LA NOZIONE DI VARIET `A ALGEBRICA MAURIZIO CORNALBA

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LA NOZIONE DI VARIET ` A ALGEBRICA

MAURIZIO CORNALBA

Sia k un campo, e sia X uno spazio topologico. Per ogni aperto U di X indichiamo con F (U ) la k-algebra delle funzioni U → k. Supponiamo che sia assegnata, per ogni aperto U , una sotto-k-algebra O _X (U ) di F (U ) in modo che:

(1) per ogni coppia di aperti W ⊂ U la restrizione di funzioni F (U ) → F (W ) manda O _X (U ) in O _X (W );

(2) dati un aperto U ⊂ X, un suo ricoprimento aperto U = S U _i , e f ∈ F (U ), se la restrizione di f a U _i appartiene a O _X (U _i ) per ogni i, allora f ∈ O _X (U ).

Diremo provvisoriamente che il dato delle O X (U ) costituisce una struttura di spazio anellato su X; in realt` a la vera nozione di spazio anellato ` e assai pi` u generale di quella data qui.

Supponiamo che X e Y siano spazi topologici dotati di una struttura di spazio anellato, e sia f : X → Y una applicazione continua. Per ogni aperto U di Y vi ` e una applicazione

“pullback”

f _U ^∗ : F (U ) → F (f ⁻¹ U )

definita da f _U ^∗ (v) = v ◦ f . Ovviamente f _U ^∗ ` e un omomorfismo di k-algebre. Diremo che f ` e un morfismo di spazi anellati (o semplicemente un morfismo, quando non c’` e rischio di equivoci) se f _U ^∗ (O _Y (U )) ⊂ O _X (f ⁻¹ U ) per ogni aperto U ⊂ Y . ` E evidente che la composizione di morfismi di spazi anellati ` e ancora un morfismo di spazi anellati. Naturalmente diremo che un morfismo di spazi anellati f : X → Y ` e un isomorfismo se ammette una inversa, cio` e se ` e un omeomorfismo e f ⁻¹ ` e un morfismo di spazi anellati.

Notiamo che ogni aperto U di uno spazio anellato X eredita da questo una struttura naturale di spazio anellato: basta porre O _U (W ) = O _X (W ) per ogni aperto W ⊂ U . Una osservazione banale ma utile ` e che, dati uno spazio anellato Y e una applicazione f : Y → W , e indicata con j : W → X l’inclusione, f ` e un morfismo se e solo se lo ` e j ◦ f : Y → X.

Gli spazi anellati abbondano in matematica. Ad esempio, dato uno spazio topologico X, si pu` o scegliere come O _X (U ) l’algebra delle funzioni continue a valori reali su U ; naturalmente in questo caso k = R. Un esempio pi` u significativo ` e fornito da una variet` a differenziabile X, dove O _X (U ) ` e l’algebra delle funzioni differenziabili U → R.

Esercizio 1. Mostrare che i morfismi di spazi anellati tra variet` a differenziabili sono esatta- mente le applicazioni differenziabili.

Fissiamo un campo k, che d’ora in poi supporremo algebricamente chiuso. Anche le variet` a algebriche affini su k sono, in modo naturale, spazi anellati. Se X ` e una tale variet` a, basta prendere come O X (U ) l’algebra delle funzioni regolari su U .

Diremo che uno spazio anellato X ` e una variet` a algebrica (su k) se esiste un ricoprimento aperto finito X = S X _i tale che ogni X _i sia isomorfo, come spazio anellato, a una variet` a algebrica affine. I morfismi tra variet` a algebriche sono i morfismi di spazi anellati. Diremo che un aperto di una variet` a algebrica ` e un aperto affine se ` e isomorfo a una variet` a affine.

Data una variet` a algebrica X e un suo aperto U , gli elementi di O X (U ) saranno anche detti

Date: 20 ottobre 2008.

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funzioni regolari su U ; questo uso del termine ` e coerente con quello fatto nel caso delle variet` a affini.

Siano X e Y variet` a affini e A, B i rispettivi anelli delle coordinate. Ogni omomorfismo di k-algebre ϕ : B → A determina una applicazione

µ ϕ : X → Y

come segue. Per ogni punto x ∈ X sia m _x il corrisponente ideale massimale in A. L’ideale ϕ ⁻¹ (m _x ) ` e massimale in B. Infatti, da un lato A/m _x ∼ = k per il teorema degli zeri, dall’altro k ,→ B/ϕ ⁻¹ (m x ) ,→ A/m x , e dunque

(1) B/ϕ ⁻¹ (m x ) ∼ = A/m x ∼ = k

Indichiamo con µ _ϕ (x) il punto di Y corrispondente all’ideale massimale ϕ ⁻¹ (m _x ). Segue da (1) che

(2) f (µ _ϕ (x)) = ϕ(f )(x) per ogni f ∈ B.

Una prima conseguenza ` e che µ ⁻¹ _ϕ (D _f ) = D _{ϕ(f )} , e dunque in particolare che µ _ϕ ` e continua.

Una seconda conseguenza ` e che µ ^∗ _ϕ (u) ` e una funzione regolare per ogni funzione regolare u su un aperto di Y . In altre parole, µ ϕ ` e un morfismo.

Lemma 2. L’applicazione ϕ 7→ µ _ϕ stabilisce una corrispondenza biunivoca tra omomorfismi di k-algebre B → A e morfismi X → Y . Inoltre, se Z ` e un’altra variet` a affine con anello delle coordinate C, e ψ : C → B ` e un omomorfismo di k-algebre, µ _ϕ◦ψ = µ _ψ ◦ µ _ϕ .

Dimostrazione. L’ultima affermazione del lemma non necessita di dimostrazione. La formula (2) mostra in particolare che, se µ ϕ = µ _ϕ

⁰

, allora ϕ = ϕ ⁰ . Resta da vedere che ogni morfismo da X a Y ` e della forma µ _ϕ . Sia α : X → Y un morfismo. L’applicazione pullback α ^∗ : B = O _Y (Y ) → O X (X) = A ` e un omomorfismo di k-algebre. Per costruzione, se f ` e una funzione regolare su Y che si annulla in α(x), la funzione α ^∗ (f ) si annulla in x. Questo dice che (α ^∗ ) ⁻¹ (m _x ) = m _α(x) . In altre parole, α = µ _ϕ , con ϕ = α ^∗ . Corollario 3. Le classi di isomorfismo di variet` a algebriche affini su k sono in corrispon- denza biunivoca con le classi di isomorfismo di k-algebre di tipo finito senza nilpotenti.

Proposizione 4. Sia X una variet` a algebrica. Gli aperti affini costituiscono una base per la topologia di X.

Dato che X ` e in ogni caso unione di variet` a affini, basta limitarsi al caso in cui X ` e una variet` a affine. Sia A l’anello delle coordinate di X. Sappiamo che una base per la topologia di X ` e costituita dagli aperti D _f = {x ∈ X : f (x) 6= 0}, al variare di f in A. La proposizione segue quindi dal risultato seguente.

Lemma 5. D _f ` e una variet` a affine con anello delle coordinate A _f .

Dimostrazione. Possiamo scrivere A = k[a 1 , . . . , a n ]. Allora A = k[a 1 , . . . , a n , _f ¹ ], dove a i

indica l’immagine di a i in A f . In particolare, A f ` e una k-algebra di tipo finito. Inoltre A _f non contiene nilpotenti. Infatti dire che (a/f ^h ) ^` = 0 equivale a dire che f ^t a ^` = 0 per qualche t, il che implica che f ^t a ` e nilpotente in A, e dunque nullo. Ci` o a sua volta implica che a/f ^h = 0.

Sia Y una variet` a affine il cui anello delle coordinate sia A _f . Vogliamo costruire un iso-

morfismo di variet` a algebriche tra Y e D _f . L’omomorfismo q : A → A _f fornisce un morfismo

ϕ : Y → X che, tenuto conto della corrispondenza tra punti di una variet` a affine e ideali

massimali del corrispondente anello delle coordinate, pu` o essere descritto come la mappa

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LA NOZIONE DI VARIET ` A ALGEBRICA 3

che associa a ogni ideale massimale N di A _f l’ideale massimale q ⁻¹ (N ) in A. Vediamo in- nanzitutto che questo morfismo mette in corrispondenza biunivoca Y con D _f . I punti di D f corrispondono agli ideali massimali di A non contenenti f . Se M ` e uno di questi ideali, M _f ` e un ideale massimale di A _f . Infatti, se fosse M _f = A _f , l’1 di A _f dovrebbe appartenere a M _f , e dunque varrebbe una uguaglianza della forma 0 = f ^` (m − f ^h ), con m ∈ M ; ne risulterebbe che f ^`+h ∈ M , e dunque, visto che M `e primo, che f ∈ M , contro le ipotesi.

Inoltre q ⁻¹ (M _f ) ` e un ideale massimale di A contenente M , e dunque uguale a M . Viceversa, se N ` e massimale in A _f , q ⁻¹ (N ) non contiene f , e q ⁻¹ (N ) _f ` e dunque un ideale massimale di A f contenuto in N , e quindi uguale a N . Ci` o mostra che le applicazioni Y → D f e D f → Y date, rispettivamente, da N 7→ q ⁻¹ (N ) e da M 7→ M f sono una inversa dell’altra. Gli aperti principali di Y sono tutti della forma D _g , dove g ∈ A e g = ^g ₁ , ed ` e immediato verificare che ϕ pone in corrispondenza biunivoca D g con D f g ⊂ D _f ⊂ X. In particolare, Y → D _f ` e un omeomorfismo. Inoltre, (A _f ) g ∼ = A f g ; in altre parole, ϕ d` a un isomorfismo tra l’anello delle funzioni regolari su D _g e quello delle funzioni regolari su D _{f g} . Dato che gli aperti princi- pali formano una base per la topologia di X, questo basta a concludere che Y → D _f ` e un

isomorfismo di variet` a algebriche.

LA NOZIONE DI VARIET `A ALGEBRICA MAURIZIO CORNALBA

LA NOZIONE DI VARIET ` A ALGEBRICA

MAURIZIO CORNALBA

Sia k un campo, e sia X uno spazio topologico. Per ogni aperto U di X indichiamo con F (U ) la k-algebra delle funzioni U → k. Supponiamo che sia assegnata, per ogni aperto U , una sotto-k-algebra O X (U ) di F (U ) in modo che:

(1) per ogni coppia di aperti W ⊂ U la restrizione di funzioni F (U ) → F (W ) manda O X (U ) in O X (W );

(2) dati un aperto U ⊂ X, un suo ricoprimento aperto U = S U i , e f ∈ F (U ), se la restrizione di f a U i appartiene a O X (U i ) per ogni i, allora f ∈ O X (U ).

Diremo provvisoriamente che il dato delle O X (U ) costituisce una struttura di spazio anellato su X; in realt` a la vera nozione di spazio anellato ` e assai pi` u generale di quella data qui.

Supponiamo che X e Y siano spazi topologici dotati di una struttura di spazio anellato, e sia f : X → Y una applicazione continua. Per ogni aperto U di Y vi ` e una applicazione

“pullback”

f U ∗ : F (U ) → F (f −1 U )

Esercizio 1. Mostrare che i morfismi di spazi anellati tra variet` a differenziabili sono esatta- mente le applicazioni differenziabili.

Fissiamo un campo k, che d’ora in poi supporremo algebricamente chiuso. Anche le variet` a algebriche affini su k sono, in modo naturale, spazi anellati. Se X ` e una tale variet` a, basta prendere come O X (U ) l’algebra delle funzioni regolari su U .

Data una variet` a algebrica X e un suo aperto U , gli elementi di O X (U ) saranno anche detti

Date: 20 ottobre 2008.

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2 MAURIZIO CORNALBA

funzioni regolari su U ; questo uso del termine ` e coerente con quello fatto nel caso delle variet` a affini.

Siano X e Y variet` a affini e A, B i rispettivi anelli delle coordinate. Ogni omomorfismo di k-algebre ϕ : B → A determina una applicazione

µ ϕ : X → Y

come segue. Per ogni punto x ∈ X sia m x il corrisponente ideale massimale in A. L’ideale ϕ −1 (m x ) ` e massimale in B. Infatti, da un lato A/m x ∼ = k per il teorema degli zeri, dall’altro k ,→ B/ϕ −1 (m x ) ,→ A/m x , e dunque

(1) B/ϕ −1 (m x ) ∼ = A/m x ∼ = k

Indichiamo con µ ϕ (x) il punto di Y corrispondente all’ideale massimale ϕ −1 (m x ). Segue da (1) che

(2) f (µ ϕ (x)) = ϕ(f )(x) per ogni f ∈ B.

Una prima conseguenza ` e che µ −1 ϕ (D f ) = D ϕ(f ) , e dunque in particolare che µ ϕ ` e continua.

Una seconda conseguenza ` e che µ ∗ ϕ (u) ` e una funzione regolare per ogni funzione regolare u su un aperto di Y . In altre parole, µ ϕ ` e un morfismo.

Lemma 2. L’applicazione ϕ 7→ µ ϕ stabilisce una corrispondenza biunivoca tra omomorfismi di k-algebre B → A e morfismi X → Y . Inoltre, se Z ` e un’altra variet` a affine con anello delle coordinate C, e ψ : C → B ` e un omomorfismo di k-algebre, µ ϕ◦ψ = µ ψ ◦ µ ϕ .

Dimostrazione. L’ultima affermazione del lemma non necessita di dimostrazione. La formula (2) mostra in particolare che, se µ ϕ = µ ϕ

Proposizione 4. Sia X una variet` a algebrica. Gli aperti affini costituiscono una base per la topologia di X.

Lemma 5. D f ` e una variet` a affine con anello delle coordinate A f .

Dimostrazione. Possiamo scrivere A = k[a 1 , . . . , a n ]. Allora A = k[a 1 , . . . , a n , f 1 ], dove a i

Sia Y una variet` a affine il cui anello delle coordinate sia A f . Vogliamo costruire un iso-

morfismo di variet` a algebriche tra Y e D f . L’omomorfismo q : A → A f fornisce un morfismo

ϕ : Y → X che, tenuto conto della corrispondenza tra punti di una variet` a affine e ideali

massimali del corrispondente anello delle coordinate, pu` o essere descritto come la mappa

LA NOZIONE DI VARIET ` A ALGEBRICA 3

isomorfismo di variet` a algebriche.

Sia k un campo, e sia X uno spazio topologico. Per ogni aperto U di X indichiamo con F (U ) la k-algebra delle funzioni U → k. Supponiamo che sia assegnata, per ogni aperto U , una sotto-k-algebra O _X (U ) di F (U ) in modo che:

(1) per ogni coppia di aperti W ⊂ U la restrizione di funzioni F (U ) → F (W ) manda O _X (U ) in O _X (W );

(2) dati un aperto U ⊂ X, un suo ricoprimento aperto U = S U _i , e f ∈ F (U ), se la restrizione di f a U _i appartiene a O _X (U _i ) per ogni i, allora f ∈ O _X (U ).

f _U ^∗ : F (U ) → F (f ⁻¹ U )

come segue. Per ogni punto x ∈ X sia m _x il corrisponente ideale massimale in A. L’ideale ϕ ⁻¹ (m _x ) ` e massimale in B. Infatti, da un lato A/m _x ∼ = k per il teorema degli zeri, dall’altro k ,→ B/ϕ ⁻¹ (m x ) ,→ A/m x , e dunque

(1) B/ϕ ⁻¹ (m x ) ∼ = A/m x ∼ = k

Indichiamo con µ _ϕ (x) il punto di Y corrispondente all’ideale massimale ϕ ⁻¹ (m _x ). Segue da (1) che

(2) f (µ _ϕ (x)) = ϕ(f )(x) per ogni f ∈ B.

Una prima conseguenza ` e che µ ⁻¹ _ϕ (D _f ) = D _{ϕ(f )} , e dunque in particolare che µ _ϕ ` e continua.

Una seconda conseguenza ` e che µ ^∗ _ϕ (u) ` e una funzione regolare per ogni funzione regolare u su un aperto di Y . In altre parole, µ ϕ ` e un morfismo.

Lemma 2. L’applicazione ϕ 7→ µ _ϕ stabilisce una corrispondenza biunivoca tra omomorfismi di k-algebre B → A e morfismi X → Y . Inoltre, se Z ` e un’altra variet` a affine con anello delle coordinate C, e ψ : C → B ` e un omomorfismo di k-algebre, µ _ϕ◦ψ = µ _ψ ◦ µ _ϕ .

Dimostrazione. L’ultima affermazione del lemma non necessita di dimostrazione. La formula (2) mostra in particolare che, se µ ϕ = µ _ϕ

Lemma 5. D _f ` e una variet` a affine con anello delle coordinate A _f .

Dimostrazione. Possiamo scrivere A = k[a 1 , . . . , a n ]. Allora A = k[a 1 , . . . , a n , _f ¹ ], dove a i

Sia Y una variet` a affine il cui anello delle coordinate sia A _f . Vogliamo costruire un iso-

morfismo di variet` a algebriche tra Y e D _f . L’omomorfismo q : A → A _f fornisce un morfismo