Elettrostatica della giunzione con una tensione esterna applicata

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Elettrostatica della giunzione con una tensione esterna applicata

Consideriamo innanzitutto un diodo all’equilibrio, cioè senza tensione applicata. Pensiamolo inserito in un ipotetico circuito.

Dobbiamo contattarlo ai lati con contatti metallici caratterizzati da un certo potenziale di contatto, dipendente solo dai materiali. Sia V_j il potenziale ai capi della zona di svuotamento, che , all’equilibrio termodinamico, vale V_bi.

Applichiamo l’equazione di Kirchoff alle tensioni:

V_j - V_N - V_P = 0 V_j = V_N + V_P = V_bi Ora consideriamo il caso di una tensione applicata

V_j - V_N + V_A - V_P = 0

(V_N e V_P restano gli stessi)

V_J = V_N + V_P - V_A = V_bi - V_A

2

Siccome V_bi è stato usato come parametro nelle condizioni al contorno, basterà sostituire V_bi - V_A in ognuna delle espressioni trovate in precedenza.

Precisamente, per la giunzione brusca:

zona n

( ) ²

) 2

( _n

s

bi qN D x x

V x

V = − −

ε

( ) ( )

2

D A

bi

qN x x

V

V − − −

ε

bi D

A

D A

s

V

N N

N N

W q +

= ² ε

( bi A )

D A

D A

s V V

N N

N N

q ε + −

2

3

zona p

resta invariata

Da notare la convenzione sul segno di VA, che è positiva se rende p positivo rispetto a n.

Per la giunzione graduale:

( ) ²

) 2

( _p

s

A x x

x qN

V = +

ε

+ =

= W

N N

x N

D A

p A

( )

( ) (

)

D A

A

D A

D

s

V V

N N

N

N N

N

q −

+

= 2 ε +

( ) (

)

D A

A

D

s

V V

N N

N

N

q −

= ² ε +

⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢

⎣

⎡ ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

− ⎛

⎟ ⎠

⎜ ⎞

⎝

− ⎛

−

=

3 3 2

2 3 2 2

3 ) 2

( w

w x x

x qa V

ε

( )

3 /

12

⎥ ⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ −

=

V

V

W qa ε

4

5

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Capacità di svuotamento

Applicando una d.d.p. V ai capi della giunzione, si modifica

l’ampiezza dello scalino di potenziale già esistente all’equilibrio.

All’equilibrio il lato p è ad un potenziale più negativo del lato n.

Per questo motivo, una polarizzazione che, tenuto n a massa, applichi in p un potenziale positivo di

V

=

V_bi V_bi - V_F

al contrario un potenziale esterno negativo

V

=

V_bi V_bi + V_R

In generale

V_bi V_bi - V_A

dove V_A è misurato in p in riferimento al potenziale di n In queste condizioni di NON equilibrio può esservi flusso di corrente, ma innanzitutto si modifica la regione svuotata

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brusca

asimmetrica

lineare

Se varia W, varia la carica Q della regione svuotata (le altre regioni sono neutre). Questa variazione, rapportata alla tensione che l’ha causata, determina la CAPACITÀ DI SVUOTAMENTO della

giunzione p-n

In analogia al caso dei condensatori piani, dQ è la variazione di carica o nel lato p oppure nel lato n.

La variazione totale, per neutralità, deve essere nulla

( )

D A

bi D

A s

N N

V V

N N

W q + −

= 2ε ( )

( )

D bi s

N V V

q ε − 2

( )

3

12

V qa V

W = ε

−

D

A N

N >>

dV

C

= dQ

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Per una giunzione brusca

per unità di area

allora

per unità di area

come per i condensatori piani

Questo è un risultato generale (non lo dimostriamo ma vale per qualunque distribuzione di droganti nella giunzione)

N W N

N q N

x qN Q

A D

A n D

D

n

= = +

N dW N

N q N

dQ

A D

A n D

= +

2

2 W

N N

N N

V q V

A D

A D

s

bi

− = +

ε

n s

A D

A D s

W dQ N WdW

N

N N

dV q

ε

ε + ⁼

=

W dV

C _J dQ ⁿ ε ^s

=

=

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quindi

giunzione brusca`

giunzione brusca asimmetrica N_A>>N_D

giunzione a gradiente lineare

V V

N N

N q N

V C

bi D

A

D s A

J = + 1 −

) 2

( ε

V V

N V q

C

bi s D

J = −

) 2

( ε

( )

3 2

) 12

( V V

V qa C

bi J s

= ε −

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Metodo C-V

Giunzioni brusche asimmetriche

Misurando si misurano poi V_bi e N_D

Nel caso in cui N_D non fosse costante:

D bi s

J

N

V V

q C

= − ε 2 1

2

2

1 C

dV C d

W q N

J s

D

( 1 / )

1 ) 2

(

= ε

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Precisazione sulla capacità di svuotamento di una giunzione

La capacità di svuotamento C_J è stata assimilata a quella di un condensatore a facce piane parallele.

E’ necessario sottolineare alcuni aspetti importanti:

•  nel condensatore piano la carica risiede su entrambi i piatti e la capacità è una costante, indipendente dalla tensione applicata

•  nella regione di svuotamento le cariche sono distribuite in una regione la cui estensione varia non linearmente con V

C_J quindi non è una costante caratteristica del dispositivo, ma dipende dal suo punto di lavoro

C_J può essere definita, data la tensione di lavoro, solo per piccole variazioni della tensione, cioè tali che la variazione ΔW

dell’estensione della zona di svuotamento sia piccola rispetto a W.

Inoltre la relazione

è ricavata assumendo valida l’approssimazione di svuotamento che, come abbiamo visto, è ben verificata in inversa:

W dV

C _J dQ ⁿ ε ^s

=

=

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Un’altra cosa da sottolineare a riguardo della capacità di svuotamento, è che la variazione di carica in gioco è legata al movimento dei portatori di maggioranza.

La “prontezza” di risposta del dispositivo a variazioni della tensione imposta è legata ai tempi con cui i maggioritari si muovono sotto l’azione dei campi elettrici presenti nel materiale.

Misura di capacità di una giunzione

Consideriamo una giunzione p⁺-n-n⁺ di silicio, la cui area è 10^-3 cm². La regione n è cresciuta su un substrato n⁺ ed ha spessore w₁

Si determini, dato il grafico di in funzione di V_a, il valore di V_bi e quello di w₁

innanzitutto

2

1 C

(

)

D A

D A

s J

V N V

N

N N

q

C + −

= ε 2 1

2

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L’intercetta con l’asse x (ottenuta per interpolazione), fornisce il valore di V_bi=0.68 V

Per quanto riguarda il coefficiente angolare:

D’altronde

Osserviamo che diventa costante oltre un certo valore di V_a, perché?

( ) ^{( )} ₌

− − + =

−

= −

2 10

* 1 . 2 2

4

10 9 . 2 5

/

1

a J

dV C d

D A

D A

s

N N

N N

q

= +

= ε

10 2

* 05 .

1

3

10

* 13 .

1

+ =

⇒ cm

N N

N N

D A

D A

D A

i D A

bi

N N

n N N

q

V = kT ln

⇒

6 31

2 = 5 . 91 * 10 ⁻

= n e ^kT cm

qV i

bi

3 17

3 14

10

* 55 .

4

10

* 31 .

1

−

−

=

=

cm N

cm N

A D

2

1

C