al-Khwarizmi,
al-Kitāb al-mukhtaṣar fī ḥisāb al-ǧabr wa al-muqābala(Libro d’algebra)
Ho trovato che questi tre modi –le radici, i quadrati e il numero- si combinano, dando luogo ai tre generi combinati, che sono: i quadrati più le radici uguali al numero, i quadrati più il numero uguali alle radici, e le radici più un numero uguali ai quadrati.
I quadrati più le radici uguali al numero, è ad esempio qundo dici: un quadrato più dieci radici sono uguali a trentanove dirham, cioè se aggiunge a un quadrato una quantità uguale a dieci radici, il tutto sarà
trentanove.
Procedimento: dividi in due metà il numero delle radici; viene (in questo problema) cinque, che
moltiplicherai per sé stesso, e fa venticinque. Lo aggiungi a trentanove, viene sessantaquattro; prendi la radice, che è otto, dalla quale sottrai la metà del numero delle radici, che è cinque. Resta tre, che è la radice del quadrato che cerchi, e il quadrato è nove.
Allo stesso modo, se si considerano due, tre o più quadrati, li riduci a uno solo, e insieme riduci le radici e il numero come hai ridotto il quadrato.
Ad esempio, quando dici: due quadrati più dieci radici sono uguali a quarantotto dirham, cioè che se addizioni due quadrati e aggiungi loro dieci volte la radice di uno di essi, si ottengono quarantotto dirham.
Bisogna allora ricondurre i due quadrati a uno solo. Ora tu sai che in quadrato relativamente a due quadrati è la metà; allora riduci ogni cosa alla sua metà, come se si fosse detto: un quadrato più cinque radici è uguale a ventiquattro dirham, cioè che se si aggiungono a un quadrato cinque delle sue radici, si ottiene ventiquattro.
Dividi per due il numero delle radici, si avrà due più un mezzo; moltiplicalo per sé stesso, viene sei più un quarto; aggiungilo a ventiquattro, si trova trenta dirham più un quarto; prendi la radice, è cinque più un mezzo; sottrai la metà del numero delle radici, che è due più un mezzo, resta tre, che è la radice del quadrato, e il quadrato è nove.
...
I quadrati e il numero uguali alle radici, è ad esempio quando dici: un quadrato e ventuno dirham sono uguali a dieci radici, cioè che se aggiungi a un quadrato ventuno dirham, quello che ottieni sarà uguale a dieci radici di questo quadrato.
Procedimento: Dividi in due metà il numero delle radici, si ha cinque; moltiplicalo per sé stesso, viene venticinque, da cui tu sottrai ventuno, il numero che avevamo detto stare con il quadrato, resta quattro;
prendi la sua radice, che è due; sottraila dalla metà del numero delle radici, che è cinque, resta tre, che è la radice del quadrato cercato. E il quadrato è nove.
Se vuoi, aggiungi la radice alla metà del numero delle radici; viene sette, che è la radice del quadrato cercato. E il quadrato è quarantanove.
Se incontri un problema che si riduce a questo tipo, verifica l’esattezza della soluzione o aggiungendo o altrimenti sottraendo. Questo procedimento si fa vuoi aggiungendo, vuoi sottraendo, cosa che non accade in nessun altro dei tre generi, in cui si deve dividere in due metà il numero delle radici.
D
E H
K
I
6 e 1/4
6 e 1/4 6 e 1/4
6 e 1/4
B C
A
I
Sappi però che in questo genere se tu dividi il numero delle radici in due metà, e moltiplicata una metà per sé stessa il prodotto è minore dei dirham che stanno insieme al quadrato, allora il problema è impossibile; e se il risultato è uguale ai dirham, allora la radice del quadrato è uguale alla metà del numero delle radici esattamanta, senza eccesso né diminuzione.
Tutto quello che conduce a due quadrati, o più o meno, riducilo a un quadrato, come abbiamo mostrato nel primo genere.
Le raici piùil numero uguale ai quadrati, è ad esempio quando dici: tre radici e quattro in numero sono uguali a un quadrato.
Procedimento: Dividi il numero delle radici in due metà, si ha uno più un mezzo; moltiplicalo per sé stesso, viene due più un quarto;aggiungilo a quattro, viene sei più un quarto; pendi la sua radice, che è due più un mezzo, aggiungila alla metà del numero delle radici, che è uno più un mezzo, fa quattro, che è la radice del quadrato, e il quadrato è sedici.
Tutto quello che è più di un quadrato, o meno, riducilo a un quadrato.
...
La causa di “un quadrato più dieci radici uguale a trentanove dirham”.
La figura relativa è la superficie di un quadrato i cui lati sono incogniti, e che è il quadrato che cerchi di conoscere, insieme alla sua radice. Sia questo quadrato la superficie AB; ognuno dei suoi lati è la sua radice, e se tu moltiplichi uno dei suoi lati per un numero qualunque, quello che ottieni è il numero delle radici.
Ogni radice è uguale alla radice di questa superficie AB.
Così quando si dice: insieme al quadrato ci sono dieci radici; prendiamo un quarto di dieci, che è due più un mezzo, e facciamo una superficie con ciscuno di questi quarti e il lato. Ne derivano dunque, insiame alla superficie AB, quattro superfici uguali, la cui lunghezza è uguale alla radici della superficie AB, e la larghezza è due più un quarto. Siano queste le superfici H, I, K, C. Abbiamo così costruito uma superficie con i quattro lati uguali, ugualmente incognita, diminuita di [un quadrato di] due e mezzo per due e mezzo in ciascuno dei quattro angoli. Quindi per completare il quadrato sarà necessario aggiungere due e mezzo per sé stesso quattro volte, e la somma di tutto questo sarà venticinque.
Ora noi sappiamo che la prima superficie, che è la superficie del quadrato e delle quattro superfici che lo circondano, che sono dieci radici, è trentanove in numero. Se dunque aggiungiamo venticinque, che sono i quattro quadrati che stanno sugli angoli della superficie AB, si otterrà la superficie del quadrato grande, cioè la superficie DE. Noi sappiamo che questa è sessantaquattro, e che uno dei suoi lati è la sua radice, che è
A
B C
D
E N 25
il quadrato
A
B
C
D E
N
H
I K
M L
G
otto. Se dunque noi sottraiamo da otto due volte il quarto di dieci, a partire dalle due estremità del lato del quadrato più grande, che è la superficie DE, cioè se sottraiamo cinque, di questo lato ne resta tre, che è uguale al lato della prima superficie – che è il quadrato AB- cioè la radice di questo quadrato.
In effetti noi abbiamo diviso le dieci radici in due metà, e abbiamo moltiplicato la metà di dieci per sé stessa;
abbiamo aggiunto [il risultato] al numero, che è trentanove, in modo che potessimo completare la
costruzione della superficie grande con quello che mancava ai suoi quattro angoli. In effetti, se si moltiplica il quarto di un numero per sé stesso, e poi per quattro, il prodotto è uguale al prodotto della metà del numero delle radici per sé stessa. Per questo ci siamo serviti del prodotto della metà delle radici per sé stessa, invece che del quarto per sé stesso e poi per quattro.
C’è anche un’altra figura che conduce allo stesso risultato. Sia la superficie AB, che è il quadrato. Noi cerchiemo di aggiungergli dieci delle sue radici. Dividiamo dieci in due metà; avremo cinque, con cui facciamo due superfici da una parte e dall’altra della superficie AB. Siano C e N. La lunghezza di queste superfici sarà cinque braccia, che è la metà delle dieci radici, e la larghezza è uguale alla radice dela superficie AB. Ci resta un quadrato su un angolo della superficie AB, che è cinque per cinque, e cinque è la metà delle dieci radici che abbiamo aggiunto da una parte e dall’altra della prima superficie. Noi sappiamo allora che la prima superficie è il quadrato, che le due superfici da una parte e dall’altra sono dieci radici;
tutto questo è dunque trentanove e che per completare il quadrato grande, che è la superficie DE, resta il quadrato di cinque per cinque. Da tutto ciò si ottiene sessantaquattro; noi prendiamo la sua radice, che è otto, e che è uno dei lati del quadrato grande. Se ora sottraiamo una quantità uguale a quello che avevamo aggiunto, che è cinque, resta tre, che è il lato della superficie AB, che è il quadrato, e che è la radice; il quadrato è nove.
Un quadrato più ventuno dirham sono uguali a dieci radici.
Poniamo che il quadrato sia una superficie quadrata di lati incogniti, sia AD. A questa uniamoun rettangolo la cui larghezza è uguale a uno dei lati della superficie AD –sia il lato EN- e la cui superficie è EB. La
lunghezza delle due superfici riunite è il lato CE.
A B
D C
E
H K
L M
G N
I
Noi sappiamo che la sua lunghezza è 10 in numero, perché per ogni superficie quadrata con i lati e gli angoli uguali, uno dei suoi lati moltiplicato per l’unità è la radice di questa superficie, e [moltiplicato] per due, due delle sue radici. Così quando si dice: un quadrato più ventuno sono uguali a dieci radici, noi sappiamo che la lunghezza del lato EC è dieci in numero, poiché il lato CD è la radice del quadrato. Dividiamo il lato CE in due metà nel punto H, e tracciamo HI; è chiaro che la retta EH è uguale alla retta HC, e che la retta HI è uguale alla retta CD. Aggiungiamo alla retta HI sul suo prolungamento [una retta] uguale all’eccesso di CH su HI, in modo che la superficie diventi quadrata; sia la retta HK. La retta IK sarà allora uguale alla retta KM, e si genererà una superficie quadrata , di lati e angoli uguali; sia la superficie MI. È chiaro che la retta KI è cinque; i lati di MI gli sono uguali, e dunque la sua superficie è venticinque, che è il prodotto della metà del numero delle radici per sé stessa, cioè cinque per cinque, che fa venticinque.
Ma è evidente che la superficie EB è il ventuno che avevamo aggiunto al quadrato; per mezzo della retta KI, che è uno dei lati della superficie MI, tagliamo dalla superficie EB la supeficie EI; resta la superficie IA.
Prendiamo sulla retta KM la retta KL che è uguale alla retta HK; è evidente che la retta IH è uguale alla retta ML; resta della retta MK la retta LK che è uguale alla retta KH. La superficie MG sarà pertanto uguale alla superficie IA; sarà dunque chiaro che la superficie EI a cui si aggiunge la superficie MG è uguale alla superficie EB, che è ventuno. Ma la superficie MI era venticinque; dato che dalla superficie MI abbiamo tolto la superficie EI e la superficie MG, che sono ventuno, ci resta una piccola superficie, che è la superficie GK, e che è la differenza tra venticinque e ventuno, cioè quattro, la cui radice è la retta GH che è uguale alla retta HA, e che è due. Se dunque tu togli questa dalla retta HC, che è la metà del numero delle radici, resta la retta AC, che è tre, e che è la radice del primo quadrato. Se invece la aggiungi alla retta CH, che è la metà del numero delle radici, ottieni sette, che è la retta CG; essa sarà la radice di un quadrato più grande, al quale se aggiungi ventuno ottieni dieci radici. Quello che si doveva dimostrare.
Tre radici più quattro in numero sono uguali a un quadrato.
Poniamo il quadrato una superficie quadrata di lato incognito, di lati e angoli uguali; sia la superficie AD.
Questa superficie tutta intera riunisce le tra radici e il quattro che abbiamo menzionato. Ma per ogni superficie quadrata il lato è uguale alla sua radice. Tagliamo dunque dalla superficie AD la superficie ED di cui poniamo uno dei lati, che è EC, tre, che è il numero delle radici, e che è uguale a GD. È chiaro che la superficie EB è il quattro che avevamo aggiunto alle radici. Tagliamo il lato EC –che è tre- in due metà al
punto H. Formiamo poi, a partire da quella [metà] una superficie quadrata; sia la superficie EI, che è il prodotto della metà del numero delle radici –che è uno e mezzo- per
sé stessa, dunque due e un quarto. Aggiungiamo ora alla retta
HI una retta uguale alla retta AE; sia la retta IL. La retta HI sarà
dunque uguale alla retta AH, e la retta KN sarà uguale alla retta IL. Si genera una superficie quadrata, i cui lati e angoli sono uguali,che è la superficie HM. Ma era evidente che la retta AC è uguale alla retta EG, e che la retta AH è uguale alla retta EN; resta la retta HC uguale alla retta NG, e la retta MN uguale alla retta IL. Resta della superficie EB una superficie uguale alla superficie KL. Ma noi sappiamo che la superficie AG è il quattro che avevamo aggiunto alle tre radici. La superficie AN più la superficie KL saranno dunque uguali alla superficie AG che è il quattro in numeri. È dunque evidente che la superficie HM è la metà del numero delle radici –che è uno più un mezzo- per sé stessa, cioè due e un quarto, a cui si aggiunge il quattro che è la superficie AN più la superficie KL. Ci resta del lato del primo quadrato, che è la superficie
AD, cioè il quadrato tutto intero, la metà del numero delle radici –che è uno più un mezzo- e che è la retta HC. Se noi la aggiungiamo alla retta AH, che è la radice della superficie HM –cioè due più in mezzo- ossia se gli aggiungiamo la retta HC che è la metà del numero delle tre radici –cioè uno più un mezzo- otteniamo da tutto ciò quattro, che è la retta AC, cioè la radice del quadrato che è la superficie AD. Come si doveva dimostrare.
