L’approssimazione di svuotamento - Equazione di Poisson Le soluzioni quantitative per la densita’ di carica e il potenziale lungo la giunzione, sono legate alla soluzione dell’equazione di Poisson:

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L’approssimazione di svuotamento - Equazione di Poisson

Le soluzioni quantitative per la densita’ di carica e il potenziale lungo la giunzione, sono legate alla soluzione dell’equazione di Poisson:

( D A )

s

N N

n q p

dx V

d = − − + −

2 ε

2

Tale equazione nella sua forma esatta e’ molto complessa da risolvere, per cui e’ necessario apportare delle semplificazioni.

Quell’insieme di semplificazioni che permettono di risolvere facilmente l’equazione e’ chiamato “approssimazione di svuotamento”. Vedremo nel seguito quando questa approssimazione è accettabilmente giustificata nei diodi reali.

Come si risolve l’equazione di Poisson?

Si considera che la differenza nella regione di transizione e’ minore rispetto alle regioni neutre.Quindi si assume che:

• All’interno della regione di transizione si abbia totale svuotamento di portatori mobili

F i

E E −

0 0

=

= n

p ² ₂ ^q [ ^{N ( x ) N ( x )} ]

dx V d

A D

s

−

−

= ε

• All’esterno di questa regione la neutralita’ di carica sia perfetta

[ ^N

^{( x ) − N}

^{( x ) + p − n = 0} ] ₂ 0

2

dx = V d

• Il raccordo sia di estensione trascurabile (approssimazione

3

L’equazione di Poisson si risolve in maniera differente a seconda della distribuzione delle impurita’. Consideriamo quindi due casi:

1.  Giunzione brusca

Posto che: a) x_p e x_n sono sconosciuti, b) W= x_p + x_n , c) il sistema e’

neutro ( )

si puo’ impostare l’equazione per le quattro zone:^{A p D n}

x N x

N =

1^II

= 0 V

s

II

qN

V

⁼ ε

II

qN

V

^{= −} ε V

= 0

1^I

= 0

V (

)

s

I

qN

x x

V = +

2

ε (

)

s

I

qN

x x

V = − −

3

ε V

= 0

Le condizioni al contorno:

) (

)

(

1 p

I p

I

x V x

V − = − V

( 0 ) = V

( 0 ) V

( x

) = V

( x

)

ρ

Integrando ancora:

1

= 0

V

₂ (

)

s

A

x x

V = qN +

ε (

)

s

D

x x V

V

= − qN −

+

2 ε V =

V

Con:

( ) ( ) ^x

^{V x}

V

− =

− V

( ) ⁰ = V

( ) ⁰ V

( ) x

= V

( ) x

La seconda equazione pone una seconda condizione su x_n e x_p, oltre alla neutralita’ del sistema:

n D p

A

bi n

s p D

s A

x N x

N

V qN x

qN x

=

+

−

=

2

2

2 ε ε

Esplicitando queste relazioni in funzione di W si ottiene:

n A

D A

D p

N N

W N x

N N

W N x

= +

= +

bi D A

D A

s

V

N N

N N

W q +

= ² ε

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Riassumendo:

noti N_A e N_D nella giunzione brusca, si conosce

e quindi si conosce:

• La carica netta

• Il campo elettrico

• Il potenziale elettrostatico

• La curvatura delle bande

ln

A bi D

n N N q

V = KT

bi D A

D A

s

V

N N

N N

W q +

= ² ε

D A

n A

D A

D p

N N

W N x

N N

W N x

= +

= + [ ]

[ ]

i D i n

F

i A F p

i

n KT N E

E

n KT N E

E

ln ln

=

−

=

−

2. Giunzione a gradiente lineare

in questo caso impostando l’equazione di Poisson nelle tre zone si ottiene:

0 0

3 2 1

=

−

=

=

II

s II

II

V

q ax V

V

ε

0

2 2

0

3

2 2

2 1

=

⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢

⎣

⎡ ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

− ⎛

−

=

=

I

s I

I

V

x W V qa

V

ε

7 bi

s

V V

c W x

x V qa

V

=

⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢

⎣

⎡ ⎟ +

⎠

⎜ ⎞

⎝

− ⎛

−

=

=

3

3 2 2

1

2 * 3

2 0

ε

Condizioni al contorno:

3

2 3

2 ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

− ⎛

= W

c

V

V W V W

V W V W

⎟ =

⎠

⎜ ⎞

⎝

= ⎛

⎟ ⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

⎟ =

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ −

⎟ =

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ −

2 2

2 0 2

3 2

2 1

s bi

V qaW

12 ε

3

=

3 12 qa W ε ^s V ^bi

=

Le concentrazioni delle impurita’ alle due estremita’ della regione di svuotamento sono identiche e pari ad aW/2. Di conseguenza il potenziale V_bi puo’ essere espresso come:

⎟ ⎟

⎠

⎞

⎜ ⎜

⎝

= ⎛

⎥ ⎥

⎥ ⎥

⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢

⎢ ⎢

⎢

⎣

⎡

⎟ ⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

⎟⎟ =

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

=

bi n

aW q

KT n

a W

q KT n

n q

V KT

p n

ln 2 2

ln 2

ln

2

dove a e’ il gradiente della concentrazione delle impurita’ ed e’ noto

Variazione di V per giunzioni a gradiente lineare in Si e GaAs in