Esercizi di Algebra Lineare Funzioni Lineari
Diagonalizzazione
Anna M. Bigatti 19 marzo 2013
(Tratti da es. 192-193, foglio 11, del prof.Niesi)
Esercizio 1. Siano A, B ∈ Matn(k) . Provare o confutare ciascuna delle seguenti affermazioni:
(a) Se A `e simile a B allora det(A) = det(B) . (b) Se det(A) = det(B) allora A `e simile a B .
(c) Se A `e simile a B allora A e B hanno gli stessi autovalori.
(d) Se A e B hanno gli stessi autovalori allora A `e simile a B . (e) Se A e B hanno gli stessi autospazi allora A `e simile a B . Esercizio 2. Siano
A ∈ Matn(R) ; V R -spazio vettoriale, dim(V ) = d ; ϕ, ψ : V → V funzioni lineari.
Provare o confutare le seguenti affermazioni.
(a) Se A `e invertibile, allora ogni autovalore di A `e non nullo.
(b) Se ogni autovalore di A `e non nullo, allora A `e invertibile.
(c) Se λ `e un autovalore per ϕ , allora λ `e un autovalore per ϕ ◦ ϕ . (d) Se λ `e un autovalore per ϕ , allora λ2 `e un autovalore per ϕ ◦ ϕ .
(e) Se 0 `e autovalore di ϕ di molteplicit`a d , allora ϕ `e l’omomorfismo nullo.
(f) Se λ `e un autovalore per ϕ e per ψ , allora λ `e un autovalore per ψ ◦ ϕ . (g) Se u `e un autovettore per ϕ e per ψ , allora u `e un autovettore per ψ ◦ ϕ . (h) Se u `e un autovettore per ϕ e per ψ , allora u `e un autovettore per ϕ + ψ .
(i) Se ϕ `e un isomorfismo e u `e un suo autovettore, allora u `e anche autovettore di ϕ−1. (j) Se ϕ2= idV e λ `e un autovalore di ϕ , allora λ2= 1 .
(k) Se A `e diagonalizzabile, allora Atr `e diagonalizzabile.
(l) Se ϕ `e non nullo e non iniettivo, la massima dimensione possibile di un autospazio `e dim(V ) − 1 .
(m) Se un sottospazio U di V `e autospazio per ϕ e per ψ , allora `e autospazio per ϕ ◦ ψ .
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