicurezza della struttura
Il modello numerico così aggiornato rispecchia con sufficiente accuratezza il comportamento della struttura in esame.
Una volta ottenuto questo requisito, è stato quindi caricato il modello con le stese di carico previste dalla normativa vigente (Norme tecniche per le costruzioni DM 14/9/2005), per poter verificare la sicurezza strutturale.
Essendo il ponte di larghezza pari a 2.70 metri le corsie convenzionali sono in numero pari ad una di larghezza pari a quella offerta dall’impalcato.
Il coefficiente dinamico Φ utilizzato è stato ottenuto dalla formula (4.1) :
150 10) -(L 4 . 1 − = Φ (4.1)
Dove L rappresenta la luce della campata, che nel caso in questione risulta di 25 metri, espressa in metri.
Ne è derivato un coefficiente Φ = 1.3 .
E’ stato quindi utilizzato il “modello 1” di carico che consiste in due assi con passo di 2 metri e interasse di 1.2 metri, ciascuno di 300 kN agenti su una impronta di 30 × 30 cm . Attorno a queste impronte, per una distanza pari a 7.5 metri dal baricentro di queste, non vi sono carichi,che invece vengono reinseriti e di tipo distribuito, con intensità pari a 9 kN/m², oltre questa zona . Di seguito è riportata una figura che riassume quanto descritto :
La combinazione di carico utilizzata per la verifica è la seguente (4.2) :
k k
d G Q
F =1.4 +1.5 (4.2) Qk
Dove Gk rappresenta i pesi propri e pesi portati della struttura, mentre Qk sono i carichi accidentali, ovvero lo schema di carico 1, fatto viaggiare sull’intera struttura.
Dall’analisi,eseguita anche questa con l’ausilio del codice di calcolo SAP2000 V. 10.0. 1 è emersa l’impossibilità della struttura a sopportare i carichi proposti dalla normativa vigente. Per esempio nella sezione di mezzeria della trave principale, sono emersi valori di momento flettente tali da fare risultare al di fuori del dominio di resistenza M-N il punto le cui coordinate sono le sollecitazioni presenti, come mostrato della figura 4.15 (interfaccia del programma VcaSlu ideato dal Prof. Gelfi).
Figura 4.15 : Diagramma M-N, si nota che a fronte di un momento resistente di 2216 kN × m, se ne ha uno sollecitante di 5000 kN × m.
4.7 Conclusioni
Dai risultati è emersa, in modo incontrovertibile, l’impossibilità da parte della struttura allo stato attuale di rispettare la normativa vigente e anche l’impossibilità di adeguare la struttura con interventi plausibili con il valore della stessa, basti osservare che il momento sollecitante della sezione di mezzeria di una principale risulta in valore pari a più del doppio di quello resistente offerto dalla struttura nel punto.
Bibliografia
[1] E.L.Wilson, SAP2000 Analisi agli elementi finiti e Progettazione di strutture. Computer and Stuctures Inc.,1999 .
