Svuotamento di un serbatoio

Svuotamento di un serbatoio

Figure 1:

Si vuole svuotare un serbatoio di altezza h pieno di acqua attraverso un foro posto sul fondo.

Nell’ipotesi che l’altezza h cambi poco, determinare la velocit`a di fuo- riuscita del liquido.

Si verifichi che questa velocit`a aumenta se al foro `e collegato un tubo verticale di lunghezza L.

Tale velocit`a pu`o aumentare all’infinito aumentando L?

Soluzione

Consideriamo i punti A, B, C, ed i corrispondenti A⁰, B⁰, C⁰ indicati in figura rispettivamente per il serbatoio con foro ed il serbatoio con foro pi`u tubo di svuotamento.

La velocit`a di fuoriscita in B si trova semplicemente applicando il teo- rema di Bernoulli:

pA+ ρgzA+1

2ρv²_A= pB+ ρgzB+1

2ρv_B² (1)

1

Essendo v_A' 0 e p_A= p_B = p_atm si ha:

vB =p

2g(zA− z_B) =p

2gh (2)

Lo stesso ragionamento non pu`o essere seguito per il punto B⁰, in quanto non a contatto con l’atmosfera. Consideriamo, invece, i due punti C⁰ e C, in quest’ultimo caso prendendo una linea di flusso ipotetica che continua al di sotto del serbatoio.

Entrambi i punti sono a contatto con l’atmosfera, possiamo quindi uti- lizzare l’eq.2 per scrivere:

vC = vC⁰ =p

2g(zA− z_C) =p

2g(h + L) (3)

Per trovare la velocit`a in B⁰ usiamo la conservazione del flusso:

vB⁰SB⁰ = vC⁰SC⁰ (4)

essendo S_X la superficie della sezione del tubo di flusso nel punto X.

In questo caso, essendo il tubo un cilindro, le superfici sono uguali, per cui:

v_B⁰ = v_C⁰ =p

2g(h + L) > v_B (5)

Pertanto la velocit`a di fuoriuscita `e maggiore nel caso in cui un tubo `e collegato al foro di scarico.

La velocit`a in B<sup>0</sup> tende a infinito al crescere di L. Per capire il limite di validit`a dell’eq.5 si consideri la pressione in B⁰. Usando il teorema di Bernoulli fra i punti B⁰ e C⁰:

p_B⁰+ ρgz_B⁰ +1

2ρv_B²0 = p_C⁰ + ρgz_C⁰ +1

2ρv_C²0 (6) Abbiamo gi`a visto che v_B⁰ = v_C⁰, pertanto:

p_B⁰ = patm+ ρg(z_C⁰− z_B⁰) = patm− ρgL (7) Si vede che per al crescere di L la pressione in B⁰ diminuisce. Chiara- mente non pu`o scendere al di sotto di 0, il che pone un limite al valore di L oltre al quale non `e pi`u applicabile l’equazione di Bernoulli.

Pi`u precisamente, il valore limite di p<sub>B</sub><sup>0</sup> `e la pressione (o tensione) di vapore, cio`e la pressione alla quale si ha equilibrio fra la fase liquida e quella areiforme. Per l’acqua la pressione di vapore `e ' 2 kPa, da confrontare con la pressione atmosferica p_atm' 100 kPa.

Quando la pressione scende al di sotto di 2 kPa, si ha il fenomeno della cavitazione con il formarsi di bolle di aria che modificano il processo rallen- tando la discesa.

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