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Metodo di Ruggeri-Moore
6. Metodo di Ruggeri-Moore
6.1. Descrizione
Il metodo di Ruggeri-Moore è un metodo di previsione delle prestazioni di una pompa in regime cavitante che permette di scalare le prestazioni in funzione del tipo di liquido utilizzato, della sua temperatura e della velocità di rotazione della pompa. Il metodo è risultato in ottimo accordo con i dati sperimentali ottenuti per varie pompe che utilizzano differenti tipi di liquidi, con temperatura possibilmente variabile, come pure la velocità di rotazione. Il metodo, per poter essere applicato, richiede di avere a disposizione almeno due serie di dati sperimentali, di cui almeno uno evidenzi quantitativamente gli effetti termodinamici della cavitazione per le condizioni operative di interesse per la pompa. La previsione della prestazione della pompa al variare di uno o più delle variabili sopra indicate, viene effettuata sulla base della similitudine fluidodinamica in presenza della cavitazione, per cui i valori predetti sono applicabili alle medesime condizioni del flusso con il medesimo livello di cavitazione.
La cavitazione, come già detto in precedenza, è un processo di vaporizzazione che provoca un trasferimento di calore e di massa; le proprietà fisiche del liquido e del suo vapore, come pure le condizioni del flusso, influenzano il processo di sviluppo della cavitazione, così come anche la prestazione della pompa in regime cavitante. Quando si sviluppa una bolla di cavitazione, il raffreddamento conseguente all’evaporazione della massa di liquido interessata fa sì che la pressione dall’interno della cavità formatasi, come pure la pressione di vapore del liquido adiacente alla bolla, subisca una diminuzione rispetto alla pressione di vapore della parte di liquido più lontana dalla bolla. Questa diminuzione della pressione di vapore ritarda la velocità con la quale la bolla si sviluppa, permettendo così alla pompa di poter operare a valori di (numero di Eulero) più bassi di quelli che si avrebbero se questo effetto termico non esistesse. Il prerequisito per poter applicare il metodo è che siano rispettate le condizioni di similarità del flusso cavitante sulla superficie di aspirazione delle palette della pompa e che questa condizione di similarità sia rispettata per tutte le condizioni per le quali si vuole
applicare il metodo. Un importante parametro per l’applicabilità del metodo è il così detto parametro di cavitazione, , così definito:
= ℎ− ℎ
2
(6. 1)
dove:
• ℎ: è la pressione statica del flusso libero del liquido espressa come altezza (in metri) di una colonna di liquido di pressione corrispondente;
• ℎ: è la pressione di vapore del liquido alla temperatura del flusso libero espressa come
altezza (in metri) di una colonna di liquido di pressione corrispondente; • : è la velocità del flusso libero;
• : accelerazione di gravità locale.
Questo parametro, tuttavia, è definito sull’ipotesi che la superficie della cavità sia a pressione costante ed uguale alla pressione di vapore del flusso libero. A causa degli effetti termodinamici dovuti alla cavitazione, la pressione all’interno della cavità non può essere pari alla pressione di vapore del flusso libero del liquido, ma sarà, invece, un po’ inferiore a questa. Un parametro, quindi, più generale per la similitudine fluidodinamica in presenza di cavitazione è quello in cui ℎ viene rimpiazzato dall’effettiva pressione nella cavità, sempre espressa come altezza (ℎ). Gli studi sulla cavitazione nei venturi hanno mostrato che, all’interno di una cavità fissata, la pressione varia con la posizione assiale e, quindi, si rende necessario specificare come riferimento un valore della pressione all’interno della cavità. Quello che viene preso come riferimento in letteratura è la minima pressione nella cavità (ℎ,) che si ha in corrispondenza del bordo d’attacco della cavità. Quindi si può definire un parametro di cavitazione modificato per le cavità sviluppate in questo modo:
, = ℎ− ℎ , 2 = + ℎ− ℎ , 2 = + ∆ℎ 2 (6. 2)
In assenza degli effetti termodinamici della cavitazione, la pressione della cavità corrisponde alla pressione di vapore del flusso libero (∆ℎ= 0) e così si ha che ,= . L’importanza del parametro , è già stata dimostrata attraverso gli studi sui venturi cavitanti, nei quali è stato evidenziato che per cavità di dimensioni fissate (∆ ⁄ costante, dove ∆ è la lunghezza della cavità, mentre è il diametro di questa) questo parametro rimaneva essenzialmente costante al variare del tipo di liquido, della sua temperatura, delle velocità del flusso e per venturi in scala, mentre i valori di variavano fortemente. A causa della complessità del processo di cavitazione, il valore di ℎ,, o di ∆ℎ, non sono in generale noti al variare della situazione del flusso, della temperatura del liquido e del tipo di pompa. Tuttavia le previsioni delle prestazioni per una data pompa sono possibili determinando sperimentalmente dei valori di riferimento per ∆ℎ (e così determinando ,). Attraverso il metodo di seguito esposto è possibile, poi, calcolare i valori di ∆ℎ rispetto al valore di riferimento precedentemente calcolato e per differenti tipi di liquido, differenti valori di temperatura e differenti velocità. La similarità geometrica della regione cavitata è essenziale per la previsione delle prestazioni;
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infatti, come già detto prima, in queste condizioni il parametro , rimane costante. Per una data pompa o induttore, la prestazione con cavitazione dipende dal volume della cavità di vapore presente all’interno dei passaggi delle pale, sebbene la presenza di piccole cavità di vapore sulla superficie di aspirazione della paletta non influenzi necessariamente la prestazione della pompa.
Si assume che, per una data pompa che lavora con coefficiente di flusso costante, la cavità, e quindi il volume di vapore contenuto, che si sviluppa sulla superficie di aspirazione della paletta, per un valore prefissato del rapporto delle prevalenze ⁄ ( è la prevalenza nel caso non cavitante), sia sostanzialmente costante, indipendentemente dal tipo di liquido, dalla temperatura di questo, e dalla velocità di rotazione della pompa. Il criterio di costanza del volume della cavità, assieme a quello di costanza di , permette di estendere il criterio sviluppato per il venturi anche alle pompe ed agli induttori. Si introduce il coefficiente !"#$ (Net Positive Suction Head), anziché il numero di Eulero, definito come il margine dell’altezza totale del fluido rispetto all’altezza di vapore del fluido stesso all’ingresso della pompa, così espresso matematicamente:
!"#$ = ℎ+%
2 − ℎ (6. 3) A questo punto si può riscrivere l’equazione precedente in questo modo:
%
2 ',+ 1( = ℎ+%
2 − ℎ+ ∆ℎ (6. 4) dove % è l’analogo per le pompe di introdotto prima per il venturi. Poiché , è costante per cavità geometricamente simili in un dato sistema, si ha:
!"#$*+,+ ∆ℎ,*+, !"#$ + ∆ℎ = -%,*+, % . (6. 5) dove sono state introdotte anche delle quantità di riferimento che devono essere determinate mediante degli esperimenti. Nelle condizioni di similarità fluidodinamica si ha, inoltre, che la velocità in ingresso alla pompa è proporzionale alla velocità di rotazione della pompa stessa e quindi la precedente equazione si può scrivere:
!"#$*+,+ ∆ℎ,*+, !"#$ + ∆ℎ = -!*+, ! . (6. 6)
Con ! si è indicata la velocità di rotazione della pompa in 012.
Questa equazione permette di determinare il valore richiesto di !"#$ per una particolare pompa in regime cavitante, con costante, e per un dato valore del rapporto ⁄ , al variare del tipo di liquido, della sua temperatura e della velocità di rotazione della pompa. L’unico problema nella precedente equazione è il calcolo di ∆ℎ (e ovviamente anche di ∆ℎ,*+,). Un calcolo approssimato di questo parametro può essere fatto tenendo conto che la
riduzione di pressione (al di sotto della pressione di vapore del flusso libero) all’interno della regione cavitata è attribuibile al raffreddamento conseguente all’evaporazione dello strato di liquido adiacente alla cavità. Questo raffreddamento causa una diminuzione della pressione di vapore dello strato di liquido interessato ed una corrispondente diminuzione della pressione nella cavità, tenendo conto che il liquido ed il vapore nella cavità sono localmente in equilibrio
termodinamico. Quindi facendo un bilancio termico tra il calore richiesto per la vaporizzazione del liquido ed il calore trasportato dal liquido circostante la cavità, si ha:
34 = 35565(∆7) (6.7)
dove:
• 5: è il volume del sottile strato di liquido che è raffreddato durante l’evaporazione;
• : è il volume di vapore generato dalla vaporizzazione;
• 3: è la densità del vapore del liquido di lavoro;
• 35: è la densità del liquido;
• 65: è il calore specifico della fase liquida;
• 4: è il calore latente di vaporizzazione;
• ∆7: è il salto di temperatura attraverso il sottile strato di liquido interessato dal raffreddamento.
Se ∆7 è piccolo, allora si può relazionare questo a ∆ℎ in questo modo:
∆7 = ∆ℎ9:ℎ1
:7
; (6. 8)
dove :ℎ⁄ è la tangente alla curva pressione-temperatura di cambiamento di stato tra :7 liquido e vapore. Quindi si ha per ∆ℎ: ∆ℎ=33 5 5 4 65= :ℎ :7 > (6. 9) In letteratura è possibile reperire grafici dell’andamento di ∆ℎ in funzione del rapporto ⁄ per varie sostanze. Di seguito, a titolo puramente illustrativo, si riportano due di tali 5
grafici.
Figura 6-1: Esempi di grafici dell’andamento di ∆@A in funzione di BA⁄ per l’idrogeno (a sinistra) e per l’acqua, il BC butano e l’alcool metilico (a destra).
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Se non fossero disponibili dei grafici di questo tipo è comunque possibile stimare il termine :ℎ⁄ , facendo riferimento all’equazione di Clausius-Clapeyron: :7
:ℎ
:7 ≅35 7(E4− E5) (6. 10)
dove:
• E: è il volume specifico del vapore; • E5: è il volume specifico della fase liquida.
Tuttavia, a meno che non si sia prossimi alla temperatura critica, i volumi specifici della fase liquida e del suo vapore sono differenti; in particolar modo, ipotizzando di essere sufficientemente lontani dalla temperatura critica, si ha che:
E≫ E5 (6. 11)
In seguito a ciò si può scrivere l’equazione per il calcolo di ∆ℎ in questo modo: ∆ℎ= =33 5> G 64 57H = 5> (6. 12)
Tuttavia in questa equazione è presente il termine ⁄ che in genere non è noto; infatti in 5 qualunque situazione reale il rapporto dei volumi del vapore e del liquido non è noto. Tuttavia è possibile legare tale rapporto ad una condizione di riferimento, attraverso la seguente formula (ottenuta per via sperimentale dai risultati del venturi cavitante):
5 = = 5>*+,I J*+, J K G%,*+,% H .L G *+,H . M I∆ K I∆ K*+,N .O (6. 13)
Il parametro J è la diffusività termica del liquido di lavoro.
Come già detto prima la velocità in ingresso alla pompa è proporzionale alla velocità di rotazione dell’induttore (!). Inoltre per una data pompa, che opera con costante e con un valore di ⁄ fissato, la lunghezza della cavità, come già anticipato prima, rimane costante al variare del tipo di liquido, della sua temperatura e della velocità di rotazione della pompa. Allora la precedente equazione applicata ad una pompa diviene:
5 = = 5>*+,I J*+, J K G!!*+,H .L (6. 14)
Tuttavia in questo modo il problema si è semplicemente spostato dalla determinazione di ⁄ a quella della determinazione di un valore di riferimento per calcolare tale rapporto 5
((⁄ )5 *+, non è noto). Tuttavia il problema è risolvibile per via iterativa. Infatti per risolvere l’equazione di nostro interesse (eq. 6.5) si prendono due serie di dati sperimentali per ciascun valore di ⁄ e di per determinare i valori corrispondenti di !"#$. Queste serie di dati non devono essere necessariamente effettuati con il solito liquido, né con la solita temperatura e né alla solita velocità di rotazione della pompa; tuttavia almeno uno di esse deve presentare gli effetti termodinamici della cavitazione. Uno dei due valori di !"#$ (e quindi il corrispondente valore di !) viene considerato come valore di riferimento. A questo punto sia ∆ℎ che ∆ℎ,*+, risultano incognite. La procedura iterativa anzidetta inizia nell’assegnare a ∆ℎ,*+, un valore arbitrario. Allora può essere calcolato il valore di (⁄ )5 *+,
dall’equazione 6.12; di qui si calcola il valore di ⁄ dall’equazione 6.14; allora risulta noto il 5 valore di ∆ℎ. Questo valore viene inserito nell’equazione 6.5 (o equivalentemente nell’equazione 6.6); se l’equazione non è soddisfatta, si assegna nuovamente un valore arbitrario ∆ℎ,*+, e si ripete la procedura fino a che l’equazione 6.5 (o equivalentemente l’equazione 6.6) non è soddisfatta. A questo punto, noto ∆ℎ,*+, è possibile per qualunque tipo di liquido, per qualunque temperatura di questo e per qualunque velocità di rotazione della pompa conoscere il valore di !"#$ (che è legato al numero di Eulero ) per quel tipo di pompa che opera con un certo valore di P e con un certo valore di ⁄ .
Anziché calcolare il parametro !"#$, molto utilizzato in ambito anglosassone, si preferisce dare per l’equazione 6.5 la versione che coinvolge il numero di Eulero (), che ricordiamo è così definito:
=11%− 1 2 3QR 0S%
(6. 15)
Per ricavare tale equazione è necessario ricordare anche il coefficiente di flusso , così definito:
=UR0T
S%=
%
R0S% (6. 16)
In questo modo è possibile riscrivere il parametro !"#$ in termini di e P:
!"#$ =1S%3− 1 Q = (1%− 1) + 123Q% 3Q = R 0 S% 2 ( + % ) (6. 17) A questo punto il parametro , può essere riscritto come segue:
, =!"#$ + ∆ℎ (% 2 ) − 1 =R 0S% % V( + % ) + ∆ℎ 2 R 0S% W − 1 = + ∆ % (6. 18) dove: ∆ = ∆ℎR2 0 S% = 2 R 0S% X33564Y=:ℎ:7 >Z = 5> *+,I J*+, J K G%,*+,% H .L (6. 19)
L’equazione appena scritta vale tuttavia nell’ipotesi in cui si consideri una data pompa, ovvero non in condizioni di scalatura della pompa.
Il termine :ℎ⁄ , come detto prima, può essere stimato mediante l’equazione di :7 Clausius-Clapeyron, già sopra riportata. Allora, sostituendo per :ℎ⁄ l’espressione :7 conseguente all’equazione di Clausius-Clapeyron, si ottiene:
∆ =R2 0 S% G 3 35 4 657H = 5>*+,I J*+, J K G%,*+,% H .L (6. 20)
Come detto prima, per la similitudine termica in condizioni cavitanti si ha che , risulta essere costante al variare del tipo di liquido, della sua temperatura, delle velocità del flusso e per pompe in scala. Inoltre poiché si è sempre supposto che il coefficiente di flusso P rimanesse sempre lo stesso per avere condizioni di similitudine fluidodinamica, si può scrivere:
115 + ∆
*+,+ ∆*+,= 1 (6. 21)
Questa equazione può essere chiarita dalla seguente Figura.
Figura 6-2: Rappresentazione geometrica dell’equazione 6.21.
Il pedice (0[\) nella precedente equazione indica una condizione di riferimento scelta arbitrariamente.
A causa della condizione di similitudine fluidodinamica, si ha: % = %,*+, → %
%,*+, =
R0S%
R*+,0S% (6. 22)
Combinando le equazioni precedenti si ottiene: ∆ ∆*+,= (%,*+,)%. (%)%. =3 35 4 657J> =3 35 4 657J>*+, (6. 23)
Definendo una funzione 6(7, %) come segue: 6(7Q, %) = =1 %> %. G33 5 4 657JH (6. 24)
allora la precedente equazione diviene: ∆
∆*+,=
6(7, %)
6'7*+,, %,*+,( (6. 25)
La dipendenza della funzione 6 dalla temperatura del liquido (7) non è banale; infatti tutte le grandezze termodinamiche che figurano nell’espressione di 6 (3, 35, J, 65 e 4) dipendono in maniera più o meno complessa dalla temperatura della fase liquida. Se volessimo trovare la temperatura 7 per valori prefissati delle altre variabili, la soluzione risulterebbe possibile solo mediante un procedimento di tipo numerico.
Le equazioni precedenti rappresentano uno strumento relativamente semplice per la risoluzione del problema della scalatura termica. Per avere similitudine in regime cavitante tra condizioni di prova e condizioni di riferimento, si deve (vedi Fig. 6-2) necessariamente imporre che = *+, e, quindi, dalle precedenti equazioni si ottiene:
ref ref
∆
∆*+, = 1 (6. 26)
che si traduce nella seguente espressione:
6(7, %) = 6'7*+,, %,*+,( (6. 27)
Ipotizzando di conoscere le grandezze relative alle condizioni di riferimento (ovvero 7*+, e %,*+,) e di aver stabilito le dimensioni e la velocità di rotazione della pompa nelle
condizioni che vogliamo provare, l’equazione precedente ci permette di ricavare la temperatura 7 alla quale bisogna effettuare le prove sperimentali per garantire la similitudine termica per la cavitazione.
Le equazioni scritte sopra non hanno solo lo scopo di trovare le condizioni per le quali si ha la similitudine termica in presenza di cavitazione, ma permettono anche di prevedere l’andamento della curva di prestazione nel piano (, ) per una pompa, fissate che siano le condizioni di riferimento e quelle che si vogliono provare. Questo è già stato visto sopra, con le equazioni che coinvolgono il parametro !"#$; adesso si presenterà la versione che più ci interessa e che coinvolge il parametro , anziché il parametro !"#$.
Si indicano con i pedici 0 e 1 i parametri caratteristici relativi a due curve di riferimento sperimentali. Le prove devono essere effettuate in condizioni di similitudine fluidodinamica ( = %) e geometrica (la pompa nei due casi indicati con 0 e 1 ha il solito raggio d’ingresso 0S%) ed almeno una di esse deve evidenziare gli effetti termici della cavitazione; i due valori, (%) e 7 possono, però, anche essere diversi dai corrispondenti (%)% e 7%.
Per un certo valore ∗ (va precisato che per ∗ si intende un certo valore di ⁄ , visto che il metodo di Ruggeri – Moore si applica sotto la validità di questa ipotesi) del coefficiente di prevalenza, le equazioni precedenti forniscono le seguenti relazioni:
( ∗) + ∆( ∗) %( ∗) + ∆%( ∗) = 1 (6. 28) ∆( ∗) ∆%( ∗) = 6((%), 7) 6((%)%, 7%) = 6 ∗( (%), 7, (%)%, 7%) (6. 29)
Dalle equazioni precedenti, poiché ( ∗) e %( ∗) sono noti, si può ricavare il valore di ∆( ∗):
∆( ∗) = `( ∗) − %( ∗)a 6 ∗
1 − 6∗ (6. 30)
Volendo stimare il valore di per diverse condizioni, caratterizzate da certi valori di e 0S%, sempre rispettando le condizioni di similitudine fluidodinamica e geometrica con le due precedenti prove, si potrebbero scrivere le seguenti equazioni:
( ∗) + ∆( ∗) ( ∗) + ∆( ∗) = 1 (6. 31) ∆( ∗) ∆( ∗) = 6( (%), 7) 6( (%), 7) (6. 32)
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Questo sistema di due equazioni in due incognite (( ∗) e ∆( ∗)) può essere risolto permettendo di ricavare ( ∗), che è ciò che ci interessa; ripetendo il solito procedimento per differenti valori di ∗, si riesce a ricostruire la curva (, ) relativa alle condizioni desiderate.
6.2. Applicazione del metodo di Ruggeri-Moore
Il metodo di Ruggeri-Moore, come già più volte detto, consente di scalare le prestazioni di una data pompa al variare di certi parametri. Quello che più ci interessa è poter scalare le prestazioni di una data pompa al variare del tipo di liquido. Infatti molti dei circuiti di prova delle turbopompe impiegano l’acqua come fluido di lavoro, essendo estremamente “facile” realizzare le prove con acqua e, soprattutto, molto poco costoso rispetto a prove con ossigeno e/o idrogeno liquidi. Riferendosi alla seguente Figura, ipotizzando di aver fissato il fluido (si fissa una data curva del grafico) e le condizioni, in termini di numero di Reynolds (in ordinata), in cui dovrà operare una data pompa, è possibile conoscere il corrispondente valore di temperatura (in ascissa) dell’acqua (con numero di Reynolds dell’ordine di 10b). In questo modo è possibile sapere a quale temperatura devono essere effettuate le prove in acqua per poter simulare le prestazioni della pompa in un predeterminato fluido di lavoro.
Figura 6-3: Andamento del numero di Reynolds (cde=fgehf⁄ ) per differenti liquidi al variare della temperatura i dell’acqua (hj).
Per cui se ipotizzassimo di impiegare una data pompa con ossigeno liquido (LOx) o con idrogeno liquido (LH2) ad un numero di Reynolds pari a 10k e volessimo effettuare delle prove in acqua con un numero di Reynolds intorno a 10b avremmo bisogno di operare a temperature rispettivamente di 42°C e 78°C. 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 106 107 108 109 1010 1011 T m (°C) R er LH2 LOX NTO MMH CH4
6.3. Bibliografia
[1]-R.S. Ruggeri, R.D. Moore, Method for prediction of pump cavitation performance for various liquids, liquid temperatures and rotative speeds, NASA, TECHNICAL NOTE, 1969.
[2]-A. Cervone, Progetto costruttivo definitivo di un impianto di prova in similitudine di turbopompe cavitanti, Tesi di Laurea in Ingegneria Aerospaziale, Università di Pisa, 2000.
