Sistemi Dinamici e Meccanica Classica A/A 2009—2010.
Esame del 12/07/2010 Motivare i passaggi ed i calcoli.
1 Sistemi Dinamici
Si consideri il sistema dinamico
˙x = y
˙y = −∂U∂x(x)
(1) con
U(x) = 4 x
1 + x2 (2)
1. Tracciare qualitativamente le curve di fase del sistema.
2. Calcolare le frequenze delle piccole oscillazioni vicino ai punti di equi- librio stabile, e l’equazione delle tangenti alla separatrice nel punto di equilibrio instabile.
3. Descrivere, almeno per via grafica, come dare una stima dall’alto e dal basso al periodo delle orbite con energia E = −√
3.
4. Per i 12 crediti:
a) Si verifichi che i punti di equilibrio di (1) lo sono anche per il seguente sistema deformato
˙x = y − 12(x2− 1)
˙y = −∂U∂x(x) − y, (U (x) `e sempre definito da (2)). (3) b) Si studi la linearizzazione del sistema (3) in tali punti.
Facoltativo: Si verifichi che l’energia del sistema imperturbato `e una buona funzione di Lyapunov vicino al punto di equilibrio stabile.
2 Meccanica Lagrangiana
Nel piano verticale `e dato il sistema costituito da una sbarra S di lunghezza infinita che ruota attorno al suo baricentro posto nell’origine di un sistema di assi cartesiani, e da un punto materiale P di massa m vincolato a muoversi sulla sbarra. Tra P e l’origine degli assi agisce una forza elastica di costante elastica k. La sbarra `e caratterizzata da una distribuzione di massa
ρ(x) = m Le−
|x|3 L3 dove |x| `e la distanza dal centro di massa.
1. Verificare che il momento d’inerzia di S relativo ad un asse ortogonale alla sbarra stessa che passa per il baricentro `e dato da
IG= 2 3mL2. 1
P
S
g z
x
00 11
2. Scrivere la Lagrangiana del sistema e le equazioni del moto
3. Trovare i punti di equilibrio, e calcolare la frequenza ed i modi normali di oscillazione del sistema nel punto di equilibrio stabile.
4. Supposto ora che il sistema stia nel piano orizzontale, trovare la co- stante del moto addizionale, e ridurre il sistema ad un solo grado di libert`a.
5. Facoltativo: studiare qualitativamente le orbite del sistema ridotto al variare del valore della costante del moto.
3 Meccanica Hamiltoniana
Affrontare (almeno) uno tra i due seguenti problemi:
3.1
Si scriva l’Hamiltoniana che si ottiene a partire dalla Lagrangiana L= 1
2( ˙x2y2+ ˙x ˙y y) + ˙x x4, (4) mediante la trasformata di Legendre e si dimostri che la corrispondente equazione di Hamilton-Jacobi ammette un integrale completo separato.
3.2
Date coordinate canoniche {q1, q2, p1, p2} si verifichi che la trasformazione definita da
Q1 = −p2+ q1+ 2 q12q2, P1 = p1− 2 q1q22
Q2 = p1− q2− 2 q1q22, P2 = −p2+ 2 q12q2 (5)
`e canonica, calcolandone una funzione generatrice di seconda specie.
E possibile – e se s`ı indicare quali – trovare funzioni generatrici di diversa` specie per (5)? (Per esempio, di prima specie, etc. etc.)
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