Probabilit` a
Giuseppina Albano
October 12, 2016
Il calcolo delle probabilit` a
Si occupa di analizzare eventi generati nell’ambito di esperimenti probabilistici.
Esempi di esperimenti probabilistici sono:
il lancio di una moneta;
il lancio di un dado;
l’estrazione ripetuta di una pallina da un’urna contenente palline di diverso colore;
lo studio costante e ripetuto nel tempo della durata di
funzionamento di una lampadina.
Il calcolo delle probabilit` a
Si basa su:
concetti primitivi: cio` e l’individuazione degli elementi non definibili ma lasciati alla comune intuizione;
postulati o assiomi: cio` e enunciazione di affermazioni non
dimostrabili; teoremi: ovvero dimostrazione di affermazioni
mediante i postulati e con l’ausilio della matematica.
Concetti primitivi
I concetti primitivi su cui si basa il C.d.P. sono:
Prova Evento Probabilit` a
La prova genera l’evento A con una certa probabilit` a P(A).
Prova
Per prova si intende un eserimento in cui sono noti i risultati che possono ottenersi, ma non quello particolare che si presenter` a.
Esempi:
Si lancia 10 volte un dado e si registra il numero di volte che esce la faccia 6
Su 10 tiri di rigore, si contano i goal effettuati
Si registra il numero di incidenti su un tratto autostradale in
un anno.
Evento
L’evento ` e uno dei possibili risultati della prova. Formalmente un evento ` e una proposizione.
Esempi:
nel lancio dei 10 dadi esce 4 volte la faccia con 6 puntini la riuscita della manovra economica
la guarigione dell’ammalato
Eventi elementari e composti
Un evento generato da una prova ` e elementare se non pu` o essere scomposto in sottoeventi
Un evento ` e composto quando esso si pu` o scomporre in due o pi` u eventi elementari
Esempio: Nel lancio di un dado
Evento elementare: esce la faccia con 6 punti
Evento composto: esce la faccia un numero pari
Algebra di Boole
L’insieme di tutti i possibili risultati di una prova viene detto spazio campione
L’insieme costituito da tutti i possibili eventi a cui possiamo essere interessati viene detta algebra di Boole (insieme di insiemi)
Per gli eventi che fanno parte dell’algebra di Boole si definiscono le operazioni di
Unione
Intersezione
Complemento
Diagrammi di Eulero Venn
Gli eventi e le operazioni dell’algebra di Boole possono essere graficamente illustrate mediante i diagrammi di Eulero Venn
Lo spazio campione viene rappresentato da un rettangolo, e
gli eventi (A e B) da linee chiuse.
Unione tra eventi
A ∪ B ` e l’evento che si verifica se si verifica A oppure B oppure
entrambi.
Intersezione di eventi
A ∩ B ` e l’evento che si verifica se si verificano
contemporaneamente A e B.
Complemento
A ∪ B ` e l’evento che si verifica se si verifica A oppure B oppure
entrambi.
Propriet` a delle operazioni
Commutativa: A ∪ B = B ∪ A A ∩ B = B ∩ A idempotenza A ∪ A = A A ∩ A = A
Associativa: (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C ) (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C ) Distributiva: A ∪ (B ∩ C ) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C )
A ∩ (B ∪ C ) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C ) Involutoria:¯ A = A ¯
Regole di de Morgan ¯ A ∪ ¯ B = A ∩ B A ∩ ¯ ¯ B = A ∪ B
Due eventi particolari
Tra tutti i possibili eventi generati da una prova, ne esistono due particolari:
l’evento impossibile, indicato con il simbolo Φ, ` e un evento che non si verifica mai; l’evento certo, indicato con il simbolo Ω, ` e un evento che si verifica sempre.
Esempi:
Esce un 7 al lancio di un dado = Φ
Esce un numero positivo al lancio di un dado = Ω
Eventi incompatibili e necessari
Due eventi A e B si dicono incompatibili quando non possono verificarsi contemporaneamente
A ∩ B = Φ
Due eventi A e B si dicono necessari o mutuamente
esaustivi se almeno uno di essi si verifica come risultato della prova
A ∪ B = Ω
Esercizi
Esercizio 4.1 pag 108
Esercizio 4.3 pag 108
Esercizio 4.5 pag 108
Postulati del Calcolo delle probabilit` a
Principali postulati:
Dato un evento A la sua probabilit` a ` e unica e non negativa P(A) ≥ 0
P(Ω) = 1
Se A e B sono due eventi incompatibili (A ∩ B = Φ) allora
P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
Principali teoremi
1
P(Φ) = 0
2
P( ¯ A) = 1 − P(A)
3
Dati due eventi qualsiasi A e B,
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
La misura della probabilit` a
Definizione CLASSICA (Laplace, 1812)
Definizione FREQUENTISTA (R. Von Mises , 1919)
Definizione SOGGETTIVISTA (B. DE FINETTI, 1950)
Definizione classica
La probabilit` a di un evento ` e il rapporto tra il numero dei casi favorevoli all’evento e il numero dei casi possibili
P(A) = numero di casi favorevoli ad A numero di casi possibili Condizioni per la validit` a:
necessariet` a: almeno un evento si verifica incompatibilit` a: solo un evento si verifica
equiprobabilit` a: tutti gli eventi sono ugualmente probabili
Esercizio
In un negozio sono disponibili per l’acquisto 5 computer, tre della marca G, che indico con G
1, G
2e G
3e 2 della marca C, che indico con C
1e C
2. Decido di acquistarne 2 indipendentemente dalla marca. Qual ` e la probabilit` a di acquistarne due di marche diverse?
Soluzione
Ω = {G
1G
2, G
1G
3, G
1C
1, G
1C
2, G
2G
3, G
2C
1, G
2C
2, G
3C
1, G
3C
2, C
1C
2} A = {G
1C
1, G
1C
2, G
2C
1, G
2C
2, G
3C
1, G
3C
2}
P(A) = |A|
|B| = 6
10
Combinazioni di n oggetti
Nell’esempio precedente il conteggio di tutti gli elementi dell’evento A potrebbe risultare dispendioso in un negozio pi` u fornito!
Si tratta di combinare n oggetti k alla volta Numero di combinazioni = C
kn= n
k
Nell’esempio precedente
P(A) =
3 1
21
5 2
Definizione frequentista
In una successione di prove ripetute molte volte, sempre nelle stesse condizioni, la frequenza relativa delle volte in cui un evento si verifica si avvicina sempre pi` u alla sua probabilit` a, al crescere del numero delle prove effettuate (legge empirica del caso)
n→∞
