2. Isomorfismo tra uno spazio vettoriale di dimensione n e Kn.

Alex Gotev

Prova orale di Geometria, A.A. 2009/2010, prof. Raffaele Scapellato Elenco dei teoremi richiesti con dimostrazione

1. Annullamento del prodotto per gli spazi vettoriali

Proposizione (2.2.2, pag. 38)

Sia: k ∈K , v ∈V k scalare , v vettore  Si ha kv =0 see solo se k =0 oppurev =0 Dimostrazione

Si consideri kv=v 0k   kv =v0kv  0=v0 Si consideri anche kv=k  0v  kv=k0kv  0=k0

Viceversa se kv=0 e k ≠0, esiste k⁻¹∈K tale che v=k⁻¹kv =k⁻¹⋅0=0

2. Isomorfismo tra uno spazio vettoriale di dimensione n e Kn.

Proposizione (Teorema 5.1.6, pag. 86)

SiaV  K uno spazio vettoriale contenente una base B=v_1,v_2,.. , v_n. Esiste unisomorfismo T_Bda V  K  a Kⁿ, che si ottiene facendo

corrispondere ad ogni vettorela n−upla delle sue coordinate rispetto alla base.

Dimostrazione

La proposizione assicura che la funzione T_Bdescritta è ben definita ed è una biiezione.

Essa è anche lineare , infatti si considerino:

u=

∑

i=1 n

a_iv_i v=

∑

i=1 n

b_iv_i

allora uv =

∑

i=1 n

a_ib_iv_i

dunque T_Buv = a₁b_1,... , a_nb_n = T_BuT_Bv

inoltre ku=

∑

i=1 n

k a_iv_i quindi si ha T_Bku = ka_1,... , k a_n = kT_Bu

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3. Teorema di interpolazione.

Proposizione (Teorema 6.1.6, pag. 96)

Siano V  K  e V '  K  spazi vettoriali , sia

{

}

Per ogni w_1,... , w_n ∈ V ' esiste un' unica funzione lineare T :V V '

tale che T v₁=w_1, T v₂=w_2,... , T v_n=w_n Dimostrazione

Il generico v ∈ V si può scrivere nella forma: v=

∑

i=1 n

a_iv_i Definiamo: T v =

∑

i=1 n

a_iw_i.

La linearità si verifica direttamente , mostrandol ' esistenza della funzione con l e proprietà richieste.

Per quanto riguarda l ' unicità , sia T₁:V  V ' una F.L.tale che T₁v_i=w_i per ogni i=1, ... , n

allora T₁v =T₁

 ^∑



^∑

^∑

4. Indipendenza di autovettori relativi ad autovalori distinti.

Proposizione (Proposizione 7.1.7, pag. 109)

Sia T :V V lineare. Se v_1,... , v_k sono autovettori di T corrispondenti ad autovalori distinti _1,... , _k, allora v₁,... , v_k sono linearmente indipendenti.

Dimostrazione

Procediamo per induzione su k :

se k =1 l ' autovettore v₁ non è nullo e quindi è indipendente.

Sia ora k 1 e supponiamo che a₁v₁...a_nv_n=0 Applicando T si ha anche , per linearità

a₁T  v₁...a_kT v_k=0, cioè a ₁v₁...a_k_kv_k=0

Sottraendo la prima uguaglianza moltiplicata per _k dall ' ultima , si ottiene : a1₁−_kv1...ak−1_{k −1}−_kvk−1=0

Per l ' ipotesi induttiva v_1,... , v_k−1 sonoindipendenti e quindi a₁₁−_k=...=a_k−1_k−1−_k=0

da cui a1=...=a_k−1=0 e quindi anche a_kv_k=0 e a_k=0

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5. Caratterizzazione degli autovalori come radici del polinomio caratteristico

T: Endomorfismo di uno spazio n-dimensionale Vⁿ(K) A: Matrice associata a T rispetto ad una base B Le seguenti condizioni sono equivalenti:

1. Lo scalare  ∈ K è autovalore di T 2. Esiste x ≠ 0 in Kⁿ tale che Ax = λx 3. det(A – λIn) = 0

Dimostrazione Se x = TB(v),

T(v) = λv se e solo se Ax = λx.

Dunque λ è autovalore se e solo se il sistema lineare omogeneo (A – λIn) = 0 ha una soluzione non nulla, che si verifica se e solo se det(A – λIn) = 0

6. Caratterizzazione delle matrici associate a endomorfismi simmetrici.

Proposizione (Proposizione 9.1.3, pag. 140) Sia B=e₁,... , e_n una base ortonormale di V.

aSe x e y sono i vettori colonnadelle coordinate di v e w rispetto a B , allora

v , w= x^T y nel caso reale , v , w= x^T y nel caso complesso bL ' endomorfismo T è simmetrico se e solo sela matrice associata A= M_BT 

è simmetrica , è hermitiano se e solo se la matrice A= M_BT  è hermitiana cioè A=A^T

Dimostrazione

aSia nel caso reale che complesso vale

v , w=

∑

j

∑

k

x_jy_ke_j, e_k =

∑

j

x_jy_j = x^T y , perchè B è ortonormale

bPer a, nel caso reale

T v  , w =  Ax ^T y = x^TA^Ty , mentre v , T w = x^TAy Se A^T=A , allora T v  , w  = v , T w  e T è simmetrico.

Viceversa , se T è simmetrico scegliendo v =e_j e w=e_k si ottiene  A^T_jk=a_jk cioè Aè una matrice simmetrica.

Nel caso hermitiano v ,T w = x^TAy  = x^TA y e si conclude come nel casoreale.

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7. Diagonalizzazione delle forme quadratiche

Proposizione (Teorema 9.3.5, pag. 145)

Ogni forma quadratica è diagonalizzabile mediante una trasformazione ortogonale di coordinate

Dimostrazione

Per il teorema spettrale, per ogni matrice reale simmetrica A, esistono:

• una matrice diagonale D e

• una matrice ortogonale P tali che:

P^-1AP = P^TAP = D

Dunque A è congruente a D e la forma quadratica associata ad A diventa, mediante la trasformazione ortogonale x = Py, la forma quadratica

q '  y =₁y₁²..._ny_n² dove ₁,... ,_n sono gli autovalori di A

Testo di riferimento:

M. P. Manara, A. Perotti, R. Scapellato - Geometria e algebra lineare, Esculapio, 2a Edizione, 2007.

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