Verifica di Matematica: integrali
Classe 5F - 28 marzo 2019
1. Integrali indefiniti. Per ogni riga risolvere due dei tre integrali, a scelta: Z 1 x+ 1 x2 + 1 x3 dx Z x2+ 2x dx Z 10x5+ 4x2+ 1 2x dx Z cos xesin xdx Z 3x2+ 2x x3+ x2+ 1 dx Z x − 2 x2− 4x + 10 dx Z sin√x √ x dx Z 1 x√ln x dx Z x √ 1 − x dx Z xexdx Z x2sin x dx Z √ x ln x dx Z 5x − 9 x2− 3x + 2 dx Z x3+ 2x2− x x − 1 dx Z x + 4 x3+ 2x2− x − 2 dx
2. Integrali definiti. Si prendano liberamente a scelta tre integrali dell’esercizio precedente e si calcolino i rispettivi integrali definiti nell’intervallo [0, 1].
3. Top of the pops! Gli integrali ora proposti sono più ostici di quelli precedenti. Può essere necessario applicare diverse strategie risolutive in sequenza oppure riconoscere qualche forma particolare con le derivate. Provare a farli tutti e tre.
Z
sin√x dx
Z
x√x − 1 dx
Z cos x sin x − 4 cos x 2√sin x − 4 dx
4. I want to play a game (facoltativo, solo per i forti di cuore!) L’integrale seguente va preso come una sfida: Z x √x − 1 +√x + 1 √ x2− 1 dx
Qualche commento. L’integrale proposto è piuttosto diabolico, in quanto presenta una trappola in cui chiunque potrebbe caderci. Infatti la voglia di tentare una sostituzione è forte, eppure tale procedimento non porta a nulla, se non a complicare ulteriormente la situazione. Tentare sin da subito una integrazione per parti porterebbe probabilmente lungo la via del dolore. Quindi la cosa migliore da fare è tentare qualche trick algebrico, per esempio una fattorizzazione, sperando che poi qualcosa si semplifichi. Solo a questo punto si può procedere con le metodologie standard, dove la x a moltiplicare tutto ci tornerà estremamente utile.
Formulario Z f0(x)ef (x)dx = ef (x)+ c Z f0(x) f (x) dx = ln f (x) + c Z fα(x)f0(x) dx = f α+1(x) α + 1
