La distribuzione Gaussiana

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Corso di laurea in biotecnologie - Corso di Statistica Medica La distribuzione di probabilità gaussiana. 5

La distribuzione Gaussiana

• È la distribuzione di probabilità che meglio rappresenta molte variabili biologiche

• E’ la distribuzione di probabilità degli errori casuali

• E’ la distribuzione di probabilità delle statistiche campionarie

• E’ la distribuzione limite per altre

distribuzioni di probabilità quando n →∞

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Distribuzione delle differenze tra glicemia misurata al polpastrello ed all’avambraccio

La distribuzione Gaussiana

• È la distribuzione di probabilità che meglio rappresenta molte variabili biologiche

• E’ la distribuzione di probabilità degli errori casuali

• E’ la distribuzione di probabilità delle statistiche campionarie

• E’ la distribuzione limite per altre

distribuzioni di probabilità quando n →∞

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• La distribuzione gaussiana come modello di una distribuzione di probabilità empirica

• Es. istogramma che descrive la

distribuzione di frequenza di una variabile

numerica in un gruppo di 400 soggetti:

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• Aumento progressivamente la

suddivisione dell’istogramma:

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Distribuzione di frequenza (empirica) Distribuzione di probabilità (teorica)

La forma della distribuzione di probabilità normale

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La formula della distribuzione normale.

E’ definita da Media (µ) e Deviazione Standard (σ)

( ) ( )

2 2

exp 2 2 *

1 σ µ π

σ

−

 −



 



=  x

x f

La distribuzione gaussiana o “normale”

comprende una famiglia di curve, i cui

parametri sono Media (µ) e Deviazione

Standard (σ)

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Media (µ): posizione centrale

Deviazione Standard (σ): 'ampiezza' della curva

Il grafico seguente mostra due curve normali con DS=1 (curva nera) e DS=2 (c.rossa). Entrambe hanno media=0 .

y

0. 00 0. 02 0. 04 0. 06 0. 08 0. 10 0. 12 0. 14 0. 16 0. 18 0. 20 0. 22 0. 24 0. 26 0. 28 0. 30 0. 32 0. 34 0. 36 0. 38 0. 40

x0

- 9 - 8 - 7 - 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

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In questo grafico si mostra la relazione tra funzione di densità di probabilità gaussiana

(curva a campana, corrisponde ad una distribuzione normale standard) e la corrispondente funzione cumulativa (curva sigmoide).

-4.0 -3.5 -3.0 -2.5 -2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 X

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

GS2

Data una variabile la cui distribuzione di probabilità è gaussiana, possiamo misurare la probabilità corrispondente

a determinati intervalli di valori della variabile

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P=0,025 | x | = 1,960 P=0,025

0,95

0,50 0,50

P=0,025 | x | = 1,960 P=0,025

0,95

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X = 1,645 P=0,05

0,95

Applicazione delle regole della distribuzione gaussiana

Poniamo ad esempio che, data una variabile con distribuzione gaussiana (es. la statura), io sia interessato a calcolare la probabilità di osservare un soggetto con valore x (o inferiore).

Conosco i parametri che descrivono la distribuzione di probabilità (media: µ e Deviazione Standard: σ).

Come procedo?

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p(x<161,49) = ?

p(x>184.5)=?

Soluzione 1: calcolo l’integrale

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LA DISTRIBUZIONE DEGLI ERRORI DI MISURA

La distribuzione normale

DISTRIBUZIONE DEGLI ERRORI DI MISURA

Si supponga di eseguire, in condizioni assai simili e con lo stesso metodo analitico, un gran numero di misurazioni della emoglobina glicata, e di riportare in un grafico le frequenze relative dei valori ottenuti (x) con le prime 20, 40, ... 5120 misure.

LA FORMA DELLA DISTRIBUZIONE DEGLI

ERRORI DI MISURA

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0 0.03 0.06 0.09 0.12 0.15

75 80 85 9095100105

n=20

0 0,03 0,06 0,09 0,12 0,15

75 80 85 90 95 100105

n=40

0 0,03 0,06 0,09 0,12 0,15

75 80 85 90 95 100105

n=80

0 0.03 0.06 0.09 0.12 0.15

75 8085 90 95100105

n=160

0 0,03 0,06 0,09 0,12 0,15

75 80 85 90 95 100105

n=320

0 0.03 0.06 0.09 0.12 0.15

75 80 85 90 95 100105

n=640

0 0.03 0.06 0.09 0.12 0.15

75 80 85 9095100105

n=1280

0 0,03 0,06 0,09 0,12 0,15

75 80 85 90 95100105

n=2560

0 0,03 0,06 0,09 0,12 0,15

75 80 85 90 95 100105

n=5120

• La più importante distribuzione continua che trova numerose applicazioni nello studio dei fenomeni biologici.

• Proposta da Gauss (1809) nell’ambito della teoria degli errori.

• Detta anche curva degli errori accidentali

La curva di Gauss

Le caratteristiche della distribuzione normale Le caratteristiche della distribuzione normale

1.1.èèsimmetricasimmetricarispetto al valore mediorispetto al valore medio 2.

2.il valore di x = il valore di x = µµoltre che alla media aritmetica coincide con la moda e la oltre che alla media aritmetica coincide con la moda e la mediana

mediana 3.

3.èèasintoticaasintoticaall'asse delle x da entrambi i latiall'asse delle x da entrambi i lati 4.4.èècrescentecrescenteper x<per x<µµe decrescentee decrescenteper x>per x>µµ

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σ=σ₁=σ₂

MEDIA COME PARAMETRO DI POSIZIONE Al variare della media aritmetica (a parità di dev.standard) la curva trasla

sull’asse delle x

DEV STANDARD COME PARAMETRO DI VARIABILITA’

Al variare della deviazione standard la curva modifica la sua

forma

In una distribuzione normale perfetta:

68.26% dei casi sono compresi fra -1 e +1 DS attorno alla media 95.46% dei casi sono compresi fra -2 e +2 DS attorno alla media 99.74% dei casi sono compresi fra -3 e +3 DS attorno alla media INTERVALLI NOTI DI

INTERVALLI NOTI DI PROBABILIT PROBABILITÀÀ

DISTRIBUZIONE DISTRIBUZIONE

NORMALE

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Distribuzione normale Distribuzione normale

Distribuzione normale standardizzata Distribuzione normale

standardizzata

La curva di Gauss standardizzata

Si può trasformare una generica funzione gaussiana f(x) con media µ e varianza σ

²

, in una funzione gaussiana standard con media 0 varianza 1, se si pone :

( x - µ )

z = σ

STANDARDIZZAZIONE

TAVOLA DEI VALORI DELLA DISTRIBUZIONE STANDARDIZZATA

TAVOLA DEI VALORI DELLA

DISTRIBUZIONE STANDARDIZZATA

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ESERCIZIO:

ESERCIZIO:In una popolazione di ragazze di età inclusa tra i 18 e i 25 anni, la concentra-zione di emoglobina nel sangue (x) approssima la distribuzione gaussiana con media µµµµ=13.1 g/dl e deviazione standard σσσσ=0.7 g/dl. In base a queste sole informazioni possiamo calcolare, ad esempio, quante ragazze hanno emoglo-binemia inclusa tra 12.26 e 13.52 g/dl. Infatti:

0 0,1 0,2 0,3 0,4

11 11,7 12,4 13,113,8 14,5 15,2 emoglobine mia (g/dl)

12.26 13.52

µ=13.1 µ=13.1 µ=13.1 µ=13.1 σ=0.7 σ=0.7 σ=0.7 σ=0.7

0 0,1 0,2 0,3 0,4

-3 -2 -1 0 1 2 3

deviata gaussiana standard z f(z)

11% 27%

62%

-1.2 +0.6

Nell'11% delle ragazze i valori di Hb sono minori di 12.26 g/dl, e nel 27%

sono maggiori di 13.52 g/dl. Quindi il 62% delle ragazze ha valori di Hb compresi tra 12.26 e 13.52 g/dl.

z₂=

z₁=⁽¹²^.²⁶₀^-_.₇¹³^.¹⁰⁾

7 0

) 10 . 13 - 52 . 13 (

.

= -1.2

= +0.6