Misure convesse di rischio e dinamiche delle loro funzioni di penalita'

rischio Marco Tarsia Teoria assiomatica delle misure convesse di rischio Esempi notevoli di misure convesse di rischio Misure convesse condizionali e dinamiche di rischio

Misure convesse di rischio e

dinamiche delle loro funzioni di penalità

Teoria assiomatica ed applicazioni

Candidato:Marco Tarsia Relatore:Maurizio Pratelli

Matricola 454761 Controrelatore:Marco Romito

Università degli Studi di Pisa – Dipartimento di Matematica Corso di Laurea Magistrale in Matematica Tesi di Laurea Magistrale in Finanza Matematica

Misure convesse di rischio Marco Tarsia Teoria assiomatica delle misure convesse di rischio Esempi notevoli di misure convesse di rischio Misure convesse condizionali e dinamiche di rischio I tre capitoli

1 Teoria assiomatica delle misure convesse di rischio

2 Esempi notevoli di misure convesse di rischio

Misure convesse di rischio Marco Tarsia Teoria assiomatica delle misure convesse di rischio Esempi notevoli di misure convesse di rischio Misure convesse condizionali e dinamiche di rischio La definizione

Immaginiamo di lavorare all’interno di un determinato modello matematico multi-periodale di mercato finanziario. . .

Fissiamo dunque uno spazio di probabilità (Ω, F , P) ed un sottospazio lineare reale X di L0(P) ≡ L0((Ω, F , P); R).

Definizione (Scenario e posizioni)

Chiamiamo spazio degli scenari, o più brevementescenario, lo spazio di probabilità (Ω, F , P). Chiamiamo posizione finanziaria, o semplicementeposizione, ogni generica v.a.r. X ∈ L0(P).

Misure convesse di rischio Marco Tarsia Teoria assiomatica delle misure convesse di rischio Esempi notevoli di misure convesse di rischio Misure convesse condizionali e dinamiche di rischio La definizione

Immaginiamo di lavorare all’interno di un determinato modello matematico multi-periodale di mercato finanziario. . .

Fissiamo dunque uno spazio di probabilità (Ω, F , P) ed un sottospazio lineare reale X di L0(P) ≡ L0((Ω, F , P); R).

Definizione (Scenario e posizioni)

Chiamiamo spazio degli scenari, o più brevementescenario, lo spazio di probabilità (Ω, F , P). Chiamiamo posizione finanziaria, o semplicementeposizione, ogni generica v.a.r. X ∈ L0(P).

Misure convesse di rischio Marco Tarsia Teoria assiomatica delle misure convesse di rischio Esempi notevoli di misure convesse di rischio Misure convesse condizionali e dinamiche di rischio La definizione

Immaginiamo di lavorare all’interno di un determinato modello matematico multi-periodale di mercato finanziario. . .

Fissiamo dunque uno spazio di probabilità (Ω, F , P) ed un sottospazio lineare reale X di L0(P) ≡ L0((Ω, F , P); R).

Definizione (Scenario e posizioni)

Chiamiamo spazio degli scenari, o più brevementescenario, lo spazio di probabilità (Ω, F , P). Chiamiamo posizione finanziaria, o semplicementeposizione, ogni generica v.a.r. X ∈ L0(P).

Misure convesse di rischio Marco Tarsia Teoria assiomatica delle misure convesse di rischio Esempi notevoli di misure convesse di rischio Misure convesse condizionali e dinamiche di rischio La definizione

Definizione (Misura convessa di rischio; rischio di una posizione)

Chiamiamomisura convessa di rischio su X ogni mappa ρ : X → R la quale verifichi le tre seguenti proprietà.

1 Monotonìa: ∀ X , Y ∈ X , se X ≥ Y allora ρ(X ) ≤ ρ(Y ). 2 Invarianza per traslazioni: ∀ X ∈ X e ∀ k ∈ R,

ρ(X + k) = ρ(X ) − k.

3 Convessità: ∀ X , Y ∈ X e ∀ λ ∈ ]0, 1[,

ρ(λX + (1 − λ)Y ) ≤ λρ(X ) + (1 − λ)ρ(Y ).

Chiamiamomisura convessa di rischiouna misura convessa di rischio ρ su X = L∞(P). Per ogni X ∈ X , chiamiamorischio secondo ρ della posizione X lo scalare ρ(X ).

Misure convesse di rischio Marco Tarsia Teoria assiomatica delle misure convesse di rischio Esempi notevoli di misure convesse di rischio Misure convesse condizionali e dinamiche di rischio La definizione

Definizione (Misura convessa di rischio; rischio di una posizione)

Chiamiamomisura convessa di rischio su X ogni mappa ρ : X → R la quale verifichi le tre seguenti proprietà.

1 Monotonìa: ∀ X , Y ∈ X , se X ≥ Y allora ρ(X ) ≤ ρ(Y ). 2 Invarianza per traslazioni: ∀ X ∈ X e ∀ k ∈ R,

ρ(X + k) = ρ(X ) − k.

3 Convessità: ∀ X , Y ∈ X e ∀ λ ∈ ]0, 1[,

ρ(λX + (1 − λ)Y ) ≤ λρ(X ) + (1 − λ)ρ(Y ).

Chiamiamomisura convessa di rischiouna misura convessa di rischio ρ su X = L∞(P). Per ogni X ∈ X , chiamiamorischio secondo ρ della posizione X lo scalare ρ(X ).

Misure convesse di rischio Marco Tarsia Teoria assiomatica delle misure convesse di rischio Esempi notevoli di misure convesse di rischio Misure convesse condizionali e dinamiche di rischio La definizione

Definizione (Misura convessa di rischio; rischio di una posizione)

Chiamiamomisura convessa di rischio su X ogni mappa ρ : X → R la quale verifichi le tre seguenti proprietà.

1 Monotonìa: ∀ X , Y ∈ X , se X ≥ Y allora ρ(X ) ≤ ρ(Y ). 2 Invarianza per traslazioni: ∀ X ∈ X e ∀ k ∈ R,

ρ(X + k) = ρ(X ) − k.

3 Convessità: ∀ X , Y ∈ X e ∀ λ ∈ ]0, 1[,

ρ(λX + (1 − λ)Y ) ≤ λρ(X ) + (1 − λ)ρ(Y ).

Chiamiamomisura convessa di rischiouna misura convessa di rischio ρ su X = L∞(P). Per ogni X ∈ X , chiamiamorischio secondo ρ della posizione X lo scalare ρ(X ).

Misure convesse di rischio Marco Tarsia Teoria assiomatica delle misure convesse di rischio Esempi notevoli di misure convesse di rischio Misure convesse condizionali e dinamiche di rischio La definizione

Definizione (Misura convessa di rischio; rischio di una posizione)

Chiamiamomisura convessa di rischio su X ogni mappa ρ : X → R la quale verifichi le tre seguenti proprietà.

1 Monotonìa: ∀ X , Y ∈ X , se X ≥ Y allora ρ(X ) ≤ ρ(Y ). 2 Invarianza per traslazioni: ∀ X ∈ X e ∀ k ∈ R,

ρ(X + k) = ρ(X ) − k.

3 Convessità: ∀ X , Y ∈ X e ∀ λ ∈ ]0, 1[,

ρ(λX + (1 − λ)Y ) ≤ λρ(X ) + (1 − λ)ρ(Y ).

Chiamiamomisura convessa di rischiouna misura convessa di rischio ρ su X = L∞(P). Per ogni X ∈ X , chiamiamorischio secondo ρ della posizione X lo scalare ρ(X ).

Misure convesse di rischio Marco Tarsia Teoria assiomatica delle misure convesse di rischio Esempi notevoli di misure convesse di rischio Misure convesse condizionali e dinamiche di rischio La definizione

Definizione (Misura convessa di rischio; rischio di una posizione)

Chiamiamomisura convessa di rischio su X ogni mappa ρ : X → R la quale verifichi le tre seguenti proprietà.

1 Monotonìa: ∀ X , Y ∈ X , se X ≥ Y allora ρ(X ) ≤ ρ(Y ). 2 Invarianza per traslazioni: ∀ X ∈ X e ∀ k ∈ R,

ρ(X + k) = ρ(X ) − k.

3 Convessità: ∀ X , Y ∈ X e ∀ λ ∈ ]0, 1[,

ρ(λX + (1 − λ)Y ) ≤ λρ(X ) + (1 − λ)ρ(Y ).

Chiamiamomisura convessa di rischiouna misura convessa di rischio ρ su X = L∞(P). Per ogni X ∈ X , chiamiamorischio secondo ρ della posizione X lo scalare ρ(X ).

Misure convesse di rischio Marco Tarsia Teoria assiomatica delle misure convesse di rischio Esempi notevoli di misure convesse di rischio Misure convesse condizionali e dinamiche di rischio Prime proprietà Prime proprietà

Sia ρ una misura convessa di rischio su X . Allora:

1 ρ(X ) = R.

2 Per ogni k ∈ R, ρ(k) = ρ(0) − k.

3 Per ogni X ∈ X ,ρ(X ) = inf { m ∈ R | ρ(X + m) ≤ 0 }ed

è in realtà un valor minimo.

4 Per ogni X ∈ L∞(P) ∩ X , |ρ(X )| ≤ kX k_∞+ |ρ(0)|. 5 Se X_n↓ X := inf_nX_n in senso P-q.c. e con X ∈ X , allora la

successione scalare (ρ(Xn))_n è non decrescente e tale che

sup_nρ(Xn) ≤ ρ(X ).

6 Se Xn↑ X := supnXn in senso P-q.c. e con X ∈ X , allora

la successione scalare (ρ(Xn))n è non crescente e tale che

Misure convesse di rischio Marco Tarsia Teoria assiomatica delle misure convesse di rischio Esempi notevoli di misure convesse di rischio Misure convesse condizionali e dinamiche di rischio Prime proprietà Prime proprietà

Sia ρ una misura convessa di rischio su X . Allora:

1 ρ(X ) = R.

2 Per ogni k ∈ R, ρ(k) = ρ(0) − k.

3 Per ogni X ∈ X ,ρ(X ) = inf { m ∈ R | ρ(X + m) ≤ 0 }ed

è in realtà un valor minimo.

4 Per ogni X ∈ L∞(P) ∩ X , |ρ(X )| ≤ kX k_∞+ |ρ(0)|. 5 Se X_n↓ X := inf_nX_n in senso P-q.c. e con X ∈ X , allora la

successione scalare (ρ(Xn))_n è non decrescente e tale che

sup_nρ(Xn) ≤ ρ(X ).

6 Se Xn↑ X := supnXn in senso P-q.c. e con X ∈ X , allora

la successione scalare (ρ(Xn))n è non crescente e tale che

Misure convesse di rischio Marco Tarsia Teoria assiomatica delle misure convesse di rischio Esempi notevoli di misure convesse di rischio Misure convesse condizionali e dinamiche di rischio Prime proprietà Prime proprietà

Sia ρ una misura convessa di rischio su X . Allora:

1 ρ(X ) = R.

2 Per ogni k ∈ R, ρ(k) = ρ(0) − k.

3 Per ogni X ∈ X ,ρ(X ) = inf { m ∈ R | ρ(X + m) ≤ 0 }ed

è in realtà un valor minimo.

4 Per ogni X ∈ L∞(P) ∩ X , |ρ(X )| ≤ kX k_∞+ |ρ(0)|. 5 Se X_n↓ X := inf_nX_n in senso P-q.c. e con X ∈ X , allora la

successione scalare (ρ(Xn))_n è non decrescente e tale che

sup_nρ(Xn) ≤ ρ(X ).

6 Se Xn↑ X := supnXn in senso P-q.c. e con X ∈ X , allora

la successione scalare (ρ(Xn))n è non crescente e tale che

Misure convesse di rischio Marco Tarsia Teoria assiomatica delle misure convesse di rischio Esempi notevoli di misure convesse di rischio Misure convesse condizionali e dinamiche di rischio Prime proprietà Prime proprietà

Sia ρ una misura convessa di rischio su X . Allora:

1 ρ(X ) = R.

2 Per ogni k ∈ R, ρ(k) = ρ(0) − k.

3 Per ogni X ∈ X ,ρ(X ) = inf { m ∈ R | ρ(X + m) ≤ 0 }ed

è in realtà un valor minimo.

4 Per ogni X ∈ L∞(P) ∩ X , |ρ(X )| ≤ kX k_∞+ |ρ(0)|. 5 Se X_n↓ X := inf_nX_n in senso P-q.c. e con X ∈ X , allora la

successione scalare (ρ(Xn))_n è non decrescente e tale che

sup_nρ(Xn) ≤ ρ(X ).

6 Se Xn↑ X := supnXn in senso P-q.c. e con X ∈ X , allora

la successione scalare (ρ(Xn))n è non crescente e tale che

Misure convesse di rischio Marco Tarsia Teoria assiomatica delle misure convesse di rischio Esempi notevoli di misure convesse di rischio Misure convesse condizionali e dinamiche di rischio Prime proprietà Prime proprietà

Sia ρ una misura convessa di rischio su X . Allora:

1 ρ(X ) = R.

2 Per ogni k ∈ R, ρ(k) = ρ(0) − k.

3 Per ogni X ∈ X ,ρ(X ) = inf { m ∈ R | ρ(X + m) ≤ 0 }ed

è in realtà un valor minimo.

4 Per ogni X ∈ L∞(P) ∩ X , |ρ(X )| ≤ kX k_∞+ |ρ(0)|. 5 Se X_n↓ X := inf_nX_n in senso P-q.c. e con X ∈ X , allora la

successione scalare (ρ(Xn))_n è non decrescente e tale che

sup_nρ(Xn) ≤ ρ(X ).

6 Se Xn↑ X := supnXn in senso P-q.c. e con X ∈ X , allora

la successione scalare (ρ(Xn))n è non crescente e tale che

Misure convesse di rischio Marco Tarsia Teoria assiomatica delle misure convesse di rischio Esempi notevoli di misure convesse di rischio Misure convesse condizionali e dinamiche di rischio Prime proprietà Prime proprietà

Sia ρ una misura convessa di rischio su X . Allora:

1 ρ(X ) = R.

2 Per ogni k ∈ R, ρ(k) = ρ(0) − k.

3 Per ogni X ∈ X ,ρ(X ) = inf { m ∈ R | ρ(X + m) ≤ 0 }ed

è in realtà un valor minimo.

4 Per ogni X ∈ L∞(P) ∩ X , |ρ(X )| ≤ kX k_∞+ |ρ(0)|. 5 Se X_n↓ X := inf_nX_n in senso P-q.c. e con X ∈ X , allora la

successione scalare (ρ(Xn))_n è non decrescente e tale che

sup_nρ(Xn) ≤ ρ(X ).

6 Se Xn↑ X := supnXn in senso P-q.c. e con X ∈ X , allora

la successione scalare (ρ(Xn))n è non crescente e tale che

Misure convesse di rischio Marco Tarsia Teoria assiomatica delle misure convesse di rischio Esempi notevoli di misure convesse di rischio Misure convesse condizionali e dinamiche di rischio La definizione

Definizione (Misura convessa normalizzata di rischio)

Chiamiamo misura convessanormalizzata di rischio su X ogni misura convessa di rischio ρ su X per la quale risulti ρ(0) = 0.

Definizione (Misura coerente di rischio)

Chiamiamomisura coerente di rischio su X ogni misura convessa di rischio ρ ≡ ρ?_{su X la quale verifichi le due seguenti proprietà.}

1 Positiva omogeneità: ∀ X ∈ X e ∀ λ ∈ ]0, +∞[, ρ?(λX ) = λρ?(X ).

2 Subadditività: ∀ X , Y ∈ X , ρ?(X + Y ) ≤ ρ?(X ) + ρ?(Y ).

Chiamiamomisura coerente di rischio una misura coerente di rischio ρ? _{su X = L}∞_(P).

Misure convesse di rischio Marco Tarsia Teoria assiomatica delle misure convesse di rischio Esempi notevoli di misure convesse di rischio Misure convesse condizionali e dinamiche di rischio La definizione

Definizione (Misura convessa normalizzata di rischio)

Chiamiamo misura convessanormalizzata di rischio su X ogni misura convessa di rischio ρ su X per la quale risulti ρ(0) = 0.

Definizione (Misura coerente di rischio)

Chiamiamomisura coerente di rischio su X ogni misura convessa di rischio ρ ≡ ρ?_{su X la quale verifichi le due seguenti proprietà.}

1 Positiva omogeneità: ∀ X ∈ X e ∀ λ ∈ ]0, +∞[,

ρ?(λX ) = λρ?(X ).

2 Subadditività: ∀ X , Y ∈ X , ρ?(X + Y ) ≤ ρ?(X ) + ρ?(Y ).

Chiamiamomisura coerente di rischio una misura coerente di rischio ρ? _{su X = L}∞_(P).

Misure convesse di rischio Marco Tarsia Teoria assiomatica delle misure convesse di rischio Esempi notevoli di misure convesse di rischio Misure convesse condizionali e dinamiche di rischio La definizione

Definizione (Misura convessa normalizzata di rischio)

Chiamiamo misura convessanormalizzata di rischio su X ogni misura convessa di rischio ρ su X per la quale risulti ρ(0) = 0.

Definizione (Misura coerente di rischio)

Chiamiamomisura coerente di rischio su X ogni misura convessa di rischio ρ ≡ ρ?_{su X la quale verifichi le due seguenti proprietà.}

1 Positiva omogeneità: ∀ X ∈ X e ∀ λ ∈ ]0, +∞[,

ρ?(λX ) = λρ?(X ).

2 Subadditività: ∀ X , Y ∈ X , ρ?(X + Y ) ≤ ρ?(X ) + ρ?(Y ).

Chiamiamomisura coerente di rischio una misura coerente di rischio ρ? _{su X = L}∞_(P).

Misure convesse di rischio Marco Tarsia Teoria assiomatica delle misure convesse di rischio Esempi notevoli di misure convesse di rischio Misure convesse condizionali e dinamiche di rischio La definizione

Definizione (Misura convessa normalizzata di rischio)

Chiamiamo misura convessanormalizzata di rischio su X ogni misura convessa di rischio ρ su X per la quale risulti ρ(0) = 0.

Definizione (Misura coerente di rischio)

Chiamiamomisura coerente di rischio su X ogni misura convessa di rischio ρ ≡ ρ?_{su X la quale verifichi le due seguenti proprietà.}

1 Positiva omogeneità: ∀ X ∈ X e ∀ λ ∈ ]0, +∞[,

ρ?(λX ) = λρ?(X ).

2 Subadditività: ∀ X , Y ∈ X , ρ?(X + Y ) ≤ ρ?(X ) + ρ?(Y ).

Chiamiamomisura coerente di rischio una misura coerente di rischio ρ? _{su X = L}∞_(P).

Misure convesse di rischio Marco Tarsia Teoria assiomatica delle misure convesse di rischio Esempi notevoli di misure convesse di rischio Misure convesse condizionali e dinamiche di rischio La definizione

Definizione (Misura convessa normalizzata di rischio)

Chiamiamo misura convessanormalizzata di rischio su X ogni misura convessa di rischio ρ su X per la quale risulti ρ(0) = 0.

Definizione (Misura coerente di rischio)

Chiamiamomisura coerente di rischio su X ogni misura convessa di rischio ρ ≡ ρ?_{su X la quale verifichi le due seguenti proprietà.}

1 Positiva omogeneità: ∀ X ∈ X e ∀ λ ∈ ]0, +∞[,

ρ?(λX ) = λρ?(X ).

2 Subadditività: ∀ X , Y ∈ X , ρ?(X + Y ) ≤ ρ?(X ) + ρ?(Y ).

Chiamiamomisura coerente di rischio una misura coerente di rischio ρ? _{su X = L}∞_(P).

Misure convesse di rischio Marco Tarsia Teoria assiomatica delle misure convesse di rischio Esempi notevoli di misure convesse di rischio Misure convesse condizionali e dinamiche di rischio

Prime proprietà ed un teorema

Prime proprietà

Sia ρ? _{una misura coerente di rischio su X . Allora:}

1 ρ? è una misura convessa normalizzata di rischio su X . 2 ρ? è una semi-norma sullo spazio vettoriale reale X tale che,

per ogni k ∈ R, ρ?_{(k) = −k.}

Teorema

Sia ρ? _{una misura coerente di rischio su tutto X = L}0_{(P). Allora}

Misure convesse di rischio Marco Tarsia Teoria assiomatica delle misure convesse di rischio Esempi notevoli di misure convesse di rischio Misure convesse condizionali e dinamiche di rischio

Prime proprietà ed un teorema

Prime proprietà

Sia ρ? _{una misura coerente di rischio su X . Allora:}

1 ρ? è una misura convessa normalizzata di rischio su X . 2 ρ? è una semi-norma sullo spazio vettoriale reale X tale che,

per ogni k ∈ R, ρ?_{(k) = −k.} Teorema

Sia ρ? _{una misura coerente di rischio su tutto X = L}0_{(P). Allora}

Misure convesse di rischio Marco Tarsia Teoria assiomatica delle misure convesse di rischio Esempi notevoli di misure convesse di rischio Misure convesse condizionali e dinamiche di rischio

Prime proprietà ed un teorema

Prime proprietà

Sia ρ? _{una misura coerente di rischio su X . Allora:}

1 ρ? è una misura convessa normalizzata di rischio su X . 2 ρ? è una semi-norma sullo spazio vettoriale reale X tale che,

per ogni k ∈ R, ρ?_{(k) = −k.} Teorema

Sia ρ? _{una misura coerente di rischio su tutto X = L}0_{(P). Allora}

Misure convesse di rischio Marco Tarsia Teoria assiomatica delle misure convesse di rischio Esempi notevoli di misure convesse di rischio Misure convesse condizionali e dinamiche di rischio

Prime proprietà ed un teorema

Prime proprietà

Sia ρ? _{una misura coerente di rischio su X . Allora:}

1 ρ? è una misura convessa normalizzata di rischio su X . 2 ρ? è una semi-norma sullo spazio vettoriale reale X tale che,

per ogni k ∈ R, ρ?_{(k) = −k.}

Teorema

Sia ρ? _{una misura coerente di rischio su tutto X = L}0_{(P). Allora}

Misure convesse di rischio Marco Tarsia Teoria assiomatica delle misure convesse di rischio Esempi notevoli di misure convesse di rischio Misure convesse condizionali e dinamiche di rischio

Prime proprietà ed un teorema

Dimostrazione del teorema.

1 Sia ρ? una misura coerente di rischio su X . Allora esiste

un’applicazione lineare F : X → R non banale e positiva.

2 Sia F : L0(P) → R un’applicazione lineare positiva. Allora F

è continua rispetto alla convergenza in probabilità P.

3 Sia (Ω, F , P) uno spazio di probabilità non atomico. Allora

lo spazio duale di L0_{(P) è banale, cioè L}0_(P)0

Misure convesse di rischio Marco Tarsia Teoria assiomatica delle misure convesse di rischio Esempi notevoli di misure convesse di rischio Misure convesse condizionali e dinamiche di rischio

Prime proprietà ed un teorema

Dimostrazione del teorema.

1 Sia ρ? una misura coerente di rischio su X . Allora esiste

un’applicazione lineare F : X → R non banale e positiva.

2 Sia F : L0(P) → R un’applicazione lineare positiva. Allora F

è continua rispetto alla convergenza in probabilità P.

3 Sia (Ω, F , P) uno spazio di probabilità non atomico. Allora

lo spazio duale di L0_{(P) è banale, cioè L}0_(P)0

Misure convesse di rischio Marco Tarsia Teoria assiomatica delle misure convesse di rischio Esempi notevoli di misure convesse di rischio Misure convesse condizionali e dinamiche di rischio

Prime proprietà ed un teorema

Dimostrazione del teorema.

1 Sia ρ? una misura coerente di rischio su X . Allora esiste

un’applicazione lineare F : X → R non banale e positiva.

2 Sia F : L0(P) → R un’applicazione lineare positiva. Allora F

è continua rispetto alla convergenza in probabilità P.

3 Sia (Ω, F , P) uno spazio di probabilità non atomico. Allora

lo spazio duale di L0_{(P) è banale, cioè L}0_(P)0

Misure convesse di rischio Marco Tarsia Teoria assiomatica delle misure convesse di rischio Esempi notevoli di misure convesse di rischio Misure convesse condizionali e dinamiche di rischio La definizione

Definizione (Posizione accettabile; insieme di accettazione)

Sia ρ una misura convessa di rischio su X . Chiamiamoposizione accettabile secondo ρogni X ∈ X tale che risulti ρ(X ) ≤ 0 e chiamiamoinsieme di accettazione secondo ρ, denotandolo Aρ, il

sottoinsieme non vuoto di X costituito da tutte e sole le posizioni accettabili secondo ρ: in simboli,

A_ρdef= { X ∈ X | ρ(X ) ≤ 0 }.

Osservazione

Una misura convessa di rischio è caratterizzata dal proprio insieme di accettazione: se ρ e ρ0 sono due misure convesse di

Misure convesse di rischio Marco Tarsia Teoria assiomatica delle misure convesse di rischio Esempi notevoli di misure convesse di rischio Misure convesse condizionali e dinamiche di rischio La definizione

Definizione (Posizione accettabile; insieme di accettazione)

Sia ρ una misura convessa di rischio su X . Chiamiamoposizione accettabile secondo ρogni X ∈ X tale che risulti ρ(X ) ≤ 0 e chiamiamoinsieme di accettazione secondo ρ, denotandolo Aρ, il

sottoinsieme non vuoto di X costituito da tutte e sole le posizioni accettabili secondo ρ: in simboli,

A_ρdef= { X ∈ X | ρ(X ) ≤ 0 }.

Osservazione

Una misura convessa di rischio è caratterizzata dal proprio insieme di accettazione: se ρ e ρ0 sono due misure convesse di

Misure convesse di rischio Marco Tarsia Teoria assiomatica delle misure convesse di rischio Esempi notevoli di misure convesse di rischio Misure convesse condizionali e dinamiche di rischio

Prime proprietà ed una caratterizzazione

Proposizione (Prime proprietà)

Sia ρ una misura convessa di rischio su X . Allora:

1 ∀ X ∈ X , _{ρ(X ) = inf { m ∈ R | X + m ∈ Aρ}}. 2 ∀ X ∈ A_ρ e ∀ Y ∈ X , se Y ≥ X allora Y ∈ A_ρ. 3 { m ∈ R | m ∈ A_ρ} = [ρ(0), +∞[.

4 Aρ è un insieme convesso.

5 Se X < L∞(P) allora, ∀ X ∈ Aρ e ∀ Y ∈ X , l’insieme

{ λ ∈ [0, 1] | λX + (1 − λ)Y ∈ A_ρ} è un sottoinsieme non vuoto, chiuso e convesso di [0, 1].

Se ρ ≡ ρ? è una misura coerente di rischio su X , allora:

1 A_ρ? è un cono contenente l’insieme L0₊(P) ∩ X .

Misure convesse di rischio Marco Tarsia Teoria assiomatica delle misure convesse di rischio Esempi notevoli di misure convesse di rischio Misure convesse condizionali e dinamiche di rischio

Prime proprietà ed una caratterizzazione

Proposizione (Prime proprietà)

Sia ρ una misura convessa di rischio su X . Allora:

1 ∀ X ∈ X , _{ρ(X ) = inf { m ∈ R | X + m ∈ Aρ}}. 2 ∀ X ∈ A_ρ e ∀ Y ∈ X , se Y ≥ X allora Y ∈ A_ρ. 3 { m ∈ R | m ∈ A_ρ} = [ρ(0), +∞[.

4 Aρ è un insieme convesso.

5 Se X < L∞(P) allora, ∀ X ∈ Aρ e ∀ Y ∈ X , l’insieme

{ λ ∈ [0, 1] | λX + (1 − λ)Y ∈ A_ρ} è un sottoinsieme non vuoto, chiuso e convesso di [0, 1].

Se ρ ≡ ρ? è una misura coerente di rischio su X , allora:

1 A_ρ? è un cono contenente l’insieme L0₊(P) ∩ X .

Misure convesse di rischio Marco Tarsia Teoria assiomatica delle misure convesse di rischio Esempi notevoli di misure convesse di rischio Misure convesse condizionali e dinamiche di rischio

Prime proprietà ed una caratterizzazione

Proposizione (Prime proprietà)

Sia ρ una misura convessa di rischio su X . Allora:

1 ∀ X ∈ X , _{ρ(X ) = inf { m ∈ R | X + m ∈ Aρ}}. 2 ∀ X ∈ A_ρ e ∀ Y ∈ X , se Y ≥ X allora Y ∈ A_ρ. 3 { m ∈ R | m ∈ A_ρ} = [ρ(0), +∞[.

4 Aρ è un insieme convesso.

5 Se X < L∞(P) allora, ∀ X ∈ Aρ e ∀ Y ∈ X , l’insieme

{ λ ∈ [0, 1] | λX + (1 − λ)Y ∈ A_ρ} è un sottoinsieme non vuoto, chiuso e convesso di [0, 1].

Se ρ ≡ ρ? è una misura coerente di rischio su X , allora:

1 A_ρ? è un cono contenente l’insieme L0₊(P) ∩ X .

Misure convesse di rischio Marco Tarsia Teoria assiomatica delle misure convesse di rischio Esempi notevoli di misure convesse di rischio Misure convesse condizionali e dinamiche di rischio

Prime proprietà ed una caratterizzazione

Proposizione (Prime proprietà)

Sia ρ una misura convessa di rischio su X . Allora:

1 ∀ X ∈ X , _{ρ(X ) = inf { m ∈ R | X + m ∈ Aρ}}. 2 ∀ X ∈ A_ρ e ∀ Y ∈ X , se Y ≥ X allora Y ∈ A_ρ. 3 { m ∈ R | m ∈ A_ρ} = [ρ(0), +∞[.

4 Aρ è un insieme convesso.

5 Se X < L∞(P) allora, ∀ X ∈ Aρ e ∀ Y ∈ X , l’insieme

{ λ ∈ [0, 1] | λX + (1 − λ)Y ∈ A_ρ} è un sottoinsieme non vuoto, chiuso e convesso di [0, 1].

Se ρ ≡ ρ? è una misura coerente di rischio su X , allora:

1 A_ρ? è un cono contenente l’insieme L0₊(P) ∩ X .

Misure convesse di rischio Marco Tarsia Teoria assiomatica delle misure convesse di rischio Esempi notevoli di misure convesse di rischio Misure convesse condizionali e dinamiche di rischio

Prime proprietà ed una caratterizzazione

Proposizione (Prime proprietà)

Sia ρ una misura convessa di rischio su X . Allora:

1 ∀ X ∈ X , _{ρ(X ) = inf { m ∈ R | X + m ∈ Aρ}}. 2 ∀ X ∈ A_ρ e ∀ Y ∈ X , se Y ≥ X allora Y ∈ A_ρ. 3 { m ∈ R | m ∈ A_ρ} = [ρ(0), +∞[.

4 Aρ è un insieme convesso.

5 Se X < L∞(P) allora, ∀ X ∈ Aρ e ∀ Y ∈ X , l’insieme

{ λ ∈ [0, 1] | λX + (1 − λ)Y ∈ A_ρ} è un sottoinsieme non vuoto, chiuso e convesso di [0, 1].

Se ρ ≡ ρ? è una misura coerente di rischio su X , allora:

1 A_ρ? è un cono contenente l’insieme L0₊(P) ∩ X .

Misure convesse di rischio Marco Tarsia Teoria assiomatica delle misure convesse di rischio Esempi notevoli di misure convesse di rischio Misure convesse condizionali e dinamiche di rischio

Prime proprietà ed una caratterizzazione

Proposizione (Prime proprietà)

Sia ρ una misura convessa di rischio su X . Allora:

1 ∀ X ∈ X , _{ρ(X ) = inf { m ∈ R | X + m ∈ Aρ}}. 2 ∀ X ∈ A_ρ e ∀ Y ∈ X , se Y ≥ X allora Y ∈ A_ρ. 3 { m ∈ R | m ∈ A_ρ} = [ρ(0), +∞[.

4 Aρ è un insieme convesso.

5 Se X < L∞(P) allora, ∀ X ∈ Aρ e ∀ Y ∈ X , l’insieme

{ λ ∈ [0, 1] | λX + (1 − λ)Y ∈ A_ρ} è un sottoinsieme non vuoto, chiuso e convesso di [0, 1].

Se ρ ≡ ρ? è una misura coerente di rischio su X , allora:

1 A_ρ? è un cono contenente l’insieme L0₊(P) ∩ X .

Misure convesse di rischio Marco Tarsia Teoria assiomatica delle misure convesse di rischio Esempi notevoli di misure convesse di rischio Misure convesse condizionali e dinamiche di rischio

Prime proprietà ed una caratterizzazione

Proposizione (Prime proprietà)

Sia ρ una misura convessa di rischio su X . Allora:

1 ∀ X ∈ X , _{ρ(X ) = inf { m ∈ R | X + m ∈ Aρ}}. 2 ∀ X ∈ A_ρ e ∀ Y ∈ X , se Y ≥ X allora Y ∈ A_ρ. 3 { m ∈ R | m ∈ A_ρ} = [ρ(0), +∞[.

4 Aρ è un insieme convesso.

5 Se X < L∞(P) allora, ∀ X ∈ Aρ e ∀ Y ∈ X , l’insieme

{ λ ∈ [0, 1] | λX + (1 − λ)Y ∈ A_ρ} è un sottoinsieme non vuoto, chiuso e convesso di [0, 1].

Se ρ ≡ ρ? è una misura coerente di rischio su X , allora:

1 A_ρ? è un cono contenente l’insieme L0₊(P) ∩ X .

Misure convesse di rischio Marco Tarsia Teoria assiomatica delle misure convesse di rischio Esempi notevoli di misure convesse di rischio Misure convesse condizionali e dinamiche di rischio

Prime proprietà ed una caratterizzazione

Proposizione (Prime proprietà)

Sia ρ una misura convessa di rischio su X . Allora:

1 ∀ X ∈ X , _{ρ(X ) = inf { m ∈ R | X + m ∈ Aρ}}. 2 ∀ X ∈ A_ρ e ∀ Y ∈ X , se Y ≥ X allora Y ∈ A_ρ. 3 { m ∈ R | m ∈ A_ρ} = [ρ(0), +∞[.

4 Aρ è un insieme convesso.

5 Se X < L∞(P) allora, ∀ X ∈ Aρ e ∀ Y ∈ X , l’insieme

{ λ ∈ [0, 1] | λX + (1 − λ)Y ∈ A_ρ} è un sottoinsieme non vuoto, chiuso e convesso di [0, 1].

Se ρ ≡ ρ? è una misura coerente di rischio su X , allora:

1 A_ρ? è un cono contenente l’insieme L0₊(P) ∩ X .

Misure convesse di rischio Marco Tarsia Teoria assiomatica delle misure convesse di rischio Esempi notevoli di misure convesse di rischio Misure convesse condizionali e dinamiche di rischio

Prime proprietà ed una caratterizzazione

Dimostrazione delle prime proprietà.

Tutto elementare, ma per la quinta osservare quanto segue:

1 Per ogni X , Y ∈ X , la mappa ϕ : [0, 1] → R definita

ponendo, per ogni λ ∈ [0, 1], ϕ(λ)= ρ(λX + (1 − λ)Y ) è. convessa su tutto [0, 1] e quindi continua su tutto ]0, 1[.

2 Se X < L∞(P) allora, ∀ X , Y ∈ X , se per ogni λ ↓ 0 risulta

Misure convesse di rischio Marco Tarsia Teoria assiomatica delle misure convesse di rischio Esempi notevoli di misure convesse di rischio Misure convesse condizionali e dinamiche di rischio

Prime proprietà ed una caratterizzazione

Dimostrazione delle prime proprietà.

Tutto elementare, ma per la quinta osservare quanto segue:

1 Per ogni X , Y ∈ X , la mappa ϕ : [0, 1] → R definita

ponendo, per ogni λ ∈ [0, 1], ϕ(λ)= ρ(λX + (1 − λ)Y ) è. convessa su tutto [0, 1] e quindi continua su tutto ]0, 1[.

2 Se X < L∞(P) allora, ∀ X , Y ∈ X , se per ogni λ ↓ 0 risulta

Misure convesse di rischio Marco Tarsia Teoria assiomatica delle misure convesse di rischio Esempi notevoli di misure convesse di rischio Misure convesse condizionali e dinamiche di rischio

Prime proprietà ed una caratterizzazione

Proposizione (Una caratterizzazione)

Assumiamo che X < L∞(P) e sia A un sottoinsieme non vuoto di X . Allora A coincide con l’insieme di accettazione A_ρ≡ A_ρA secondo una misura convessa di rischio ρ ≡ ρA su X se:

1 ∀ X ∈ A e ∀ Y ∈ X , se Y ≥ X allora Y ∈ A. 2 inf { m ∈ R | m ∈ A } > −∞.

3 A è un insieme convesso.

4 ∀ X ∈ A e ∀ Y ∈ X , { λ ∈ [0, 1] | λX + (1 − λ)Y ∈ A } è

chiuso in [0, 1].

Invece A coincide con l’insieme di accettazione Aρ?≡ A_ρ? A secondo una misura coerente di rischio ρ? _{≡ ρ}?

A su X se inoltre: 1 A è un cono.

Misure convesse di rischio Marco Tarsia Teoria assiomatica delle misure convesse di rischio Esempi notevoli di misure convesse di rischio Misure convesse condizionali e dinamiche di rischio

Prime proprietà ed una caratterizzazione

Proposizione (Una caratterizzazione)

Assumiamo che X < L∞(P) e sia A un sottoinsieme non vuoto di X . Allora A coincide con l’insieme di accettazione A_ρ≡ A_ρA secondo una misura convessa di rischio ρ ≡ ρA su X se:

1 ∀ X ∈ A e ∀ Y ∈ X , se Y ≥ X allora Y ∈ A. 2 inf { m ∈ R | m ∈ A } > −∞.

3 A è un insieme convesso.

4 ∀ X ∈ A e ∀ Y ∈ X , { λ ∈ [0, 1] | λX + (1 − λ)Y ∈ A } è

chiuso in [0, 1].

Invece A coincide con l’insieme di accettazione Aρ?≡ A_ρ? A secondo una misura coerente di rischio ρ? _{≡ ρ}?

A su X se inoltre: 1 A è un cono.

Misure convesse di rischio Marco Tarsia Teoria assiomatica delle misure convesse di rischio Esempi notevoli di misure convesse di rischio Misure convesse condizionali e dinamiche di rischio

Prime proprietà ed una caratterizzazione

Proposizione (Una caratterizzazione)

Assumiamo che X < L∞(P) e sia A un sottoinsieme non vuoto di X . Allora A coincide con l’insieme di accettazione A_ρ≡ A_ρA secondo una misura convessa di rischio ρ ≡ ρA su X se:

1 ∀ X ∈ A e ∀ Y ∈ X , se Y ≥ X allora Y ∈ A. 2 inf { m ∈ R | m ∈ A } > −∞.

3 A è un insieme convesso.

4 ∀ X ∈ A e ∀ Y ∈ X , { λ ∈ [0, 1] | λX + (1 − λ)Y ∈ A } è

chiuso in [0, 1].

Invece A coincide con l’insieme di accettazione Aρ?≡ A_ρ? A secondo una misura coerente di rischio ρ? _{≡ ρ}?

A su X se inoltre: 1 A è un cono.

Misure convesse di rischio Marco Tarsia Teoria assiomatica delle misure convesse di rischio Esempi notevoli di misure convesse di rischio Misure convesse condizionali e dinamiche di rischio

Prime proprietà ed una caratterizzazione

Proposizione (Una caratterizzazione)

Assumiamo che X < L∞(P) e sia A un sottoinsieme non vuoto di X . Allora A coincide con l’insieme di accettazione A_ρ≡ A_ρA secondo una misura convessa di rischio ρ ≡ ρA su X se:

1 ∀ X ∈ A e ∀ Y ∈ X , se Y ≥ X allora Y ∈ A. 2 inf { m ∈ R | m ∈ A } > −∞.

3 A è un insieme convesso.

4 ∀ X ∈ A e ∀ Y ∈ X , { λ ∈ [0, 1] | λX + (1 − λ)Y ∈ A } è

chiuso in [0, 1].

Invece A coincide con l’insieme di accettazione Aρ?≡ A_ρ? A secondo una misura coerente di rischio ρ? _{≡ ρ}?

A su X se inoltre: 1 A è un cono.

Misure convesse di rischio Marco Tarsia Teoria assiomatica delle misure convesse di rischio Esempi notevoli di misure convesse di rischio Misure convesse condizionali e dinamiche di rischio

Prime proprietà ed una caratterizzazione

Proposizione (Una caratterizzazione)

Assumiamo che X < L∞(P) e sia A un sottoinsieme non vuoto di X . Allora A coincide con l’insieme di accettazione A_ρ≡ A_ρA secondo una misura convessa di rischio ρ ≡ ρA su X se:

1 ∀ X ∈ A e ∀ Y ∈ X , se Y ≥ X allora Y ∈ A. 2 inf { m ∈ R | m ∈ A } > −∞.

3 A è un insieme convesso.

4 ∀ X ∈ A e ∀ Y ∈ X , { λ ∈ [0, 1] | λX + (1 − λ)Y ∈ A } è

chiuso in [0, 1].

Invece A coincide con l’insieme di accettazione Aρ?≡ A_ρ? A secondo una misura coerente di rischio ρ? _{≡ ρ}?

A su X se inoltre: 1 A è un cono.

Misure convesse di rischio Marco Tarsia Teoria assiomatica delle misure convesse di rischio Esempi notevoli di misure convesse di rischio Misure convesse condizionali e dinamiche di rischio

Prime proprietà ed una caratterizzazione

Proposizione (Una caratterizzazione)

Assumiamo che X < L∞(P) e sia A un sottoinsieme non vuoto di X . Allora A coincide con l’insieme di accettazione A_ρ≡ A_ρA secondo una misura convessa di rischio ρ ≡ ρA su X se:

1 ∀ X ∈ A e ∀ Y ∈ X , se Y ≥ X allora Y ∈ A. 2 inf { m ∈ R | m ∈ A } > −∞.

3 A è un insieme convesso.

4 ∀ X ∈ A e ∀ Y ∈ X , { λ ∈ [0, 1] | λX + (1 − λ)Y ∈ A } è

chiuso in [0, 1].

Invece A coincide con l’insieme di accettazione Aρ?≡ A_ρ? A

secondo una misura coerente di rischio ρ? _{≡ ρ}?

A su X se inoltre: 1 A è un cono.

Misure convesse di rischio Marco Tarsia Teoria assiomatica delle misure convesse di rischio Esempi notevoli di misure convesse di rischio Misure convesse condizionali e dinamiche di rischio

Prime proprietà ed una caratterizzazione

Proposizione (Una caratterizzazione)

Assumiamo che X < L∞(P) e sia A un sottoinsieme non vuoto di X . Allora A coincide con l’insieme di accettazione A_ρ≡ A_ρA secondo una misura convessa di rischio ρ ≡ ρA su X se:

1 ∀ X ∈ A e ∀ Y ∈ X , se Y ≥ X allora Y ∈ A. 2 inf { m ∈ R | m ∈ A } > −∞.

3 A è un insieme convesso.

4 ∀ X ∈ A e ∀ Y ∈ X , { λ ∈ [0, 1] | λX + (1 − λ)Y ∈ A } è

chiuso in [0, 1].

Invece A coincide con l’insieme di accettazione Aρ?≡ A_ρ? A

secondo una misura coerente di rischio ρ? _{≡ ρ}?

A su X se inoltre: 1 A è un cono.

Misure convesse di rischio Marco Tarsia Teoria assiomatica delle misure convesse di rischio Esempi notevoli di misure convesse di rischio Misure convesse condizionali e dinamiche di rischio

Prime proprietà ed una caratterizzazione

Dimostrazione della caratterizzazione.

Definire la mappa ρA: X → R ≡ [−∞, +∞] ponendo ρA(X )def= inf { m ∈ R | X + m ∈ A }, X ∈ X , (dove per convenzione inf ∅ ≡ +∞).

Osservazione

La mappa ρA così definita resta una misura convessa di rischio

su X anche se A non verifica la quarta proprietà della precedente proposizione, ma in tal caso vale soltantoA ⊆ A_ρA o meglio

\

c∈]0,+∞[

Misure convesse di rischio Marco Tarsia Teoria assiomatica delle misure convesse di rischio Esempi notevoli di misure convesse di rischio Misure convesse condizionali e dinamiche di rischio

Prime proprietà ed una caratterizzazione

Dimostrazione della caratterizzazione.

Definire la mappa ρA: X → R ≡ [−∞, +∞] ponendo ρA(X )def= inf { m ∈ R | X + m ∈ A }, X ∈ X , (dove per convenzione inf ∅ ≡ +∞).

Osservazione

La mappa ρA così definita resta una misura convessa di rischio

su X anche se A non verifica la quarta proprietà della precedente proposizione, ma in tal caso vale soltantoA ⊆ A_ρA o meglio

\

c∈]0,+∞[

Misure convesse di rischio Marco Tarsia Teoria assiomatica delle misure convesse di rischio Esempi notevoli di misure convesse di rischio Misure convesse condizionali e dinamiche di rischio La definizione

Sia ρ una misura convessa di rischio su X e ricordiamo che, se Xn↓ X := infnXn in senso P-q.c. e con X ∈ X , allora la

successione scalare (ρ(Xn))n è non decrescente e tale che

sup_nρ(Xn) ≤ ρ(X ).

Definizione (Proprietà di Fatou)

Diciamo che ρ possiede laproprietà di Fatou nel caso che valga la seguente condizione: se Xn↓ X := infnXn in senso P-q.c. e con

Misure convesse di rischio Marco Tarsia Teoria assiomatica delle misure convesse di rischio Esempi notevoli di misure convesse di rischio Misure convesse condizionali e dinamiche di rischio La definizione

Sia ρ una misura convessa di rischio su X e ricordiamo che, se Xn↓ X := infnXn in senso P-q.c. e con X ∈ X , allora la

successione scalare (ρ(Xn))n è non decrescente e tale che

sup_nρ(Xn) ≤ ρ(X ).

Definizione (Proprietà di Fatou)

Diciamo che ρ possiede laproprietà di Fatou nel caso che valga la seguente condizione: se Xn↓ X := infnXn in senso P-q.c. e con

Misure convesse di rischio Marco Tarsia Teoria assiomatica delle misure convesse di rischio Esempi notevoli di misure convesse di rischio Misure convesse condizionali e dinamiche di rischio Qualche osservazione Osservazione

Sia ρ una misura convessa di rischio su X . Allora ρ possiede la proprietà di Fatou se e solo se vale una delle seguenti condizioni:

1 Se Xn→ X ∈ X in senso P-q.c. e con supk≥nXk ∈ X per

ogni n, allora ρ(X ) ≤ lim infnρ(Xn).

2 Se Xn∈ Aρ e Xn→ X ∈ X in senso P-q.c. e con

sup_k≥nXk ∈ X , allora X ∈ Aρ.

Nota

Una misura coerente di rischio ρ ≡ ρ? su X possiede la proprietà di Fatou se vale la seguente condizione: se Xn↑ X := supnXn in

senso P-q.c. e con X ∈ X , allora la successione scalare (ρ(Xn))_n

Misure convesse di rischio Marco Tarsia Teoria assiomatica delle misure convesse di rischio Esempi notevoli di misure convesse di rischio Misure convesse condizionali e dinamiche di rischio Qualche osservazione Osservazione

Sia ρ una misura convessa di rischio su X . Allora ρ possiede la proprietà di Fatou se e solo se vale una delle seguenti condizioni:

1 Se Xn→ X ∈ X in senso P-q.c. e con supk≥nXk ∈ X per

ogni n, allora ρ(X ) ≤ lim infnρ(Xn).

2 Se Xn∈ Aρ e Xn→ X ∈ X in senso P-q.c. e con

sup_k≥nXk ∈ X , allora X ∈ Aρ. Nota

Una misura coerente di rischio ρ ≡ ρ? su X possiede la proprietà di Fatou se vale la seguente condizione: se Xn↑ X := supnXn in

senso P-q.c. e con X ∈ X , allora la successione scalare (ρ(Xn))_n

Misure convesse di rischio Marco Tarsia Teoria assiomatica delle misure convesse di rischio Esempi notevoli di misure convesse di rischio Misure convesse condizionali e dinamiche di rischio Qualche osservazione Osservazione

Sia ρ una misura convessa di rischio su X . Allora ρ possiede la proprietà di Fatou se e solo se vale una delle seguenti condizioni:

1 Se Xn→ X ∈ X in senso P-q.c. e con supk≥nXk ∈ X per

ogni n, allora ρ(X ) ≤ lim infnρ(Xn).

2 Se Xn∈ Aρ e Xn→ X ∈ X in senso P-q.c. e con

sup_k≥nXk ∈ X , allora X ∈ Aρ. Nota

Una misura coerente di rischio ρ ≡ ρ? su X possiede la proprietà di Fatou se vale la seguente condizione: se Xn↑ X := supnXn in

senso P-q.c. e con X ∈ X , allora la successione scalare (ρ(Xn))_n

Misure convesse di rischio Marco Tarsia Teoria assiomatica delle misure convesse di rischio Esempi notevoli di misure convesse di rischio Misure convesse condizionali e dinamiche di rischio Qualche osservazione Osservazione

Sia ρ una misura convessa di rischio su X . Allora ρ possiede la proprietà di Fatou se e solo se vale una delle seguenti condizioni:

1 Se Xn→ X ∈ X in senso P-q.c. e con supk≥nXk ∈ X per

ogni n, allora ρ(X ) ≤ lim infnρ(Xn).

2 Se Xn∈ Aρ e Xn→ X ∈ X in senso P-q.c. e con

sup_k≥nXk ∈ X , allora X ∈ Aρ.

Nota

Una misura coerente di rischio ρ ≡ ρ? su X possiede la proprietà di Fatou se vale la seguente condizione: se Xn↑ X := supnXn in

senso P-q.c. e con X ∈ X , allora la successione scalare (ρ(Xn))_n

Misure convesse di rischio Marco Tarsia Teoria assiomatica delle misure convesse di rischio Esempi notevoli di misure convesse di rischio Misure convesse condizionali e dinamiche di rischio Qualche osservazione

Assumiamo che X = L∞(P). Allora ρ possiede la proprietà di Fatou se e solo se vale una delle seguenti condizioni:

1 Se (Xn)_n è equi-limitata e Xn↓ X := infnXnin senso

P-q.c., allora ρ(X ) ≤ sup_nρ(Xn). 2 Se Xn→ X ∈ L∞(P) in senso P-q.c., allora ρ(X ) ≤ lim infnρ(Xn). 3 Se Xn∈ Aρ e Xn→ X ∈ L∞(P) in senso P-q.c., allora X ∈ Aρ. Proposizione

Supponiamo che L1(P) sia uno spazioseparabile. Assumiamo che X = L∞(P) e sia ρ una misura convessa di rischio. Allora ρ possiede la proprietà di Fatou se e solo se l’insieme di accettazione Aρsecondo ρ è σ(L∞(P), L1(P))-chiuso.

Misure convesse di rischio Marco Tarsia Teoria assiomatica delle misure convesse di rischio Esempi notevoli di misure convesse di rischio Misure convesse condizionali e dinamiche di rischio Qualche osservazione

Assumiamo che X = L∞(P). Allora ρ possiede la proprietà di Fatou se e solo se vale una delle seguenti condizioni:

1 Se (Xn)_n è equi-limitata e Xn↓ X := infnXnin senso

P-q.c., allora ρ(X ) ≤ sup_nρ(Xn). 2 Se Xn→ X ∈ L∞(P) in senso P-q.c., allora ρ(X ) ≤ lim infnρ(Xn). 3 Se Xn∈ Aρ e Xn→ X ∈ L∞(P) in senso P-q.c., allora X ∈ Aρ. Proposizione

Supponiamo che L1(P) sia uno spazioseparabile. Assumiamo che X = L∞(P) e sia ρ una misura convessa di rischio. Allora ρ possiede la proprietà di Fatou se e solo se l’insieme di accettazione Aρsecondo ρ è σ(L∞(P), L1(P))-chiuso.

Misure convesse di rischio Marco Tarsia Teoria assiomatica delle misure convesse di rischio Esempi notevoli di misure convesse di rischio Misure convesse condizionali e dinamiche di rischio Qualche osservazione

Assumiamo che X = L∞(P). Allora ρ possiede la proprietà di Fatou se e solo se vale una delle seguenti condizioni:

1 Se (Xn)_n è equi-limitata e Xn↓ X := infnXnin senso

P-q.c., allora ρ(X ) ≤ sup_nρ(Xn). 2 Se Xn→ X ∈ L∞(P) in senso P-q.c., allora ρ(X ) ≤ lim infnρ(Xn). 3 Se Xn∈ Aρ e Xn→ X ∈ L∞(P) in senso P-q.c., allora X ∈ Aρ. Proposizione

Supponiamo che L1(P) sia uno spazioseparabile. Assumiamo che X = L∞(P) e sia ρ una misura convessa di rischio. Allora ρ possiede la proprietà di Fatou se e solo se l’insieme di accettazione Aρsecondo ρ è σ(L∞(P), L1(P))-chiuso.

Misure convesse di rischio Marco Tarsia Teoria assiomatica delle misure convesse di rischio Esempi notevoli di misure convesse di rischio Misure convesse condizionali e dinamiche di rischio Qualche osservazione

Assumiamo che X = L∞(P). Allora ρ possiede la proprietà di Fatou se e solo se vale una delle seguenti condizioni:

1 Se (Xn)_n è equi-limitata e Xn↓ X := infnXnin senso

P-q.c., allora ρ(X ) ≤ sup_nρ(Xn). 2 Se Xn→ X ∈ L∞(P) in senso P-q.c., allora ρ(X ) ≤ lim infnρ(Xn). 3 Se Xn∈ Aρ e Xn→ X ∈ L∞(P) in senso P-q.c., allora X ∈ Aρ. Proposizione

Supponiamo che L1(P) sia uno spazioseparabile. Assumiamo che X = L∞(P) e sia ρ una misura convessa di rischio. Allora ρ possiede la proprietà di Fatou se e solo se l’insieme di accettazione Aρsecondo ρ è σ(L∞(P), L1(P))-chiuso.

Misure convesse di rischio Marco Tarsia Teoria assiomatica delle misure convesse di rischio Esempi notevoli di misure convesse di rischio Misure convesse condizionali e dinamiche di rischio Qualche osservazione

Assumiamo che X = L∞(P). Allora ρ possiede la proprietà di Fatou se e solo se vale una delle seguenti condizioni:

1 Se (Xn)_n è equi-limitata e Xn↓ X := infnXnin senso

P-q.c., allora ρ(X ) ≤ sup_nρ(Xn). 2 Se Xn→ X ∈ L∞(P) in senso P-q.c., allora ρ(X ) ≤ lim infnρ(Xn). 3 Se Xn∈ Aρ e Xn→ X ∈ L∞(P) in senso P-q.c., allora X ∈ Aρ. Proposizione

Supponiamo che L1(P) sia uno spazioseparabile. Assumiamo che X = L∞(P) e sia ρ una misura convessa di rischio. Allora ρ possiede la proprietà di Fatou se e solo se l’insieme di accettazione Aρsecondo ρ è σ(L∞(P), L1(P))-chiuso.

Misure convesse di rischio Marco Tarsia Teoria assiomatica delle misure convesse di rischio Esempi notevoli di misure convesse di rischio Misure convesse condizionali e dinamiche di rischio Qualche osservazione

Per la dimostrazione della proposizione basta tener conto del seguente risultato di analisi funzionale.

Lemma (di Grothendieck)

Supponiamo che L1_{(P) sia uno spazio separabile. Per ogni}

R ∈ ]0, +∞[, sia B_R la palla chiusa di centro zero e di raggio R in L∞(P). Allora ogni dato sottoinsieme convesso C di L∞(P) è σ(L∞(P), L1(P))-chiuso se e solo se, per ogni R ∈ ]0, +∞[, C ∩ B_R è chiuso rispetto alla convergenza in probabilità P, ovvero alla convergenza P-quasi certa.

Misure convesse di rischio Marco Tarsia Teoria assiomatica delle misure convesse di rischio Esempi notevoli di misure convesse di rischio Misure convesse condizionali e dinamiche di rischio Qualche osservazione

Per la dimostrazione della proposizione basta tener conto del seguente risultato di analisi funzionale.

Lemma (di Grothendieck)

Supponiamo che L1_{(P) sia uno spazio separabile. Per ogni}

R ∈ ]0, +∞[, sia B_R la palla chiusa di centro zero e di raggio R in L∞(P). Allora ogni dato sottoinsieme convesso C di L∞(P) è σ(L∞(P), L1(P))-chiuso se e solo se, per ogni R ∈ ]0, +∞[, C ∩ B_R è chiuso rispetto alla convergenza in probabilità P, ovvero alla convergenza P-quasi certa.

Misure convesse di rischio Marco Tarsia Teoria assiomatica delle misure convesse di rischio Esempi notevoli di misure convesse di rischio Misure convesse condizionali e dinamiche di rischio Un esempio elementare Un esempio elementare

Fissiamo ¯X ∈ L∞(P) e consideriamo quindi il sottospazio uno-dimensionale X ≡ X_X¯ di L∞(P) dato da X =.  a ¯X + b a, b ∈ R . Allora la mappa ρ? _{≡ ρ}? ¯ X: X → R definita ponendo ρ?(a ¯X + b)= −a E. P[ ¯X ] − b, _{a, b ∈ R,}

è una misura coerente di rischio su X che possiede la proprietà di Fatou perché ρ?_{(a ¯X + b) = − E}P_{[a ¯}

Misure convesse di rischio Marco Tarsia Teoria assiomatica delle misure convesse di rischio Esempi notevoli di misure convesse di rischio Misure convesse condizionali e dinamiche di rischio

Due proprietà d’invarianza

Proposizione

1 Sia ρ una misura convessa di rischio su X . Allora, per ogni

c ∈ R, la mappa ρ + c resta una misura convessa di rischio su X con Aρ+c = Aρ+ c. Se ρ possiede la proprietà di

Fatou, allora anche ρ + c possiede la proprietà di Fatou.

2 Sia I 6= ∅ e sia (ρi)_{i ∈I} una famiglia di misure convesse di

rischio su X tale che, per ogni X ∈ X , sup_{i ∈I}ρi(X ) < +∞.

Allora la mappa sup_{i ∈I}ρi resta una misura convessa di

rischio su X conAsupi ∈Iρi = ∩i ∈IAρi. Se, per ogni i ∈ I,

ρi ≡ ρ?i è una misura coerente di rischio su X , allora

sup_{i ∈I}ρi ≡ supi ∈Iρ?i resta una misura coerente di rischio

su X . Se, per ogni i ∈ I, ρi possiede la proprietà di Fatou,

Misure convesse di rischio Marco Tarsia Teoria assiomatica delle misure convesse di rischio Esempi notevoli di misure convesse di rischio Misure convesse condizionali e dinamiche di rischio

Due proprietà d’invarianza

Proposizione

1 Sia ρ una misura convessa di rischio su X . Allora, per ogni

c ∈ R, la mappa ρ + c resta una misura convessa di rischio su X con Aρ+c = Aρ+ c. Se ρ possiede la proprietà di

Fatou, allora anche ρ + c possiede la proprietà di Fatou.

2 Sia I 6= ∅ e sia (ρi)_{i ∈I} una famiglia di misure convesse di

rischio su X tale che, per ogni X ∈ X , sup_{i ∈I}ρi(X ) < +∞.

Allora la mappa sup_{i ∈I}ρi resta una misura convessa di

rischio su X conAsupi ∈Iρi = ∩i ∈IAρi. Se, per ogni i ∈ I,

ρi ≡ ρ?i è una misura coerente di rischio su X , allora

sup_{i ∈I}ρi ≡ supi ∈Iρ?i resta una misura coerente di rischio

su X . Se, per ogni i ∈ I, ρi possiede la proprietà di Fatou,

Misure convesse di rischio Marco Tarsia Teoria assiomatica delle misure convesse di rischio Esempi notevoli di misure convesse di rischio Misure convesse condizionali e dinamiche di rischio La definizione

Adottiamo la seguente notazione insiemistica:

P ≡ PP def = { Q << P } ∼= n Z ∈ L1₊(P)   E P_{[Z ] = 1}o_.

Definizione (Funzione di penalità)

Chiamiamofunzione di penalità(o di penalizzazione) ogni mappa α : P → ]−∞, +∞] con infQ<<Pα(Q) ∈ R, o la quale cioè non

Misure convesse di rischio Marco Tarsia Teoria assiomatica delle misure convesse di rischio Esempi notevoli di misure convesse di rischio Misure convesse condizionali e dinamiche di rischio La definizione

Adottiamo la seguente notazione insiemistica:

P ≡ PP def = { Q << P } ∼= n Z ∈ L1₊(P)   E P_{[Z ] = 1}o_.

Definizione (Funzione di penalità)

Chiamiamofunzione di penalità(o di penalizzazione) ogni mappa α : P → ]−∞, +∞] con infQ<<Pα(Q) ∈ R, o la quale cioè non

Misure convesse di rischio Marco Tarsia Teoria assiomatica delle misure convesse di rischio Esempi notevoli di misure convesse di rischio Misure convesse condizionali e dinamiche di rischio Risultati preliminari Osservazione

Sia α : P → ]−∞, +∞] una funzione di penalità. Allora la mappa ρα: L∞(P) → R definita ponendo, per ogni X ∈ L∞(P),

ρα(X ) def = sup Q<<P α(Q)<+∞ n EQ[−X ] − α(Q)o

è una misura convessa di rischio la quale possiede la proprietà di Fatou e tale che

Aρα = \ Q<<P α(Q)<+∞ n X ∈ L∞(P)   E Q_{[−X ] − α(Q) ≤ 0}o_.

Misure convesse di rischio Marco Tarsia Teoria assiomatica delle misure convesse di rischio Esempi notevoli di misure convesse di rischio Misure convesse condizionali e dinamiche di rischio Risultati preliminari Proposizione

Sia ρ una misura convessa di rischio ed assumiamo che l’insieme di accettazione Aρsecondo ρ sia σ(L∞(P), L1(P))-chiuso. Allora

la mappa αρ: P → ]−∞, +∞] definita ponendo αρ(Q)def= sup

Y ∈Aρ

EQ[−Y ], Q∈ P,

è una funzione di penalità ed inoltre vale la seguente uguaglianza: Aρ= \ Q<<P αρ(Q)<+∞ n X ∈ L∞(P)   E Q_{[−X ] − α} ρ(Q) ≤ 0 o .

Misure convesse di rischio Marco Tarsia Teoria assiomatica delle misure convesse di rischio Esempi notevoli di misure convesse di rischio Misure convesse condizionali e dinamiche di rischio Risultati preliminari

Dimostrazione della proposizione.

1 Vale inf_Q<<Pα_ρ(Q) = −ρ(0).

2 Per ogni X ∈ L∞(P) \ A_ρ, esiste una probabilità Q ∈ P

tale che EQ[X ] < infY ∈AρE

Q_{[Y ] (in virtù del teorema di}

Hahn-Banachper L∞(P) in forma geometrica). Osservazione 1 Per ogni Q ∈ P, αρ(Q) = sup X ∈L∞_(P) n EQ[−X ] − ρ(X )o.

Misure convesse di rischio Marco Tarsia Teoria assiomatica delle misure convesse di rischio Esempi notevoli di misure convesse di rischio Misure convesse condizionali e dinamiche di rischio Risultati preliminari

Dimostrazione della proposizione.

1 Vale inf_Q<<Pα_ρ(Q) = −ρ(0).

2 Per ogni X ∈ L∞(P) \ A_ρ, esiste una probabilità Q ∈ P

tale che EQ[X ] < infY ∈AρE

Q_{[Y ] (in virtù del teorema di} Hahn-Banachper L∞(P) in forma geometrica).

Osservazione 1 Per ogni Q ∈ P, αρ(Q) = sup X ∈L∞_(P) n EQ[−X ] − ρ(X )o.

Misure convesse di rischio Marco Tarsia Teoria assiomatica delle misure convesse di rischio Esempi notevoli di misure convesse di rischio Misure convesse condizionali e dinamiche di rischio Risultati preliminari

Dimostrazione della proposizione.

1 Vale inf_Q<<Pα_ρ(Q) = −ρ(0).

2 Per ogni X ∈ L∞(P) \ A_ρ, esiste una probabilità Q ∈ P

tale che EQ[X ] < infY ∈AρE

Q_{[Y ] (in virtù del teorema di} Hahn-Banachper L∞(P) in forma geometrica).

Osservazione 1 Per ogni Q ∈ P, αρ(Q) = sup X ∈L∞_(P) n EQ[−X ] − ρ(X )o.

Misure convesse di rischio Marco Tarsia Teoria assiomatica delle misure convesse di rischio Esempi notevoli di misure convesse di rischio Misure convesse condizionali e dinamiche di rischio Risultati preliminari

Dimostrazione della proposizione.

1 Vale inf_Q<<Pα_ρ(Q) = −ρ(0).

2 Per ogni X ∈ L∞(P) \ A_ρ, esiste una probabilità Q ∈ P

tale che EQ[X ] < infY ∈AρE

Q_{[Y ] (in virtù del teorema di} Hahn-Banachper L∞(P) in forma geometrica).

Osservazione 1 Per ogni Q ∈ P, αρ(Q) = sup X ∈L∞_(P) n EQ[−X ] − ρ(X )o.

Misure convesse di rischio Marco Tarsia Teoria assiomatica delle misure convesse di rischio Esempi notevoli di misure convesse di rischio Misure convesse condizionali e dinamiche di rischio Risultati preliminari

Dimostrazione della proposizione.

1 Vale inf_Q<<Pα_ρ(Q) = −ρ(0).

2 Per ogni X ∈ L∞(P) \ A_ρ, esiste una probabilità Q ∈ P

tale che EQ[X ] < infY ∈AρE

Q_{[Y ] (in virtù del teorema di} Hahn-Banachper L∞(P) in forma geometrica).

Osservazione 1 Per ogni Q ∈ P, αρ(Q) = sup X ∈L∞_(P) n EQ[−X ] − ρ(X )o.

Misure convesse di rischio Marco Tarsia Teoria assiomatica delle misure convesse di rischio Esempi notevoli di misure convesse di rischio Misure convesse condizionali e dinamiche di rischio Il teorema

Teorema (di rappresentazione delle misure convesse di rischio)

Supponiamo che L1(P) sia uno spazio separabile e sia ρ una misura convessa di rischio. Allora sono equivalenti :

1 ρ possiede la proprietà di Fatou.

2 A_ρ è σ(L∞(P), L1(P))-chiuso.

3 Esiste una funzione di penalità α tale che valga la seguente

formula di rappresentazione per ρ: per ogni X ∈ L∞(P), ρ(X ) = sup

Q<<P α(Q)<+∞

n

EQ[−X ] − α(Q)o.

Misure convesse di rischio Marco Tarsia Teoria assiomatica delle misure convesse di rischio Esempi notevoli di misure convesse di rischio Misure convesse condizionali e dinamiche di rischio Il teorema

Teorema (di rappresentazione delle misure convesse di rischio)

Supponiamo che L1(P) sia uno spazio separabile e sia ρ una misura convessa di rischio. Allora sono equivalenti :

1 ρ possiede la proprietà di Fatou.

2 A_ρ è σ(L∞(P), L1(P))-chiuso.

3 Esiste una funzione di penalità α tale che valga la seguente

formula di rappresentazione per ρ: per ogni X ∈ L∞(P), ρ(X ) = sup

Q<<P α(Q)<+∞

n

EQ[−X ] − α(Q)o.

Misure convesse di rischio Marco Tarsia Teoria assiomatica delle misure convesse di rischio Esempi notevoli di misure convesse di rischio Misure convesse condizionali e dinamiche di rischio Il teorema

Teorema (di rappresentazione delle misure convesse di rischio)

Supponiamo che L1(P) sia uno spazio separabile e sia ρ una misura convessa di rischio. Allora sono equivalenti :

1 ρ possiede la proprietà di Fatou.

2 A_ρ è σ(L∞(P), L1(P))-chiuso.

3 Esiste una funzione di penalità α tale che valga la seguente

formula di rappresentazione per ρ: per ogni X ∈ L∞(P), ρ(X ) = sup

Q<<P α(Q)<+∞

n

EQ[−X ] − α(Q)o.

Misure convesse di rischio Marco Tarsia Teoria assiomatica delle misure convesse di rischio Esempi notevoli di misure convesse di rischio Misure convesse condizionali e dinamiche di rischio Il teorema

Corollario (rappresentazione delle misure coerenti di rischio)

Supponiamo che L1(P) sia uno spazio separabile e sia ρ? una misura coerente di rischio. Allora sono equivalenti :

1 ρ? possiede la proprietà di Fatou. 2 A_ρ? è σ(L∞(P), L1(P))-chiuso.

3 Esiste Q ≡ Qρ? ⊆ P, Q 6= ∅, tale che valga la seguente formula di rappresentazione per ρ?: per ogni X ∈ L∞(P),

ρ?(X ) = sup

Q<<P Q∈Q

Misure convesse di rischio Marco Tarsia Teoria assiomatica delle misure convesse di rischio Esempi notevoli di misure convesse di rischio Misure convesse condizionali e dinamiche di rischio Il teorema

Corollario (rappresentazione delle misure coerenti di rischio)

Supponiamo che L1(P) sia uno spazio separabile e sia ρ? una misura coerente di rischio. Allora sono equivalenti :

1 ρ? possiede la proprietà di Fatou. 2 A_ρ? è σ(L∞(P), L1(P))-chiuso.

3 Esiste Q ≡ Qρ? ⊆ P, Q 6= ∅, tale che valga la seguente formula di rappresentazione per ρ?: per ogni X ∈ L∞(P),

ρ?(X ) = sup

Q<<P Q∈Q

Misure convesse di rischio Marco Tarsia Teoria assiomatica delle misure convesse di rischio Esempi notevoli di misure convesse di rischio Misure convesse condizionali e dinamiche di rischio Il teorema

Corollario (rappresentazione delle misure coerenti di rischio)

Supponiamo che L1(P) sia uno spazio separabile e sia ρ? una misura coerente di rischio. Allora sono equivalenti :

1 ρ? possiede la proprietà di Fatou. 2 A_ρ? è σ(L∞(P), L1(P))-chiuso.

3 Esiste Q ≡ Qρ? ⊆ P, Q 6= ∅, tale che valga la seguente

formula di rappresentazione per ρ?: per ogni X ∈ L∞(P), ρ?(X ) = sup

Q<<P Q∈Q

Misure convesse di rischio Marco Tarsia Teoria assiomatica delle misure convesse di rischio Esempi notevoli di misure convesse di rischio Misure convesse condizionali e dinamiche di rischio Considerazioni finali Osservazione

Supponiamo che L1_{(P) sia uno spazio separabile. Sia I 6= ∅ e sia}

(ρi)i ∈I una famiglia di misure convesse di rischio che possiedono

la proprietà di Fatou e tale che, per ogni X ∈ L∞(P),

sup_{i ∈I}ρi(X ) < +∞ ed inoltre, per ogni i ∈ I, sia quindi αi una

funzione di penalità tale per cui valga la precedente formula di rappresentazione per ρi. Allora la mappa supi ∈Iρi è una misura

convessa di rischio che possiede la proprietà di Fatou e tale che

infi ∈Iαi sia una funzione di penalità tale per cui valga la precedente formula di rappresentazione per sup_{i ∈I}ρi stessa.

Misure convesse di rischio Marco Tarsia Teoria assiomatica delle misure convesse di rischio Esempi notevoli di misure convesse di rischio Misure convesse condizionali e dinamiche di rischio Considerazioni finali Osservazione

Supponiamo che L1_{(P) sia uno spazio separabile e sia A un}

sottoinsieme non vuoto di L∞(P) tale per cui la mappa ρA(X )= inf { m ∈ R | X + m ∈ A } ,. X ∈ L∞(P),

risulti nel modo già visto una misura convessa di rischio il cui insieme di accettazione A_ρA contiene l’insieme A. Allora, assumendo che valga una formula di rappresentazione per ρA

come la precedente, la minima funzione di penalità αρA verifica

la seguente identità: per ogni Q ∈ P, αρA(Q) ≡ sup

Y ∈A_ρA

EQ[−Y ] = sup X ∈A

Misure convesse di rischio Marco Tarsia Teoria assiomatica delle misure convesse di rischio Esempi notevoli di misure convesse di rischio Misure convesse condizionali e dinamiche di rischio

Value at Risk e Tail Conditional Expectation

Definizione (Value at Risk)

Sia α ∈ ]0, 1[. Chiamiamoil Value at Risk di livello α la mappa VaR_α: L0(P) → R definita ponendo, per ogni X ∈ L0(P),

VaRα(X ) def

= −qα(X )

dove qα(X ) ≡ inf { x ∈ R | P[X ≤ x ] > α } è l’α-quantile di X . Proposizione

Sia α ∈ ]0, 1[. Allora, per ogni X ∈ L∞(P), AVaRα(X )=. 1 α Z α 0 VaRt(X ) dt = 1 α Z {X ≤qα(X )} −X (ω)
d P(ω).

Misure convesse di rischio Marco Tarsia Teoria assiomatica delle misure convesse di rischio Esempi notevoli di misure convesse di rischio Misure convesse condizionali e dinamiche di rischio

Value at Risk e Tail Conditional Expectation

Definizione (Value at Risk)

Sia α ∈ ]0, 1[. Chiamiamoil Value at Risk di livello α la mappa VaR_α: L0(P) → R definita ponendo, per ogni X ∈ L0(P),

VaRα(X ) def

= −qα(X )

dove qα(X ) ≡ inf { x ∈ R | P[X ≤ x ] > α } è l’α-quantile di X .

Proposizione

Sia α ∈ ]0, 1[. Allora, per ogni X ∈ L∞(P), AVaRα(X )=. 1 α Z α 0 VaRt(X ) dt = 1 α Z {X ≤qα(X )} −X (ω)
d P(ω).

Misure convesse di rischio Marco Tarsia Teoria assiomatica delle misure convesse di rischio Esempi notevoli di misure convesse di rischio Misure convesse condizionali e dinamiche di rischio

Value at Risk e Tail Conditional Expectation

Notiamo che, per ogni α ∈ ]0, 1[, vale α ≤ P[X ≤ qα(X )]. Definizione (Tail Conditional Expectation)

Sia α ∈ ]0, 1[. Chiamiamola Tail Conditional Expectation (o Tail Value at Risk, o Expected Shortfall)di livello αla mappa TCEα: L∞(P) → R definita ponendo, per ogni X ∈ L∞(P),

TCEα(X ) def = 1 P[X ≤ qα(X )] Z {X ≤qα(X )} −X (ω)
d P(ω).

Misure convesse di rischio Marco Tarsia Teoria assiomatica delle misure convesse di rischio Esempi notevoli di misure convesse di rischio Misure convesse condizionali e dinamiche di rischio

Value at Risk e Tail Conditional Expectation

Notiamo che, per ogni α ∈ ]0, 1[, vale α ≤ P[X ≤ qα(X )].

Definizione (Tail Conditional Expectation)

Sia α ∈ ]0, 1[. Chiamiamola Tail Conditional Expectation (o Tail Value at Risk, o Expected Shortfall)di livello αla mappa TCEα: L∞(P) → R definita ponendo, per ogni X ∈ L∞(P),

TCEα(X ) def = 1 P[X ≤ qα(X )] Z {X ≤qα(X )} −X (ω)
d P(ω).

Misure convesse di rischio Marco Tarsia Teoria assiomatica delle misure convesse di rischio Esempi notevoli di misure convesse di rischio Misure convesse condizionali e dinamiche di rischio

Value at Risk e Tail Conditional Expectation

Osservazione

Sia α ∈ ]0, 1[ e consideriamo il sottoinsieme di P dato da Qα=.  Q << P     d Q d P ≤ 1 α P-q.c.
 . Allora la mappa ρ?_α(X )= sup. Q<<P Q∈Qα EQ[−X ], X ∈ L∞(P),

è una misura coerente di rischio la quale possiede la proprietà di Fatou e tale che, per ogni X ∈ L∞(P),

Misure convesse di rischio Marco Tarsia Teoria assiomatica delle misure convesse di rischio Esempi notevoli di misure convesse di rischio Misure convesse condizionali e dinamiche di rischio

Value at Risk e Tail Conditional Expectation

Proposizione

Sia α ∈ ]0, 1[. Allora, per ogni X ∈ L∞(P) con P[X ≤ qα(X )] = α,

AVaRα(X ) = TCEα(X ) = ρ?α(X ). Un esempio Fissiamo α ∈ [0.01, 0.05], (µ, σ) ∈ R×]0, +∞[ e X ∼ N (µ, σ2_). Poniamo f (z) := √1 2πe − z₂2 _{e Φ(z) :=}Rz −∞f (t) dt, z ∈ R, e sia quindi ϕα:= Φ−1(α). Allora “ TCE_α(X ) ” = σ · f (ϕα) α − µ.

Misure convesse di rischio Marco Tarsia Teoria assiomatica delle misure convesse di rischio Esempi notevoli di misure convesse di rischio Misure convesse condizionali e dinamiche di rischio

Value at Risk e Tail Conditional Expectation

Proposizione

Sia α ∈ ]0, 1[. Allora, per ogni X ∈ L∞(P) con P[X ≤ qα(X )] = α,

AVaRα(X ) = TCEα(X ) = ρ?α(X ). Un esempio Fissiamo α ∈ [0.01, 0.05], (µ, σ) ∈ R×]0, +∞[ e X ∼ N (µ, σ2_). Poniamo f (z) := √1 2πe − z₂2 _{e Φ(z) :=}Rz −∞f (t) dt, z ∈ R, e sia quindi ϕα:= Φ−1(α). Allora “ TCE_α(X ) ” = σ · f (ϕα) α − µ.