=− ⇒ )(·1)()()( =+ EtvCRdttdvdttdvCRtvE ++++−−−− C R v B R S ++++ A −−−− C R ⇒⇒⇒⇒ ++++−−−− C R v B R ++++ S A −−−− C R

(1)

ESERCIZIO 1: L’amplificatoreoperazionaleèideale.L’interruttoreSèpostoinAdaLUNGO tempo e all’istante tO =0s si porta in B. Sapendo che vC1(tO)=vC2(tO)=0V, si vuole determinare:

a) l’espressione analitica delle tensioni vC1(t), vC2(t), ai morsetti dei condensatori C1,C2 nonché la tensione vO(t) all’uscita dell’amplificatore. Nell’ipotesi che sia C1R1 =C2R2, si determini: b) il tipo di operazione svolta dal circuito; c) l’istante t* in cui si realizza vO(t*)=2·ES; d) l’energia W accumulata dai condensatori all’istante t1=6 C1R1 e la potenza dissipata dalla resistenza RO

in t=t*. Il generatore ideale di tensione e(t)=ES ∀∀∀∀t≥≥≥≥tO è, pertanto, è un generatore stazionario.

Il circuito in esame richiede una attenta analisi per individuare in modo corretto il comportamento dei due condensatori C1 e C2. Con l’interruttore posto in A e con i condensatori inizialmente scarichi, la rete lineare, per ogni t<tO=0s, è a regime con la tensione in uscita all’operazionale vO(t)=0V.

La tensione vC(t) ai morsetti di un condensatore è una variabile di stato e, quindi, funzione continua della variabile reale tempo. Pertanto, è immediato constatare la validità delle seguenti posizioni:

V v

v

_C

( 0 )

_C

( 0 )

_C

( 0 ) 0

1 1

1 ⁻

=

⁺

= =

V v

v

_C

( 0 )

_C

( 0 )

_C

( 0 ) 0

2 2

2 ⁻

=

⁺

= =

Inoltre, in ossequio al principio di traslazione del potenziale si deduce come la legge di Kirchhoff delle tensioni applicata alla maglia relativa ai terminali dell’amplificatore operazionale consenta, per ogni istante t, di relazionare come segue:

) ( )

( )

( t v t v

1

t

v

⁺

=

⁻

=

_C

⇒ ⇒ ⇒ ⇒

( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( )

1 2

1

2

t v t v t v t v t

v t

v

_O

−

_C

−

_C

= ⇒

_O

=

_C

+

_C

Consegue, allora, anche la validità della relazione:

V v

v

_O

( 0

⁻

) =

_O

( 0

⁺

) =

_O

( 0 ) = 0

All’istante t=0s l’interruttore S si porta in B. Il condensatore C1 inizia il transitorio di carica e la tensione vC1(t) ai suoi capi definisce, istante per istante, la tensione al morsetto NON invertente dell’operazionale che, pertanto, realizza un amplificatore in configurazione NON invertente.

La legge di Kirchhoff delle tensioni applicata alla magliaformatadallaresistenzaR1,dalgeneratore stazionarioe(t)edalcondensatore C1,consentedi scrivere quanto segue:

) (

· ) ( )

( t v

1

t R

1

i

1

t

e −

_C

=

_C , con:

0 )

( t = E ∀ t ≥ e

_S

La relazione costitutiva del bipolo condensatore C è descritta nel dominio del tempo dal modello differenziale seguente:



 



=

( ) 0

) (

)

· ( ) (

O t C

C t

C C

t v t

v

dt t C dv t i

O

, in cui è:

t

_O

= 0 s

L’utilizzodellarelazionecostitutivanellascritturarelativaallasuccitataleggediKirchhoffconsente di determinare l’equazione differenziale che governa l’evoluzione temporale della tensione ai capi del condensatore C1; si ottiene, infatti:

S C

C C

C

S

v t E

C R dt

t dv dt

t C dv

R t v

E − = ( ) ⇒ ( ) + 1 · ( ) =

)

(

1

1 1

1

1 1 1

1

Dalla teoria è ormai noto il corrispondente integrale particolare e precisamente:

(figura – 1)

v

_O

−

− + + + + R

2

R

₁

e(t)

+ + + +

−

C

₂

C

1

R

^O

A

B S

vC1(t)

iC1(t)

iC2(t) vC2(t)

(figura – 1a)

v

_O

−

− −

− + + + + R

2

R

₁

e(t)

+ + + +

−

C

₂

C

₁

R

^O

A

S B

vC1(t)

iC1(t)

iC2(t) vC2(t)

iR2(t)

(2)

O C

R t t O C C

C

t v v v t e t t

v = ∞ − ∞ −

⁻⁽ ⁻^O⁾ ⁽ ¹ ¹⁾

∀ ≥

1 1

1

( ) ( ) [ ( ) ( )]·

Nello specifico caso in esame, essendo tO=0s, vC1(tO)=0V, ττττ=C1R1 e vC1(∞∞∞∞)=ES, come si deduce dalla rete di figura 1a osservando che per t→→→→∞∞ il condensatore C∞∞ 1 si è completamente caricato e quindi modellabile con il bipolo circuito aperto, si perviene alla relazione:

τ t S

S

C

t E E e

v ( ) = − ( − 0 )·

⁻

1

⇒ ⇒ ⇒ ⇒

v

_C

( t ) = E

_S

·( 1 − · e

⁻^t^τ

) ∀ t ≥ t

_O

1

L’evoluzionetemporaledellatensionevC1(t)ai capidelcondensatoreC1caratterizzal’evoluzione temporale della tensione sia al morsetto NON invertente, sia al morsetto invertente poiché, come già precedentemente asserito, per ogni t≥≥≥≥0 si ha: v⁺(t)=v⁻⁻⁻⁻(t)=vC1(t).

Conseguentemente, resta pure determinata l’evoluzione temporale della corrente iR2(t) circolante nella resistenza R2; infatti, per ispezione diretta, dato che il morsetto invertente non può assorbire o erogare corrente, si evince che istante, per istante è soddisfatta la seguente relazione:

2 2

2

) ( )

· ( )

) ( ( )

(

¹ ² ¹

2

R

t v dt

t C dv

R t t v

i t

i

_R

=

_C

=

^C

⇒

^C

=

^C

⇒ ⇒ ⇒ ⇒

dt

C R

t t v

dv

_C ^C

( ) · )

(

2 2

1

2

=

Pertanto, il condensatore C2 risulta, istante per istante, interessato dalla corrente iR2(t) imposta dallatensione vC1(t)aimorsetti delcondensatoreC1.L’evoluzionetemporaledellatensione vC2(t) resta determinata dalla relazione che di seguito si esplicita.

∫

∫ ⁼ ^⇒ ⁼

^t C

t C t C

t

C

v t dt

C t R

dv C dt

R t t v

dv

0 2 2 0

)·

( 1 ·

) ( ) ·

) (

(

2 1

1 2

Ricordando che il condensatore C2, all’istante t=tO= 0s nel quale l’interruttore S commuta in B, risulta inizialmente scarico, cioè v_C2(0)=0V, si ottiene la seguente scrittura:

∫

∫ ^⇒ ⁼ ⁻

⁻

=

−

t

R C t S

C t

C C

C

E e dt

C t R

v dt

t C v

v R t v

0 2 2 0

2 2

)·

1 ·(

1 · ) ( )·

( 1 ·

) 0 ( )

(

¹ ¹

2 1

2 2

Svolgendo i dovuti passaggi algebrici e i relativi calcoli per la determinazione dell’integrale atto a definire l’evoluzione temporale della tensione v_C2(t) ai morsetti del condensatore C2, si ottengono le scritture di seguito riportate.

∫

∫ ⁻

⁻

⁼ ⁺ ⁻

⁻

=

t

R C S t

t S t

R C S t

C

e dt

C R dt E C R dt E C e

R t E v

0 2 2 0

2 2 0

2 2

·

· · )·

1 (

· )

(

¹ ¹ ¹ ¹

2

[ ] + _∫ −

⁻

= + _∫ −

⁻

=

t

R C S t

S t

R C S t

S t

C

e dt

R C C

R R C t E

C R dt E R e

C R C C

R t E C R t E v

0 1 1

2 2

1 1 2

2

0 1 1

1 1 2

2 0 2 2

1 ·

·

· · )

(

¹ ¹ ¹ ¹

2

[ ] ^· ^·( ¹ ⁾

· · )

(

¹ ¹ ¹ ¹

2

2 2

1 1 2

2 0 2

2 1 1 2

2

− +

= +

=

^S ^S ⁻^t ^C^R ^t ^S ^S ⁻^t^C^R

C

e

C R

R C t E

C R e E

C R

R C t E

C R t E v

Si perviene alla relazione conclusiva che governa l’evoluzione temporale della tensione ai morsetti del condensatore C2; si ottiene, infatti:

0 [

) 1

·(

· )

(

¹ ¹

2

2 2

1 1 2

2

≥

∀

−

= e

⁻

t

C R

R C t E

C R t E

v

_C ^S ^S ^t^C^R

V]

Note le tensioni vC1(t) e vC2(t) resta determinata anche la tensione d’uscita vO(t) dell’operazionale che assume, come già precedentemente indicato, la forma seguente:

) ( )

( )

( t v

1

t v

2

t

v

_O

=

_C

+

_C ⇒

( ) ·( 1

¹ ¹

) · ·( 1

¹ ¹

)

2 2

1 1 2

2

R C S t

R S C t S

O

e

R C

R C t E

R C e E

E t

v = −

⁻

+ − −

⁻

Nell’ipotesi che il dimensionamento delle capacità C1 e C2 e delle resistenze R1 e R2 sia tale che risulti soddisfatta la condizione R1C1 = R2C2 = ττττ si ottiene la situazione espressa dalla relazione:

(3)

) 1

·(

· )

1 ·(

) 1

·(

· )

1 ·(

)

(

^τ ^τ ^τ ^τ

τ τ

t S

t S S

S t t S

S

O

E t E e

e E

E e E t

e E

t

v = −

⁻

+ − −

⁻

= −

⁻

+ − −

⁻

Pertanto, la condizione attinente al dimensionamento caratterizzato da R1C1 = R2C2 = ττττ consente di concludere come di seguito indicato:

0 · )

( = E t ∀ t ≥ t

v

_O ^S

[V]

τ

In tale contesto, la tensione vO(t) ai morsetti di uscita dell’operazionale rappresenta una rampa di pendenza ES/ττττ che costituisce l’integrale del segnale stazionario e(t)=ES applicato all’ingresso;

pertanto l’amplificatore svolge la funzione di INTEGRATORE IDEALE NON INVERTENTE.

L’istante t* in cui si realizza v_O(t*)=2·ES si determina, con immediatezza, imponendo la relazione stabilita dalla richiesta medesima, ovvero:

τ τ

τ

2 *

*

· 2

*

· 2

*) ( 2

*)

( t

E t E E t

E t

v E

t

v

_O

=

_S

⇒

_O

=

_S

=

^S

⇒

_S

=

^S

⇒ =

L’istante t* richiesto è definito quantitativamente dalla condizione:

t* = 2 ττττ

.

La potenza PRO(t*), dissipata sotto forma di calore, dalla resistenza RO all’istante t*=2ττττ è data dalla relazione:

[ ]

2 2 2 2

2 2 2

* 2 2

· · 4 )

2 · ( )

1 (

*)

*) (

( τ

τ τ

τ

_O

S O

S S

O O

O

R

E R

t E E

R R

t t v

P

O

 = =



 



⋅ 

=

⇒ ⇒ ⇒ ⇒

W

R t E

P

O S R_O

4

2

*) ( =

Per il calcolo dell’energia accumulata dai condensatori C₁ e C₂ all’istante t₁=6C1R1 è necessario conoscere latensione che si stabilisceaimorsettidiciascuncondensatorea tale istante t1;si deve osservarechet1=6C1R1 èmaggiore del tempo di assestamento Ta=5C1R1 per cui il condensatore C1 ha ormai conseguito il regime di carica alla tensione finale ES, cioè risulta verificato che:

) )

) ·( 1 · ·( 1 · ·( 1 0 , 002478 )

· 1

·(

)

(

⁶ ⁶

1 6

1

= − = −

⁻

= −

⁻

= −

=

−

= S S S

t t t S

C

t

E e E e E e E

v

^τ^τ

τ τ

Si conclude, con più che lecita approssimazione, relativa al tempo di assestamento, affermando che:

S S

C

t E E

v (

₁

) = 0 , 99522 · ≅

1

Per quanto attiene la tensione vC2(t1) ai morsetti del condensatore C2 all’istante t1, si ottiene quanto di seguito viene esplicitato tenuto conto della condizione C1R1=C2R2= ττττ.

) 1

· ·(

6 · )

1 ·(

· )

(

⁶

2 2

1 1 1

2 2

1 1 1 2 1

τ τ

τ τ τ τ

−

=

= − − = E − E − e

C e R

R C t E

C R t E

v

^S ^S ^t ^C^R ^S ^S

t

C t , da cui si ottiene:

S S

S S S

S

C

t E E e E E E E

v (

₁

) 6 ·( 1

⁶

) 6 ·( 1 0 , 002478 ) 6 0 , 99522 ·

2

= − −

⁻

= − − = −

Pertanto, si conclude, con più che lecita approssimazione, come di seguito riportato:

S S

S

C

t E E E

v (

₁

) 6 5

2

≅ − =

Il calcolo dell’energia accumulata dai due condensatori C1 e C2 attiene alle relazioni seguenti:

[ ] ^· ^[ ^]

2 ) 1 2 (

1

₂

1 2

1

1 ₁

1

C v t C E J

W

_C

=

_C

=

_S

[ ] ^· ^[ ^]

2 5 25

( 2 · ) 1 2 (

1

₂

2 2

1

2 ₂

2

C v t C E C E J

W

_C

=

_C

=

_S

) =

_S

(4)

ESERCIZIO 2: La rete lineare di figura 2 “opera in regime stazionario”. Applicando il Principio dell’analisi nodale si desidera determinare: a) l’espressione analitica della relazione VO =ƒƒƒƒ(ES) che si stabilisce fra la tensione VO e la tensione del generatore ideale ES; b) la potenza erogata o assorbita sia dal generatore pilotato in tensione µµVµµ O sia dal generatore pilotato in corrente ββββ

I

1; c) verificare il teorema di Tellegen per la rete lineare riportata in figura 2. Per le richieste b) e c) si considerino i seguenti valori: ES=25V; R1 =RS =5ΩΩΩΩ; R2 =RB =RO =10ΩΩΩΩ; ββββ=2; µµµµ=4.

La rete lineare proposta presenta due nodi A e B linearmente indipendenti i cui potenziali vengono riferiti al nodo comune C considerato a potenziale di riferimento VC=0V. Sono, pertanto, da determinare due equazioni lineari e indipendenti atte a rappresentare il potenziale dei due nodi A e B.

In realtà, viene richiesto di esprimere il legame VO=VB=ƒƒƒƒ(ES) che sussiste fralatensioneVO e la tensione ESdel generatore stazionario.

Il principio dell’analisi nodale diviene, così, uno strumento procedurale che caratterizza l’itinerario risolutivo. A tale riguardo nella figura 2a si sono riportati i versi attribuiti alle correnti di interesse.

La legge di Kirchhoff delle tensioni riferita alla maglia centrale percorsa in senso orario consente di scrivere:

1 1

I R V V

V

_A

− µ

_O

−

_O

=

, ovvero:

1 1

)·

1 (

R V I V

^A

− + µ

^O

=

La legge di Kirchhoff delle tensioni applicata alla maglia di sinistra, pure percorsa in senso orario, consente di scrivere:

S S A

S

V R I

E − =

La corrente IS erogata dal generatore stazionario indipendente ES e le altre correnti di interesse, grazie al ricorso alla legge di Ohm, sono, pertanto, definite dalle relazioni di seguito riportate.

O O O O B

A B S

A S

S

R

I V R I V R

I V R

V

I E − = = =

= ; ; ;

2 2

La legge di Kirchhoff delle correnti applicata al nodo A consente di relazionare così come segue:

I

1

I

_S

=

_B

+

⇒

1

)·

1 (

R V V

R V R

V

E

_A _O

B A S

A

S

− + µ

+

− =

⇒

1 1

)·

1 (

R V R

V R V R V R

E

_A _O

B A S A S

S

+ µ

− +

=

−

Svolgendo i dovuti passaggi algebrici e le relative semplificazioni, si ottengono le scritture seguenti:

O S B S

B A S

A B

S

R R V R R V R R V R R R R V

E

₁

=

₁

+

₁

+ − ( 1 + µ )

1 1

1

)· ( 1 )

( R

_B

R + R

_S

R + R

_B

R

_S

V

_A

− + µ R

_B

R

_S

V

_O

= E

_S

R

_B

R )

(

)·

1 (

1 1

1

S B S

B

O S B B

S

A

R R R R R R

V R R R

R V E

+ +

+

= + µ

La legge di Kirchhoff delle correnti applicata al nodo B consente di relazionare così come segue:

I

O

I I

I

₁

+ β

₁

=

₂

+

⇒ ⇒ ⇒ ⇒

( 1 + β )· I

₁

= I

₂

+ I

_O

⇒ ⇒ ⇒ ⇒

O O O O

A

R V R V R

V

V − + + = +

2 1

) 1 )· ( 1

( µ β

RB R2 RO

A

RS

(figura – 2) E_S

R1

V_O

B

I1

+ + + +

−

µ µ µ µV

O

+ + + + l

β β β β I

1

VA

C

RB R2 RO

A

RS

(figura – 2a) E_S

R1

V_O

B

I₁

+ + + +

−

µ µ µ µV

O

+ + + + l

β β β β I

1

VA

C

I_S I_B I₂ I_O

+ + + + +

+

(5)

O O O A O

R V R V R

V R

V + + = +

− +

2 1

1

)·

1 )·(

1 ) (

1 ( β µ

β

O O

A

V

R R R

R

V ( 1 )·( 1 ) 1 1 · )

1 (

2 1

1

 

 



 + + + +

=

+ β µ

β

O O

A

V

R R R

R R R R R R R

V ( 1 )·( 1 ) ·

) 1 (

2 1

1 2 1

2 1

 

 



 + + + +

=

+ β µ

β

O O

O A

O

V R R R R R R V

R

R [( 1 )·( 1 ) ]·

) 1

( + β

₂

= + β + µ

₂

+

₁

+

₂ ₁

O O

A

V

R R R R R R R

V R ·

) 1 (

)]

1 )·(

1 ( [

2 2 1 2 1

β

µ β

+

+ +

+

= +

Uguagliando fra loro le due relazioni che esprimono il potenziale VA del nodo A si ottiene proprio il legame sussistente fra il potenziale VB=VO del nodo B e la tensione ES del generatore; infatti si evidenzia la seguente relazione:

O O

S B S

B

O S B B

S

V

R R R R R R R R R

R R R R R

V R R R

R

E ·

) 1 (

) 1 )(

1 ( )

(

)·

1 (

2 2 1 2 1

1 1

1

β

µ β

µ

+

+ +

+

= + +

+ + +

O O

S B S

B

O S B S

B S

B

S

V

R R R R R R R R R R R R R R

V R R R

R R R R R

R R

E ·

) 1 (

) 1 )(

1 (

· )·

1 (

2 2 1 2 1

1 1

1

β

µ β

µ

+

+ +

+ + +

+ +

+

= − +

+

1 2

2 1 2 1

1 1

1 2

)·

1 )·(

1 ( )]

1 )·(

1 ·(

)·[

(

· )·

1 (

R R R R R

R R R R R R R R R R R

E R R R V R

B O O

O S

B S

B

S B O

O

β µ β µ

β

+ +

− + +

+ +

= +

Sostituendo i valori assegnati dalla traccia ai dispositivi noti si ottiene quanto segue:

5 · 10

· 10

· 10 )·

4 1 )·(

2 1 ( )]

4 1 )·(

2 1

·(

10 · 10 10

· 5 10

· 5 )·[

10 · 5 5

· 5 10

· 5 (

25 · 5

· 10

· 10 )·

2 1 (

+ +

− + +

+ + +

+

= +

V

O , ovvero:

) 5000

· 5

· 3 ( ) 1500 100

·(

125

25 · 5000

· 3 )

1000

· 5

· 3 ( ) 5

· 3

· 100 50 50 )·[

50 25 50 (

25 · 5000

· 3

−

= +

− +

+ +

= + V

O

125000 25

· 5000

· 3 75000 200000

25 · 5000

· 3 75000

) 1600

· 125 (

25 · 5000

· 3 =

= −

V

O

⇒ ⇒ ⇒ ⇒

V

_B

= V

_O

= 3 V

La conoscenza del potenziale VO=VB del nodo B consente di calcolare il potenziale VA del nodo A;

si ottiene infatti:

) 5

· 10 5

· 5 5

· 10 (

3 · 5

· 10 )·

4 1 ( 5

· 10

· 25 )

(

)·

1 (

1 1

1

+ +

+

= + +

+ +

= +

S B S

B

O S B B

S

A

R R R R R R

V R R R

R

V E µ

, svolgendo i calcoli si ha:

) 6 10 125 ( 750 125

1250 125

750 1250 + = + = +

A

=

V

⇒ ⇒ ⇒ ⇒

V

_A

= 16 V

Si è, ora, in grado di procedere al calcolo delle potenze assorbite o erogate da ciascuno dei bipoli costituente la rete lineare in oggetto e, pertanto, verificare la validità del teorema di Tellegen; sono ovvie, con riferimento alle convenzioni di segno specificate per le grandezze elettriche tensione e corrente, le seguenti relazioni:

Convenzione dei generatori – (active sign convention)

R W V E E

I E P

S A S S S S

E_S

45 5 9

· 25 5

) 16 25

· (

25 − = =

− =

=

(erogata)

(6)

R W V V V

I V

P

_I _B _B ^A ^O

1 , 2

5 6 5

1 · 3

· 2 5

3 )·

4 1 (

· 16 3

· ) 2

1 (

1

1 1

  = = =

  − + + =

= −

= µ

β

(erogata)

Convenzione degli utilizzatori – (passive sign convention).

R W V V V

I V

P

_V _O _O ^A ^O

O

2 , 4

5 12 5

1 · 3

· 4 5

] 3 )·

4 1 ( 16

· [ 3

· )· 4

1 (

1

− + = = =

+ =

= −

= µ

µ

(assorbita)

R W V V

R V R V

I R

P

_R Â Ô Â Ô

0 , 2

5 1 5 ] 1 )·

1 ( [ )·

1 · (

2

1 2 2

1 1

2 1

1 1

− + = = =

 =



 



 − +

=

= µ µ

(assorbita)

R W V E R

V R E

I R P

S A S S

A S S S S

R_S

16 , 2

5 81 5 9 5

) 16 25 ) (

· (

2 2 2 2

2

− = = =

− =

 =





 

 −

=

(assorbita)

R W P V

B A

R_B

25 , 6

10 256 10

16

²

2

=

(assorbita)

R W V R

P

_R

V

^B ^O

0 , 9 10

9 10 3

²

2 2

2

= = = = =

(assorbita)

R W V R P V

O O O B

R_O

0 , 9

10 9 10 3

²

2 2

=

(assorbita)

Il teorema di Tellegen o della “Conservazione della Potenza”, valevole per circuiti lineari e non lineari, afferma che se:

••••

V

_j sono le Tensioni di lato che soddisfano le leggi di Kirchhoff delle tensioni;

••••

I

_json le Correnti di lato che soddisfano le leggi di Kirchhoff delle correnti;

•••• qualunque sia la convenzione di segno adottata per coordinare tensione e corrente ai morsetti di ciascun lato;

allora è sempre soddisfatta la relazione:

∑

_j

V

j

· I

j

⁼ 0

⇒ ⇒ ⇒ ⇒

∑ P

erogate

⁼ ∑ P

assorbite

Nel caso specifico della rete lineare che si sta esaminando e in termini di potenze erogate e potenze assorbite il Teorema di Tellegen consente di concludere nella forma seguente:

4 4 4 4 4

4 3

4 4 4 4 4

4 2

1 4 3 42 1

assorbite Potenze

R R R R

R V

erogate Potenze

I

E_S

P P

_O

P

_S

P

_B

P P P

_O

P

+ + + +

+

=

+

β1 µ 1 2

Infatti si verifica quanto di seguito esplicitato:

W P

P

erogate Potenze

I E_S

2 , 46 2 , 1

1

= 45 + =

+ 4 3 42

1

^β

W P

P P P

P P

assorbite Potenze

R R R R

R

V_O _S _B _O

2 , 46 9 , 0 9 , 0 2 , 0 6 , 25 2 , 16 4 ,

2

1

+ + = + + + + + =

+ +

+ 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 3 4

4 2

1

^µ

µ µ µ µV

O

V

I₁

+ + + +

− − −

−

I

P

P = V·I P = µ µ µ µV

O

·(− − − −I

1

)

P = 4·3·(− − − −1/5) = − − − −2,4 W

Potenza erogata negativa

=

Potenza assorbita positiva

VO

I

β β β β I

1

V P

P = V·I P = V

_O

·β β β β I

₁

P = 3·2·(1/5) = 1,2 W

Potenza erogata positiva

=

Potenza assorbita negativa

(7)

ESERCIZIO 3: Nel circuito di figura 3 gli amplificatori operazionali sono da considerarsi ideali.

In tale contesto, si desidera determinare: a) l’espressione analitica della relazione VO=ƒƒƒƒ(VS) fra la tensione di uscita VO e la tensione del generatore ideale stazionario VS; b) l’espressione analitica della resistenza di ingresso RIN “sentita” dal generatore ideale di tensione VS; c) la relazione che intercorre fra la resistenza RIN e il parametro R11 e la relativa motivazione.

Primo modo. Per ispezione diretta si evince che l’amplificatore operazionale 2 è in configurazione invertente perciò indicata con VOA la tensione in uscita all’operazionale 1, come mostrato in figura 3a, in ossequio alla relazionare propria della configurazione invertente è giustificato relazionare nella forma:

OA

O

V

R V R

6

−

5

=

⇒ ⇒ ⇒ ⇒

_OA

V

_O

R V R

5

−

6

=

Sempre per ispezione diretta, dato che il morsetto NON invertente non può assorbire o erogare corrente, si hanno le condizioni per applicare la legge del partitore resistivo di tensione; quindi si relaziona come di seguito riportato:

O

A

V

R R V R

4 3

4

= +

+

Le correnti I₁ e I₂ restano determinate dalle scritture proprie del principio dei potenziali di nodo; si scrive, infatti:

1

R

V I V

^S ^A

−

+

=

;

2

R

V I V

^A

−

^OA

=

+

L’applicazionedellaleggediKirchhoff delle correnti al morsetto invertente, dato che anche tale morsetto non può assorbire o erogare corrente, consente di relazionare come di seguito esplicitato:

2 2

1 1 2

1 2

1

R

V R V R V R V R

V V R

V I V

I

^S ^A ^A

−

^OA

⇒

^S

−

^A

=

^A

−

^OA

− =

= ⇒

+ + +

+

Tenendo conto dell’espressione della tensione VA+

al morsetto NON invertente dell’operazionale A data dalla già citata applicazione della legge del partitore resistivo di tensione, nonché di quanto attiene alla scrittura che lega le tensioni VO e VOA per l’operazionale B in configurazione invertente si ottiene:

 



 

 −

⋅ + −

⋅ + =

⋅

−

5 6 2

4 3

4 2

4 3

4 1

1

R

R R

V R R

R R

V R R

R R

V R

V

_S _O _O _O

Svolgendo i dovuti passaggi e le relative semplificazioni algebriche si giunge alle seguenti scritture: