Network delle esposizioni bancarie e degli indici azionari. Un confronto topologico

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Corso di Laurea magistrale in

Economia e Finanza

Tesi di Laurea

Network delle esposizioni

bancarie e degli indici

azionari. Un confronto

topologico

Relatore

Loriana Pelizzon

Correlatore

Domenico Sartore

Laureando

Tommaso Fornari

Matricola 844571

Anno Accademico

2014 / 2015

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Network delle esposizioni bancarie e degli

indici azionari. Un confronto topologico

Tommaso Fornari

11 giugno 2015

Sommario

Questo lavoro di tesi si propone di cercare se vi siano evidenze della capacit`a del mercato di considerare i valori di bilancio bancari attraverso il confronto di network ricavati dalle esposizioni bancarie e dagli indici azionari.

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Indice

1 Introduzione 4

2 I network 5

2.1 Cosa sono . . . 5

2.2 Definizioni e tipi di network . . . 7

2.3 Rappresentazione . . . 13

2.4 Misure dei network . . . 15

3 Granger causality 23 3.1 Metodo . . . 25

4 Descrizione dei dati 27 4.1 Contesto storico . . . 27

4.2 Dati utilizzati . . . 28

4.2.1 Esposizioni bancarie . . . 28

4.2.2 Indici azionari . . . 32

4.2.3 Prodotti interni lordi . . . 35

5 I network empirici 37 5.1 Granger causalities dei rendimenti degli indici azionari . . . . 38

5.2 Esposizioni bancarie . . . 42

5.3 Correlazioni dei rendimenti degli indici azionari . . . 47

6 Risultati e interpretazione 51 6.1 Centralit`a dei nodi . . . 51

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6.1.2 Granger causalities dei rendimenti degli indici azionari 59

6.1.3 Correlazioni dei rendimenti degli indici azionari . . . . 66

6.1.4 Confronto . . . 69

6.2 Misure empiriche dei networks . . . 69

6.2.1 Dimensione . . . 76

6.2.2 Densit`a e grado medio . . . 78

6.2.3 Reciprocit`a . . . 79

6.2.4 Varianza del grado . . . 82

6.2.5 Lunghezza media percorso . . . 84

6.2.6 Diametro . . . 85

6.2.7 Numero di isole . . . 86

6.2.8 Coefficiente di clustering globale . . . 87

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1 Introduzione

Questo lavoro di tesi si propone di cercare se vi siano evidenze della capacit`a del mercato di considerare i valori di bilancio bancari.

La ricerca `e svolta tramite l’ausilio dell’analisi dei network.

Si `e trovato un metodo di costruzione dei network, utilizzando i dati delle esposizioni bancarie classificate per rischio ultimo, messi a disposizione dal database del Bank for International Settlements, e degli indici azionari nazionali relativi ai paesi considerati, nell’intervallo temporale che va dal primo trimestre 2006 al quarto trimestre 2014 compresi.

I diversi network ottenuti sono poi stati confrontati per rilevare se ci fosse correlazione tra le loro misure.

I risultati ottenuti portano a rifiutare la proposta che il mercato consideri i valori di bilancio delle banche.

Il lavoro è cos`ı strutturato. Il capitolo 2 I network espone concetti fonda-mentali per la analisi dei network; il capitolo 3 Granger causality descrive la causalità di Granger, utilizzata nella costruzione di un network; il capitolo 4 Descrizione dei dati introduce alle serie utilizzate nella costruzione dei network; il capitolo 5 I network empirici mostra il criterio di selezione dei link significativi per trasformare i network in binari; il capito 6 Risultati e interpretazione è dedicato all’enunciazione dei risultati ottenuti.

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2 I network

2.1 Cosa sono

Nati grazie a Leonhard Euler (conosciuto come Eulero) nel 1736 con il celebre quesito dei sette ponti di Königsberg, i network sono rappresentazioni di relazioni tra unità di un sistema in un dato momento o periodo temporale. Sono degli strumenti utili per raffigurare in modo semplice l’oggetto di studio che ci interessa e per mezzo delle misure che ricaviamo da essi possiamo enunciarne delle proprietà e accostarne due o più per capirne le similitudini e differenze. Proprio per questo i network sono utilizzati in molti ambiti di studio, che vanno dai network ecologici e biologici, come le interazioni fisiche tra le proteine, ai network tecnologici, come le comunicazioni telefoniche, oppure che vanno dai network linguistici, come lingue diverse legate tra loro da medesimi ceppi linguistici, ai network sociali, come la rete di amicizie in un quartiere; possiamo vedere un esempio di network sociale in Figura 1, che rappresenta un network di appuntamenti tra adolescenti, dove i punti blu sono maschi e i rosa sono femmine.

Nei network economici solitamente i nodi sono individui, imprese, consu-matori, paesi ecc., mentre i link rappresentano relazioni di mercato.

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Figura 1: Peter S. Bearman, James Moody e Katherine Stovel, Chains of af-fection: The structure of adolescent romantic and sexual networks, Americaa Journal od Sociology 110, 44-91(2004)

I componenti principali dei network sono i nodi e i link. I nodi sono le entit`a che stanno alla base dello studio in corso, come B in Figura 2; i link sono le relazioni esistenti tra i nodi, per esempio, in Figura 2 sono rappresentati dalle linee di congiunzione tra B e C o tra B ed E.

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Figura 2: Nodi e link.

2.2 Definizioni e tipi di network

Esistono diversi tipi di network che si distinguono principalmente dalle caratteristiche dei link.

Network indiretti Quando c’`e una relazione bilaterale (per esempio il cliente della banca e la banca: il cliente A ha un credito nella banca B e la banca B ha un debito nel cliente A)

Network diretti Quando vi `e una direzionalit`a nella relazione (per esem-pio i riferimenti di libri in altri libri: il libro A si riferisce al libro B e il libro B non si riferisce al libro A).

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Network binari Quando le uniche due situazioni ammissibili sono l’esi-stenza o l’inesil’esi-stenza della relazione (per esempio la parentela in un albero genealogico: A e B sono parenti). Un network binario può essere considerato come un caso particolare di un network pesato dove il peso è uguale a 1 se esiste un link ed è uguale a zero se non esiste.

Network pesati Le relazioni sono di diversa intensità tra i nodi. É un network dove per ogni link è presente un peso (per esempio la percentuale di messaggi chat che le persone si scrivono al giorno tra loro, sul totale di messaggi spediti giornalmente).

I network possono avere caratteristiche incrociate tra le tipologie di cui sopra, quindi possono esistere network binari indiretti, come il network ”a” in Figura 3, network binari diretti come ”b” ne da una rappresentazione, oppure pesati, sia indiretti, network ”c”, sia diretti come ”d”.

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Figura 3: a. Binario indiretto. b. Binario diretto. c. Pesato indiretto. d. Pesato diretto.

Ripetendo, un network G è composto da V e E: G(V, E), dove V è un set di nodi {1, ..., N } ed E è un set di link che collegano gli elementi di V a coppie {n, v} con n, v ∈ V .

Due nodi si dicono adiacenti se sono uniti da un link, come B e C in Figura 3.a, e due link sono adiacenti se hanno in comune uno stesso nodo, come i link che uniscono D,E e E,F in Figura 3.a. Il grado locale del nodo è il numero di nodi adiacenti al nodo, che formano il vicinato. I gradi possono essere differenziati nei network diretti a seconda che i link siano in entrata o in uscita dal nodo, quindi si avrà grado in entrata e grado in uscita, come nel network ”b” in Figura 3 dove, per esempio, il nodo D ha grado 2 in uscita e grado 1 in entrata. Non si chiamerà più grado, ma forza locale del nodo,

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se il network `e pesato e si determina sommando i valori dei pesi espressi nei link che collegano il nodo al suo vicinato, ne possiamo avere un esempio nel network ”c” in Figura 3 dove il nodo C ha forza locale 0.78 (= 0.46 + 0.32). Volendo muoversi sul network attraverso nodi e link, utilizziamo il con-cetto di camminata, che si riferisce a una sequenza di nodi e link collegati tra loro, dove sia i nodi sia i link possono essere ripetuti. La lunghezza della camminata `e uguale al numero di link presenti nella sequenza.

Il percorso, invece, `e una camminata dove si utilizza una sola volta lo stesso nodo. La linea spessa in Figura 4 da un esempio di percorso tra il nodo A e il nodo C.

La distanza, chiamata anche geodetica, è la lunghezza del percorso più corto tra due nodi che può non essere unico. Per esempio, in Figura 4 vi sono due percorsi tra B ed E, cioè B− > C− > E e B− > E, la distanza tra B ed E è quindi il secondo percorso e misura 1.

Il diametro `e la distanza pi`u lunga di un network. In Figura 4 il diametro misura tre.

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Figura 4: Un esempio di percorso tra A e C.

Un nodo è raggiungibile da un altro se esiste un percorso tra i due e se ogni nodo è raggiungibile da ogni altro il network si dice connesso. Se il network non è connesso, possiamo essere in presenza di isole, cioè in presenza di più network che non hanno link di giunzione tra loro (anche un singolo nodo, se non collegato ad altri nodi, forma un’isola).

Per quanto riguarda un network diretto, le camminate e i percorsi seguono la direzione dei link. Questo è connesso debolmente se l’underling network (cioè il network ottenuto rimuovendo la direzionalità) è connesso; mentre è connesso fortemente se ogni nodo è raggiungibile da ogni altro nodo con un percorso diretto.

Una componente di un network `e il massimo sottografo connesso, per esempio un sottografo di G per cui ogni aggiunta di qualsiasi altro nodo di G fa s`ı che il sottografo sia disconnesso, dove un sottografo `e un network H = (V h, Eh) se G = (V g, Eg) e V h ≤ V g e Eh ≤ Eg.

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Si parla di ciclo quando un percorso ha come partenza e arrivo il medesimo nodo e percorre almeno tre link. Un esempio o si pu`o trovare nella figura seguente, contando tre link partendo dal nodo B e giungendo nuovamente sul nodo B, seguendo il percorso B− > E− > C− > B.

Figura 5: Un ciclo `e il percorso B− > E− > C− > B.

Un circolo, presente in Figura 6, è un network di nodi con link della stessa numerosità, dove ogni nodo è adiacente solo ad altri due nodi, nè più nè meno.

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Figura 6: Circolo

2.3 Rappresentazione

I network hanno due modalità per essere rappresentati: graficamente o tramite l’ausilio del linguaggio matematico. La rappresentazione grafica è certamente più comprensibile alla maggior parte delle persone, ma presenta il limite oggettivo che se i dati da raffigurare sono molti, viene meno l’imme-diatezza visiva. Per questo i network sono raffigurati tramite le matrici di adiacenza o le liste di link.

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La matrice di adiacenza `e una matrice dove nelle intestazioni delle righe e delle colonne troviamo i nodi, mentre gli elementi sono i link.

Saranno elementi uno o zero se il grafo è indiretto e binario, in questo caso la matrice sarà anche simmetrica, come possimao vedere nella parte ”a” della Figura 7. La matrice sarà asimmetrica se il grafo è diretto. Saranno elementi di valori compresi tra zero e uno se il grafo è pesato.

In tutti i casi la matrice di adiacenza `e una matrice quadrata dove la diagonale principale `e composta da zeri.

La lista di link può essere una raffigurazione più agevole se la numerosità dei nodi è elevata. Sarà una matrice N xM : [numerosità dei link ]x2 dove sulla prima colonna ci sono le coppie di nodi mentre sulla seconda colonna ci sono i pesi dei link attribuiti ad esse. Un esempio lo possiamo vedere nella parte ”c” della Figura 7, dove la prima riga della matrice 7x2 indica che tra il nodo 1 e il nodo 2 vi è un link con peso 1 (il network in questo caso è binario).

Figura 7: a. Matrice di adiacenza; b. Network binario indiretto da raffigurare; c. Lista di link.

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2.4 Misure dei network

La visualizzazione dei network può essere utile per interpretarli, ma spesso non è sufficiente per catturate le proprietà grafico teoriche di essi, per questo occorre adottare delle misure.

Ordine L’ordine del network `e la numerosit`a dei nodi.

Dimensione La dimensione `e la numerosit`a dei link.

Densità La densità del network è la frazione dei link esistenti su tutti i possibili link. Network indiretto d = 2 P i>jaij N (N − 1) Network diretto d = P i,jaij N (N − 1)

Dove d è la densità, aij è l’elemento della matrice di adiacenza riferito ai

nodi i e j, N è la numerosità dei nodi, cioè l’ordine.

Il range della densit`a va da zero (grafo vuoto) a uno (grafo completo).

Distanza La distanza `e il minor numero di link che esistono tra un nodo e un altro. La distanza `e chiamata anche geodetica.

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Lunghezza media percorso per singoli nodi L in Figura 8 è la matrice di distanza. Questa ha come elementi le distanze esistenti tra i nodi, per esempio tra il nodo 1 e il nodo 2 vi è una distanza pari a 2, perchè dal nodo 1, per raggiungere il nodo 2, occorre percorrere due link (collegati al nodo 6). Data la matrice di distanza L, possiamo calcolare la lunghezza media percorso per ogni nodo come la somma di tutte le distanze che cominciano dal nodo i sul numero di nodi totale meno uno.

AN P Li =

P

jlij

N − 1

dove lij `e l’elemento della matrice L riferito ai nodi i e j.

Figura 8: Un esempio di matrice di distanza con calcolo degli ANPL.

Lunghezza media percorso del network La lunghezza media calcolata sul network non `e altro che la media delle lunghezze medie sui nodi.

AP L = P

iAN P Li

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Grado del nodo Il grado del nodo in un network binario `e il numero di link del nodo considerato.

Se il network `e binario indiretto:

ki = N

X

j=1

aij

dove ki `e il grado del nodo i-esimo, aij `e l’elelmento della matrice di

adia-cenza riferito ai nodi i e j.

Se il network `e binario diretto bisogner`a distinguere tra

• in-degree (numero di link in entrata)

k_iin =

N

X

j=1

aji

• out-degree (numero di link in uscita)

k_iout =

N

X

j=1

aij

• total-degree (somma tra gli in-degree e gli out-degree).

k_itot = N X j=1 (aij + aji) = kini + k out i

Forza del nodo La forza del nodo è l’equivalente del grado del nodo quan-do il network è pesato. Quindi il valore da considerare non sarà pari ad uno

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come nel grado ma sar`a un valore che rispecchia l’entit`a del legame tra due nodi.

Come per il grado del nodo, le formule differiscono se il network `e indi-retto o diindi-retto (e in questo caso se i link sono in-strenght o out-strenght).

Forza del nodo in un network pesato indiretto:

si = N X j=1 wij .

Forza del nodo in un network pesato diretto: • in-strenght (numero di link in entrata)

sin_i =

N

X

j=1

wji

• out-strenght (numero di link in uscita)

sout_i =

N

X

j=1

wij

• total-strenght (somma tra gli in-strenght e gli out-strenght)

stot_i = N X j=1 (wij + wji) = sini + s out i

Grado medio Il grado medio `e la somma dei gradi del network diviso il numero di nodi. Indica il numero di link medio per nodo nel network. Come per il grado, il grado medio pu`o essere calcolato in tutti i tipi di network, che sia diretto, indiretto, pesato o binario.

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Varianza del grado La varianza del grado `e la volatilit`a del grado. Indica quanto i gradi del network si discostano in media dalla media.

Grado (forza) di vicinanza medio E la somma dei gradi dei vicini del´ nodo considerato diviso il numero dei vicini (o, il che `e lo stesso, il grado).

AN N Di = P jaijkj ki = P j P haijajh ki

Questa media ci serve per sapere quanto il network `e concentrato o `e disperso. Una alta concentrazione si presenta quando vi sono nodi molto connessi e i vicini di questi sono anch’essi molto connessi.

Possiamo calcolare la concentrazione al livello del nodo con il coefficiente di correlazione tra il grado del nodo e il grado di vicinanza medio

m = cov{ki, AN N Di} σ(ki)σ(AN N Di)

dove cov{ki, AN N Di} `e la covarianza tra il grado ki e il grado di

vici-nanza medio del nodo i, AN N Di, mentre σ(ki) e σ(AN N Di) sono lo scarto

quadratico medio del grado e del grado di vicinanza medio, rispettivamente.

Reciprocità La reciprocità è una misura applicabile solo ai grafi diretti. Indica la tendenza di coppie di nodi a connettersi mutualmente tra loro.

Un modo di definire la reciprocit`a `e rapportare il numero di link che uniscono due nodi bidirezionalmente al numero totale di link.

La reciprocit`a oscila tra 1 e 0, dove 1 indica un network interamente bidirezionale, mentre 0 uno monodirezionale.

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Coefficiente di clustering globale E una misura che ci permette di com-´ prendere quanto i nodi di un grafico sono raggruppati, cio`e quanto i vicini dei nodi sono vicendevolmente collegati.

Esistono due versioni di questa misura: quella globale e quella locale. La versione globale `e stata scritta per dare una indicazione generale del cluste-ring nel network, mentre la locale da una indicazione dell’integrazione del singolo nodo.

Il coefficiente di clustering globale è basato su triple di nodi. Una tripla consiste su tre nodi che sono connessi da due (tripla aperta) o tre (tripla chiusa) link. Un triangolo consiste in tre triple chiuse, ognuna centrata su ciascuno dei nodi. Il coefficiente di clustering globale è il numero di triple chiuse presenti nel network, diviso il numero totale di triple (sia aperte che chiuse). Questa misura da un’indicazione del clustering nell’intero network e può essere applicata sia a network indiretti sia a diretti.

C = numero di triple chiuse numero totale di triple

Centralità dei nodi Le misure di centralità vogliono rispondere alla ri-cerca del nodo più centrale del network, cioè il nodo che ha il vicinato più ampio.

Una misura di centralità a livello locale può essere il grado del nodo diviso la numerosità nei nodi meno uno.

ΓD_i = ki N − 1

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ΓD = P

i(maxj{kj} − ki)

(N − 1)(N − 2)

ΓD `e una media degli scarti dei gradi dal grado pi`u elevato.

Da notare che se tutti i nodi hanno il medesimo grado (per esempio in un grafo completo) la misura di centralità globale è pari a zero e, all’inverso, è pari ad uno se il network è a stella, cioè un network come quello che vediamo in Figura 9.

Figura 9: Un esempio di network a stella.

Node Closeness Centrality La Closeness Centrality è una misura di centralità ed è definita come l’inverso della somma delle distanze che partono

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da un nodo

CLi =

1 P

jdij

dove dij `e la distanza tra i e j.

Si possono calcolare Closeness Centrality nei network sia in entrata sia in uscita.

Node Betweenness Centrality Un nodo è più centrale globalmente, più giace su percorsi che connettono altri due nodi nel netwok.

BCi = X h,k vi hk ghk dove vi

hk `e il numero di geodetiche da h a k per i e ghk `e il numero di

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3 Granger causality

Il test di causalità di Granger (Granger causality) è un test statistico di ipotesi per determinare se una serie storica è utile per predire un’altra serie. Clive Granger pensò che la causalità in economia potesse essere riflessa mi-surando l’abilità della predizione di valori futuri di una serie storica usando i valori passati di un’altra serie.

Una serie storica X si dice che G-causa Y se pu`o essere mostrato, attra-verso una serie di t-test e F-test su valori ritardati di X (e con valori ritardati di Y inclusi), che i valori di X forniscono informazioni statisticamente signi-ficativi riguardo il futuro dei valori di Y . Possiamo vedere una raffigurazione di questo concetto nella Figura 10, dove X imita la variabile Y , ma antici-patamente, quindi osservando X al tempo 100 sapremo come si comporter`a Y al tempo 100 + t.

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Figura 10: Quando la serie storica X G-causa la serie storica Y , lo schema di X `e approssimativamente ripetuto in Y dopo alcuni ritardi di tempo (due esempi sono indicati dalle frecce). Quindi, i valori passati di X possono essere usati per la predizione dei valori futuri di Y .

Granger ha definito la relazione di causalit`a basandosi su due principi.

1. La causa accade prima del suo effetto.

2. La causa ha un’informazione unica riguardo il suo effetto.

Date queste due assunzioni circa la causalit`a, Granger ha proposto di testare le seguenti ipotesi per l’identificazione di un effetto causale di X su Y .

P [Y (t + 1) ∈ A|Π(t)] 6= P [Y (t + 1) ∈ A|Π−X(t)]

Dove A `e un set non vuoto arbitrario. I simboli Π(t) e Π−X(t) denotano

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modificato dove X `e esclusa, rispettivamente. Se la ipotesi sopra `e accettata noi diciamo che X G-causa Y .

3.1 Metodo

Se una serie storica è un processo stazionario, il test è svolto usando i valori di livello di due (o più) variabili. Se le variabili sono non stazionarie, il test sarà fatto con le differenze di grado adeguato. Il numero di ritardi da includere è solitamente scelto usando un criterio di informazione, come l’Akaike Information Criterion o lo Schwarz Information Criterion. Ogni valore ritardato di una delle variabili è conservato nella regressione se

1. `e significativo secondo un t-test, e

2. questo e altri valori ritardati della variabile aggiungono congiuntamente ”potere espressivo” al modello secondo un F-test.

Quindi l’ipotesi nulla di non causalità non è rigettata se e solo se nessun valore ritardato di una variabile esogena è stato conservato nella regressione.

Assumiamo y e x essere serie storiche stazionarie. Per testare l’ipotesi nulla che x non G-causa y, si trovano inizialmente i valori ritardati di y da includere in una autoregressione univariata di y:

yt= a0+ a1yt−1+ a2yt−2+ · · · + amyt−m+ t

successivamente, l’autoregressione `e aumentata includendo i valori ritar-dati di x:

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yt = a0 + a1yt−1+ a2yt−2+ · · · + amyt−m+ bpxt−p+ · · · + bqxt−q + t

Si conservano in questa regressione tutti i valori ritardati di x che sono individualmente significativi secondo un test t, a condizione che collettiva-mente aggiungano potere espressivo alla regressione secondo un F-test (nel quale l’ipotesi nulla è la non aggiunta di potere espressivo congiunto). Nella notazione della regessione aumentata di cui sopra, p è la più corta, q la più lunga lungezza del ritardo per la quale i valori ritardati di x sono significativi. L’ipotesi nulla che x non G-causa y non è rigettata se e solo se non ci sono valori ritardati di x mantenuti nella regressione.

Il test di causalità di Granger è molto utile, dal momento che ci mostra nessi causali tra variabili che aprioristicamente definiremmo indipendenti. Inoltre è utilizzabile nella previsione dell’andamento futuro di una variabile avendo a disposizione i dati di quella che la G-causa.

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4 Descrizione dei dati

Questo capitolo descrive i dati utilizzati nella ricerca e il loro contesto storico.

4.1 Contesto storico

I dati utilizzati giacciono sull’intervallo temporale intercorrente tra il 2006 e il 2014 compresi.

In questo periodo di tempo abbiamo due eventi di significativa rilevanza dal punto di vista economico.

Il primo riguarda la crisi finanziaria cominciata nel 2007 con lo scoppio della bolla immobiliare. Precedentemente all’evidenziarsi di questo proble-ma, ci fu un’emissione significativa di mututi a soggetti che avrebbero avuto poche possibilit`a di ripagare il debito, con in parallelo una crescita altrettan-to vigorosa di strumenti derivati e di strumenti che permisero la distribuzione delle posizioni creditorie sui prestiti a rischio tale per cui tutta l’economia ne fu contagiata.

Per contrastare il collasso economico che avrebbe causato il fallimento di istituti finanziari e assicurativi, le banche centrali di tutto il mondo e specialmente quelle americana, europea, inglese e giapponese, iniettarono liquidit`a nel mercato e i governi sostennero societ`a private entrando nel loro capitale.

In Europa ci fù un aumento della rischiosità sui debiti sovrani e questo ne causò il secondo evento di significativa importanza: la crisi dei debiti sovrani. Questo fatto portò i governi europei a seguire linne di contrazione della spesa

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pubblica e innalzamento del gettito, la cosi chiamata austerity.

Parte di queste misure o misure analoghe ad esse sono ancora oggi attuate in quanto la crisi economica, che si traduce in mancanza di opportunit`a di lavoro per i singoli e di investimento per le imprese, `e ancora presente, anche se stiamo forse vedendo dei cambiamenti positivi.

4.2 Dati utilizzati

I network da confrontare sono stati ricavati da tre tipi di dati. Le esposi-zioni classificate per rischio ultimo che le banche di alcuni paesi comunicano al Bank for International Settlements. Gli indici azionari nazionali di ri-ferimento dei paesi scelti nel lavoro. I prodotti interni lordi dei medesimi paesi.

I paesi utilizzati sono l’Australia, la Francia, la Germania, la Grecia, l’Irlanda, il Giappone, l’Olanda, la Spagna, la Svezia, il Portogallo, il Regno Unito e gli Stadi Uniti d’America. La loro selezione `e stata dettata dalle matrici del BIS, in quanto la necessit`a era di avere matrici di adiacenza piene e non sempre i partecipanti al BIS comunicano le informazioni.

Il range temporale inizia dal primo trimestre del 2006 e termina il quarto trimestre del 2014 con frequenza trimestrale. Anche la scelta dell’intervallo temporale e della frequenza sono stati dettati dal BIS.

4.2.1 Esposizioni bancarie

Dal database offerto dal Bank for International Settlements sono state ricavate le statistiche bancarie consolidate basate sul rischio ultimo che

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trac-ciano, trimestralmente, le attività estere delle banche con sede nei singoli paesi che comunicano le informazioni al BIS e per l’area di riferimento nel suo complesso. A differenza delle attività estere basate sul mutuatario imme-diato, le statistiche basate sul rischio ultimo tengono conto dei trasferimenti di rischio e garanzie di terzi, quindi alloca le esposizioni al paese dove il debi-tore finale risiede (per esempio il paese dove risiede il garante del debito). Le attività estere sono riportate su base consolidata in tutto il mondo, quindi anche le esposizioni di sedi estere sotto il controllo delle banche, ma sono escluse le posizioni infragruppo all’interno della stessa banca. Le attività estere sono un aggregato dei settori delle controparti (banche non affiliate, settore privato non bancario e settore pubblico). I dati sono trimestrali e sono disponibili dalla fine di marzo 2005. I valori sono espressi in milioni di dollari USA, con rispettivi tassi di cambio di fine trimestre.

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Media St. Dev Min Max AUS 228371.6 54538.03 121392 314219 FRA 1715708 338846.1 1224922 2499789 DEU 2016389 448453.7 1321471 2994736 GRC 20203.67 7563.367 8809 37232 IRL 333682 175018.8 101733 621219 JPN 1689613 287767.9 1104661 2065410 NDL 1048847 355995.6 681225 1720244 PRT 71097.44 15475.99 43655 96516 ESP 773342.5 81916.31 560371 876466 SWE 237165.9 42498.35 184437 322509 GBR 2226644 257056.4 1763450 2841123 USA 1379572 460984.7 596091 1978735 Tabella 1: Principali statistiche delle esposizioni attive.

La Figura 11 mostra l’andamento per tutti i paesi delle esposizioni ag-gregate verso i medesimi paesi. Vediamo come gli andamenti sono prevalen-temente costanti o discendenti durante il periodo della crisi dei subprime, mentre rimangono crescenti per il Giappone e hanno un salto notevole per quanto riguarda gli Stati Uniti, forse dovuto alle immissioni di liquidit`a ef-fettuate grazie al primo Quantitative Easing a novembre del 2008.

Le principali statistiche delle esposizioni attive per paese sono espresse nella Figura 1. Vediamo che i paesi maggiormente esposti sono, in ordine decrescente, l’Inghiltera, la Germania, la Francia e il Giappone.

La deviazione standard conferma quello che possiamo dedurre dalla Fi-gura 11, cio`e che i paesi che hanno avuto una maggiore volatilit`a delle esposizioni attive sono gli Stati Uniti, la Germania, l’Olanda e la Francia.

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Figura 12: Andamento delle esposizioni passive per rischio ultimo.

Nella Figura 12 vediamo gli andamenti passivi totali per ogni paese verso i medesimi paesi. É possibile osservare come gli Stati Uniti, il Regno Unito e la Germania siano i paesi che, tra quelli considerati, hanno più rilevanza in quanto sono quelli che detengono più passività (in termini di rischio ultimo) di tutti gli altri.

La Figura 2, che contiene le principali statistiche delle situazioni passive dei paesi, conferma ciò che è stato espresso poco sopra, cioè che gli Stati Uniti, l’Inghilterra e la Germania sono i paesi che detengono più passività. Si evince inoltre che gli Stati Uniti e l’Inghilterra hanno la volatilità più ampia.

(34)

Media St. Dev Min Max AUS 396965.3 54197.65 248188 487182 FRA 268674.2 41587.95 205855 360454 DEU 906009 77690.77 784517 1054360 GRC 67999.86 32145.89 17948 122034 IRL 179043.7 49588.62 72909 242843 JPN 481566.5 100826.6 301844 622537 NDL 569498.7 107020.2 418192 853662 PRT 488681.5 131114 290919 735706 ESP 107596.2 9562.58 89118 130366 SWE 123414.6 37908.35 46206 174140 GBR 2044604 176480.8 1756343 2451063 USA 3489221 215985 3069620 3973422

Tabella 2: Principali statistiche delle esposizioni passive per rischio ultimo.

4.2.2 Indici azionari

Gli indici azionari sono gli indici nazionali di riferimento per i paesi sele-zionati.. Sono stati considerati total return, cioè ricapitalizzando i dividendi che le società periodicamente distribuiscono agli azionisti, scelta operata in quanto si è sentita la necessità di valutare il rendimento degli indici nella loro pienezza. Ricavati dal database Bloomberg, qui di seguito se ne da l’elenco con una breve descrizione.

Il S&P/ASX 200 misura la performance delle 200 azioni maggiormente qualificate quotate sulla Australian Stock Exchange attraverso la capitaliz-zazione di mercato. Rappresentativo della liquidità e della scambiabilità, è considerato l’indice di riferimento principale australiano.

Il CAC 40 è l’indicatore maggiormente usato per il mercato di Parigi, ri-flette la performance delle 40 più grandi imprese quotate in Francia, misurate sulla capitalizzazione di mercato e la liquidità.

(35)

chip scambiate alla Frankfurt Stock Exchange.

Il Athens Stock Exchange General Index `e un indice pesato sulla capita-lizzazione di azioni greche quotate sulla Athens Stock Exchange.

L’ISEQ Overall Index `e un indice pesato sulla capitalizzazione di tutte le imprese ufficialmente quotate sulla Borsa d’Irlanda, ma sono escluse le societ`a Inglesi registrate nella medesima Borsa.

Il Nikkei-225 Stock Average `e una media delle 225 societ`a giapponesi migliori quotate nella prima sezione della Tokyo Stock Exchange.

L’AEX-Index `e un indice pesato sulla capitalizzazione delle principali azioni olandesi scambiate sulla Amsterdam Exchange.

L’IBEX 35 è l’indice ufficiale del mercato continuo spagnolo. L’indi-ce è compreso delle 35 azioni maggiormente liquide scambiate sul mercato continuo. E’ calcolato, supervisionato e pubblicato dalla Sociedad de Bolsas. L’indice OMX Stockholm 30 consiste delle 30 azioni maggiormente scam-biate alla Stockholm Stock Exchange. La composizione del OMXS30 è rivista due volte l’anno.

Il Portugal PSI 20 Index `e un indice pesato sulla capitalizzazione delle azioni top 20 quotate sulla Borsa di Lisbona.

L’indice FTSE 100 è un indice pesato sulla capitalizzazione delle 100 società maggiormente capitalizzate scambiate sulla London Stock Exchange. Lo Standard and Poor’s 500 è un indice pesato sulla capitalizzazione di 500 azioni. L’indice è designato a misurare la performance dell’economia nazionale attraverso i cambiamenti nel valore di mercato aggregato di 500 azioni che rappresentano tutte le maggiori industrie.

(36)

Figura 13: Andamento indici azionari. 04/01/2006 = 100

La Figura 13 mostra gli andamenti degli indici azionari a partire dal 04 gennaio 2006 che `e la base 100.

´

E evidente il drastico calo che tutti hanno subito durante la crisi del 2008 e vediamo come la maggior parte sia tornato in fase ascendente, ad esclusione degli indici greco e portoghese. Si osserva che l’indice irlandese si `e assestato ad un livello notevolmente inferiore a quello precedente la crisi economica e che gli indici di Germania, Svezia e Australia, seguiti negli ultimi periodi da quello statunitense, sono quelli che hanno avuto un maggiore recupero.

Ciò che è deducibile dalla Figura 13, è confermato dalle statistiche dei rendimenti degli indici contenute in Tabella 3. Possiamo infatti osservare come i paesi che hanno avuto una migliore performance sono, in ordine de-crescente, la Germania, la Svezia, gli Stati Uniti e l’Australia, mentre gli unici

(37)

Media St. Dev Min Max AUS 0.00036 0.02116 -0.17570 0.26267 FRA 0.00017 0.02137 -0.11756 0.24298 DEU 0.00057 0.02094 -0.12814 0.25775 GRC -0.00051 0.02698 -0.13896 0.28071 IRL 0.00003 0.02095 -0.14283 0.23802 JPN 0.00019 0.01774 -0.10658 0.19135 NDL 0.00019 0.02046 -0.11001 0.26832 PRT -0.00013 0.01999 -0.17111 0.24142 ESP 0.00025 0.02286 -0.14488 0.25434 SWE 0.00054 0.02371 -0.12153 0.29261 GBR 0.00020 0.01851 -0.11568 0.22970 USA 0.00041 0.01520 -0.09035 0.18474

Tabella 3: Principali statistiche dei rendimenti degli indici azionari.

che hanno una media dei rendimenti negativa sono la Grecia e il Portogallo.

4.2.3 Prodotti interni lordi

I prodotti interni lordi sono stati scaricati dal database del Fondo Mone-tario Internazionale. Sono annuali e denominati in dollari.

(38)

Figura 14: Andamento dei PIL nazionali. 2006 = 100.

La Figura 14 mostra l’andamento dei PIL per ogni paese con base cento il 2006. Vediamo una flessione generale tra il 2008 e il 2009, ma non si osservano particolari andamenti se non per il PIL greco, che `e quello con andamento peggiore, e il PIL australiano, che rispetto ai valori antecedenti il 2009, ha avuto un incremento notevole.

La Tabella 4 delle statistiche calcolate sui rendimenti dei PIL, conferma l’interpretazione grafica. Vediamo che l’Australia ha una media dei ren-dimenti di gran lunga superiore agli altri paesi con annessa una maggiore deviazione standard, mentre la Grecia `e l’unico paese ad avere una media negativa, pur non avendo il minimo peggiore.

(39)

Media St.dev Min Max AUS 0.086 0.125 -0.054 0.253 FRA 0.028 0.080 -0.081 0.146 DEU 0.035 0.081 -0.091 0.146 GRC -0.013 0.103 -0.136 0.167 IRL 0.013 0.101 -0.149 0.169 JPN 0.011 0.094 -0.174 0.113 NDL 0.027 0.088 -0.081 0.159 PRT 0.015 0.086 -0.117 0.152 ESP 0.017 0.092 -0.093 0.170 SWE 0.044 0.112 -0.164 0.161 GBR 0.021 0.099 -0.176 0.146 USA 0.029 0.022 -0.020 0.045

Tabella 4: Principali statistiche dei rendimenti dei PIL.

5 I network empirici

I network confrontati derivano dalle Granger causalities dei rendimenti degli indici azionari, dalle esposizioni bancarie percentualizzate sui PIL e dalle correlazioni degli indici azionari.

I network sono rappresentati da 36 matrici di adiacenza 12x12 (una per trimestre).

Di seguito vengono descritti con attenzione al criterio di individuazione delle soglie necessarie alla selezione dei link.

Il software utilizzato per l’ottimizzazione e i calcoli delle misure dei net-work `e stato R, mentre per il calcolo delle Granger causalities `e stato Matlab.

(40)

5.1 Granger causalities dei rendimenti degli indici

azio-nari

Dagli indici azionari nazionali giornalieri sono stati calcolati i rendimenti dai quali, una volta individuati in trimestri, sono state calcolate le Granger causalities per ogni coppia di indici.

Utilizzando gli output delle Granger causalities, sono state ricavate le matrici di adiacenza con elementi i p-value delle regressioni, dove nelle righe vi sono gli indici causanti, mentre nelle colonne quelli causati.

La Tabella 5 mostra la matrice di adiacenza del primo trimestre. Come possiamo vedere gli elementi sono numeri compresi tra zero e uno, dove la diagonale principale `e composta interamente da uno unicamente per il criterio di individuazione dei link tramite la soglia.

Volendo dei link significativi, è stato imposto di considerare solo gli ele-menti con valore inferiore a 0.05, soglia generalmente accettata ed usata in ambito econometrico per accettare la significatività. Per esempio, in Ta-bella 5, l’elemento (USA, AUS) conta 0.00341 che, inferiore a 0.05, viene accettato. Esito diverso per l’elemento (PRT, JPN) che è maggiore a 0.05.

Selezionati gli elementi inferiori a 0.05, le matrici ricavate sono state tra-sformate in matrici rappresentanti network binari e diretti.

Vediamo la trasformazione della matrice in Tabella 5 nella matrice in Ta-bella 6, dove l’elemento (USA, AUS) `e cambiato in 1 e l’elemento (PRT, JPN) `

(41)

Ripetendo, sono state costruite matrici Zt _{per ogni trimestre t dove le}

righe rappresentano gli indici azionari che causano in senso di Granger men-tre le colonne rappresentano gli indici azionari che sono causati in senso di Granger. Ogni elemento zt

ij `e il p-value ottenuto dalla Granger causality tra

il paese i (causante) e il paese j (causato) nel trimestre t. L’elemento zt ij `e

quindi link pesato e Zt `e una matrice di link pesati. Queste matrici sono state trasformate in binarie Dt_{= {d}t

ij}, dove ogni elemento dtij ∀ i 6= j

(quin-di senza considerare la (quin-diagonale principale) prende valore 1 se zt

ij < 0.05 e

(42)

A US FRA DEU GR C IRL JPN NDL PR T ESP SWE GBR USA A US 1 .000 0.471 0.639 0.311 0.362 0.323 0.237 0.232 0.410 0.5 98 0.558 0.818 FRA 0.007 1.000 0.294 0.779 0.887 0.017 0.236 0. 335 0.227 0.691 0.150 0.790 DEU 0.012 0.226 1.000 0.813 0.867 0. 011 0.274 0.241 0.246 0.475 0.156 0.080 GR C 0.399 0.861 0.726 1.000 0.660 0.880 0.997 0.949 0.54 4 0.892 0.105 0.648 IRL 0.803 0.121 0.161 0.904 1.000 0.875 0.072 0 .051 0.265 0.084 0.145 0.935 JPN 0.884 0.540 0.892 0.578 0.224 1.000 0.714 0.834 0.718 0. 764 0.825 0.691 NDL 0.017 0.202 0.379 0.767 0.875 0.009 1.000 0. 303 0.320 0.604 0.200 0.877 PR T 0.880 0.442 0.804 0.363 0.831 0.613 0.740 1.0 00 0.914 0.501 0.516 0.271 ESP 0.049 0.293 0.363 0.906 0.842 0.112 0.280 0.130 1.000 0.641 0.268 0.746 SWE 0.939 0.274 0.411 0.783 0.7 77 0.139 0.345 0.298 0.222 1.000 0.341 0.912 GBR 0.073 0.237 0.380 0.573 0.892 0.179 0.208 0.182 0.247 0.443 1.000 0.649 USA 0.003 0.956 0.907 0.151 0.114 0 .095 0.780 0.675 0.838 0.673 0.072 1.000 T ab ella 5: Matrice di adiace nza delle Granger causalities calco late sui rendimen ti degli indici azionari.

(43)

A US FRA DEU GR C IRL JPN NDL PR T ESP SWE GBR USA A US 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 FRA 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 DEU 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 GR C 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 IRL 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 JPN 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 NDL 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 PR T 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ESP 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 SWE 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 GBR 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 USA 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 T ab ella 6: Matrice di adiace nza binaria e diretta delle Granger causalities con soglia < 0 .05.

(44)

5.2 Esposizioni bancarie

Le esposizioni bancarie sono state percentualizzate rispetto ai PIL dei paesi in situazione attiva. La scelta `e stata operata su quattro tipi di percentua-lizzazioni.

Individuati due valori, uno i PIL annuali e l’altro le esposizioni attive totali dei paesi (non solo i 12 paesi qui considerati, ma tutti i paesi elencati nel database del Bank for International Settlements), sono stati inseriti ne-gli elementi delle matrici come denominatori.La conseguenza `e stata avere quattro tipi di serie di network per le esposizioni bancarie.

Il primo, dove gli elementi delle matrici sono le esposizioni divise per le esposizioni totali dei paesi che riportano l’informazione al BIS rispetto ai paesi in posizione attiva, quindi il denominatore `e costante per colonne. Il significato economico `e quanto il paese i pesa sul totale attivo del paese j.

Nel secondo le esposizioni sono divise per l’esposizione totale rispetto ai paesi in posizione passiva, quindi il denominatore `e costante per righe. Il significato economico `e quanto l’esposizione del paese i verso il paese j pesa sul totale attivo del paese i.

Il terzo e quarto hanno la stessa logica dei due precedenti, ma con il PIL al denominatore. Pesando per colonna, ci si domanda quanto l’esposizione passiva di i gravi sul PIL di j; pesando invece per riga, il risultato `e il peso che l’esposizione passiva di i ha sul PIL dello stesso i.

L’individuazione di quale tra questi network sarebbe stato usato per il lavoro `e stata dettata da un’ottimizzazione delle somme delle correlazio-ni al quadrato delle misure dei network variando la soglia sulle esposiziocorrelazio-ni bancarie.

(45)

Le correlazioni tra dimensione, densità, reciprocità, grado medio, varianza del grado, lunghezza media percorso, diametro, numero di isole e coefficiente di clustering globale sono correlazioni tra vettori, restituendo un solo valore per ogni misura. Le correlazione delle closeness centrality, essendo questa una matrice 36x12 per ogni network, sono state calcolate per riga, dove ognuna di queste è l’ordinamento decrescete delle closeness centrality per il trimestre di riferimento. Restituendo quindi 36+9=45 correlazioni.

L’ottimizzazione della somma delle 45 correlazioni al quadrato, risultante essere di 21.22, ha portato alla scelta delle percentualizzazioni sui PIL fatte per colonna.

La Tabella 7 mostra la matrice di adiacenza del primo trimestre delle percentualizzazioni delle esposizioni bancarie fatte sui PIL per colonna. Nelle righe vi sono i paesi in situazione passiva per rischio ultimo, mentre nelle colonne vi sono i paesi in situazione attiva.

Gli elementi delle matrici di adiacenza, per essere selezionati come link binari e diretti significativi, devono essere maggiori di 0.0296, soglia ottenuta con l’ottimizzazione di cui sopra. Per esempio l’elemento (DEU, IRL) con valore 0.3817 nella Tabella 7, maggiore di 0.0296, viene tramutato in 1 nella matrice di adiacenza binaria in Tabella 8.

Ripetendo, sono state costruite matrici Wt per ogni trimestre t dove le righe rappresentano gli ultimi prenditori di rischio mentre le colonne rap-presentano i paesi in posizione attiva. Ogni elemento wt

ij `e la

(46)

di riferimento del trimestre t. L’elemento wt_ij `e quindi link pesato e Wt `e una matrice di link pesati. Queste matrici sono state trasformate in binarie At _{= {a}t

ij}, dove ogni elemento atij prende valore 1 se wtij > 0.02958984 e

(47)

A US FRA DEU GR C IRL JPN NDL PR T ESP SWE GBR USA A US 0 .000 0.014 0.011 0.000 0.021 0.007 0.067 0.001 0.001 0.0 10 0.036 0.002 FRA 0.006 0.000 0.058 0.004 0.111 0.020 0.138 0. 038 0.043 0.017 0.066 0.004 DEU 0.012 0.057 0.000 0.003 0.382 0. 024 0.282 0.036 0.048 0.188 0.064 0.007 GR C 0.000 0.007 0.012 0.000 0.051 0.001 0.024 0.017 0.00 1 0.001 0.004 0.000 IRL 0.001 0.014 0.033 0.002 0.000 0.005 0.047 0 .014 0.010 0.008 0.047 0.001 JPN 0.003 0.043 0.024 0.000 0.027 0.000 0.094 0.003 0.001 0. 004 0.029 0.006 NDL 0.009 0.033 0.044 0.004 0.048 0.009 0.000 0. 017 0.018 0.021 0.038 0.004 PR T 0.000 0.007 0.010 0.000 0.033 0.000 0.019 0.0 00 0.042 0.001 0.006 0.000 ESP 0.001 0.045 0.056 0.001 0.108 0.006 0.127 0.064 0.000 0.012 0.032 0.002 SWE 0.000 0.005 0.010 0.001 0.0 33 0.002 0.020 0.001 0.002 0.000 0.008 0.001 GBR 0.089 0.110 0.239 0.016 0.585 0.022 0.378 0.035 0.214 0.117 0.000 0.016 USA 0.034 0.210 0.197 0.002 0.197 0 .158 0.668 0.046 0.061 0.129 0.396 0.000 T ab el la 7: Matrice di adiace nza delle p ercen tualizzazioni sui PI L p er colonna.

(48)

A US FRA DEU GR C IRL JPN NDL PR T ESP SWE GBR USA A US 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 FRA 0 0 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 DEU 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 0 GR C 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 IRL 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 JPN 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 NDL 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 PR T 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 ESP 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 SWE 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 GBR 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 USA 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 T ab ella 8: Matrice di adiacen za binaria delle p erc en tualizzazioni con soglia > 0 .0296.

(49)

5.3 Correlazioni dei rendimenti degli indici azionari

Il secondo tipo di network da confrontare con le esposizioni bancarie `e stato ricavato effettuando le correlazioni tra i rendimenti degli indici azionari nazionali per ogni trimestre e per ogni coppia di paesi.

Un esempio di matrice di adiacenza la vediamo in Tabella 9, dove gli ele-menti sono le correlazioni dei rendiele-menti giornalieri del trimestre 2006-Q1. Gli elementi della diagonale principale sono tutti 0 e non 1 perch`e altrimenti sarebbero stati considerati link dal software.

Come per le esposizioni bancarie, l’individuazione della soglia di selezio-ne dei link deriva da un’ottimizzazioselezio-ne. Questa massimizza la somma delle correlazioni al quadrato delle misure dei network delle esposizioni banca-rie e delle correlazioni dei rendimenti, variando la soglia per quest’ultimo e tenendo a 0.0296 quella per le esposizioni.

Ottenuta una soglia di 0.1, con relativa somma delle correlazini al qua-drato di 19.06, sono stati selezionati i link maggiori di essa e crate le matrici di adiacenza binarie e indirette.

La matrice in Tabella 10 `e l’equivalente binario della matrice in Tabel-la 9 applicando Tabel-la soglia. Per esempio, l’elemento (JPN, ESP) in TabelTabel-la 9, essendo minore di 0.1, restituisce un valore 0 nella Tabella 10.

Ripetendo, sono state costruite matrici Yt per ogni trimestre t. Ogni elemento Yt

(50)

tra i paesi i e j. L’elemento y_ijt `e quindi link pesato e Yt `e una matrice di link pesati. Queste matrici sono state trasformate in binarie Bt _{= {b}t

ij}, dove

ogni elemento bt

(51)

A US FRA DEU GR C IRL JPN NDL PR T ESP SWE GBR USA A US 0 .000 0.315 0.301 0.309 0.400 0.258 0.331 0.200 0.365 0.3 41 0.326 0.046 FRA 0.315 0.000 0.880 0.220 0.563 0.156 0.889 0. 357 0.791 0.700 0.778 0.328 DEU 0.301 0.880 0.000 0.148 0.561 0. 141 0.929 0.308 0.795 0.710 0.711 0.328 GR C 0.309 0.220 0.148 0.000 0.411 0.097 0.212 0.217 0.33 5 0.314 0.303 0.032 IRL 0.400 0.563 0.561 0.411 0.000 0.217 0.569 0 .274 0.614 0.584 0.583 0.098 JPN 0.258 0.156 0.141 0.097 0.217 0.000 0.140 0.043 0.100 0. 128 0.081 0.046 NDL 0.331 0.889 0.929 0.212 0.569 0.140 0.000 0. 382 0.805 0.783 0.810 0.345 PR T 0.200 0.357 0.308 0.217 0.274 0.043 0.382 0.0 00 0.354 0.321 0.352 0.107 ESP 0.365 0.791 0.795 0.335 0.614 0.100 0.805 0.354 0.000 0.734 0.768 0.224 SWE 0.341 0.700 0.710 0.314 0.5 84 0.128 0.783 0.321 0.734 0.000 0.746 0.247 GBR 0.326 0.778 0.711 0.303 0.583 0.081 0.810 0.352 0.768 0.746 0.000 0.212 USA 0.046 0.328 0.328 0.032 0.098 0 .046 0.345 0.107 0.224 0.247 0.212 0.000 T ab el la 9: Matrice di adiace nza delle correlazioni dei rend imen ti deg li indici anzionari.

(52)

A US FRA DEU GR C IRL JPN NDL PR T ESP SWE GBR USA A US 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 FRA 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 DEU 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 GR C 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 IRL 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 JPN 1 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 0 NDL 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 PR T 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 ESP 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 SWE 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 GBR 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 USA 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 T ab ella 10: Matrice di adiacen za binaria delle correlazioni d ei rendimen ti degli indici anzionari.

(53)

6 Risultati e interpretazione

Questo capilo descrive le misure ottenute dei tre network.

Il paragrafo 6.1 mostra le misure di centralità dei noti per i trimestri.Nel paragrafo 6.2 vengono messe a confronto le misure di dimensione, densità, re-ciprocità, grado medio, varianza del grado, lunghezza media percorso, diam-treo, numero di isole e coefficiente di clustering globale, per vedere come è il loro andamento e scoprire se hanno similitudini.

6.1 Centralit`

a dei nodi

Questo paragrafo si dedica a mostrare le centralit`a dei nodi per ogni trimestre, sia dei link in entrata, sia in uscita e sia in totale. Vengono inoltre fornite le statistiche principali delle centralit`a.

6.1.1 Esposizioni bancarie

Qui di seguito vengono esposte le centralit`a dei nodi nel network delle esposizioni bancarie.

Le centralità mostrano per ogni nodo e in tutti i trimestri un livello tale per cui possiamo capire quali nodi lungo il tempo sono più dipendenti dagli altri nodi (nel caso di centralità sui link in entrata) e quali nodi influenzano maggiormente gli altri (link in uscita).

La Tabella 11 mostra le centralit`a dei nodi secondo i link in uscita, cio`e quali nodi influenzano gli altri.

Vediamo che in media il nodo che influenza maggiormente gli altri `e l’Inghilterra, seguita dagli Stati Uniti. Questi risultati stanno a significare

(54)

che l’Inghilterra e gli USA sono i paesi maggiormente indebitati (per rischio ultimo) verso gli altri rispetto ai PIL dei loro creditori.

Il paese che al contrario influenza meno `e la Svezia, con soli due trimestri connessi.

La Tabella 12 tratta i nodi causati, quindi rispetto ai link in entrata. Vediamo che l’Inghilterra `e ancora il paese che in media ha il maggior numero di connessioni, seguito questa volta dall’Olanda. Questi due paesi sono quelli pi`u causati dagli altri.

La maggiore connessione la raggiunge l’Irlanda al terzo trimestre del 2007. Questo dato ci informa che, per i paesi considerati, l’Irlanda nel trimestre antecedente lo scoppio della crisi economica era la pi`u esposta.

Il paese con il minor numero di link vediamo essere gli Stati Uniti. Risul-tato derivato dal fatto che il vettore dei link in entrata degli USA `e rapportato al suo PIL, il pi`u alto tra tutti.

La Tabella 13 mostra le centralit`a totali dei nodi. Considera quindi sia i link in entrata sia quelli in uscita.

Come ci aspettavamo dopo le Tabelle 12 e 11, l’Inghilterra `e il nodo con maggiore connessione seguito dalla Germania.

La Grecia è il paese meno esposto. In ternimi di esposizioni bancarie, la Grecia è quindi il paese più isolato.

(55)

A US FRA DEU GR C IRL JPN NDL PR T ESP SWE GBR USA 2006-Q1 0.030 0.091 0 .106 0.015 0.045 0.030 0.061 0.030 0.091 0.015 0.121 0.1 52 2006-Q2 0.030 0.091 0 .106 0.015 0.045 0.061 0.061 0.030 0.091 0.000 0.121 0.1 52 2006-Q3 0.030 0.091 0 .106 0.015 0.045 0.061 0.061 0.030 0.091 0.000 0.121 0.1 52 2006-Q4 0.030 0.091 0 .106 0.015 0.045 0.061 0.061 0.030 0.091 0.000 0.121 0.1 52 2007-Q1 0.030 0.091 0 .121 0.015 0.045 0.061 0.061 0.030 0.091 0.000 0.121 0.1 52 2007-Q2 0.030 0.076 0 .121 0.015 0.045 0.061 0.061 0.015 0.091 0.000 0.136 0.1 52 2007-Q3 0.045 0.106 0 .121 0.015 0.045 0.061 0.061 0.030 0.091 0.015 0.136 0.1 52 2007-Q4 0.045 0.091 0 .121 0.015 0.061 0.061 0.076 0.030 0.091 0.000 0.136 0.1 52 2008-Q1 0.045 0.076 0 .121 0.015 0.045 0.061 0.076 0.015 0.091 0.000 0.136 0.1 52 2008-Q2 0.045 0.106 0 .121 0.015 0.061 0.061 0.076 0.015 0.091 0.000 0.136 0.1 52 2008-Q3 0.045 0.091 0 .121 0.015 0.061 0.061 0.061 0.015 0.091 0.000 0.136 0.1 52 2008-Q4 0.030 0.061 0 .106 0.015 0.045 0.061 0.076 0.015 0.091 0.000 0.121 0.1 52 2009-Q1 0.045 0.076 0 .106 0.015 0.045 0.045 0.076 0.015 0.091 0.000 0.152 0.1 52 2009-Q2 0.045 0.076 0 .121 0.030 0.045 0.045 0.076 0.015 0.091 0.000 0.152 0.1 52 2009-Q3 0.045 0.106 0 .106 0.030 0.045 0.045 0.076 0.015 0.091 0.000 0.152 0.1 52 2009-Q4 0.045 0.106 0 .106 0.030 0.045 0.045 0.076 0.015 0.091 0.000 0.167 0.1 52 2010-Q1 0.045 0.076 0 .091 0.030 0.045 0.045 0.076 0.015 0.091 0.000 0.152 0.1 52 2010-Q2 0.030 0.076 0 .091 0.030 0.030 0.045 0.076 0.015 0.091 0.000 0.152 0.1 52 2010-Q3 0.030 0.076 0 .106 0.030 0.030 0.045 0.076 0.015 0.091 0.000 0.167 0.1 52 2010-Q4 0.030 0.076 0 .076 0.015 0.030 0.030 0.076 0.015 0.091 0.000 0.136 0.1 36 2011-Q1 0.030 0.076 0 .091 0.015 0.030 0.030 0.061 0.015 0.091 0.000 0.136 0.1 36 2011-Q2 0.030 0.076 0 .091 0.015 0.015 0.030 0.061 0.015 0.091 0.000 0.136 0.1 36 2011-Q3 0.030 0.061 0 .091 0.015 0.015 0.045 0.061 0.015 0.091 0.000 0.152 0.1 36 2011-Q4 0.030 0.045 0 .076 0.015 0.015 0.030 0.061 0.015 0.076 0.000 0.152 0.1 36

(56)

2012-Q1 0.015 0.076 0 .076 0.015 0.015 0.030 0.061 0.015 0.076 0.000 0.136 0.1 36 2012-Q2 0.015 0.061 0 .076 0.015 0.015 0.030 0.061 0.015 0.076 0.000 0.152 0.1 36 2012-Q3 0.015 0.061 0 .076 0.015 0.015 0.015 0.061 0.015 0.076 0.000 0.152 0.1 36 2012-Q4 0.015 0.061 0 .076 0.015 0.015 0.030 0.061 0.015 0.076 0.000 0.152 0.1 36 2013-Q1 0.015 0.061 0 .091 0.015 0.015 0.030 0.061 0.015 0.076 0.000 0.152 0.1 21 2013-Q2 0.015 0.061 0 .091 0.000 0.015 0.030 0.061 0.015 0.076 0.000 0.152 0.1 21 2013-Q3 0.015 0.076 0 .091 0.000 0.015 0.030 0.061 0.015 0.076 0.000 0.152 0.1 21 2013-Q4 0.015 0.061 0 .091 0.000 0.015 0.030 0.045 0.015 0.061 0.000 0.136 0.1 21 2014-Q1 0.015 0.061 0 .091 0.000 0.015 0.030 0.045 0.015 0.061 0.000 0.152 0.1 21 2014-Q2 0.015 0.076 0 .076 0.000 0.015 0.030 0.045 0.015 0.061 0.000 0.152 0.1 21 2014-Q3 0.015 0.076 0 .076 0.000 0.015 0.030 0.030 0.015 0.045 0.000 0.136 0.1 21 2014-Q4 0.015 0.076 0 .076 0.000 0.015 0.030 0.045 0.015 0.045 0.000 0.136 0.1 21 Media 0.029 0.077 0.098 0.015 0.032 0.043 0.063 0.018 0.082 0.001 0.142 0.141 St. Dev. 0.012 0.015 0.017 0.009 0.016 0.0 14 0.011 0.006 0.013 0.004 0.013 0.012 Min 0.015 0.045 0.076 0.000 0.015 0.015 0.03 0 0.015 0.045 0.000 0.121 0.121 Max 0.045 0.106 0.121 0.030 0.06 1 0.061 0.076 0.030 0.091 0.015 0.167 0.152 T ab ella 11: Misure di cen tralit` a dei no di secondo i link in uscita.

(57)

(58)

2012-Q1 0.030 0.091 0 .076 0.015 0.030 0.015 0.091 0.061 0.076 0.045 0.106 0.0 15 2012-Q2 0.030 0.091 0 .076 0.015 0.030 0.030 0.091 0.061 0.061 0.045 0.106 0.0 15 2012-Q3 0.030 0.076 0 .076 0.015 0.030 0.030 0.091 0.061 0.061 0.045 0.106 0.0 15 2012-Q4 0.030 0.091 0 .076 0.015 0.030 0.030 0.091 0.061 0.061 0.045 0.106 0.0 15 2013-Q1 0.030 0.091 0 .076 0.015 0.015 0.061 0.091 0.045 0.061 0.045 0.106 0.0 15 2013-Q2 0.030 0.091 0 .076 0.015 0.015 0.061 0.091 0.030 0.061 0.045 0.106 0.0 15 2013-Q3 0.030 0.091 0 .076 0.015 0.015 0.061 0.091 0.030 0.076 0.045 0.106 0.0 15 2013-Q4 0.030 0.091 0 .061 0.015 0.015 0.061 0.091 0.030 0.061 0.045 0.091 0.0 00 2014-Q1 0.030 0.091 0 .061 0.015 0.015 0.061 0.091 0.030 0.061 0.045 0.091 0.0 15 2014-Q2 0.030 0.091 0 .061 0.015 0.015 0.045 0.091 0.030 0.076 0.045 0.091 0.0 15 2014-Q3 0.030 0.091 0 .045 0.015 0.015 0.045 0.091 0.030 0.061 0.061 0.076 0.0 00 2014-Q4 0.030 0.091 0 .045 0.015 0.015 0.045 0.091 0.030 0.076 0.045 0.091 0.0 00 Media 0.030 0.092 0.082 0.009 0.088 0.037 0.104 0.063 0.068 0.047 0.113 0.009 St. Dev. 0.000 0.005 0.013 0.008 0.055 0.0 16 0.014 0.022 0.012 0.005 0.012 0.008 Min 0.030 0.076 0.045 0.000 0.015 0.015 0.09 1 0.030 0.045 0.045 0.076 0.000 Max 0.030 0.106 0.091 0.015 0.16 7 0.061 0.121 0.106 0.091 0.061 0.121 0.015 T ab ella 12: Misure di cen tralit` a dei no di secondo i link in en trata.

(59)

(60)

2012-Q1 0.045 0.167 0 .152 0.030 0.045 0.045 0.152 0.076 0.152 0.045 0.242 0.1 52 2012-Q2 0.045 0.152 0 .152 0.030 0.045 0.061 0.152 0.076 0.136 0.045 0.258 0.1 52 2012-Q3 0.045 0.136 0 .152 0.030 0.045 0.045 0.152 0.076 0.136 0.045 0.258 0.1 52 2012-Q4 0.045 0.152 0 .152 0.030 0.045 0.061 0.152 0.076 0.136 0.045 0.258 0.1 52 2013-Q1 0.045 0.152 0 .167 0.030 0.030 0.091 0.152 0.061 0.136 0.045 0.258 0.1 36 2013-Q2 0.045 0.152 0 .167 0.015 0.030 0.091 0.152 0.045 0.136 0.045 0.258 0.1 36 2013-Q3 0.045 0.167 0 .167 0.015 0.030 0.091 0.152 0.045 0.152 0.045 0.258 0.1 36 2013-Q4 0.045 0.152 0 .152 0.015 0.030 0.091 0.136 0.045 0.121 0.045 0.227 0.1 21 2014-Q1 0.045 0.152 0 .152 0.015 0.030 0.091 0.136 0.045 0.121 0.045 0.242 0.1 36 2014-Q2 0.045 0.167 0 .136 0.015 0.030 0.076 0.136 0.045 0.136 0.045 0.242 0.1 36 2014-Q3 0.045 0.167 0 .121 0.015 0.030 0.076 0.121 0.045 0.106 0.061 0.212 0.1 21 2014-Q4 0.045 0.167 0 .121 0.015 0.030 0.076 0.136 0.045 0.121 0.045 0.227 0.1 21 Media 0.060 0.169 0.179 0.024 0.120 0.080 0.167 0.081 0.150 0.048 0.255 0.150 St. Dev. 0.012 0.018 0.027 0.011 0.070 0.0 22 0.020 0.024 0.019 0.006 0.017 0.012 Min 0.045 0.136 0.121 0.015 0.030 0.045 0.12 1 0.045 0.106 0.045 0.212 0.121 Max 0.076 0.212 0.212 0.045 0.21 2 0.121 0.197 0.121 0.182 0.061 0.288 0.167 T ab ella 13: Misure di cen tralit` a totali dei no di.

(61)

6.1.2 Granger causalities dei rendimenti degli indici azionari La Tabella 14 mostra le centralità dei nodi che sono più causati in senso di Granger. Le centralità sono calcolate sui link in entrata.

L’indice azionario nazionale con pi`u connessioni in entrata `e il Giappone che si discosta nettamente da tutti gli altri, seguito dall’Australia. Questi due nodi sono quelli meno indipendenti rispetto agli altri.

La Svezia, invece, registra la minor causalit`a in senso di Granger, quindi `

e il nodo pi`u indipendente.

La centralit`a dei nodi causanti in senso di Granger secondo i link in uscita, sono esposte in Tabella 15.

Come era possibile aspettarsi, gli USA `e il primo nodo in termini di in-fluena rispetto agli altri. Interessante `e notare come gli USA hanno via via perso influenza da dopo la crisi del 2008, pur registrando elevate connessioni in uscita.

Per quanto riguarda le centralit`a totali, vediamo in Tabella 16 che i paesi con pi`u connessioni sono il Giappone, l’Australia e gli Stati Uniti.

I restanti paesi hanno centralit`a medie e deviazioni standard simili tra loro.

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2012-Q1 0.030 0.030 0 .000 0.000 0.015 0.106 0.030 0.015 0.015 0.015 0.030 0.0 00 2012-Q2 0.000 0.000 0 .000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.0 00 2012-Q3 0.061 0.000 0 .000 0.000 0.015 0.106 0.030 0.015 0.000 0.015 0.015 0.0 00 2012-Q4 0.045 0.030 0 .015 0.000 0.015 0.030 0.000 0.000 0.015 0.000 0.015 0.0 15 2013-Q1 0.106 0.061 0 .015 0.000 0.000 0.121 0.000 0.000 0.045 0.000 0.045 0.1 21 2013-Q2 0.015 0.015 0 .000 0.000 0.000 0.091 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.0 00 2013-Q3 0.030 0.015 0 .015 0.000 0.000 0.030 0.015 0.015 0.000 0.015 0.015 0.0 00 2013-Q4 0.121 0.061 0 .045 0.015 0.076 0.015 0.045 0.030 0.015 0.061 0.045 0.0 00 2014-Q1 0.000 0.015 0 .015 0.000 0.000 0.121 0.030 0.000 0.015 0.000 0.015 0.0 15 2014-Q2 0.015 0.076 0 .015 0.045 0.030 0.030 0.015 0.000 0.030 0.000 0.000 0.0 15 2014-Q3 0.106 0.045 0 .015 0.121 0.000 0.121 0.045 0.061 0.000 0.000 0.015 0.0 00 2014-Q4 0.061 0.015 0 .015 0.000 0.030 0.136 0.015 0.000 0.015 0.015 0.015 0.0 15 Media 0.073 0.021 0.013 0.012 0.017 0.105 0.014 0.013 0.010 0.009 0.011 0.016 St. Dev. 0.048 0.021 0.016 0.022 0.024 0.0 58 0.013 0.019 0.013 0.014 0.014 0.036 Min 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.00 0 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 Max 0.152 0.076 0.061 0.121 0.10 6 0.167 0.045 0.076 0.045 0.061 0.045 0.121 T ab ella 14: Misure di cen tralit` a dei no di secondo i link in en trata.

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2012-Q1 0.000 0.030 0 .015 0.030 0.030 0.000 0.015 0.091 0.061 0.015 0.000 0.0 00 2012-Q2 0.000 0.000 0 .000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.0 00 2012-Q3 0.000 0.030 0 .045 0.000 0.000 0.000 0.015 0.015 0.015 0.000 0.030 0.1 06 2012-Q4 0.000 0.000 0 .000 0.015 0.000 0.015 0.000 0.030 0.015 0.000 0.000 0.1 06 2013-Q1 0.061 0.045 0 .076 0.000 0.045 0.030 0.045 0.030 0.030 0.076 0.061 0.0 15 2013-Q2 0.000 0.015 0 .015 0.000 0.000 0.000 0.015 0.000 0.000 0.015 0.030 0.0 30 2013-Q3 0.000 0.000 0 .015 0.015 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.015 0.000 0.1 06 2013-Q4 0.091 0.015 0 .015 0.121 0.000 0.000 0.015 0.045 0.061 0.015 0.015 0.1 36 2014-Q1 0.061 0.015 0 .015 0.000 0.015 0.000 0.015 0.015 0.015 0.015 0.045 0.0 15 2014-Q2 0.000 0.000 0 .015 0.000 0.030 0.000 0.015 0.030 0.015 0.030 0.015 0.1 21 2014-Q3 0.015 0.045 0 .076 0.015 0.045 0.000 0.076 0.061 0.045 0.045 0.061 0.0 45 2014-Q4 0.015 0.015 0 .015 0.015 0.015 0.000 0.015 0.030 0.015 0.030 0.030 0.1 36 Media 0.017 0.024 0.031 0.016 0.023 0.012 0.023 0.021 0.028 0.023 0.024 0.072 St. Dev. 0.024 0.017 0.021 0.024 0.021 0.0 22 0.017 0.022 0.022 0.018 0.019 0.053 Min 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.00 0 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 Max 0.091 0.061 0.076 0.121 0.10 6 0.091 0.076 0.091 0.091 0.076 0.061 0.167 T ab ella 15: Misure di cen tralit` a dei no di secondo i link in uscita.

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A US FRA DEU GR C IRL JPN NDL PR T ESP SWE GB R USA 2006-Q1 0.076 0.030 0.030 0.000 0.000 0.045 0.030 0. 000 0.015 0.000 0.000 0.015 2006-Q2 0.045 0.045 0.076 0.015 0.015 0.030 0.015 0. 030 0.030 0.030 0.015 0.167 2006-Q3 0.136 0.030 0.030 0.015 0.030 0.121 0.030 0. 030 0.030 0.030 0.030 0.030 2006-Q4 0.030 0.061 0.076 0.106 0.182 0.076 0.030 0. 015 0.045 0.045 0.015 0.167 2007-Q1 0.015 0.030 0.030 0.045 0.045 0.136 0.030 0. 015 0.030 0.030 0.061 0.167 2007-Q2 0.106 0.091 0.061 0.015 0.015 0.152 0.076 0. 045 0.015 0.015 0.045 0.121 2007-Q3 0.152 0.061 0.061 0.045 0.045 0.182 0.061 0. 045 0.061 0.045 0.076 0.258 2007-Q4 0.076 0.015 0.015 0.000 0.045 0.121 0.015 0. 000 0.015 0.030 0.030 0.030 2008-Q1 0.091 0.045 0.030 0.015 0.030 0.106 0.045 0. 015 0.015 0.030 0.015 0.136 2008-Q2 0.076 0.015 0.030 0.000 0.030 0.076 0.015 0. 030 0.106 0.030 0.030 0.045 2008-Q3 0.136 0.061 0.045 0.030 0.045 0.167 0.045 0. 045 0.045 0.061 0.045 0.242 2008-Q4 0.136 0.076 0.106 0.045 0.045 0.182 0.030 0. 030 0.045 0.030 0.061 0.152 2009-Q1 0.076 0.030 0.030 0.015 0.015 0.167 0.015 0. 015 0.030 0.015 0.015 0.030 2009-Q2 0.091 0.015 0.045 0.030 0.045 0.197 0.045 0. 015 0.030 0.030 0.015 0.045 2009-Q3 0.152 0.030 0.030 0.061 0.030 0.182 0.030 0. 030 0.030 0.045 0.030 0.076 2009-Q4 0.030 0.030 0.015 0.015 0.061 0.015 0.015 0. 000 0.045 0.030 0.000 0.106 2010-Q1 0.167 0.061 0.030 0.000 0.061 0.167 0.030 0. 091 0.045 0.030 0.045 0.030 2010-Q2 0.045 0.015 0.030 0.030 0.045 0.212 0.015 0. 015 0.015 0.015 0.045 0.030 2010-Q3 0.167 0.045 0.045 0.045 0.030 0.167 0.045 0. 030 0.061 0.076 0.061 0.136 2010-Q4 0.136 0.061 0.045 0.000 0.030 0.197 0.061 0. 045 0.106 0.045 0.030 0.030 2011-Q1 0.152 0.030 0.045 0.030 0.030 0.106 0.030 0. 000 0.015 0.030 0.030 0.015 2011-Q2 0.045 0.045 0.045 0.015 0.015 0.152 0.045 0. 015 0.015 0.015 0.015 0.030 2011-Q3 0.136 0.076 0.121 0.000 0.045 0.136 0.061 0. 136 0.061 0.030 0.030 0.045 2011-Q4 0.136 0.045 0.045 0.015 0.136 0.167 0.045 0. 061 0.030 0.045 0.045 0.045