Decadimento π − → l ν l Decadimento τ − → π − ν τ

prof. Francesco Ragusa Università di Milano

Interazioni Elettrodeboli

anno accademico 2020-2021

Lezione n. 17

24.11.2020

Chiralità e proiezioni chirali. Correnti chirali Universalità e decadimento del leptone μ

Decadimento π ⁻ → l ν _l

Decadimento τ ⁻ → π ⁻ ν _τ

Particelle di massa nulla

y Approfondiamo l’ultimo concetto

y Ricordiamo l’equazione di Dirac per gli spinori in forma Hamiltoniana

y Per una particella di massa nulla (es. il neutrino) l’equazione diventa

y Abbiamo scelto la soluzione con energia positiva e usato il fatto che se m = 0 allora E = |p| = p

y Utilizziamo adesso la rappresentazione di Dirac

y Moltiplicando per γ⁵ l’ultima forma dell’equazione di Dirac otteniamo

Particelle di massa nulla

y Analogamente, ricordando che (γ⁵)² = I otteniamo

y Sommiamo l’ultima equazione all’ultima della diapositiva precedente

y Da cui

y Se invece sottraiamo

y Da cui

y Pertanto nel caso di massa nulla le proiezioni chirali di una soluzione dell’equazione di Dirac coincidono con gli autostati di elicità

Rappresentazione Chirale delle matrici γ

y La rappresentazione di Dirac delle matrici γ è utile stata per discutere il limite non relativistico dell’equazione di Dirac

y Se si vogliono mettere in evidenza altri aspetti sono più convenienti altre rappresentazioni

y Ad esempio il limite di alta energia o, equivalentemente, il limite di massa nulla

y Aspetti legati alla handedness o Chiralità

y In questi casi è conveniente la rappresentazione Chirale o di Weyl^†

y Nella rappresentazione di Weyl si separano le proiezioni chirali R e L degli spinori

y Nella rappresentazione di Dirac si separano le componenti Large e Small legate al limite non relativistico

y †Attenzione: la rappresentazione qui riportata è conforme a quella utilizzata nel libro di testo (Aitchison-Hey )

Nel Peskin-Schoeder e nelle notes di Hitoshi Murayama viene utilizzata una convenzione differente

Rappresentazione Chirale

y Studiamo l’equazione di Dirac nella rappresentazione chirale

y Utilizziamo la rappresentazione chirale e la rappresentazione a blocchi dello spinore

y L’equazione diventa

y L’equazione matriciale corrisponde alle due equazioni accoppiate

y Un aspetto interessante è che nel limite di massa nulla m = 0

y Nella rappresentazione di Weyl le equazioni per χ e φ si disaccoppiano

y Nella rappresentazione di Dirac le due equazioni rimangono accoppiate anche nel caso limite di massa nulla

nella rappresentazione di Dirac avevamo trovato

Particelle di massa nulla

y Nel caso di massa nulla le equazioni diventano ( E = |p| = p )

y Vediamo pertanto che i due spinori bidimensionali χ e φ sono autostati dell’elicità

y Inoltre nella rappresentazione chirale i due operatori di proiezione diventano

y Applicando i due operatori allo spinore generico

y Notiamo infine che i due spinori ψ_L e ψ_R sono anche autovettori dell’operatore γ⁵ (operatore chiralità) con autovalori +1 e −1

y Abbiamo già notato che per m = 0 chiralità ed elicità coincidono y Per una massa non nulla sono due proprietà differenti

y Elicità → polarizzazione completa Chiralità → polarizzazione parziale ℘ = β

Proiezioni chirali

y La separazione delle due componenti è specifica delle rappresentazioni chirali y Tuttavia molte delle altre proprietà viste sono indipendenti dalla massa e dalla

rappresentazione

y Si possono definire due proiettori

y Si può sempre scomporre uno spinore in due componenti chirali ψ = ψ_L + ψ_R y Le due componenti chirali di ψ sono autovettori di γ⁵

y In generale le due componenti non sono soluzioni dell’equazione di Dirac

y Osserviamo che, dato che {γ⁵,γ^μ} = 0, P_Rγ^μ = γ^μP_L e P_Lγ^μ = γ^μP_R y Pertanto se

y Analogamente per l’altra componente

y Tuttavia se m = 0 le due componenti sono soluzioni dell’equazione di Dirac

Proiezioni chirali e antiparticelle

y Discutiamo adesso le proiezioni chirali degli spinori v associati alle soluzioni con energia negativa

y Abbiamo già notato che l’associazione dell’elicità fisica +1 agli autovalori dell’operatore Σ⋅p è opposta a quella degli spinori u

y Va comunque ricordato che la polarizzazione calcolata con l’elemento di matrice ha sempre il segno corretto, sia che si producano particelle (ad esempio e⁻) o antiparticelle (ad esempio e⁺)

y I proiettori di spin covarianti sono stati costruiti in modo da tenere conto dell’inversione di segno

y Analogamente a quanto succede per l'elicità risulta anche invertito il segno della polarizzazione associata alle proiezioni chirali L e R

y Questo aspetto è evidente nel caso di particelle di massa nulla

y Consideriamo ancora l’equazione di Dirac nella rappresentazione chirale

y Pertanto, per le soluzioni di energia negativa, le relazioni diventano nel caso di soluzione con

energia negativa p₀ = −E

diventano Per le antiparticelle l’elicità delle

proiezioni (spinori χ e φ) è scambiata

Proiezioni chirali e antiparticelle

y La conseguenza fisica di quanto detto è che nel decadimento β y La particelle sono emesse con polarizzazione −β_e

y Le antiparticelle sono emesse con polarizzazione +β_ν

y Per finire osserviamo che nel decadimento β l’antineutrino è sempre right-handed

y Ricordiamo l’elemento di matrice

y Lo spinore v si può scomporre

y Calcoliamo l’effetto dell’operatore 1−γ⁵ presente nell’elemento di matrice

y Pertanto nel decadimento β

y L’elicità dell’antineutrino è sempre RH y L’elicità del neutrino è sempre LH

y Chiralità L y Elicità RH (+)

Sopravvive solo v_L

Violazione della parità e momento angolare

y Abbiamo visto che la presenza dell’operatore 1−γ⁵ determina una polarizzazione nei leptoni prodotti nel decadimento β

y Fermioni left-handed

y Antifermioni right-handed

y Questa circostanza ci permette di dare un’interpretazione interessante dei risultati sulle correlazioni angolari nel decadimento β

y La correlazione angolare è una conseguenza della conservazione del momento angolare e del fatto che i due leptoni sono polarizzati

y Abbiamo infatti visto che le transizioni di Fermi non cambiano il momento angolare del nucleo

y I leptoni pertanto sono in uno stato di singoletto e il momento angolare emesso è S = 0

y Per le transizioni di Gamov-Teller invece il momento angolare nucleare varia di una unità

y I leptoni sono adesso in uno stato di tripletto e il momento angolare emesso è S = 1

Vettoriale cosT

∼ 1

Assiale

cosT

= ∼−1

LH RH

Le Correnti chirali Left-Handed

y Ci sono altre osservazioni che si possono fare sulla corrente y Osserviamo che

y Possiamo pertanto scrivere

Le Correnti chirali Left-Handed

y Introduciamo le proiezioni chirali Left degli operatori di campo

y Inserendo nella corrente abbiamo

y Pertanto un altro modo di sintetizzare i risultati sperimentali sui decadimenti deboli è

y Solo le proiezioni chirali Left dei fermioni partecipano ai decadimenti deboli

y Attenzione, solo per le correnti cariche mediate dai bosoni W^r

y Nel modello standard questa affermazione si traduce nel limitare il gruppo di simmetria SU(2) dell’isospin debole alle componenti LH dei campi

chiralità non elicità

Le Correnti chirali Left-Handed

y Per finire una interessante osservazione dovuta a Feynman e Gell-Man

y Se solo le proiezioni chirali LH dei campi partecipano all’interazione debole allora i tipi possibili di interazione sono solamente V e A

y Infatti nella corrente i vari tipi operatore compaiono nella forma

y Questa espressione si annulla per X = S,T (scalare e tensore) y X = S: Γ_X = I

y X = T: Γ_T = γ^μγ^ν

y Viceversa, per X = V e X = A gli operatori non si annullano NB:

Il neutrino

y Abbiamo visto che la forma V−A della interazione implica y Che i fermioni siano sempre left-handed

y Che gli antifermioni siano sempre right-handed

y Dal momento che la massa del neutrino è nulla, una volta prodotto con una data polarizzazione questa sarà mantenuta per semprie

y La velocità del neutrino è c l’elicità è la stessa in ogni sistema di riferimento y Inoltre il neutrino interagisce solo per interazione debole e quindi

solo se è left-handed

y Ė legittimo quindi chiedersi se il neutrino right-handed esista o meno y Stesso discorso per l’antineutrino left-handed

y L’equazione di Dirac descrive i fermioni con una funzione a 4 componenti y 2 componenti per i due stati di polarizzazione della particella

y 2 componenti per i due stati di polarizzazione dell’antiparticella

y Dal momento che il neutrino e l’antineutrino necessitano di un solo stato di polarizzazione, lo spinore di Dirac per il neutrino è ridondante

y Date le due proiezioni chirali u_L e u_R è possibile che u_R sia l’antineutrino ? y In questo caso particella e antiparticella coinciderebbero

Il neutrino

y Se il neutrino e l’antineutrino fossero la stessa particella allora dovrebbe esistere la reazione

y Questa transizione è stata cercata utilizzando gli antineutrini prodotti da un reattore

y La ricerca condotta da Davis ha portato a risultati negativi

y Altre possibilità di verifica sono offerte dal cosiddetto decadimento doppio β y Se esistono 3 stati nucleari isobarici nelle relazioni di massa indicate

y Allora non è permesso energeticamente il decadimento

y Avviene invece la transizione del secondo ordine (molto rara) in cui due neutroni decadono

A

A

A

Il neutrino

y Se però non esistesse distinzione fra il neutrino e l’antineutrino y Allora sarebbe possibile la reazione

y Lo stato intermedio è virtuale.

y La reazione completa sarebbe

y Il decadimento con due neutrini è stato osservato

y Il decadimento senza neutrini non è mai stato osservato y Il neutrino e l’antineutrino sono pertanto distinti

y Se il decadimento doppio β venisse osservato occorrerebbe descrivere il neutrino con uno spinore di Maiorana

y Un formalismo che non distingue fra particelle e antiparticelle

y Si ottiene con opportune combinazioni di operatori di creazione e distruzione di particelle e antiparticelle

Universalità

y Nel 1935 Yukawa predisse l’esistenza di una particella con massa dell’ordine di 100 MeV che doveva essere il quanto dell’interazione forte

y Una particella di massa simile fu scoperta nel 1938 da Neddermeyer e Anderson nello studio dei raggi cosmici

y Nel 1945 Conversi, Pancini e Piccioni giunsero alla conclusione che la particella non poteva essere il quanto della interazione forte

y Nel 1947 Muirhead, Lattes e Occhialini scoprirono il la catena di decadimento

y Nel 1949 Steinberger scoprì che il muone decade in 3 particelle leggere y Oggi sappiamo che

y Da questo momento in poi nasce l’idea che l’interazione di Fermi possa spiegare molti decadimenti

y In particolare, il decadimento del muone può essere spiegato con il diagramma

y Vale a dire in modo analogo al decadimento β tramite l’interazione delle correnti dell’elettrone e del muone

μ ν_μ

e Universalità

Universalità

y Occorre pertanto introdurre una corrente per il muone analoga a quella dell’elettrone

y La corrente leptonica totale è

y Analogamente a quanto già visto la corrente J^α(μ)

y Crea un muone μ⁻ o distrugge un antimuone μ⁺ con il campo y Distrugge un neutrino ν_μ o crea un antineutrino con il campo y Per descrivere la reazione dobbiamo

y Distruggere un muone e creare un neutrino y Abbiamo bisogno della corrente (J^α(μ))^†

y Possiamo pertanto scrivere l’Hamiltoniana di interazione come

y Gli operatori necessari per l’elemento di matrice vengono automaticamente selezionati dagli stati iniziale e finale (a meno di costanti di normalizzazione e spinori)

Il decadimento del leptone μ

y Il decadimento del muone è descritto dal diagramma y La vita media può essere calcolata con le stesse

tecniche utilizzate per il calcolo della vita media del neutrone (si può assumere m_e = 0)

y La misura della vita media del leptone μ è molto precisa e permette pertanto una determinazione molto accurata della costante di accoppiamento

y Per distinguerla da quella ricavata dal decadimento β la chiamiamo G_μ

y Per poter trarre beneficio della precisione della misura sperimentale occorre tenere conto delle correzioni radiative elettromagnetiche

y Le correzioni radiative elettromagnetiche sono descritte dai diagrammi

y Tenendo conto di correzioni O(α²) e con m_e ≠ 0 si ottiene^†

y La quasi identità fra G_μ e G_β è una forte indicazione che la stessa interazione descrive i decadimenti del neutrone n e del muone μ

y ^† Erler, Langacker PDG 2006 J. Phys. G 33 pag. 120 eν_e

μ ν_μ

eν_e

μ ν_μ

eν_e

μ ν_μ

eν_e

μ ν_μ

eν_e

μ ν_μ

μ ν_μ

e

Universalità

y Altri processi che possono essere spiegati con estensioni dell’Hamiltoniana del decadimento β che abbiamo studiato

y Decadimenti e urti completamente leptonici

y Decadimenti e urti semi-leptonici senza variazione di Stranezza

y Decadimenti semi-leptonici con variazione di Stranezza

y Decadimenti totalmente adronici con variazione di Stranezza

y Tutti questi decadimenti sono stati studiati con successo e hanno confermato la validità della interazione fra le due correnti

La corrente adronica

y Nello studio del decadimento beta abbiamo utilizzato l'operatore corrente adronica

y Ne abbiamo calcolato l’elemento di matrice fra due stati (il neutrone iniziale e il protone finale)

y Abbiamo inoltre notato che il fattore κ diverso da 1 è dovuto al fatto che gli adroni non sono puntiformi

y Pertanto occorre tenere conto dell’interazione forte

y Nello studio delle correnti degli adroni risulta conveniente utilizzare una corrente generica (non definita esplicitamente)

y È un operatore vettoriale (nel senso di Lorentz)

y Dagli esperimenti abbiamo visto che deve avere una parte vettoriale e una assiale

y Gli esperimenti ci dicono quali regole di selezione deve riprodurre

La corrente adronica

y Per il calcolo delle quantità osservabili occorre calcolare l’elemento di matrice dell’operatore fra stati di particelle

y Ad esempio, nel caso del decadimento β del neutrone si ha

y Le funzioni F^μ sono un insieme di c-numbers (non sono operatori)

y A seconda del tipo di accoppiamento ipotizzato le funzioni F^μ hanno uno (o più, o zero) indici di Lorentz

y In dipendenza dalla natura degli stati (iniziale e finale) le funzioni F^μ hanno come argomenti 4-momenti e variabili di spin

y Complessivamente hanno ben precise proprietà di trasformazione per trasformazioni di Lorentz

y Utilizzando le proprietà di invarianza (di Lorentz) e le regole di selezione si può scrivere la forma più generale dell’elemento di matrice e confrontarlo con i dati sperimentali per determinare le parti incognite (ad esempio l'origine del fattore κ ≈ 1.26)

Il decadimento π ⁻ → l ⁻ ν _l

y Il mesone π predetto da Yukawa e scoperto da Neddermeyer e Anderson è l'adrone più leggero

y Non può decadere tramite interazione forte y Decade tramite interazione debole

y Il decadimento è rappresentato schematicamente dal diagramma

y Nel diagramma con i quark

y Non è nota la struttura dello stato legato

y I quark interagiscono tramite gluoni (QCD): non trattabile perturbativamente

y Si ipotizza una interazione corrente-corrente

y Lo stato iniziale e lo stato finale sono

Nell'ambito del modello a quark il pione è uno stato legato

Il decadimento π ⁻ → l ⁻ ν _l

y L'elemento di matrice è

y Per gli adroni si passa da uno stato con un pione allo stato vuoto y Nel caso del decadimento β si passa dal neutrone al protone

y Per i leptoni, come nel caso del decadimento β si passa da uno stato vuoto allo stato con due leptoni

y Si può procedere come nel caso del decadimento β per giungere alla seguente espressione per l’ampiezza

y La parte leptonica è identica a quanto visto per il decadimento β

y Consideriamo la parte adronica

y Deve essere proporzionale a p^μ, il 4-momento del pione

y La costante di proporzionalità deve essere una funzione invariante y Può dipendere solo da quantità invarianti: p² = m²

y Pertanto f(p²) = f è una costante

Il decadimento π ⁻ → l ⁻ ν _l

y Per la conservazione del 4-momento totale abbiamo

y La quantità f_π è una costante che dipende dalla natura del mesone che decade e ha le dimensioni di una energia

y L’elemento di matrice diventa pertanto

y Si può ulteriormente semplificare ricordando che

y Pertanto

Il decadimento π ⁻ → l ⁻ ν _l

y Il modulo quadrato sommato sugli stati di polarizzazione finale si ottiene con le usuali tracce

y La traccia si calcola facilmente

y Si ha inoltre

y In conclusione

Il decadimento π ⁻ → l ⁻ ν _l

y Notiamo che l’elemento di matrice è costante, come ci si poteva attendere y La larghezza di decadimento è

y Ricordiamo lo spazio delle fasi per uno stato finale di due particelle nel c.m. del π (vedi diapositiva )

y L’integrale è banale

y Più grande per l = e y Più piccolo per l = μ 2702287

Il decadimento π ⁻ → l ⁻ ν _l

y In definitiva otteniamo per la larghezza di decadimento

y Il pione decade circa nel 100% dei casi in muone ed ha una vita media

y Da questo valore si può ricavare il parametro fenomenologico^† f_π

†M. Suzuki, PDG 2006, J. Phys. G 33 pag. 535

Il decadimento π ⁻ → l ⁻ ν _l

y Il decadimento in elettrone è molto raro y La misura della frazione di decadimento dà

y Va confrontata con il risultato del nostro calcolo

y Vediamo che il nostro calcolo riproduce molto bene l’ordine di grandezza y L’ingrediente chiave è la massa del leptone la cui origine è dovuta

all’accoppiamento di tipo vettoriale ( γ^μ o γ⁵γ^μ)

Polarizzazione del leptone

y Come nel caso del decadimento β del neutrone è facile calcolare la polarizzazione del leptone carico nel decadimento del pione

y Otteniamo pertanto

y Si verifica facilmente che

y Il vettore di polarizzazione longitudinale del leptone è y Dalla cinematica si ottiene facilmente

y Ricordiamo y In definitiva

Polarizzazione del leptone

y Il risultato precedente mostra che nel sistema di riposo del pione il leptone è polarizzato al 100% nella sua direzione di moto

y Questo risultato era prevedibile per i seguenti motivi

y Il pione ha spin 0

y L’antineutrino è right-handed

y Per la conservazione del momento angolare anche il leptone carico è right-handed

y Questo spiega qualitativamente perchè il decadimento in elettrone è molto più raro nonostante dovrebbe essere favorito per lo spazio delle fasi

y La conservazione del momento angolare obbliga il leptone a essere emesso con la polarizzazione sbagliata (rispetto a quella imposta dalla corrente V-A) y Per l’elettrone (che è molto più leggero e che ha un β ≈ 1)

ciò è molto più difficile (probabilità 1−β)

y Se il leptone avesse massa nulla il decadimento avrebbe larghezza nulla π

Il decadimento del leptone τ: τ ⁻ → π ⁻ ν _τ

y Mostriamo come il formalismo fin qui sviluppato può essere utilizzato anche per il calcolo della frazione di decadimento del leptone τ

y Osserviamo prima di tutto che per il calcolo della vita media o della larghezza totale occorrerebbe calcolare tutte le larghezze parziali

y Troppo lavoro ….

y Calcoliamo solo la larghezza del decadimento in π⁻ ν_τ e confrontiamola con la larghezza totale

y La larghezza totale può essere derivata dalla vita media y Dal risultato sperimentale τ = 290.6u10⁻¹⁵ s ricaviamo

y Calcoliamo adesso la larghezza del decadimento π⁻ ν_τ

y Il calcolo è identico a quello fatto per il decadimento del pione y Si utilizza l’Hamiltoniana

Il decadimento del leptone τ: τ ⁻ → π ⁻ ν _τ

y La corrente leptonica J^μ adesso contiene anche un termine per il leptone τ y Lo stato iniziale e lo stato finale sono rispettivamente

y Notiamo in particolare che per quel che riguarda gli adroni si passa dallo stato vuoto allo stato con un pione

y La situazione opposta a quella del decadimento del pione y Scriviamo pertanto l’ampiezza di decadimento

y L’elemento di matrice della parte adronica è il complesso coniugato di quello che avevamo nel decadimento del pione

y Dato che era reale sono uguali

y Il 4-vettore q^μ è il momento del pione

Il decadimento del leptone τ: τ ⁻ → π ⁻ ν _τ

y L’elemento di matrice della parte leptonica è

y Per finire l’ampiezza è

y Sostituendo

y Con la solita tecnica troviamo

y Dalla cinematica otteniamo

Il decadimento del leptone τ: τ ⁻ → π ⁻ ν _τ

y Mettendo insieme i vari pezzi otteniamo

y Notiamo il fattore ½ introdotto prima dell’elemento di matrice y Questa volta il leptone è nello stato iniziale

y Bisogna mediare statisticamente fra le due polarizzazioni possibili y Introduciamo i valori delle costanti e delle masse

y Otteniamo

media sulle polariz- zazioni iniziali

Il decadimento del leptone τ: τ ⁻ → π ⁻ ν _τ

y Ricordando la larghezza totale ottenuta dalla vita media

y Otteniamo la frazione di decadimento

y Da confrontare con il valore sperimentale