UNIVR – Facolt`a di Economia – Corso di Matematica – Sede di Vicenza 3
Definizione Si scrive
x→climf (x) = ℓ , con ℓ ∈ R
se, per ogni intorno (ℓ − ε, ℓ + ε) del limite ℓ, esiste un intorno (c − δ, c + δ) di c tale che
per ogni x ∈ (c − δ, c + δ) \ {c} si ha che f (x) ∈ (ℓ − ε, ℓ + ε).2 a b ℓ
c
ℓ−ε ℓ+ε
()
c−δ( c+δ)
bcbc bcbc
bcbc
x y
Osservazione Si osservi che qui, analogamente a quanto fatto prima con i limiti da destra e da sinistra, non si chiede nulla su f (c), e quindi si considera l’intorno (c − δ, c + δ) privato del punto c. La definizione in questo caso si pu`o dare in forma compatta scrivendo che
∀ε > 0 ∃δ > 0 : c − δ < x < c + δ, x 6= c, =⇒ ℓ − ε < f (x) < ℓ + ε.
Di solito il limite bilatero si chiama semplicemente limite. Quindi, dicendo limite, si allude al limite bilatero.
Osservazione Anche in questo caso la nota di carattere operativo. Per provare che `e vera una certa scrittura di limite bilatero basta provare che per ogni ε > 0 l’insieme delle soluzioni della disequazione |f (x) − ℓ| < ε contiene un insieme del tipo (c − δ, c) ∪ (c, c + δ) per qualche δ > 0, cio`e un intorno di c (con c escluso).
Osservazione Per provare invece la falsit`a di una certa scrittura di limite basta trovare un particolare valore di ε per cui la condizione della definizione risulta falsa.
Esempio La seguente scrittura `e vera:
x→1lim(x − 1) = 0.
Infatti, fissato un qualunque intorno (−ε, ε) del limite 0, osserviamo che il valore della funzione (x − 1) appartiene a tale intorno se e solo se |x − 1| < ε, cio`e se e solo se 1 − ε < x < 1 + ε. Le soluzioni costituiscono proprio un intorno del punto 1, l’intorno (1 − ε, 1 + ε).
Esempio Proviamo ora con la definizione che invece non `e vera la scrittura
x→1lim(x + 1) = 1.
Fissato un intorno (1 − ε, 1 + ε) del limite 1, consideriamo la disuguaglianza |x + 1 − 1| < ε, cio`e |x| < ε. Le soluzioni della disequazione sono date dall’intervallo (−ε, ε). Evidentemente tale insieme non contiene sempre un intorno di 1:
ad esempio, per ε = 1/2, esso `e fatto di punti esterni ad un intorno di 1. La scrittura quindi `e falsa.
Esempio Proviamo che
x→elimlog x = 1.
Fissato un qualunque ε > 0 che definisce un intorno (1 − ε, 1 + ε) del limite 1, consideriamo la disuguaglianza
| log x − 1| < ε, che equivale a 1 − ε < log x < 1 + ε, che equivale a sua volta a e1−ε < x < e1+ε. Si tratta di un intervallo che contiene certamente un intorno di e, dato che e1−ε< e, mentre e1+ε> e.
Esempio Proviamo che
x→0lim+e−1/x= 0.
Fissato un qualunque intorno (−ε, ε) del limite 0, il valore della funzione e−1/x appartiene a tale intorno se e solo se e−1/x< ε, cio`e se e solo se −1x < log ε. Se x > 0 (ricordare che il limite `e per x → 0+), questa equivale a 1x> − log ε.
Ora, se ε > 1 (e quindi log ε > 0), si ottiene x > −log1ε, che `e un numero negativo. Pertanto tutte le x positive soddisfano la disequazione ed `e determinato un intorno destro di 0.
Se invece ε < 1 (e quindi log ε < 0), si ottiene x < −log1ε, che `e un numero positivo. Pertanto soddisfano la disequazione tutte le x dell’intervallo (0, −log1ε), che `e ancora un intorno destro di 0.
Se infine ε = 1 la disuguaglianza diventa −x1 < 0, cio`e x > 0, insieme che contiene un intorno destro di 0.
Osservazione Ribadisco che, dicendo “limite”, senza precisare se limite destro o limite sinistro, si intende limite da destra e da sinistra.
Si potrebbe dimostrare rigorosamente, ma `e abbastanza facile intuirlo, che il limite esiste se e solo se esistono e sono uguali il limite destro e il limite sinistro. Pu`o essere comodo talvolta (e lo faremo tra breve) calcolare il limite calcolando separatamente il limite destro e il limite sinistro.
2Vedi nota precedente. (c − δ, c + δ) \ {c} `e indica l’intorno (c − δ, c + δ) privato del punto c.
