Esercizisulladiagonalizzazionedimatrici
FrancescoDaddiͲmarzo2010
Direseleseguentimatricisonodiagonalizzabilisu
:
1.
(diagonalizzabileconautovalori 0 1 O (m.a.=m.g.=2)e 6 2 O (m.a.=m.g.=1)). (siosservicheilnucleodellamatriceAcoincideconl’autospaziorelativoall’autovalorenullo.)2.
(triangolabile ma non diagonalizzabile con autovalori O1 1 (m.a. = 2 >1=m.g.)e 1 2 O (m.a.=m.g.=1)).
3.
(nontriangolabile).
4.
(diagonalizzabileconautovalori 1 1 O (m.a.=m.g.=1), 0 2 O (m.a.=m.g.=1), 1 3O
(m.a.=m.g.=1)).(diagonalizzabile con autovalori O1 2 (m.a.=m.g.=1), 1 3
2
O
5.
(m.a.=m.g.=1), 1 3 3 O (m.a.=m.g.=1)).6.
(nontriangolabile).7.
(diagonalizzabile con autovalori O1 1 (m.a.=m.g.=1),O2 2(m.a.=m.g.=1),4
3
O
(m.a.=m.g.=1)).8.
(triangolabile ma non diagonalizzabile con autovalori O1 2 (m.a. = 2 >1=m.g.)e 3
2
O (m.a.=m.g.=1)).
9.
(diagonalizzabileconautovaloriO1 1(m.a.=m.g.=1),O2 2(m.a.=m.g.=1),3 3
O
(m.a.=m.g.=1)). := A ª ¬ «« ««« º ¼ »» »»» 1 2 3 1 2 3 1 2 3 := A ª ¬ «« ««« º ¼ »» »»» 1 2 3 1 2 3 1 2 3 := B ª ¬ «« ««« º ¼ »» »»» -1 0 -1 0 1 1 0 0 1 := C ª ¬ «« ««« º ¼ »» »»» 1 1 -2 1 1 0 1 0 1 := E ª ¬ «« ««« º ¼ »» »»» 0 0 1 -1 0 1 1 0 0 := F ª ¬ «« ««« º ¼ »» »»» 0 1 4 1 -1 1 1 0 1 := G ª ¬ «« ««« º ¼ »» »»» 1 1 0 1 -1 2 2 -1 1 := H ª ¬ «« ««« º ¼ »» »»» 2 1 1 1 3 0 3 1 0 := L ª ¬ «« ««« º ¼ »» »»» 3 2 -1 0 -3 0 1 1 1 := M ª ¬ «« ««« º ¼ »» »»» -2 1 1 0 -3 0 0 1 110.
(diagonalizzabileconautovaloriO1 1(m.a.=m.g.=1),O2 1(m.a.=m.g.=1),3
3
O
(m.a.=m.g.=1)).11.
(triangolabile ma non diagonalizzabile con autovalore 01
O (m.a. = 3 > 2=m.g.);lamatriceènilpotente).
12.
(diagonalizzabileconautovaloriO1 1(m.a.=m.g.=1),O2 1(m.a.=m.g.=1),2
3
O
(m.a.=m.g.=1)).13.(triangolabile ma non diagonalizzabile con autovalore
11
O (m.a.=3>2=m.g.)).
14. (triangolabile ma non diagonalizzabile con autovalore
O1 2 (m.a.=3>1=m.g.)). := N ª ¬ «« ««« º ¼ »» »»» -2 1 0 1 -2 0 -1 1 1 := R ª ¬ «« ««« º ¼ »» »»» 1 1 1 1 1 1 -2 -2 -2 := S ª ¬ «« ««« º ¼ »» »»» 2 1 1 1 2 1 -2 -2 -2 := T ª ¬ «« ««« º ¼ »» »»» 2 1 1 1 2 1 -2 -2 -1 := U ª ¬ «« ««« º ¼ »» »»» -2 1 -1 0 -2 -3 0 0 -2Esercizi su autovalori e autovettori
Ingegneria meccanica 2008/2009
Esercizio 1. Dire se l’endomorfismo T : R3−→ R3 T x y z = 0 0 1 0 2 0 3 0 0 x y z
`e diagonalizzabile. In caso affermativo determinare una base di autovettori.
Esercizio 2. Dire se la matrice
A= 0 −1 1 2
`e diagonalizzabile su R.
Esercizio 3. Dire se la matrice
A= 0 −2 2 0
`e diagonalizzabile su R. Studiare anche la diagonalizzabilit`a su C.
Esercizio 4. Sappiamo che un autovalore della matrice
A= 1 0 −1 2 1 0 −4 0 1
`e λ = −1. Dire se la matrice `e diagonalizzabile su R. In caso affermativo si trovi una base di autovettori.
Esercizio 5. Dire se la matrice
A= 3 9 1 1 3 9 5 15 −7
`e diagonalizzabile su R. In caso affermativo si trovi una base di autovettori.
Esercizio 6. Si studi la diagonalizzabilit`a su C della matrice
A= −2 1 −1 −2 5 −3 0 5 −3 .
2
Esercizio 7. Si studi la diagonalizzabilit`a su C della matrice
A= 3 −4 2 1 −1 1 −1 1 1 .
Se la matrice `e diagonalizzabile, si trovi una base di autovettori.
Esercizio 8. Dire se la matrice
A= −1 −5 −1 −2 2 1 6 −15 −6
`e diagonalizzabile su R. In caso affermativo si trovi una base di autovettori.
Esercizio 9. Dire se le due matrici
A= 1 3 5 −2 e B = 4 6 −2 −5 sono simili.
Esercizio 10. Dire se le due matrici
A= 3 −5 −2 0 1 0 1 −3 0 e B = 2 −3 0 0 1 0 −1 3 1
sono simili. Sono diagonalizzabili su R? E su C?
Esercizio 11. Per quali valori di k∈ R l’endomorfismo
T x y z = 1 0 0 k 1 k 1 1 k x y z `e diagonalizzabile su R?
Esercizio 12. Si studi al variare del parametro reale k la diagonalizzabilit`a su R della matrice
A= 1 1 1 0 k 1 0 0 3 .
3
Esercizio 13. Studiare la diagonalizzabilit`a su R della matrice
A= 1 −3 k 0 1 0 0 −k 1 al variare di k∈ R.
Esercizio 14. Per quali valori del parametro reale t l’endomorfismo
T x y z = 0 1 + 2 t 2 1 −2 t 0 1 1 −2 t x y z
ammette l’autovalore 1 ? Dire se, in tal caso, l’endomorfismo risulta diagonalizzabile su R, deter-minando una base di autovettori.
Esercizio 15. Determinare i valori di h∈ R per cui il vettore (3 , 2 − k , 3)T
`e autovettore dell’en-domorfismo T x y z = 1 5 2 −2 4 − 2 k 4 k 5 4 x y z .
Esercizio 16. Dire se esistono autovettori comuni per le matrici
A= 12 5 −15 0 2 0 10 5 −13 e B = 11 6 0 −12 −7 0 0 0 −4 .
Esercizio 17. Determinare la matrice associata rispetto alla base canonica di R3
dell’endomorfismo T tale che i vettori (1 2 − 1)T
, (1 1 0)T
e (−3 2 − 6)T
siano autovettori relativi, rispettivamente, agli autovalori3, −2, 4.
Esercizio 18. Determinare un’applicazione lineare T tale che: abbia autovalori1 e −1; Vλ=−1 = {(x, y, z) T ∈ R3 : x + y + z = 0}; Vλ=1 = {(x, y, z) T ∈ R3 : x = y = z}.
