• Se X `e una v.a. N ¡ 48, 11 2 ¢

Metodi Matematici e Statistici Prova scritta – 4/08

Nel seguito sono riportate le domande di due diversi compitini. Alcune sono a risposta multipla (di alcune viene evidenziata la risposta corretta; la risoluzione di molte non viene riportata in quanto elementare). Le ultime quattro domande sono a risposta aperta, che viene data in forma molto sintetica.

• Se X `e una v.a. N (−4, 1), calcolare P (X < −3) 0.8413; 0.9772; 0.9332; 0.993 e trovare il numero λ tale che P (X > λ) = 1 − 0.937

−3. 41; −4. 52; −2. 47; −1. 76

• Se X `e una v.a. N ¡ 48, 11 ² ¢

, calcolare P (2X + 3 < 88) 1 − Φ (1) ; 1 − Φ

µ 1 2

¶

; 1 − Φ µ 1

3

¶

; 1 − Φ µ 1

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¶

• Se X ed Y sono due v.a. N (7, 4) indipendenti, calcolare P ¡

X + Y < 14 + 2 √ 2 ¢ 0.993; 0.8413; 0.9332; 0.9772

• Se X 1 , ..., X 10 `e un campione N ¡ 23, 8 ² ¢

, trovare il numero λ tale che P ¡

X > λ ¢

= 0.95

19. 875; 16. 898; 18. 838; 17.875

• Se X 1 , ..., X n `e un campione N (5, 9), calcolare P ³

X−5 3/ √

n > 0.9 ´ 0.3548; 0.115 1; 0.274 3; 0.184 1

(nota: _3/ ^{X−5 √} _n `e una gaussiana standard, per questo il risultato non dipende da n)

• La quantit`a media di zucchero in un pacchetto deve essere di un chilo- grammo. La macchina che riempie i pacchetti ha una deviazione di 10 g. Si pu`o guastare e mettere una quantit`a diversa (inferiore o superiore).

Pesando 10 pacchetti troviamo un peso medio di 990 g. Trovare il pi` u piccolo α secondo cui avremmo concluso che la macchina si `e guastata.

0.0016; 0.0215; 0.0116; 0.0001

• Vogliamo stimare il parametro λ di una Poisson. Sappiamo che, molto grossolanamente, λ vale 10. Che numerosit`a deve avere il campione sper- imentale per stimare λ con un errore di 0.7, al 95%?

97; 84; 65; 79

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• Si ipotizza H 0 ) la media `e 5 contro l’ipotesi alternativa H 1 ) la media `e

> 5. Sperimentalmente si trova x = 5.2 con 20 esperimenti. Supponiamo σ = 0.3 Per quali α si rifiuta H 0 )?

α > 2−2Φ (2. 98) ; α > 1 − Φ (2. 98) ; α < 1−Φ (2. 98) ; α < 2−2Φ (2. 98)

• Lo spessore medio di certi pezzi metallici che produciamo `e di 8 cm, se la produzione `e corretta. La deviazione `e di 3 mm. Se la produzione si altera e lo spessore medio diventa di 8.4 cm, i pezzi non vanno pi` u bene.

Che potenza di rilevare un simile cambiamento ha un test di controllo, eseguito su 10 pezzi, al 95%?

0.8849; 0.8689; 0.9994; 0.9878

• Si consideri il test unilaterale relativo all’ipotesi nulla H 0 ) la media `e µ 0

contro l’ipotesi alternativa H 1 ) la media `e > µ 0 . Scrivere la condizione che produce il rifiuto di H 0 ), scrivere la probabilit`a β (µ) dell’errore di seconda specie e dimostrare che vale

β (µ) = Φ

µ µ 0 − µ σ

√ n + q 1−α

¶ . Soluzione: posto z = ^x−µ _σ

√

n, la condizione `e z > q 1−α ; β (µ) `e P µ (z ≤ q 1−α ), uguale a

P µ

µ x − µ σ

√ n − µ 0 − µ σ

√ n ≤ q 1−α

¶

da cui si trova facilmente il risultato.

• La quantit`a d’acqua richiesta giornalmente da una certa zona cittadina

`e una v.a. (supponiamo gaussiana) di media µ incognita e deviazione σ che supponiamo pari a 1000 litri sulla base di statistiche precedenti.

Un campionamento per 30 giorni ha fornito il valore medio x = 11742 litri. Qual’`e la quantit`a minima che il servizio pubblico deve mettere a disposizione, giornalmente, per accontentare la popolazione il 99% dei giorni? Dare sia la risposta pi` u semplice, sia se possibile una risposta pi` u cautelativa avente grado di fiducia 95%.

Soluzione: detta X la richiesta giornaliera, cerchiamo λ: P (X < λ) = 0.99; quindi λ = µ+σq 0.99 . Risposta pi` u semplice: λ = 11742+1000·q 0.99 . Risposta pi` u cautelativa, al 95%: λ = 11742 + ^{1000 √} ₃₀ q 0.975 + 1000 · q 0.99 .

• Vogliamo stimare la media µ di una v.a. esponenziale. Gli esperimenti forniscono il campione 20, 15, 28, 21, 14, 19, 27, 18, 21, 24. Cosa possiamo concludere? E se la v.a. era gaussiana?

Soluzione: calcolato x, la stima puntuale di µ `e x; l’intervallo di fiducia ad es. al 95% (approssimativamente, per il TLC) `e µ = x ± ^{√ σ} ₁₀ q 0.975

dove σ = µ (v.a. esponenziali), quindi approssimativamente potremmo usare x al posto di σ. Nel caso gaussiano, calcolando S ² dal campione, vale esattamente µ = x ± ^{√ S} ₁₀ t 0.975,9 .

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• Vogliamo stimare la probabilit`a p che una lavatrice si guasti in meno di 1000 ore di lavoro. Ogni esperimento richiede quindi molto tempo e vogliamo svolgere meno esperimenti possibile. Descrivere come agireste.

Soluzione: Alla fine, quando avremo fatto n esperimenti (in ogni esper- imento si lascia in funzione per 1000 ore una lavatrice e si registra se funziona o meno), stimeremo p con la frequenza empirica di guasto b p = x e potremo anche dire che, a livello α, p = b p ±

√ p(1−p)

√ 10 q 1−

, dove a poste- riori possiamo approssimare p

p (1 − p) con p b

p (1 − b p). Ma a priori, dob- biamo fissare un errore assoluto o relativo che accettiamo di commettere, dobbiamo fissare un rischio α, e trovare il minimo numero di esperimenti necessario. per far questo per`o serve una stima preliminare di p stesso, che si pu`o ad esempio ottenere con alcuni esperimenti preliminari.

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