Studio della funzione f(x)

Studio della funzione f(x)

Si verifica facilmente che :

la funzione f(x) di Gauss e’ continua e derivabile tra - ……..+.

ha valore massimo 1/s2 in x=X ha punti di flesso in x=X-s e in X+s

e le tangenti nei punti di flesso intersecano l’asse delle x nei punti x=X-2s e in X+2s

e' normalizzata : mostreremo che

1 )

( 

 





dx x

f

Esempi di curve di Gauss

Limite di confidenza del 68% : ^{se una}

misura si colloca nell’intervallo indicato si dice che e’

confidente al 68%

Limite di confidenza del 95% : se una misura si colloca

nell’intervallo indicato si dice che e’ confidente al 95%

Metodo della massima verosimiglianza ^:

giustificazione del valor medio Σxi/N ( come miglior valore di X vero X

= Σxi/N (5.5 Taylor e 9.3 Carnelli)

Siano dati i valori delle n misure x

, …., x

ripetute e indipendenti della stessa grandezza fisica . Si suppone che la distribuzione di probabilita’ sia gaussiana i cui parametri X

e non sono noti a priori . Poiche’ le misure sono indipendenti la probabilita’ di aver

osservato queste n misure e’ dato dal prodotto delle singole probabilita’

P

,

(x

, ..,x

) = P

,

(x

)· P

,

(x

) ·..

P

,

(x

) =

=1/((2)

1/(σ

))· e

^Σ(xi−X)2

2 σ

Le miglior stime dei parametri X e σ si possono ottenere utilizzando un principio variazionale della statistica noto come l principio di

Massima verosimiglianza.

Questo plausibile principio afferma che i miglior valori dei parametri sono quelli che rendono massima la funzione di

probabilita'

P

,

(x

, ..,x

) che dipende dai parametri X=X

e s=s

La P

,

(x

, ..,x

),che si indica con F(X, s )

F(X, σ) = 1/σ ^N · e ^{−Σ(xi−X)2} /2 σ ² = σ− ^N · e ^{−Σ(xi−X)2} /2 σ ²

e’ detta funzione di massima verosimiglianza

La funzione e’ a due variabili e la condizione che si deve imporre per trovare i massimi e’ che siano nulle le derivate

parziali

dF/dX =0 e dF/dσ =0

Valor medio come miglior valore di X

dF/dX = σ−

(e

/2 σ

) · d(−Σ(x

−X)

/ 2 σ

) / dX = = σ−

· (e

/2 σ

) ·(−2Σ(x

−X) / 2 σ

) = 0

da cui Σ(x

−X) = 0 X

= Σx

/n

ovvero:

X _best ,ovvero il miglior valore di X ,(secondo il principio di massima

verosimiglianza ) è il valore medio Σxi/n

Miglior valore della varianza σ

=Σ(x

−X)

/n

dF/dσ = −n σ ⁻ⁿ⁻¹ e ^{−Σ(xi−X)2} /2 σ ² + σ− ⁿ (e ^{−Σ(xi−X)2} /2 σ ² ) ·

d(−Σ(xi−X) ² _/ 2 σ ² )/ds=

= −n σ ⁻ⁿ⁻¹ e ^{−Σ(xi−X)2} /2 σ ² + σ− ⁿ (e ^{−Σ(xi−X)2} /2 σ ² ) · (−Σ(xi−X) ² ) (- 2σ− ³ / 2) =

= -n σ ⁻ⁿ⁻¹ e ^{−Σ(xi−X)2} / 2 σ ² + σ− ⁿ e ^{−Σ(xi−X)2} / 2 σ ² ) · (−Σ(xi−X) ² ) (−σ− ³ )=

= σ ⁻ⁿ ·e ^{−Σ(xi−X)2} / 2 σ ² ( −n σ ⁻¹ + Σ(x _i −X) ² σ ⁻³ ) = 0 da cui (−ns ⁻¹ + Σ(xi−X) ² σ ⁻³ ) = 0 ovvero

σ

= Σ(xi−X)

/n

Giustificazione della deviazione standard

σ _x = Σ(x

−X

)

/(n−1) come miglior valore di s

(vedi anche 9.4 Carnelli)

Dimostrazione della relazione Σ(x

−X)

/ n = Σ(x

−X

)

/(n−1)

σ

= Σ(xi−X)

/ n = Σ(xi− X

+ X

−X)

/ n = in cui ho aggiunto e tolto X

= Σx

/n

= Σ(xi− X

)

/ n + Σ(X

−X)

/ n + 2 Σ(xi− X

)(X

−X) / n =

= Σ(xi− X

)

/ n + n(X

−X)

/ n + 2(X

–X) Σ(xi− X

)/ n =

Poiche' Σ (xi− X

)/n= Σ(xi)/n- X

=0 l'ultimo termine e' nullo e quindi si ha

σ

= Σ(xi−X)

/ n = Σ(xi− X

)

/ n +( X

−X)

=Σ(xi− X

)

/ n + (Σx

/n − X)

=

in cui ho sostituito X

con Σx

/ n

●

la relazione puo' essere riscritta

●

σ

= = Σ(xi−X)

/ n= Σ(xi− X

)

/ n + (Σx

−nX)

/ n

=

●

= Σ(xi− X

)

/ n + (Σx

−ΣX)

/ n

=

●

= Σ(xi− X

)

/ n + (Σ(x

−X))

/ n

●

l’ultimo termine puo’ essere riscritto come Σ

(x

−X) ·Σ

(x

−X) / n

e riscriviamo di seguito σ

separando i termini diagonali del prodotto delle due

sommatorie dai termini non diagonali

●

si ottiene la relazione

●

σ

= Σ(x

−X)

/ n= Σ(xi− X

)

/ n + Σ(x

−X)

/ n

+ Σ

(x

−X) · Σ

(x

−X) / n

●

Il termine diagonale Σ(x

−X)

/ n

e’ sempre positivo ,mentre il termine non

diagonale Σ

(x

−X) · Σ

(x

−X) / n

non ha segno definito e per n molto grande

si puo’ trascorare rispetto al termine diagonale.

Con questa approssimazione , la relazione risulta

σ ² _best = Σ(x _i −X) ² / n= Σ(xi− X _medio ) ² / n + Σ(x _i −X) ² / n ² da cui si puo’ scrivere che

Σ(x _i −X) ² / n= Σ(xi− X _medio ) ² / n + Σ(x _i −X) ² / n ²

Σ(x _i −X) ² - Σ(x _i −X) ² / n = Σ(xi− X _medio ) ²

Risolvendo rispetto a Σ(x _i −X) ² / n si ha

( 1 - 1/n ) Σ(x _i −X) ² = Σ(xi− X _medio ) ² da cui Σ(x _i −X) ² /n = Σ(x _i −X) ² /(n-1)

Resta cosi’giustificata la formula della deviazione standard σ _x come il miglior valore di σ

σ

=Σ(x

−X

)

/(n−1)