GESTIONE DELLA LOGISTICA E DELLA PRODUZIONE prova scritta del 12 luglio 2006
Un impianto chimico elabora due tipi di prodotti, P e P'. Il processo di fabbricazione può essere modulato ripartendo opportunamente tra i due prodotti la capacità produttiva dell’impianto. Questa è limitata dalla quantità q0 di risorsa base che l’impianto riesce a elaborare in una giornata: infatti la fabbricazione di un’unità di prodotto P (di prodotto P') richiede a (richiede a') unità di risorsa base.
Si chiede di determinare le quantità x, x' di prodotto P, P' quotidianamente fabbricato nell’ambito di una politica di gestione del magazzino dell’impianto che, in un orizzonte temporale di T giorni, minimizzi i costi complessivi. A questo fine si tenga presente che:
1. i due prodotti devono essere trasportati insieme a intervalli regolari di tempo ∆t (da stabilire) e in ciascuna spedizione può essere trasportato un quantitativo arbitrario di prodotto P (P' ) sostenendo un costo fisso s0 = 1088 € (s0' = 1664 €) più un costo per unità trasportata pari a s = 12 € (s' = 30 €).
2. il costo di giacenza giornaliero di un’unità di prodotto P (P' ) è di g0 = 26 € (g0' = 36 €);
3. l’impianto è in grado di elaborare q0 = 120 unità di risorsa base al giorno, e si vuole operare saturando la capacità produttiva giornaliera;
4. il consumo di risorsa per la produzione di una unità di P (di P' ) è pari a a = 2 (a' = 3);
5. si desidera mantenere scorte di sicurezza per i rispettivi processi pari a bs = 10, bs' = 8 unità di prodotto.
Nell’orizzonte temporale, i costi di giacenza dei due prodotti associati a un periodo di spedizione ∆t sono g(∆t) = g0T(bs + ½ x∆t) g'(∆t) = g0' T(bs' + ½ x'∆t)
con ax + a'x' = q0, e perciò il costo di giacenza complessivo vale G(∆t) = T(1268 + x∆t)
D’altra parte il costo complessivo di spedire un arbitrario quantitativo di prodotto P e P' ogni ∆t giorni nell’orizzonte T è dato da
S(∆t) = (s0 + sx∆t + s0' + s'x'∆t)T/∆t e sostituendo ancora x' con (q0 – ax)/a' = 40 – 2x/3:
S(∆t) = T (2752/∆t + 1200 – 8x) Il costo complessivo di gestione è pertanto
C(∆t) = G(∆t) + S(∆t) = T(2468 + x∆t + 2752/∆t – 8x) Annullando le derivate prime calcolate rispetto a x e ∆t si ottiene
∆t = 8 x = 2752/∆t 2 = 2752/64 = 43
(si osservi che la quantità x = 43 è effettivamente compatibile con la capacità produttiva dell’impianto). Dal calcolo delle derivate seconde si può poi concludere che la gestione ottima consiste nello spedire ogni 8 giorni 43 unità di prodotto P e (120 – 2⋅43)/3 = 11,33 unità di prodotto P'.
