1 Sistemi Dinamici

Sistemi Dinamici e Meccanica Classica A/A 2009—2010.

Esame del 27 Aprile 2010 Motivare i passaggi ed i calcoli.

1 Sistemi Dinamici

Si consideri il sistema dinamico

( ˙x = y

˙

y = −dU dx

(1) con

U = 3x − x³ (2)

1. Trovare i punti stazionari e tracciare qualitativamente le curve di fase del sistema al variare dell’energia.

2. Calcolare le frequenze delle piccole oscillazioni vicino al punto di equilibrio stabile.

3. Calcolare le tangenti alla separatrice nel punto di equilibrio instabile.

4. Indicare graficamente come si possa dare una stima dal di sotto e dal di sopra al periodo dei moti periodici con energia −2 < E ≤ 0. Fare lo stesso per i moti periodici con energia 0 < E < 2.

5. Per i 12 crediti: Si consideri ora il sistema:

( ˙x = y + (x²− 1)

˙

y = −dU

dx − y√

x²+ 1, dove U `e sempre dato da (2).

Verificare che ha gli stessi punti di equilibrio di (1), e mostrare che anche la natura di tali punti punti di equilibrio `e la stessa. Mostrare che per il punto di equilibrio stabile, l’energia del sistema imperturbato (1) `e una buona funzione di Lyapunov.

2 Meccanica Lagrangiana

Un’asta omogenea AB di massa M e lunghezza 2 l si muove nel piano verticale xOz, con l’estremo A vincolato a restare sulla parabola di equazione z = a

2x², dove a `e un parametro positivo.

1. Scrivere la Lagrangiana del sistema e le equazioni del moto 2. Determinare i punti di equilibrio e la loro natura.

3. Posto a = _4l³, determinare le frequenze proprie e i modi normali delle piccole oscillazioni vicino al punto di equilibrio stabile.

4. Facoltativo: Supposto ora che a sia nullo (dunque che l’asta si muova con l’estremo A vincolato all’asse delle x), ma che l’estremo B possa muoversi anzich`e solo nel piano xOz nello spazio tridimensionale, determinare le nuove coordinate libere e scrivere la nuova Lagrangiana.

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3 Meccanica Hamiltoniana

Si consideri il sistema a due gradi di libert`a definito dalla Lagrangiana L(x, y, ˙x, ˙y) = 1

2( ˙x²+ 4 ˙y ˙x + 4 y²y˙²) − (x²+ 4 xy). (3) 1. Scrivere, tramite la trasformazione di Legendre rispetto alle velocit`a { ˙x, ˙y}) dalla La- grangiana (3) la Hamiltoniana in funzione delle variabili canoniche {x, y, px, py}, e verificare che `e data da

H(x, y, p_x, p_y) = 1

2(y²− 1) y²p²_x− p_xp_y+ 1

4p²_y) + (x²+ 4 xy). (4) 2. Verificare che per ogni ξ ∈ R la trasformazione

 X = x + ξy

Y = y , PX = px

P_Y = −ξ p_x+ p_y (5)

`e canonica, e trovarne una funzione generatrice.

3. Scrivere l’Hamiltoniana (4) nelle nuove coordinate, e trovare il valore di ξ per il quale le equazioni di Hamilton-Jacobi definite da H(X, Y, P_X, P_Y) ammettono un integrale completo separato (Non si richiede il calcolo di alcun integrale indefinito).

Suggerimento: si osservi che tramite una trasformazione del tipo (5) tra (X, Y )e(x, y) la forma quadratica che definisce l’energia potenziale si diagonalizza....

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