Anàlisi causal: estudi de les relacions causa-efecte i aplicació a l’anàlisi de dades

(1)

DOBLE GRAU DE MATEM `

ATIQUES I

ENGINYERIA INFORM `

ATICA

Treball final de grau

AN `

ALISI CAUSAL

ESTUDI DE LES RELACIONS CAUSA-EFECTE

I APLICACI ´

O A L’AN `

ALISI DE DADES

Autor: Aleix R`

amia Rodr´ıguez

Director:

Dr. Jordi Vitri`

a Marca

Realitzat a: (Departament de Matem`

atiques i Inform`

atica)

(2)

Abstract

Causal inference is a branch of mathematical analysis that has been poorly studied until recently. The difficulties involved its research and the high number of personal decisions the researcher has to make in these types of studies have often moved it away from the statistical side, although much of the mathematical basis is shared. In this work, we review the formal definition of causality, analyze the problems involved in the lack of complete information from the two worlds we observe (with treatment and without), explain the theory that allows us to eliminate some of these problems and seek practical methodologies for causal study both of observational and non-observatory experiments. Finally, we have a practice with the analysis of the impact of adverse weather conditions (moderate and intense rainfall) on the use of bicycles in the city of Barcelona. We conclude that moderate rain reduces the use of the bicycle by 40% on average, although it varies depending on the month, with months when the impact is almost zero and others reaching 70%.

Resum

La inferència causal és una branca d’anàlisi matemàtica que fins recentment s’ha man-tingut poc estudiada. Les dificultats que en comporta la recerca i l’elevat nombre de de-cisions pròpies que ha de prendre l’investigador en aquests tipus d’estudis l’han allunyat molts cops del vessant estad´ıstic, tot i compartir-hi gran part del fonament matemàtic. En aquest treball repassem la definició formal de causalitat, analitzem els problemes que comporta la manca d’informació completa dels dos mons que observem (amb tractament i sense), expliquem la teoria que ens permet eliminar alguns d’aquests problemes i busquem metodologies pràctiques per a l’estudi causal tant d’experiments observacionals com no observacionals. Finalment realitzem una pràctica amb l’anàlisi de l’afectació de les con-dicions meteorològiques adverses (pluja moderada i intensa) en l’ús de la bicicleta a la ciutat de Barcelona. Arribem a la conclusió que una pluja moderada redueix l’ús de la bicicleta un 40% de mitjana, tot i que varia en funció del mes, havent-hi mesos en què l’afectació és gairebé nul·la i altres en què arriba al 70%.

(3)

Agra¨ıments

La llista de gent que ha influ¨ıt a fer que hagi pogut desenvolupar aquest treball ocuparia probablement més que el treball en si. Sigui però aquesta petita nota un reconeixement més enllà fins i tot de l’abast d’aquest document.

Al meu tutor, Jordi Vitrià, per saber trobar d’entre la meva manca d’idees un te-ma fascinant i que se m’escau tant. Gràcies per l’orientació i per la guia concisa però incre¨ıblement necessària i efectiva.

A la Marina, pel suport, els riures i sempre la nota d’alegria durant la carrera. Al Xavi, per ser el fil que uneix (no casualment) els millors anys viscuts i posar sempre la racionalitat en els moments baixos i el punt de bogeria quan és necessària. Al Mart´ı, per la paciència inacabable, per creure en molts moments més en mi que jo mateix i per ser l’ajuda impagable sense la qual només hi hagués hagut caos. No existeixen millors companys de viatge.

Als meus pares, per ser la base de tot allò de què avui puc estar orgullós. Per transme-tre’m els valors bàsics per ser millor persona, la llibertat per encertar i per equivocar-me per mi sol, i per donar-me un amor del qual mai en podré estar prou agra¨ıt. Us estimo.

I de nou, quan considero la influència d’aquesta conjunció constant, percebo que mai podria ser objecte de raonament una relació tal, i que en cap cas podria operar sobre la ment sinó per mitjà del costum, que determina a la imaginació a fer una transició de la idea d’un objecte a la del seu acompanyant habitual. - David Hume, Tractat sobre la naturalesa humana

(4)

´

_Index

1 Introducci´o 1

1.1 Objectius . . . 2

2 El concepte de causalitat. Nocions bàsiques per a la inferència causal. 3 2.1 Notació gràfica . . . 4

2.1.1 Tipus de camins . . . 5

2.2 Xarxes bayesianes . . . 6

2.3 Equacions Estructurals . . . 8

2.4 El Model Causal Estructural . . . 9

3 Intervencions en Models Causals 11 3.1 Efecte Causal . . . 11

3.2 El problema fonamental de la infer`encia causal . . . 11

3.2.1 Efecte Causal Mitj`a . . . 12

3.3 Assumpcions causals . . . 13

3.3.1 Assumpci´o d’additivitat pel tractament individual . . . 13

3.3.2 Assumpci´o de consist`encia . . . 13

3.3.3 Assumpci´o d’ignorabilitat . . . 13

3.3.4 Assumpci´o de positivitat . . . 14

3.4 Identificabilitat . . . 14

3.4.1 L’efecte de les assumpcions causals . . . 15

3.5 La paradoxa de Simpson . . . 16

3.6 Control de variables de confusi´o . . . 18

3.6.1 Formes de condicionament . . . 18

3.6.2 Associacions a partir de camins . . . 19

3.6.3 Criteri de pas posterior . . . 21

3.7 Criteri de pas endavant . . . 23

4 Mètodes d’anàlisi causal 24 4.1 Les proves aleatòries controlades (RCT) . . . 24

4.1.1 Els experiments naturals . . . 25

4.2 Marc d’estudi: models causals i resultats potencials . . . 25

4.2.1 Efecte individual del tractament . . . 26

4.2.2 Efecte mitj`a del tractament . . . 27

4.2.3 El problema de l’efecte mitj`a . . . 29

(5)

4.2.5 Comparativa amb l’an`alisi estructural . . . 31

4.3 Aparellament (matching) . . . 31

4.4 Etapes de l’aparellament . . . 32

4.4.1 Definici´o de proximitat . . . 33

4.4.2 Implementaci´o del m`etode d’aparellament . . . 35

4.4.3 Validaci´o de la qualitat de l’aparellament . . . 37

5 Cas pr`actic 39 5.1 Objecte d’estudi i motivaci´o . . . 39

5.2 Model causal . . . 39

5.3 Fonts de dades i extracci´o . . . 40

5.4 An`alisi de dades, assumpcions i identificaci´o . . . 41

5.5 An`alisi causal . . . 45

5.5.1 Estudi amb l’eina DoWhy . . . 47

6 Conclusions 51 7 Annex 1: variables a les taules de dades 54

´

_{Index de figures}

1 Exemple de gr`afic causal . . . 5

2 Exemple de forca inversa i condicionament . . . 6

3 Exemple de xarxa bayesana amb cinc variables . . . 8

4 Graf d’un exemple basat en equacions estructurals . . . 9

5 Dos models causals per les mateixes dades . . . 18

6 Exemple de col·lisionador . . . 21

7 Exemples d’identificabilitat pel criteri de pas posterior . . . 22

8 Esquema de les principals t`ecniques d’aparellament . . . 32

9 Gràfic de la diferència de mitjanes estandarditzades de 10 covariants abans i després de l’aparellament. (Stuart, Green, 2008) . . . 38

10 Model causal del nostre estudi . . . 39

11 Camins posteriors al graf d’estudi . . . 41

12 Resum estad´ıstic de les nostres dades . . . 41

13 Distribuci´o de les dades entre bicis agafades i precipitaci´o . . . 42

14 Bicicletes agafades per hora de mitjana . . . 42

15 Diagrama de caixa de la retirada de bicicletes . . . 42

(6)

17 Intensitat de precipitació horària en funció del mes . . . 43

18 Gràfic de dispersió entre la precipitació i la nuvolositat del cel . . . 44

19 Mitjana de bicicletes en funci´o de la nuvolositat . . . 44

20 Histograma d’intensitat de pluja amb escala logar´ıtmica . . . 44

21 Histograma del n´umero de parelles per cada estaci´o . . . 45

22 N´umero de parelles per cada mes . . . 46

23 ATE absolut i percentual per mes . . . 46

24 ATE controlat per mesos de l’any . . . 47

´

_{Index de taules}

1 Fila d’observaci´o en ITE . . . 26

(7)

1 Introducci´

o

Des de sempre l’ésser humà ha intentat explicar el seu entorn, sent aquesta cerca un dels principals causants de l’evolució en el coneixement cient´ıfic que ha experimentat l’home. I d’entre les preguntes que ens formulem, una és clau en el nostre dia a dia: ’per què?’. Quina és la causa d’un fet emp´ıric que veiem? En el fons, els humans tenim desenvolupada de forma innata la noció de l’estudi de les relacions causals. Entenem l’efecte que poden tenir part de les nostres accions o manipulacions sobre l’entorn i quin en serà el resultat. I fins i tot, més enllà d’això, podem arribar a formular hipòtesis sobre escenaris que no han passat, en cas que la nostra actuació hagués estat diferent. Sabem de forma ’innata’, en general, que una de les causes de treure bona nota és haver estudiat més hores. I si treus un mal resultat, saps que ’si hagués estudiat més, hauria aprovat’.

Els humans establim relacions causals de forma natural, i aix`o influeix en el nostre judici constantment; sobretot perqu`e pocs cops hi hem reflexionat en profunditat.

2

Per exemple, not´ıcies d’aquest estil apareixen freqüentment als diaris. En aquest moment el nostre cervell assumeix una relació causal ’consumir carn vermella em fa augmentar el risc de mort prematura. Per tant, he de deixar de menjar carn vermella’. Ara bé, un estudi amb la conclusió d’aquest estil no ens vol dir això. Com a m´ınim, no necessàriament. Significa que en individus amb elevat consum de carn vermella s’ha vist també relacionat un major ´ındex de mort prematura. Ara bé, és probable que hi hagi un factor extern, per exemple que tingui a veure amb les condicions f´ısiques d’una persona, que li facin augmentar les necessitats de carn vermella i alhora suposi un major risc de mort? Probablement aquesta solució és més plausible que no considerar que si deixem de menjar carn vermella viurem més anys. En el fons, però, simplement és un dels petits ’errors’ als que anem quan el concepte de causalitat no el tenim parametritzat a la societat.

I és que el sentit intu¨ıtiu que tenim és complicat de traslladar a un pla acadèmic o d’experimentació. I és part d’aquesta falta de metodologia i sobretot de vocabulari causal en l’àmbit acadèmic el que en provoca una manca en l’àmbit social o quotidià. De fet, la mateixa definició de causalitat ha estat sempre controvertida aix´ı com la seva aplicació pràctica. Una de definicions més conegudes en estudi formal que podem trobar la formula David Hume l’any 1739: [1]

Un objecte precedent i contigu a un altre, i on tots els objectes que s’assemblen als primers es col·loquen en relacions similars de preced`encia i contig¨uitat als objectes que s’assemblen als segons.

En general, però, Hume es frustra en la incapacitat de poder definir amb formalitat aquesta connexió. Dintre les possibles relacions entre les idees i objectes, la relació causa-efecte és una de les més importants però alhora una de les més vagues. Només es basa en l’experiència personal, en l’observació de fets i en la juxtaposició continuada d’aquesta

2

(8)

relaci´o. Veure-la constantment i de forma repetitiva acaba formant de mica en mica en la nostra ment la relaci´o de causalitat.

En general aquesta aproximació de caràcter filosòfic, però, ja ens aporta llum sobre el perquè de les dificultats d’estudi del fenomen de la causalitat. Aquesta frustració i incapacitat és tal que, fins i tot, des de la branca de l’estad´ıstica es veu la causalitat com un tema tabú que s’intenta evitar donades les dificultats que en comporta afegir-hi un procés d’anàlisi rigorós.

El projecte

L’ús habitual que fem en el nostre dia a dia de l’estudi de la causalitat de forma innata juntament amb la poca literatura acadèmica que s’estudia del fenomen és una de les principals motivacions d’aquest estudi. Això s’afegeix a la contextualització en un moment tecnològic en què l’explosió de l’era de les dades fa més necessari que mai aplicar a l’estudi una metodologia humana que podem traslladar a un sistema tecnològic. Fins ara, però, els algoritmes i mètodes d’anàlisi estàndards usats es basen en la cerca i utilització de correlacions i prediccions basades en aquesta. Aquesta aproximació, però, és només un primer pas per poder dotar a les màquines d’una capacitat de ’raonament’ humà. Ens calen, per tant, eines que permetin estudiar les relacions de causalitat i aportar intel·ligència a les dades. En aquest treball busquem explorar sobre aquestes tècniques, la base teòrica que els fonamenta i veure el perquè de les limitacions actuals.

1.1 Objectius

• Definir formalment causalitat, relaci´o causal i model de causalitat. Relacionar un model causal amb un model o font d’informaci´o probabil´ıstica.

• Definir les assumpcions necess`aries per identificar els efectes causals en un conjunt de dades.

• Establir unes regles sobre quines variables del nostre model cal controlar en un estudi i com fer-ho.

• Poder donar eines per estudiar anal´ıticament una relaci´o causal

• Finalment, formular un estudi propi en qu`e es demostri una relaci´o causal.

Estructura de la Mem`oria

La memòria està estructura de la següent forma:

• Aproximaci´o inicial a la causalitat i conceptes b`asics sobre grafs, xarxes bayesianes i equacions estructurals.

• Tot seguit, ja passem a definir formalment un model causal, què vol dir intervenció i el problema fonamental de la inferència causal. Introdu¨ım a més les assumpcions causals bàsiques.

• Introdu¨ım el concepte de variables de confusi´o i control sobre aquestes, amb els criteris de pas endavant i enrere.

(9)

• Obrim un repàs sobre formes metodològiques d’aplicar un estudi anal´ıtic causal. • Finalment, apliquem algunes d’aquestes tècniques a un cas pràctic relacionat amb

l’´us de la bicicleta a Barcelona.

2 El concepte de causalitat. Nocions b`

asiques per a la

in-fer`

encia causal.

Comencem l’anàlisi amb una necessària concepció sobre què és la causalitat per poder-ne discernir aquelles assumpcions que a voltes considerem impl´ıcites de forma errònia.

Un dels principals problemes que tenim a la literatura i acadèmia estad´ıstica actual és una falta de llenguatge, tant oral com matemàtic, per expressar relacions causals. Per exemple, podr´ıem arribar a fer un estudi a partir del grau d’activitat de la població juntament amb la proximitat a espai verd públic. I és altament probable que ens sort´ıs una correlació positiva i obtinguéssim una regressió explicant les dades del tipus

Y = β0+ β1X +

amb Y l’exercici de la població i X l’espai públic de la ciutat. Ara bé, aquest estudi en mans d’un tècnic (o pol´ıtic) pot dur-nos a pol´ıtiques públiques errònies malgrat tenir les dades i l’anàlisi fets. La igualtat en l’expressió i el concepte estad´ıstic en cap cas ens està dient informació sobre la relació causal entre variables.

Seguim amb la pregunta, per tant: la població més activa té més tendència a mudar-se a espais més verds de forma prèvia i això crea la correlació o ha estat l’afectació pública de més espai verd el que ha activat a la gent? Determinar aquest sentit de la causalitat entre X i Y és clau per a poder actuar correctament. Saber si una pol´ıtica de salut pública positiva per un barri és dotar-lo de més espais verds o si per contra fent això el que fem és gentrificar l’espai, fent-lo més atractiu per un conjunt de ciutadans ja actius prèviament que estan disposats a pagar més per viure allà.

Per això necessitem anar més enllà dels models clàssics i cercar tant una definició clara de causalitat com un model que ens permeti realitzar-ne un estudi de forma sistemàtica. Entenem la causalitat, segons el Diccionari de la Llengua Catalana [2] com una relació de causa-efecte. Per tant, anant a l’arrel, causa:

Allò per què una cosa és o s’esdevé, antecedent necessari d’un efecte.

En canvi, si mirem de fer una comparativa amb la confusió habitual correlació no és causalitat, la correlació la definim com:

(1) Relació rec´ıproca o mútua entre dues o més coses. (2) En mat., grau d’in-terdependència entre diverses variables o entre diferents conjunts de nombres. Si comparem ambdues definicions veiem que els processos de correlació, estudiats ex-tensament des de la branca estad´ıstica, i els de causalitat, ens posen en relació la de-pendència de dos fenòmens. Un tret caracter´ıstic, però, i que fonamenta tota la teoria de causalitat és el fenomen temporal necessari. Aix´ı com en una correlació simplement ob-servem dos fenòmens transcórrer de forma simultània i mirem d’establir una quantificació

(10)

de la seva relació, la causalitat ens aporta un punt afegit. La condició necessària a què un dels fenòmens sigui antecedent de l’altre, fent que en sigui predecessor. En definitiva, si succeeix sovint, podr´ıem arribar a dir-ne el causant.

Evidentment aquesta relació temporal tampoc ens marca una relació causal, però s´ı que ens dóna una primera condició necessària perquè dos fenòmens tinguin una relació causal. Des del moment en què la teoria de la probabilitat es va comen¸car a formular, durant els segles XVI i XVII per exemple amb la famosa taula d’edats de Halley (Ciecka, 2008)[3] en què a partir de l’observació del registre defuncions podia fer una predicció del nombre de supervivents en cada cohort d’edat de la gent nascuda un mateix any, es va voler comen¸car a establir una explicació als fenòmens causals a partir de la probabilitat. S’intenta fer un inici d’explicació de causalitat a partir de X augmenta la probabilitat de Y, és a dir, si P (Y | X) > P (Y ). El problema és que aquesta definició ens serveix ´

unicament per explicar que l’observació de X augmenta la probabilitat de Y . Però no ens hi determina una relació causal. Ens trobem amb una explicació que només ens justifica un primer pas de l’anàlisi causal.

Per tal d’estudiar correctament les relacions causals necessitem establir un model cau-sal. Un model causal és un objecte matemàtic que proveeix d’una interpretació i com-putació efectiva totes les preguntes causals que sorgeixin en el domini estudiat. (Galles i Pearl, 1998).[4] A tall de resum, per tant:

1. Inferència d’associació. Respon a les preguntes descriptives clàssiques.

(a) Resumeix la distribució conjunta amb un model estad´ıstic (és el que fem en un model de regressió)

(b) No ens dóna informació sobre les relacions causals, és a dir, els coeficients resultants informen de relació en ambdues direccions.

2. Inferència causal. Amplia el rang de respostes també a preguntes causals. (a) Resumeix la distribució conjunta en un model estad´ıstic.

(b) Afegeix assumpcions causals al model.

(c) Aporta una interpretació causal (i per tant, direccional) dels coeficients. Per tal d’obtenir un model complet, però, necessitem tenir clares algunes nocions prèvies i estructures necessàries.

2.1 Notaci´o gr`afica

Com veurem més endavant els grafs seran l’objecte que ens permetrà representar visual-ment els models causals aix´ı com proporcionar un marc amb què treballar.

Definici´o 2.1. (Trudeau, 1993)[5]

Un graf és un objecte format per dos conjunts, un anomenat conjunt de vèrtexs (també anomenats nodes) i un altre conjunt d’arestes. El conjunt de vèrtexs és finit i no-buit. El conjunt d’arestes pot ser buit; en cas contrari, els seus elements són subconjunts de parelles de vèrtex.

Definició 2.2. Si {X, Y } és una aresta d’un graf, diem que {X, Y } connecta els vèrtexs X i Y . Si l’aresta té associada un ordre, és a dir X és el vèrtex inicial i Y el final, s’anomena aresta dirigida.

(11)

´

Es important entendre, tamb´e, la forma com connectem els diferents nodes (v`ertex) d’un graf:

Definici´o 2.3. (Gross i Yellen, 2003)[6]

Un cam´ı en un graf G és una seqüència alternada de vèrtexs i arestes W = v0, e1, v1, e1, . . . , en, vn

de manera que per j = 1, . . . , n els v`ertexs vj−1 i vj s´on els extrems de l’aresta ej. Si

l’aresta ej est`a dirigida de vj−1 a vj, diem que W ´es un cam´ı dirigit.

Definició 2.4. Un cam´ı s’anomena tancat si el vèrtex inicial és també el vèrtex final. En cas contrari, diem que és obert. La llargada del cam´ı la definim a partir del nombre d’arestes (comptant les repeticions).

Definició 2.5. Una ruta és un cam´ı en què cap aresta apareix més d’un cop i cap vèrtex intern es repeteix.

Ser`a important tenir en compte que de cara a considerar una ruta no tenim en compte la direcci´o de les seves arestes.

Definici´o 2.6. Un cicle ´es una ruta tancada de llargada major o igual a 1.

Definició 2.7. Un Graf Ac´ıclic Dirigit (DAG per les sigles en anglès) és un graf dirigit sense cicles. És a dir, per cada vèrtex v no tenim un cam´ı que comenci i acabi en aquest vèrtex.

Definició 2.8. Un DAG en què cada node té com a màxim un pare s’anomena arbre. A continuació comencem a introduir la intu¨ıció de l’ús dels DAG amb l’anàlisi causal. Representem cadascuna de les nostres variables amb un dels nodes i el vèrtex és l’efecte causal d’aquest node sobre aquell que té a continuació.

2.1.1 Tipus de camins

Fixem-nos que tot DAG es pot construir a partir de la composició de només tres tipus de camins dirigits. (Barrett, 2020)[7] Entendre’ls i identificar-los correctament ens per-metrà després veure què passa amb la informació causal en passar per cadascun d’aquests. Prenem de referència l’exemple de la figura 1:

Educaci´o poc saludable

Fumador

Sobrep`es

Colesterol alt Atac card´ıac

Figura 1: Exemple de gr`afic causal

• Cadenes. Nodes consecutius en una mateixa l´ınia de transmissi´o de l’efecte causal. En la figura 1 tenim una cadena a ’Fumador 7→ Colesterol alt 7→ Atac card´ıac’. ´

(12)

colesterol alt i l’atac card´ıac. Per tant, en un cam´ı de cadena, la informació es passa successivament d’un node al següent i per tant podr´ıem arribar a determinar una relació causal entre Fumador i Atac card´ıac.

• Forques Node que fa de pare de dos nodes fills. En el cas de l’exemple, tenim que les variables ’Sobrepès’ i ’Fumador’, que en aquest cas són causa ambdues del colesterol alt, alhora podem atribuir les dues variables com a resultat d’una educació (en estil de vida) poc saludable. Per exemple, una mala educació en hàbits alimentaris dels pares aix´ı com una normalització del tabaquisme portarien a ambdós factors de risc tenint una causa comuna. És a dir, que en el nostre gràfic, l’efecte causal de l’educació poc saludable es diversifica i afecta ambdues variables.

• Forques invertides Una forca invertida és el procés invers de l’anterior: tenim dos nodes que alhora són causants d’un tercer. Tractarem aquest cas endavant amb més detall, ja que molts cops és precisament aquest cas mal estudiat una font important d’error en l’anàlisi de relacions entre variables. En l’exemple de la figura 1 tenim una forca invertida a ’ Sobrepès 7→ Colesterol alt ←_{[ Fumador’.}

Posant un altre exemple més il·lustratiu, a la figura 2 veiem a la part esquerra un gràfic evident: la grip causa febre en el pacient. La varicel·la també causa febre. Però entre les dues malalties no hi tenim cap relació, com és evident en la literatura mèdica, ja que són dues malalties totalment diferents. Podem conèixer aquesta probabilitat de forma independent. En canvi, si controléssim només per aquell subgrup que té febre, estar´ıem creant una relació espúria entre grip i varicel·la, ja que a partir d’aquell moment les probabilitats ja no serien independents, sinó que estarien condicionades l’una de l’altra: saber que estant en el subgrup amb febre no tinc grip em fa augmentar la probabilitat de la varicel·la. Això com després veurem té efectes negatius en la nostra anàlisi i per tant és una pràctica que, generalment, evitarem fer.

Grip Varicel·la

Febre

Grip Varicel·la

Febre

Figura 2: Exemple de forca inversa i condicionament

Aquest punt el tractem amb m´es detall a l’apartat 3.6.2: Associacions entre camins.

2.2 Xarxes bayesianes

A partir dels DAG quan hi posem en relació les funcions de densitat de probabilitat podem comen¸car a representar gràficament i anal´ıtica les variables aleatòries d’estudi i la seva relació. Les Xarxes Bayesianes constituiran models gràfics de probabilitats que represen-ten les dependències entre variables aleatòries. Computacionalment aquestes estructures es representen en forma de graf que es recorre actualitzant les probabilitats condicionades dels esdeveniments. (Kline, 2015)[8]

(13)

Sigui en tot moment G = (V, E) un Graf Ac´ıclic Dirigit amb V el conjunt de v`ertex, E el conjunt d’arestes i sigui X = (Xv)V un conjunt de variables aleat`ories. Sigui P una

distribuci´o definida en n variables X1, ..., Xn.

La regla del producte del c`alcul probabil´ıstic ens permet fer la descomposici´o d’aquesta probabilitat P a partir del condicionament:

P (x1, . . . , xn) =

Y

j

P (xj | x1, . . . , xj−1)

Ara bé, si alguna de les variables no està condicionada per totes les altres sinó per només un subconjunt, podem establir una condició més forta:

Definici´o 2.9. (Medin et al, 1996)[9]

Sigui V = {X1, . . . , Xn} un conjunt ordenat de variables, i sigui Pv la distribuci´o

conjunta d’aquestes variables. Un conjunt de variables P Aj s’anomenen pares

Marko-vians de Xj si P Aj ´es un conjunt minimal de predecessors de Xj que fa Xj independent

de tots els seus altres predecessors. En altres paraules, P Aj ´es qualsevol subconjunt de

X1, . . . , Xj−1 que satisf`a

P (xj|paj) = P (xj|x1, . . . , xj−1) (2.1)

de manera que cap altre subconjunt de P Aj satisf`a l’equaci´o (2.1)

Aquesta assignaci´o de variables es pot representar mitjan¸cant un graf dirigit ac´ıclic. Anomenem aquest conjunt P Aj pares connotants.

Definici´o 2.10. (Compatibilitat de Markov)

X és una xarxa bayesiana compatible amb G si la seva funció de densitat de probabilitat conjunta es pot escriure com el producte de les funcions de densitat individuals a partir de la condició als seus pares, és a dir, si

p(x) = Y

v∈V

p(xv | xpa(v))

on pav representa el conjunt de pares markovians de xv

Posem-ne un exemple. Sigui donat el seg¨uent esquema de cinc variables:

La figura 3 representa una xarxa bayesiana t´ıpica. Ens relaciona la variable de l’estaci´o de l’any (X1) amb la variable de si plou (X3) o si l’aspersor d’un jard´ı est`a engegat (X2).

Aquestes dues ´ultimes variables condicionen de forma evident si el terra est`a mullat (X4) i

per tant si el terra rellisca (X5). Podem entendre totes les variables com a bin`aries menys

la variable d’estaci´o que pot prendre els 4 valors d’estaci´o de l’any. Aqu´ı podem veure molt millor l’efecte dels pares connotants. En el cas de la variable X5, el simple subconjunt de

variable {X4} ens fa que sigui independent de tots els predecessors (X1, X2, X3), ja que

només ens cal saber que el terra és moll per saber que rellisca, indiferentment de quina sigui la causa de l’aigua a terra o de quina estació estiguem. Com que és una distribució que satisfà (2.1) ens indueix poder establir la descomposició següent en aquest exemple concret:

(14)

X1: Estaci´o

X2: Aspersor X3: Pluja

X4: Terra mullat

X5: Terra relliscant

Figura 3: Exemple de xarxa bayesana amb cinc variables

2.3 Equacions Estructurals

Seguint una mica amb la intu¨ıció que ens formulava Hume en la definició, és a dir seguint amb la intu¨ıció que la causalitat és un fenomen natural, busquem la forma d’expressar-la d’una forma determinista. Tot i el rerefons estocàstic, busquem una aproximació quasi-determinista d’aquesta forma.

Definici´o 2.11. (Equacions estructurals)

Un model funcional causal consisteix en un conjunt d’equacions de la forma

xi = fi(pai, ui) i = 1, . . . , n (2.2)

on pai representa els pares connotants i Ui representa errors o pertorbacions per factors

omesos. Veiem que l’equació (2.2) és una generalització no-lineal i no-paramètrica dels models d’equacions estructurals

xi =

X

k6=i

αikxk+ ui i = 1, . . . , n

Quan cadascuna d’aquestes equacions representa un mecanisme aut`onom parlem d’un model estructural. Quan cadascun d’aquests mecanismes determina una sola variable, obtenim el model causal formalment.

Un dels exemples clàssics d’equacions estructurals és el model d’equacions estructural presentat per Goldberg al seu treball de 1992 (Balke i Pearl, 1995)[10]. Sigui q la quantitat de demanda familiar d’un producte A, i els ingressos familiars, w una escala de salaris per la producció d’A, u1 un shock en la demanda i u2 un shock en l’oferta. Sigui a més r

la demanda familiar per un producte substitutiu B Considerem les seg¨uents equacions: q = b1p + d1i + u1

p = b2+ d2w + u2

r = b3+ u3

A partir d’aquestes 3 equacions podem formular-nos preguntes causals com per exem-ple:

1. Quina seria la demanda del producte A si els preus del producte es controlessin a p = 7

(15)

2. Quina seria la demanda del caf`e si els preus es controlessin a p = 7 assumint que la demanda pel producte B arriba a r = 4?

3. Sigui la demanda actual de B, r = 4, quina seria la demanda del caf`e si els preus s’haguessin controlat a p = 7?

Noti’s que entre 2) i 3) malgrat ser similars hi ha una diferència substancial. En el primer s’assumeix que la intervenció ocorre abans de veure la demanda de B, mentre que en el cas de 3) s’observa la demanda de B i llavors es for¸ca el preu d’A. Fixem-nos que les úniques variables implicades són {P, Q, R} i per tant podem marginalitzar les altres variables retenint només les distribucions d’aquestes. En ser I i W variables exògenes, podem combinar I i Ui en una sola variable q. I podem fer similar amb p. Per tant,

sigui X = [P, Q, R] podem reduir la cerca del contrafactual anterior a l’expressi´o:

x = Bx + amb B =   0 b2 0 b1 0 0 b3 0 0  

Finalment veiem que les equacions estructurals que hem plantejat les podem resumir en el seg¨uent graf:

Q: Demanda d’A P: Preu d’A

R: Demanda de B q p r b1 b2 b3

Figura 4: Graf d’un exemple basat en equacions estructurals

A partir d’aqu´ı juntament amb un conjunt d’assumpcions de què parlarem més enda-vant i l’aplicació d’àlgebra bàsica podem llavors s´ı determinar els resultats quantitativa-ment.

2.4 El Model Causal Estructural

Definici´o 2.12. (Model causal)

Un model causal ´es una tr´ıada M = {U, V, F } on:

1. U ´es un conjunt de variables, anomenades ex`ogenes, que estan determinades per factors fora del model.

2. V és un conjunt {V1, . . . , Vn} de variables, anomenades endògenes, que vénen

de-terminades per variables del model.

3. F ´es un conjunt de funcions {f1, . . . , fn} on cada fi va de U ∪ (V r Vi) a Vi de

manera que cada F envia U a V . ( És a dir, F té una solució única per cada estat u del domini de U ). Notacionalment, F es pot representar escrivint

(16)

on pai és qualsevol succés del conjunt únic de variables P Ai en V r Vi (pares

con-notants) que fan que fi no sigui trivial.

Evidentment per la construcci´o que hem anat portant, cada model causal definit M es pot associar amb un graf dirigit, que anomenarem G(M ) en qu`e a cada node li associem una variable en V i les arestes dirigides apunten des dels elements de P Ai cap a Vi.

Veiem que gràcies a la forma com hem definit i format els models estructurals causals (SCM per les seves sigles en anglès) obtenim les següents propietats. (Pearl, 2009)[11]

1. Les hipòtesis causals estan representades de forma gràfica i amb expressions de forma matemàtica, i per tant, estan subjectes a l’estructura habitual de teoremes i demostracions.

2. Els SCM proveeixen d’un llenguatge prec´ıs per tal de poder comunicar les assump-cions rere les preguntes causals formulades.

3. Un SCM distingeix expl´ıcitament entre preguntes que poden ser provades de forma emp´ırica i aquelles que no poden ser-ho donat aquest model. Seguint amb aquesta l´ınia, ofereix formes de poder indicar de quina forma necessitem que siguin les noves mesures per tal d’obtenir resposta a aquestes preguntes.

4. Els SCM presenten una forma global i genèrica que inclou altres mètodes d’inferència causal com el de les sortides potencials o els Models d’Equacions Estructurals. A partir d’aqu´ı podem definir fàcilment una noció que ens servirà més endavant per veure les afectacions que podem fer sobre el model causal:

Definici´o 2.13. (Submodel causal)

Sigui M un model causal, X un conjunt de variables en V i sigui x un valor particular de X. Un submodel Mx de X ´es el model causal

Mx = {U, V, Fx}

en qu`e

Fx = {fi : Vi ∈ X} ∪ {X = x}/

Fixem-nos que el que estem provocant sobre el model és eliminar totes les funcions de les variables en X i substituint-les per X = x. Això ens permet fer una forma d’imposició en el model a partir de l’operador do(X = x). Definit més formalment:

Definici´o 2.14. (Operador do(x))

Sigui M un model causal, X un conjunt de variables en V i sigui x un valor particular de X. L’efecte de l’acci´o do(X = x) en M ´es el donat pel model Mx.3

En termes probabil´ıstics, l’efecte de la intervenció do(x0_i) és transformar la funció de probabilitat inicial P (x1, . . . , xn) en:

P (x1, . . . , xn| do(x0i)) = P0(x1, . . . , xn| Fi= do(x0i)) (2.3)

on P0 ´es la distribuci´o del graf augmentat G0 = G ∪ {Fi→ Xi}

3

Durant el treball, per una comoditat de notació, s’utilitzarà indistintament Y | do(X) i Yx per tal d’expressar el resultat d’una intervenció en X = x. Més endavant en farem la distinció quan parlem ´

(17)

3 Intervencions en Models Causals

3.1 Efecte Causal

Comencem veient els dos principals conceptes a qu`e aspirem en el cas d’un estudi causal de l’efecte de X sobre Y .

Definici´o 3.1. (Resultat potencial)

Anomenem resultat potencial al resultat que observar´ıem en la variable Y en cas que la nostra variable X = x.

En l’exemple d’un cas d’intervenció binària, és a dir, X = {0, 1} per exemple sent 0 no rebre una vacuna i 1 rebre-la, anomenem resultat potencial per cada persona els valors Y0 i Y1.4

Definici´o 3.2. (Contrafactual)

Resultats que s’haurien obtingut en cas que el tractament hagu´es estat diferent de l’observat.

Per tant, tot i que molts cops s’usen els dos termes d’una forma gairebé intercanviable (perquè els resultats, Y , són els mateixos) el concepte és diferent: abans de decidir sobre el tractament, qualsevol dels resultats potencials és possible. Després de l’estudi en què s’ha observat un resultat Yx, el contrafactual és Yx−1 (en cas d’un estudi binari).

La diferència molts cops a escala acadèmica recau en la forma en què cadascuna de les diferents teories aproxima aquest fet. Com veurem més endavant, per la teoria basada en equacions estructurals, tot resultat és possible de ser computat i per tant el contrafactual és simplement una qüestió d’estudiar altres probabilitats. En canvi, en el cas dels resultats potencials, només s’observa un resultat per cada variable (centrat en resultat en lloc del model teòric darrere aquest resultat) i per tant el contrafactual s’adequa més a la definició que hem donat aqu´ı.

3.2 El problema fonamental de la infer`encia causal

Definici´o 3.3. (Problema fonamental de la infer`encia causal)

El problema fonamental de la infer`encia causal consisteix en la impossibilitat d’observar el valor Yt(u) i Yc(u) sobre la mateixa unitat, sent t, c el tractament i control

respectiva-ment sobre la unitat u. Per tant, no podem observar totalrespectiva-ment el valor de l’efecte de t en u perqu`e no podem comparar els dos escenaris. (Holland, 1986)[12]

Per tant, veiem que com és evident no podem observar sobre el mateix individu amb totes les condicions que l’envolten idèntiques (inclòs, evidentment, el temps) l’afectació d’un tractament i d’un no-tractament. Per això diem que mai podrem observar aquesta diferència entre els dos mons. L’única solució que tindrem serà mirar d’intentar estimar aquesta diferència a partir de diferents tècniques mirant de reduir els biaixos que ens permetin comparar al màxim dos individus diferents, un amb tractament i un amb control, i tractar-los com si parléssim del mateix.

4_M´_{es endavant tamb´}_{e ser`}_{a com´}_{u usar la notaci´}_{o Y (0) i Y (1), per remarcar m´}_{es que ´}_{es el resultat d’una}

(18)

En l’estudi d’un efecte causal que definirem formalment a continuació el que volem veure és quin és el resultat d’una intervenció, és a dir, el resultat d’una modificació voluntària sobre la variable d’estudi X. Per exemple, si volem saber l’afectació del pes sobre el risc d’una lesió als genolls, determinem el pes com a variable a intervenir. Ens trobem, però, amb un dels primers problemes: la forma com podem modificar aquest pes és molt diferent (dieta estricta, molt exercici, dieta més moderada, dieta baixa en hidrats de carboni, exercicis d’alta intensitat...).

Algunes d’aquestes propostes, però, no només tindran una afectació sobre la variable d’estudi (pes) sinó també sobre el resultat. Aqu´ı ens crea per tant un factor de confusió sobre el que haurem de controlar. D’altra banda ens podrem trobar el cas en què la variable real que volem estudiar sigui immutable és a dir, que no es pugui alterar (o com a m´ınim de forma fàcil). Factors com l’origen d’una persona o la situació econòmica no són valors sobre els quals puguem actuar de forma àgil per determinar-ne les causes que provoquen. Per tant, hem de buscar altres variables alternatives (el nom en el cas de l’origen o donar una ajuda extra de forma puntual en la situació econòmica) per tal de poder realitzar el nostre estudi.

Definici´o 3.4. (Efecte causal)

Donats dos conjunts disjunts de variables, X i Y , definim l’efecte causal de X en Y , denotat per P (y | do(x)) com la funció des de X a l’espai de distribució de probabilitat de Y . Per cada valor x de X, P (y | do(x)) dóna una probabilitat de Y = y indu¨ıda per l’eliminació del model (2.2) de les equacions corresponents a les variables en X i substituint X = x a les equacions restants.

´

Es a dir, per exemple, si ens situem en el cas en qu`e tenim dos tractaments diferents A = {0, 1}, si els resultats Y06= Y1 _{(Hernan i Robins, 2020)[}₁₃_]5

Ara bé, la imposició per l’efecte causal que hem definit no sempre és possible. En el cas en què P (y | x) 6= P (y | do(x)) ens trobem en la situació que existeixen altres variables afectant que ens impossibiliten resoldre l’efecte del do(x) a partir de termes probabil´ıstics ´

unicament.

3.2.1 Efecte Causal Mitj`a

Una forma ràpida que tindr´ıem de poder considerar un efecte causal seria a partir de la mitjana dels resultats observats. Imaginem un experiment en què volem veure l’efecte de X, que pot prendre valors 0, 1 sobre Y , en una població; i col·loquem a la població en dos mons simultàniament, una en què el tractament donat és X = 0 i l’altre és X = 1. Per exemple, posem que l’estudi és sobre el risc de malaltia de cor sobre la població fent ioga o no fent-lo. Un cop hagi acabat l’experiment, només ens caldrà veure E(Y1− Y0_{), ´}_{es a}

dir, l’esperan¸ca de la diferència de resultats observats per saber l’efecte causal de fer ioga. Ara bé, el problema primer és evident: tal com comentàvem en el problema fonamental de la inferència estad´ıstica no podem simultàniament fer que tota la població faci ioga i no alhora, i per tant, hem de partir la població en dues parts, exposant-nos a diversos riscs de biaixos associats.

Condicionament i intervenció. En general, però, agafant aquest cas d’efecte causal mitjà (ECM) de referència, podem veure per contraexemple fàcil que, al contrari com es 5_{Anomenem al resultat observat en Y de l’efecte de l’acci´}_{o x de la variable X com Y}X=x _{o simplement}

(19)

fa habitualment en molts estudis,

ECM := E(Y1− Y0) 6= E(Y1| X = 1) − E(Y0 | X = 0)

En aquest cas fixem-nos que estem obtenint l’efecte causal no sobre la població, sinó so-bre la població que finalment va realitzar el tractament o no tractament assignat, a més sense poder comprovar quins mètodes d’assignació es van usar. Per exemple, població amb problemes de flexibilitat és possible que abandonessin la pràctica o la fessin incor-rectament, i això fa que en fer la restricció quedin exclosos, mentre que en l’esperan¸ca global s’inclourien. Per tant, en general, l’expressió de la dreta que és la que a priori podem tenir informació fàcilment no és un efecte causal directe perquè estem comparant dues poblacions diferents de gent, quan en la primera part de l’expressió en què obtenim l’efecte causal directament tenim la mateixa població a comparar.

Més endavant tractarem detalladament quan fem l’anàlisi del marc de resultats poten-cials a l’apartat 4.2 l’efecte causal mitjà i de quina forma podem aproximar-ne el resultat.

3.3 Assumpcions causals

Sobretot en el moment en què tractem amb dades observacionals amb diferents tècniques com les que comentarem després, per tal de poder fer una identificació entre el model probabil´ıstic i el model causal necessitem que certes assumpcions siguin certes. Algu-nes d’aquestes les podrem controlar més efectivament mentre que d’altres haurem o bé d’assumir-les o bé de realitzar certes tècniques preestudi per ajustar-les.

3.3.1 Assumpci´o d’additivitat pel tractament individual

S’assumeix primerament que el tractament assignat a una unitat no afecta el resultat de l’altre. Formalment, existeixen constants ξs per s = 1, . . . , n (una per cada una de les

unitats) i constants τj per j = 1, . . . , v (una per cada tractament) de manera que si Tj

s’assigna a Us, la resposta ´es

ξs+ τj

indiferentment de l’assignació del tractament en la resta d’unitats. (Cox i Reid, 2000)[14] Això ens permet escriure el resultat de la i-èssima persona en termes del tractament exclusivament d’aquella. A aquesta assumpció se li sol incorporar l’assumpció d’un sol tractament. En el cas de complir-se ambdues es parla d’un experiment SUTVA (Stable-Unit Treatment Value Assumption).

3.3.2 Assumpci´o de consist`encia

Assumim que el resultat potencial del tractament X = x (Yx) és igual al resultat observat si el tractament ha estat efectivament X. És a dir, si X = x ⇒ Yx = Y . Això per exemple és significatiu perquè ens iguala els resultats experimentals amb els observacionals.

3.3.3 Assumpci´o d’ignorabilitat

El concepte introdu¨ıt per (Rubin, 1978)[15] (també anomenat l’eliminació de factors de confusió) busca assegurar la independència en l’assignació del tractament per altres cova-riants Z. Formalment, diem que el mecanisme d’assignació és ignorable si la probabilitat

(20)

de l’assignació de les variables de tractament X donades les covariants Z pren el mateix valor per qualsevol element de X. Per tant, els resultats potencials són independents de l’assignació:

Yx ⊥⊥ X | Z 3.3.4 Assumpci´o de positivitat

En aquesta assumpció, que veurem necessària més endavant en la formalització de la identificabilitat, busca que per tot valor de X l’assignació del tractament no sigui deter-minista:

P (X = x | Z = z) > 0 ∀x ∈ X

En cas que no es compl´ıs aquesta assumpci´o ens podr´ıem trobar amb qu`e mai obtindr´ıem certs valors de Y per alguns valors de X, quan en canvi necessitem aquesta variabilitat per garantir l’efecte causal.

3.4 Identificabilitat

Gràcies a la definició d’un model causal M busquem la forma d’atribuir quantitats causals i definir aquestes relacions. Ara bé, en el millor dels casos, el que nosaltres podem obtenir és informació experimental en què tinguem una probabilitat de les variables del model observades, PM(v). El problema és que no tenim la certesa que un sol model causal tingui

una sola probabilitat associada. De fet és altament probable que passi el contrari. Per tant, aix´ı com en els models estad´ıstics quan volem estimar un paràmetre simplement obtenim més mostres ens aporta una major certesa dels paràmetres establerts, en el cas causal més dades no ens aporta més fiabilitat. El que busquem és un criteri per veure si assumpcions que afegim al model M ens aportaran la informació extra per respondre les nostres preguntes tot i no tenir completament M en si.

Definici´o 3.5. (Identificabilitat)

Sigui Q(M ) una quantitat computable qualsevol del model M . Diem que Q ´es identifi-cable en una classe M de models si, per qualsevol parella M1i M2de M, Q(M1) = Q(M2)

quan PM1(v) = PM2(v). Si nom´es podem tenim unes observacions parcials d’uns factors FM de PM(v), definim Q identificable a partir de FM si Q(M1) = Q(M2) quan FM1 = FM2 Definici´o 3.6. (Identificabilitat de l’efecte causal)

L’efecte causal de X en Y és identificable a partir d’un graf G si la quantitat P (y | do(x)) es pot calcular únicament a partir de les probabilitats positives de les va-riables observades, és a dir, si PM1(y | do(x)) = PM2(y | do(x)) per tot parell de models M1, M2 amb PM1 = PM2 > 0 i G(M1) = G(M2) = G

L’efecte causal de T sobre Y es diu que està ’identificat’ si és possible, amb dades ideals (mida de mostra infinita, mesura perfecta), eliminar tota associació no causal de l’associació observada entre T i Y tal que només queda l’associació causal.

D’aquesta manera a partir d’arribar a aquesta identificabilitat aconseguim unir el vessant probabil´ıstic (i per tant l’observacional) amb el causal. Ara, per tant, tenim dues fonts d’informaci´o: (Pearl, 2009)[11]

(21)

2. graf causal G que especifica de forma qualitativa quines variables participen o afecten el mecanisme.

3.4.1 L’efecte de les assumpcions causals

Observem ara la importància conjunta que té la cerca de l’acceptació de les assumpcions causals que ens permeten el fenomen de la identificabilitat. Suposem que disposem d’un conjunt d’observacions en què tenim Y el nostre resultat observat, X la variable (o varia-bles) d’intervenció i Z un conjunt de covariants. Podem determinar la següent seqüència d’estudi:

E(Y | X = x, Z = z)(1)= E(Yx| X = x, Z = z)

⇒ E(Y | X = x, Z = z)(1)= E(Yx | X = x, Z = z)(2)= E(Yx| X = x)

Veiem que el pas (1) el podem fer gràcies a la consistència, en què demanàvem que el resultat potencial del tractament amb X = x fos igual al resultat observat. En segon lloc, gràcies al concepte d’ignorabilitat un cop hem condicionat per la covariant Z sabem que Yx ⊥⊥ X i per tant podem eliminar-la de l’expressió. Com veurem més endavant en detall el que fem és eliminar l’efecte d’un factor de confusió aportant a un experiment observacional un tractament d’experiment aleatori. Tot això ens porta a una forma fàcil de poder calcular l’efecte causal marginal simplement a partir de l’estratificació (obtenint la mitjana estandarditzada):

E(Yx) =X

x

E(Y | X = x, Z = z)P (Z = z) (3.1)

Veiem per tant un procés d’estratificació, en què hem separat la nostra mostra ob-servacional en diferents conjunts en funció de la covariant Z, eliminant aix´ı factors dis-torsionadors podent obtenir un efecte causal marginal. Posem ara un exemple per veure l’efecte en l’anàlisi de forma real del concepte de control.

Imaginem que estem analitzant l’efecte d’haver fumat durant els últims 5 anys sobre el risc a tenir càncer. Amb una mostra observacional de 7.995 persones obtenim els següents resultats. Sigui Y l’aparició de càncer i X si la persona és fumadora: 6_:

CANCER = SI CANCER = NO TOTAL

FUMA = SI 303 2700 3003

FUMA = NO 292 4700 4992

TOTAL 595 7400 7995

Si fem servir 1 per denotar ’SI’ i 0 per denotar ’NO’, tenim el següent: a priori, si fem una anàlisi ràpida, veiem que E(Y1 | X = 1) = 0, 1009 i en canvi E(Y1_{| X = 0) = 0, 0585.}

Per tant, amb un 10,08% de probabilitat si fumes i un 5,85% si no, sembla evident a partir de l’anàlisi de les mitjanes dels efectes potencials que fumar és perjudicial i augmenta el risc de càncer. De fet sembla que estiguem arribant a veure que el risc es duplica.

6_{Tots els n´}_{umeros s´}_{on inventats per tal de posar un exemple i no tenen cap relaci´}_{o amb els efectes}

(22)

Ara bé, imaginem que tenim la idea que existeix una covariant que també entra en joc en aquest model: si els pares de l’individu eren fumadors. En aquest cas és lògic pensar que el fet de tenir pares fumadors augmenta el risc de tenir un càncer, ja que per l’efecte de fumador passiu l’individu de petit ha experimentat molts anys de fumador. A més a més, però, també és probable que un nen que hagi vist a casa com a normal el fet de fumar vegi augmentada la probabilitat que fumi de gran. Per tant, tenim una covariant fins ara no analitzada, Z =’pares fumadors’ que afecta tant a la nostra X com a la nostra Y . Per tant, pel principi d’ignorabilitat, hem d’ajustar per aquesta variable. En aquest cas, les dues taules resultants són les següents:

CAS PARESFUMADORS = NO

FUMA = SI 3 900 903

FUMA = NO 2 2900 2902

TOTAL 5 3800 3805

CAS PARESFUMADORS = SI

FUMA = SI 300 1800 2100

FUMA = NO 290 1800 2090

TOTAL 590 3600 4190

Ara per tant tornem a fer els càlculs a partir de la fórmula d’estratificació que hem definit abans, en què ponderem cadascun dels resultats a partir de quin percentatge del subconjunt representa: E(Y1) =X x E(Y | X = 1, Z = z)P (Z = z) = = E(Y | X = 1, Z = 0)P (Z = 0) + E(Y | X = 1, Z = 1)P (Z = 1) = 0, 0764 E(Y0) =X x E(Y | X = 0, Z = z)P (Z = z) = = E(Y | X = 0, Z = 0)P (Z = 0) + E(Y | X = 0, Z = 1)P (Z = 1) = 0, 0730 I aqu´ı veiem com tot era radicalment diferent: en el moment en què eliminem l’efecte del covariant i assumim la ignorabilitat, veiem que l’efecte causal del fet de fumar tot i seguir existint (a priori) és gairebé nul en comparació amb el que hav´ıem obtingut. Per tant, d’aqu´ı no podem assumir que el fet que una persona hagi fumat els darrers 5 anys li faci augmentar el risc a patir càncer (i en canvi s´ı que podem determinar l’existència d’una relació molt gran amb la precondició de pares fumadors).

3.5 La paradoxa de Simpson

La Paradoxa de Simpson, anomenada aix´ı en ser E.H Simpson el primer que en plantejà un cas a principis dels anys 50, és el resultat de què succeeix si no es té en compte l’estructura causal en l’anàlisi d’un problema (Clayton et al, 2011)[16]. Similar al que ens hem trobat anteriorment, planteja el següent escenari d’observacions. Imaginem la taula dels següents resultats d’estudi de les variables A, B, C en N = 52 individus.

(23)

B = 0 B = 1 A = 1 20 20

A = 0 6 6

Separant ara condicionat a C, tenim:

C = 1 C = 0 B = 0 B = 1 A = 1 5 8 A = 0 3 4 B = 0 B = 1 A = 1 15 12 A = 0 3 2

Si mirem les dades veiem que l’oportunitat relativa7 ORAB = 1 en el primer cas i

OR_{AB | C=1} = OR_{AB | C=0} = 5/6. Veiem per tant que tot i que l’oportunitat relativa condicionada és la mateixa en ambdós casos, aquesta difereix si no condicionem per C. Per tant, A i B són independents si no condicionem (A ⊥⊥ B) i en canvi són dependents condicionals per C, matemàticament A 6⊥⊥ B | C.

En aquest moment ens plantegem: quin mètode d’anàlisi és el més encertat? Simpson també s’ho qüestionà, i ens donà un exemple per demostrar que ambdós ho són en funció del model causal que estiguem estudiant. Suposem un primer cas en què volem veure si la proporció de cartes que siguin figures (Rei, Reina i Patge) està associada al color (Negre, Vermell). Sigui A el tipus de carta (amb 1 número i 0 figura) i B el color (1 negre i 0 vermell). A més, però, el joc de cartes que estem mirant és el d’un nen petit que les ha embrutat amb les mans, en aquest cas, la variable C. Evidentment, veiem que obtenim el resultat esperat ORAB = 1, ja que tenim el mateix nombre de cartes vermelles que

negres.

Ara bé, suposem un altre experiment en què A representa un tractament mèdic, B representi si el pacient ha mort o sobreviscut i C representi el sexe de l’individu. En aquest cas, però, s’adequa més la resposta condicionant per sexe, ORAB | C < 1 demostrant que

el tractament s’associa amb una disminució del risc tant per homes com per dones. Per tant, aqu´ı ens sorgeix el dubte evident: com triem en cada cas si mirem el condi-cionament o no? Les dades, és a dir, el vessant probabil´ıstic, ens dóna resultats confusos i veiem que per dos models diferents obtenim el mateix conjunt de dades possible. La resposta a la nostra anàlisi serà definida per una aproximació en què fem l’estudi ’no-estandarditzat’ del model causal. A tall d’introducció de la formalització que farem a continuació, veiem el que està succeint aqu´ı. De les dades extraiem una predilecció del nen tant per les cartes amb figures com per les cartes vermelles. Per això, tant A com B tenen una relació causal (independent entre elles) amb C com veiem a l’esquerra de la figura 5. Aqu´ı C actua de col·lisionador de la informació i en el moment en què condici-onem, generem una relació espúria entre A i B (marcada amb una l´ınia discont´ınua) que 7_{Definim oportunitat relativa com el quocient de dues oportunitats, essent cadascuna de les}

opor-tunitats com la probabilitat entre que succeeixi i que no succeeixi. És una mesura epidemiològica que es fa servir generalment per veure l’associació entre una exposició i una malaltia. En el cas d’una taula 2x2 amb valors per fila a, b, c, d definim per tant l’oportunitat relativa com:

OR =a/b c/d

A partir d’aqu´ı interpretem tres casos: si OR = 1 no existeix associació entre exposició i malaltia. Si OR < 1 tenim a priori una associació negativa i en cas contrari, si OR > 1 tenim a priori una associació positiva. La traducció és la proposada pel Termcat.

(24)

no existia amb anterioritat. Això és el que en l’àmbit epidemiològic es coneix com el biaix de selecció.

En canvi en el segon cas, el dibuix causal seria diferent: a la dreta de la figura 5 els homes tenen menys possibilitat de rebre el tractament com veiem a les dades, i per tant, no s’aplica de forma uniforme entre la població. D’altra banda, els homes també tenen menys propensió a morir. Per aquestes raons tenim una fletxa de C tant cap a A com cap a B. Com veurem a continuació tenim un factor de confusió, en aquest cas C, que afecta les dues variables alhora i per tant també a la relació entre aquestes. De cara a poder observar l’efecte causal de forma neta necessitem eliminar l’efecte d’aquest factor, i per tant, aqu´ı s´ı que necessitem controlar per aquestes variables.

A B

C

B A

Figura 5: Dos models causals per les mateixes dades

En definitiva, un mateix conjunt de dades que té un tractament i interpretació radi-calment diferent en funció del model causal que s’apliqui. La Paradoxa de Simpson per tant no és un gran maldecap com ha resultat ser per molts investigadors sinó un simple problema de diferents relacions causals entre les variables estudiades.

3.6 Control de variables de confusi´o

Com hem vist amb la paradoxa de Simpson ens trobem a vegades amb l’exist`encia de variables que afecten el nostre model i sobre les quals la nostra intervenci´o per intentar controlar-les ens pot portar a resultats incorrectes.

3.6.1 Formes de condicionament

Entenem per condicionament el fet d’assumir o tractar l’esdeveniment com si hagués ocorregut. Aix´ı podem fer grups de les nostres observacions o mostres a partir d’aquest criteri. Hi ha moltes formes de controlar per una variable, i quan més endavant parlem dels perills (o beneficis) de condicionar, entendrem que s’ha realitzat alguna pràctica igual o similar a aquestes:

1. Control de variables (e.g. regressió). En inferència causal entenem pel control d’una variable per regressió a agrupar per l’efecte de certes covariants que afecten la nostra variable estudiada. Quan s’estima l’efecte de les variables explicatives sobre un resultat per regressió, les variables controlades per les variables s’inclouen com a entrades per separar els seus efectes de les variables explicatives.

2. Estratificació (eg. taules de contingència, anàlisis de supervivència, log-linear mo-dels). L’estratificació és el procés de dividir els membres de la població en subgrups homogenis abans del mostreig. Es poden establir diferents tipus d’estratificació en funció de criteris com igual nombre de representats per cada estrat (en aquest cas podr´ıem perdre dades representatives) o en funció de quines variables s’usa.

(25)

3. Anàlisi de subgrups (eg. restricció). Tot i partir d’una subagrupació pel valor d’una variable com el cas de l’estratificació, en el cas de l’anàlisi de subgrups el que fem és l’estudi directament restringit només en aquell grup, generalment sabent que no té efecte causal la variable sobre el resultat (o el té i en sembla correcte incorporar-ne el biaix de només restringir-ho). Per exemple, si estem estudiant l’efecte de certa pol´ıtica només en dones amb feina.

4. Selecció de mostra. Tècnica basada en simplement recollir mostres dels individus amb certa covariant determinada. Per exemple, només estudiar els homes blancs d’ingressos baixos. Tot semblant en l’anàlisi de grups, aqu´ı posem l’èmfasi en el fet que la selecció i tall es fa en el moment d’estudi, no en la fase d’anàlisi.

5. Desgast, manca de resposta. Analitzar només els individus que han arribat al final d’un tractament aplicat o dels quals coneixem amb certesa que han respost d’alguna forma. Ja és una pràctica habitual seleccionar només aquells que tenim la certesa que s’han tractat (i per exemple no han abandonat la pràctica de cert exercici al cap d’una setmana), però és important veure que estem realitzant un condicionament sobre l’anàlisi en veure només aquest subconjunt. Per exemple, seria interessant potser estudiar també quines condicions o fets han portat a les altres persones a abandonar l’estudi prematurament.

Com hem vist, és important condicionar per aquelles variables que ens estan alterant la nostra anàlisi causal, o al revés, no hem de condicionar per aquelles que ens generen relacions espúries. Definim-les amb detall:

Definici´o 3.7. (Variables de confusi´o)8 (VanderWeele i Shpitser, 2013)[17]

Una covariable C es considera un factor de confusió per a l’efecte d’A sobre Y si hi ha un conjunt de covariables X de tal manera que l’efecte de l’exposició sobre el resultat és inconfusible condicionat a (X, C) però per cap subconjunt adequat de (X, C) és l’efecte de l’exposició sobre el resultat inconfusible donat el subconjunt. Matemàticament, podem expressar-ho si ∃X | Ya⊥⊥ A(X, C) però T ⊂ (X, C) | Ya⊥⊥ A|T .

3.6.2 Associacions a partir de camins

Direm que dues variables estan associades, és a dir, tenen algun tipus de relació causal entre elles, si existeix algun cam´ı pel qual circula informació. (Pearl i Mackenzie, 2018)[18] Per exemple, en el cas dels tipus de cam´ı que hem definit al principi, en relació amb X i Y :

• En una cadena X → G → Y la informaci´o circula des de X a Y , de manera que no s´on independents

• En una forca, la informaci´o va de G a X i a Y , de manera que ambdues estan connectades i no s´on independents

• En una forca inversa, la informació va de X a G i de Y a G, però no arriba cap comunicació entre X i Y , de manera que són independents.

8

S’accepta segons Termcat la terminologia ’variable de confusi´o’ per confounder. Tot i aix`o, es proposa utilitzar ’confusor’ si en algun moment es considera convenient per brevetat del text

(26)

A partir d’aqu´ı podem definir un concepte important de cara a assegurar l’eliminaci´o de covariables que ens distorsionen l’an`alisi:

Definici´o 3.8. (d-Separaci´o)

Una ruta p es diu estar d-separada (o bloquejada) per un conjunt de nodes Z ⊂ V si i nom´es si es compleix una de les seg¨uents:

1. p cont´e una cadena i → m → j o una bifurcaci´o i ← j → m de manera que el node central m estigi en Z

2. p cont´e una bifurcaci´o inversa (o col·lisionador) i → m ← j de manera que ni m ni cap descendent seu estiguin en Z

Un conjunt Z es diu que d-separa X de Y ⇐⇒ Z bloqueja tots els camins possibles entre un node de X i un node de Y .

Veurem la importància de la d-separació en termes de causalitat i condicionament. Tant en el cas de la cadena com el de la bifurcació, es veu de forma evident que la relació entre i i j es pot condicionar a través de m. Per exemple, en el cas de la relació de cadena, coneguda m no ens cal saber i per tal de poder saber la probabilitat de sortida.

Teorema 3.9. (Implicaci´o probabil´ıstica de la d-separaci´o)

Si els conjunts X i Y es troben d-separats per un conjunt Z en un DAG G, llavors X és independent de Y condicionat en Z en totes les distribucions del model G. De forma inversa, si no tenim aquesta d-separació, X i Y són dependents condicionades a Z en com a m´ınim una distribució de G.

Per tant, podem definir a partir d’aquest criteri dos termes que ens permeten catego-ritzar algunes variables:

Definici´o 3.10. Anomenarem bloquejador a un conjunt de variables Z que d-separen X i Y .

El que ens permet per tant un bloquejador ´es fer que dues variables fins ara dependents siguin independents. Per exemple, suposem un graf molt senzill:

Fum Alarma Foc

En aquest cas senzill tenim que la presència de foc ens causa la presència de fum. La presència de fum fa saltar l’alarma. Per tant, tenim una cadena de causalitat entre les tres variables. Ara determinem F um com a bloquejador, condicionant en aquesta variable. Tot i que a partir de saber la presència de F oc puc determinar el salt de l’alarma, ara simplement a partir de conèixer la variable F um en tinc suficient. És a dir, el fet de bloquejar el cam´ı ha fet que Foc i Alarma es tornin independents, perquè Fum em dóna tota la informació que hi havia circulant entre Foc i Alarma.

Definició 3.11. Anomenem col·lisionador a una variable situada en una forca inversa per la qual controlem, creant una relació espúria entre dos conjunts de variables indepen-dents fins aleshores. Anomenem a aquest fenomen ’biaix de selecció endògena’. (Elwert i Winship, 2014)[19]

(27)

Posem per exemple el cas del següent graf (figura 6 en relació amb el món del debat universitari. Podem establir una relació causal entre que algú sigui un bon orador i que acabi anant a un torneig de debat universitari. D’altra banda, també és cert que per les caracter´ıstiques que té la carrera de Dret a nivell tant d’argumentació com d’oratòria davant un jurat, és molt habitual que la gent que estudia Dret participi del món del debat i per tant vagin també a tornejos de debat universitari. Tindr´ıem un graf de les següents caracter´ıstiques:

Torneig de Debat

Estudiant de Dret Bon orador

Figura 6: Exemple de col·lisionador

A priori no existeix una relació directa entre ser bon orador i ser estudiant de dret. Evidentment hi ha estudiants de dret que són bons oradors, però igual que tenim bons oradors a la carrera de matemàtiques. Ara bé, es dóna el cas que si només tens com a referència i condiciones per ’Torneig de Debat = 1’ és a dir, l’assistència a un torneig de debat (per exemple, si vas de públic a un torneig) establiries una relació en què els estudiants de dret són bons oradors, ja que és el que observaries. El fet de condicionar sobre un col·lisionador ens ha creat una relació espúria entre ser bon orador i ser estudiant de dret, de forma que com que només podem veure una subpoblació afectada per ambdues causalitats, es crea un nou node que ens farà impossible l’anàlisi real.

Aquest és el problema principal per què molts estudis arriben a conclusions errònies però a priori correctes segons els càlculs matemàtics. Sense disposar d’un model causal que expliqui aquestes relacions i ens doni elements de selecció de col·lisionadors, la tendència estad´ıstica a controlar per totes les variables possibles ens pot portar a controlar per un col·lisionador, creant un efecte pantalla que ens cre¨ı causalitats inexistents fins aleshores. Aquesta és malauradament una pràctica comuna en recerca estad´ıstica que ha portat sovint a resultats aparentment correctes que més tard, amb l’anàlisi causal correcte, s’han demostrat falsos.

3.6.3 Criteri de pas posterior

Ara bé, de quina forma podem assegurar tenir controlat l’efecte d’una variable de confusió o en canvi, no afegir-ne un de nou? L’objectiu del següent apartat serà trobar un criteri que ens permeti comprovar si, a priori, un conjunt de variables Z ⊆ V és suficient per a estimar els efectes de P (y | do(x)) tenint només una representació de P (v).

Definició 3.12. Un pas posterior és un cam´ı que va de X a Y el qual té un vèrtex dirigit cap a X. Per exemple, en el cas senzill X ← Z → Y .

A la pràctica, aquest tipus de camins són associacions entre les nostres variables però que no és la associació causal que estem estudiant (fixem-nos que nosaltres volem la causa de X sobre Y , per tant, ens interessen els camins que surten de X, no aquells que influeixen sobre X). Per tant volem un criteri que permeti bloquejar aquesta relació.

Si bloquegem tots els camins de pas posterior, a partir de condicionar un conjunt de variables Z, aconseguirem certificar l’assumpci´o causal d’ignorabilitat (donat Z).

(28)

Definici´o 3.13. (Criteri de pas posterior)9

Un conjunt de variables Z compleix el criteri de pas posterior relatiu a dues variables (X,Y) en un graf ac´ıclic dirigit G si:

1. cap node de Z ´es descendent de X

2. Z bloqueja tots els camins entre X i Y que contenen una aresta dirigida cap a X En cas que X i Y siguin dos conjunts de nodes, podem dir que Z satisf`a el criteri de pas posterior si el satisf`a per tota parella (Xi, Yj) tal que Xi ∈ X i Yj ∈ Y .

A partir d’aqu´ı, formalitzem la propietat d’identificabilitat:

Teorema 3.14. Si un conjunt de variables Z satisfà el criteri de pas enrere relatiu a (X, Y ), llavors l’efecte causal de X en Y és identificable a partir de la fórmula (3.1) Demostració. Comencem escrivint la probabilitat P (y | do(x)) en termes de la funció de probabilitat augmentada P0 que vam definir a (2.3) condicionant sobre Z de forma que obtenim: P (y | do(x)) = P0(y | Fx) = X z P0(y | z, Fx)P0(z | Fx) (3.2) =X z P0(y | z, x, Fx)P0(z, Fx) (3.3)

Com que Fx consisteix en nodes arrel amb fills restringits a X, ha de ser independent de

tots els no-fills de X, incl`os Z. Per tant, la primera condici´o ens permet fer P0(z | Fx) = P0(z) = P (z)

Ara a partir de la segona condici´o, juntament amb el condicionament, podem eliminar Fx

de (3.3) obtenint el resultat. Z X Y _a) Z X Y _b) X U Z Y _c)

Figura 7: Exemples d’identificabilitat pel criteri de pas posterior

Si seguim la definici´o del criteri, veiem a la figura 7 que en els diagrames a) i b) l’efecte P (y | do(x)) es pot identificar perP

zP (y | x, z)P (z), ´es a dir, pel control en Z. En canvi,

en el tercer cas, c), no tenim cap conjunt que ens permeti aplicar el criteri i identificar amb l’efecte P (y | do(x)).

Busquem ara un algoritme que ens permeti fàcilment poder aplicar el criteri de pas posterior per poder comprovar si un gràfic causal és identificable:

9

Traducció pròpia per falta de traducció acadèmica reconeguda del terme ’back-door criterion’ en català. Donades les caracter´ıstiques de la definició (bloquejar els camins entre X i Y que apunten a X) s’ha considerat correcte el concepte de ’barrar el pas posterior’.

(29)

1. Llistar tots els camins de pas posterior entre X i Y .

2. Comprovar si tots aquests camins estan naturalment (incondicionalment) bloque-jats. Si ´es que s´ı, tenim identificaci´o.

3. Mirar si els camins no bloquejats es poden bloquejar a partir del condicionament en variables que no siguin descendents de X. En cas que s´ı, seguim. Si no, no ´es identificable.

4. Comprovar si el pas anterior ha desbloquejat algun cam´ı no-causal i mirar si aquests es poden bloquejar. En cas que s´ı, seguim. Si no, no ´es identificable.

5. Comprovar si alguna de les variables que han d’estar condicionant per bloquejar camins de pas posterior estan en el cam´ı de X a Y o són descendents d’alguna variable del cam´ı causal. En cas que si, no és identificable. Si no, tenim identificació. Finalment mostrem una generalització del criteri de pas enrere que ens permeti, per qualsevol efecte estudiat P (y | do(x)), ajustar per Z deixant oberts (o obrint) tots els camins causals però bloquejant la resta.

Definici´o 3.15. (Criteri d’ajustament).

Z satisf`a el criteri d’ajustament relatiu a (X, Y ) a G si:

• Cap element de Z ´es descendent en GX de cap W /∈ X que viu en un cam´ı causal

correcte de X a Y .

• Tots els camins no causals de X a Y estan bloquejats per Z

3.7 Criteri de pas endavant

Finalment, busquem una forma alternativa de poder identificar el nostre model causal. En lloc de mirar aquells camins que entren a X, mirem aquells que en s´on descendents. Pre-cisament aquests nodes concomitants, sota certes condicions, ens poden ajudar a obtenir una expressi´o del nostre efecte causal.

Definici´o 3.16. (Criteri de pas endavant)

Un conjunt de variables Z es diu que satisf`a el criteri de pas endavant relatiu a un parell ordenat de variables (X, Y ) si es compleixen totes les condicions seg¨uents:

1. Z intercepta tots els camins dirigits de X a Y 2. No hi ha un cam´ı de pas posterior de X a Z

3. Tots els camins de pas posterior de Z a Y estan bloquejats per X

Teorema 3.17. Si Z satisfà el criteri de pas endavant relatiu a (X, Y ) i tenim P (x, z) > 0, llavors l’efecte causal de X en Y és identificable i és definit per la fórmula

P (y | do(x)) =X

z

P (z | x)X

x0