CAPITOLO 4- IL MODELLO DI CALCOLO 4.1 Modellazione geometrica della struttura

CAPITOLO 4- IL MODELLO DI CALCOLO 4.1 Modellazione geometrica della struttura

Il modello della struttura è stato realizzato sulla base del rilievo e della documentazione citata ai capitoli precedenti. Inoltre, si sono tenuti in considerazione i criteri e le indicazioni fornite dal D.M. 14 Gennaio 2008.

Il modello, di tipo spaziale, è stato realizzato attraverso l’ausilio di un programma di calcolo (SAP2000 v.12.0.0 ), ed è definito dalla linea d’asse degli elementi.

Il modello della struttura è costituito da elementi piani a telaio connessi con diaframmi orizzontali, ammettendo valida l’ipotesi di impalcato infinitamente rigido; pertanto, ciascun impalcato è caratterizzato da tre gradi di libertà, le due traslazioni lungo le due direzioni orizzontali X e Y del baricentro dell’impalcato e la rotazione intorno all’asse verticale passante per il baricentro.

Nella modellazione, non si è tenuto conto del contributo degli elementi non strutturali.

Comunque il modello della struttura rappresenta, in modo adeguato, la distribuzione di massa e rigidezza effettiva. Si riporta di seguito il modello, vedi Figura 4.1.1.

a

b c

Figura 4.1.1 – Il modello strutturale: a) vista tridimensionale, b) vista frontale lato ingresso principale, c) vista prospettica lato locale caldaia.

N.B. Nella Figura 4.1.1 le fondazioni della struttura sono state rappresentate con la loro effettiva geometria a scopo indicativo, ma nel modello di calcolo effettivamente utilizzato i plinti di fondazione sono stati assimilati a vincoli elastici di cui è fornita la costante di rigidezza, come si vedrà nei paragrafi seguenti. Le travi di

4.2 I Materiali

In base alle risultanze emerse dalla consultazione della documentazione acquisita e dalle prove effettuate, di cui ai paragrafi precedenti, per la verifica delle strutture si sono assunti i materiali seguenti:

− Calcestruzzo C16/20:

f

= 160 daN/cm

; γ

=1.5;

f

= 106 daN/cm

− Ferro di armatura: Acciaio Feb32k:

fy

=3150 daN/cm

γ

=1.15;

f

= 2740 daN/cm

Le resistenze utilizzate nel modello sono state opportunamente corrette tramite il fattore di confidenza F

= 1.20 corrispondente al livello di conoscenza LC 2.

Nel calcolo sono stati considerati i carichi indicati nei paragrafi seguenti.

4.3 Modellazione delle strutture di fondazione

Il punto di contatto della struttura con il mondo esterno è, ovviamente il suolo su cui poggia l'edificio. Attraverso il terreno si scaricano le tensioni trasmesse dalla struttura (che influenzano i cedimenti che a sua volta influenza la rigidezza), la modellazione del suolo di fondazione contribuisce a definire il comportamento dell'intera struttura. Il terreno è anche il mezzo di trasferimento delle onde sismiche alla struttura, una sua errata modellazione , soprattutto per quanto riguarda la componente orizzontale può portare ad un' effetto

"isolamento", come se la struttura fosse sismicamente isolata dal terreno.

In realtà, il terreno è l'elemento più complicato da considerare in una modellazione.

Esso è un mezzo trifase, in cui sono presenti le fasi solido, liquido e gassoso. Le tensioni, secondo il modello di Terzaghi, si trasferiscono in adeguata misura sia allo scheletro solido che alla fase liquida presente. C'è da aggiungere che, durante la costruzione di un opera (e anche nella sua vita d'esercizio), la risposta del terreno di fondazione varia continuamente, condizionata dagli incrementi di carico e dai cedimenti.

D'altro canto, l'ipotesi di vincolare rigidamente la struttura al piede, non dà sempre risultati attendibili. Per strutture di fondazione deformabili, il cedimento del terreno ha effetti anche sui piani più alti delle strutture.

Esistono numerosi metodi, tutti efficaci in determinate condizioni, per valutare la

Tra tutti ricordiamo:

- il modello del "trapezio delle tensioni" (chiamato erroneamente "della trave rigida su suolo elastico"): poco attendibile per l'andamento delle tensioni prodotte;

- Boussinesq: modello del semispazio elastico;

- Winkler: assimila il terreno ad una distribuzione di vincoli bilaterali che seguono una legge lineare;

- Filonenko & Borodich: derivato da Winkler aggiungendo la definizione di un elemento membranale;

- Hetenyi: derivato da Winkler aggiungendo la definizione di una piastra flessibile;

- Grasshoff: utilizzano molle più cedevoli nelle parti opportune per simulare il minor cedimento ai bordi;

- Barden: modello del semispazio elastico, omogeneo e isotropo.

Il metodo più utilizzato, soprattutto nella modellazione agli elementi finiti, è il metodo di Winkler. Ed è quello che è stato utilizzato nella modellazione del terreno della Scuola XXV Aprile oggetto di studio.

Per questo modello c’è da notare il fatto di essere tanto semplice quanto approssimato. La sua diffusa applicazione diventa accettabile in presenza di fondazioni abbastanza rigide e se la risposta del terreno non vari nell'ambito della stessa struttura di fondazione. Il tipo di formulazione di Winkler porta a perdere alcuni effetti visibili che si verificano comprimendo un mezzo poroso, come ad esempio la maggior reazione della parte centrale, e la deformazione anche delle parti di terreno esterne e circostanti all'impronta della fondazione. I metodi precedentemente elencati, generalmente derivati da Winkler (a meno di Barden), tengono conto di questi particolari fenomeni. Come già accennato ogni metodo ha i suoi limiti di validità. Spesso evolvere il modello non porta incrementi di precisione o di affidabilità: questo, insieme alle complicazioni computazionali, è un altro motivo per cui il metodo di Winkler risulta il più diffuso.

Le strutture di fondazione della Scuola, descritte nei capitoli precedenti, sono state modellate come segue:

- i plinti di fondazione sono stati assimilati a vincoli elastici di cui è fornita una

costante di rigidezza alla traslazione e alla rotazione, vedi Figura 4.3.1 .

- Le travi di fondazione sono schematizzate come vincoli elastici distribuiti, con un passo di 50 cm.

Pilastro

Plinto di fondazione

Kv

K^f

h/2 y

x z h

Kv = costante di rigidezza alla traslazione lungo Z

K^f = costante di rigidezza alla rotazione lungo X e Y

h = altezza del plinto di fondazione

Vincolo elastico

N.B.Al vincolo elastico sono bloccati gli spostamenti alla traslazione lungo la direzione X e Y.

Figura 4.3.1 – Modellazione plinti della struttura di fondazione.

Determinazione delle costanti di rigidezza dei vincoli elastici Stima della costante di sottosuolo “Kv” in presenza di azioni sismiche

La costante di rigidezza alla traslazione è stata calcolata secondo la seguente relazione che cerca di approssimare l’ effetto impulsivo dell’azione sismica:

k

= 4 ∙ G ∙ R (1 − ν) dove:

R = √(B ∙ L π⁄ )

B = larghezza della trave o plinto di fondazione L = lunghezza della trave o plinto di fondazione

Nel caso di studio avendo plinti a forma in pianta quadrata con dimensioni diverse abbiamo preso un valore medio di R supponendo, solo per il calcolo di questo valore, una dimensione quadrata media di questi elementi di lato 140 cm.

Le travi di fondazione invece sono state suddivise con un passo di 50 cm (che in questo caso corrisponderebbe al valore di L) ,ed hanno una larghezza costante di 50 cm.

Quindi:

= 78,986 ≅ ⁸⁰  =0,8 

  !"#.= 28,209 ≅ 30 =0,3 

V&= velocità delle onde “ P ”

V_'= velocità delle onde “ S ” (esse raggiungono velocità che si aggirano solitamente intorno al 60-70%

della velocità delle Onde P)

Questi valori si trovano nella relazione geologica del terreno e nel caso in esame hanno valori medi di : V&= 435 /)

V'= 260 /)

* = coeff. di Poisson = 0,5 ∙ .(^/_/⁰₁)²− 2)4 / .(^/_/⁰₁)²− 14 ≅ 0,22 ρ= densità del terreno

Dalla relazione fornita dal geologo la densità media del terreno conseguenza della sua composizione è stata assunta pari a 1,8 .g cm: ⁹4

G = modulo di elasticità tangenziale = ^;₂ρ ∙ V_'²≅ 0,5 ∙ 1800 ._?^=>_@4 ∙ 260².^?_CB^B4 ≅ 61∙ 10⁹. _?^DE_B4 E = modulo di elasticità del terreno = 2 ∙ (1 + ν) ∙ G = 148840 . _?^DEB4 ≅ 150000 . _?^DE_B4

Quindi in base a tale relazione:

• per i plinti di fondazione la costante di rigidezza alla traslazione verticale risulta essere:

k

=

= 250256,41 .

4 ≅ 250000 .

4

• per le travi di fondazione la costante di rigidezza alla traslazione verticale risulta essere :

k

=

(;NO)

= 93846,15 .

4 ≅ 90000 .

4

Questa costante per essere inserita nel modello di calcolo, per assegnarla alle molle di linea, deve essere divisa per la larghezza della trave pari a 50 cm. In tal caso la costante diviene par a:

k

=90000 .

4 ÷ 0,5  = 180000 .

4

Ai vincoli elastici dei plinti di fondazione oltre a dare una costante di rigidezza alla

traslazione è stata assegnata una costante di rigidezza alla rotazione, Kφ , in direzione X e

Y. I plinti essendo quadrati risultano avere la stessa costante di rigidezza in entrambe le

direzioni. Di seguito si espone la trattazione per determinare tale costante.

M

K v * B

x

dF = K∙ B ∙ φ ∙ x ∙ dx dM = dF ∙ dx

allora :

dM = K∙ B ∙ φ ∙ x²∙ dx

ed adesso possiamo integrarlo.

M = \ K_N^]B] ∙ B ∙ φ ∙ x²

B dx

R∙`∙φ

= \ x

B

dx

R∙`∙φ

= .

4

N^]_B ]B

risolvendo :

M = K∙ B ∙ φ ∙^`_;2^@

per la definizione di costante di rigidezza poniamo φ = 1 nella relazione seguente e troviamo il valore cercato:

Kb=^{^}_b = K∙^`_;2^c

≅

.

4

Naturalmente, come già detto in precedenza ai vincoli elastici sono state bloccate le traslazioni lungo le direzioni X e Y.

Verifica dei parametri delle costanti di rigidezza ottenuti

Dopo aver calcolato i valori di k possiamo chiederci se tali valori siano verosimile. E’

possibile individuare dei range di validità in funzione del terreno, sebbene non si debba fare

l’operazione inversa (ovvero: in funzione del tipo di terreno assumere direttamente un

valore di k).

I range caratteristici in funzione del tipo di terreno, forniti dall’ Ing. Onorio Francesco Salvatore dal sito web www.strutturista.com e ritenuti attendibili, sono i seguenti:

•

sabbia sciolta: 0.48 – 1.60 kg/cm³;

•

sabbia grossa mediamente densa: 0.96 – 8.00 kg/cm³;

•

sabbia densa: 6.40 – 12.80 kg/cm³;

•

sabbia argillosa: 3.20 – 8.00 kg/cm³;

•

sabbia limosa: 2.40 – 4.80 kg/cm³;

•

argilla con qa <= 200 kPa: 1.20 – 2.40 kg/cm³;

•

argilla con 200 < qa <= 800 kPa: 2.40 – 4.80 kg/cm³;

•

argilla con qa > 800 kPa: > 4.80 kg/cm³.

Ovviamente, per terreni su roccia si possono ottenere valori anche molto più alti.

Nel nostro caso avendo una costante per i plinti di k

= 250000 .

4 da inserire nel modello possiamo risalire alla K per entrare nella tabella:

dee" =^f_l^{R ghijki}

0JKLMT =^2mnnnn_;,G∙;,G

≅

Facendo il cambio delle unità di misura:

127560 pqr

⁹s = 12,75p qt ⁹s

Il risultato rientra perfettamente nel range della sabbia densa di cui è composto il terreno.

Quindi le costanti ottenute possono considerarsi valori attendibili.

In Figura 4.3.2 è riportata il modello di calcolo con la modellazione della struttura di fondazione.

Figura 4.3.2- Modello di calcolo della Scuola XXV Aprile di Ponte di Arcola, in evidenza la modellazione delle strutture di fondazione.

4.4 L’impostazione dei telai principali sul modello di calcolo

Per un maggior controllo e praticità sui singoli elementi strutturali all’interno del modello tridimensionale dell’edificio, è stato creato un grigliato che permetta l’individuazione di determinate viste 2D che consentono una migliore visualizzazione sia degli elementi che dei loro risultati una volta eseguite le analisi. Nella Figura 4.4.1 è riportata la griglia con cui sono state individuate le viste e i telai principali della struttura: in direzione trasversale in lettere dell’alfabeto dalla A alla O, in direzione longitudinale con numeri da 1 a 12.

Nelle pagine seguenti sono riportate le relative viste principali (telai principali) con la nomenclatura dei singoli elementi strutturali.

Figura 4.4.1 – Griglia con cui sono state individuate le viste e i telai principali della struttura: in direzione trasversale in lettere dell’alfabeto dalla A alla O, in direzione longitudinale con numeri dal 1 al 12.

Telaio A

Telaio B

Telaio C

Telaio D

Telaio E

Telaio N

Telaio O

Telaio 1

Telaio 5

Telaio 6

Telaio 8

Telaio 10

Telaio 11

Telaio 12