1 Sistemi Dinamici

Sistemi Dinamici e Meccanica Classica A/A 2009—2010.

Esame Parziale del 23/11/2009 Motivare i passaggi ed i calcoli.

1 Sistemi Dinamici

Si consideri il sistema dinamico

 ˙x = v

˙v = − sin x + λ sin x cos x

1. Tracciare qualitativamente le curve di fase del sistema al variare del parametro λ nell’intervallo [−π, π].

2. Nel caso λ = 2: si calcolino le tangenti della separatrice nel punto di equilibrio instabile.

3. Nel caso λ = ¹₂: scrivere l’integrale che d`a il periodo del moto con E = −¹8. Si diano (eventualmente almeno graficamente) limiti inferiori e superiori per tale periodo.

Per i 12 crediti:

4. Si studi il sistema linearizzato intorno al punto (0, 0) per λ = 2 e λ = ¹2. 5. Si consideri ora il sistema “deformato”

 ˙x = v

˙v = − sin x + ¹²sin x cos x − a²v

e si dimostri che il punto (x = 0, v = 0) `e di equilibrio stabile anche per questo sistema con il metodo di Lyapunov.

Suggerimento: si usi l’energia del sistema libero.

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2 Meccanica Lagrangiana

Parte A: Un punto materiale di massa M si muove sulla superficie del grafico della funzione

z = 1

2(a x²+ y²), (1)

con a > 0 generico.

Il punto `e soggetto alla forza peso −Mgk, ed il vincolo `e liscio.

1. Scrivere la Lagrangiana del sistema e le equazione di Eulero-Lagrange (utilizzare come coordinate libere le proiezioni (x, y) sul piano orizzon- tale del vettore posizione della particella).

2. Calcolare la reazione vincolare negli stati in cui il punto si trova nel piano y z con ˙y = 0.

Parte B: Si ponga ora a = 1 nell’equazione del vincolo(1), e si supponga che, oltre che ad essere soggetto alla forza peso, il punto sia anche attratto da una forza elastica (con costante elastica k) dal punto P = (0, 0, A) dell’asse z, con A > 0 fissato.

1. Scrivere la Lagrangiana del nuovo sistema.

Suggerimento: `e opportuno utilizzare coordinate libere diverse da quelle della Parte A.

2. Utilizzando la costante del moto aggiuntiva, ridurre il problema ad uno ad un grado di libert`a, e scriverne la Lagrangiana.

3. Posto A = 1 + M g

k si determini per quali condizioni iniziali la quota del punto resta costante.

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3 Meccanica Hamiltoniana

1. Si consideri l’Hamiltoniana

H = 2p²1

q1²− 4c

2

q1²− q

2 2

+ 2p²2

4c² − q

2 2

q²1 − q

2 2

− 4kq¹ q1²− q

2 2

,

dove k e c sono costanti arbitrarie. Mostrare che l’equazione di Hamilton- Jacobi associata ammette un integrale completo separato.

2. Utilizzando il risultato precedente, trovare una costante del moto indi- pendente da H.

3. Mostrare che la trasformazione

Q1 =√q2 Q2 =p2q¹− q²

P1 =√q2(p1+ 2p2) P2 =p2q1 − q²p1

(2)

`e canonica e determinarne una funzione generatrice S(q¹, q2, P1, P2).

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