Spectral solution of Reynolds film lubrication equation

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UNIVERSITÀ DI PISA

DIPARTIMENTO DI INGEGNERIA CIVILE E INDUSTRIALE

Laurea Magistrale in Ingegneria Aerospaziale

Corso di Laurea Magistrale in Space Engineering

TESI DI LAUREA

Spectral Solution of Reynolds Film Lubrication Equation

Relatore: Candidato:

Prof. Ing. Luca d’Agostino Emanuele Biafora

Correlatore:

Ing. Alessandro Apollonio

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SPECTRAL SOLUTION OF REYNOLDS FILM LUBRICATION EQUATION i

ABSTRACT

Le agenzie spaziali stanno cercando di sviluppare motori a razzo che utilizzano, come propellente, il metano liquido. La scelta del metano liquido per i futuri motori ha diversi motivi, uno dei principali è quello di voler alleggerire i lanciatori, soprattutto per lo stadio superiore, migliorandone l'efficienza. Le turbopompe utilizzate nei motori a razzo richiedono un numero DN (Diametro x Numero di giri) molto elevato. Quest'ultimo parametro suggerisce di esplorare la possibilità di utilizzare cuscinetti idrodinamici o idrostatici che possono essere più piccoli e lavorare ad alti regimi. I modelli analitici usati per risolvere l'equazione della lubrificazione di Reynolds sono pochi e richiedono analoghe approssimazioni sulla dimensione del cuscinetto, Infinitely Long Approximation, Infinitely Short Approximation). Quindi questo è un limite al progetto dei cuscinetti. Questa tesi presenta una soluzione spettrale dell'equazione di Reynolds per cuscinetti di lunghezza finita. Si parte, ovviamente, dalle equazioni di governo che, attraverso alcune approssimazioni, formulano l’equazione di Reynolds. Dalla forma stazionaria dell'equazione di lubrificazione di Reynolds, sviluppando le differenziazioni e semplificando, si ottiene un'equazione differenziale alle derivate parziali quasi lineare del 2° ordine in due dimensioni. Per risolvere questa equazione è stato utilizzato un metodo spettrale che esprime la soluzione mediante una serie con valori da 1 all'infinito per tre indici m, n e k, che, nella sua applicazione pratica, deve essere opportunamente troncata per m non superiore a mmax e n non superiore a nmax. I coefficienti incogniti delle funzioni spettrali possono essere determinati per tutti i valori degli indici risolvendo un insieme di sistemi di equazioni lineari, i cui coefficienti sono calcolabili in forma chiusa mediante integrazione col metodo dei residui nel dominio complesso. Inoltre, il modello è stato sviluppato anche in caso di eccentricità rotante (whirling eccentricity), un caso rilevante nelle applicazioni durante i transitori di avvio e arresto dell'albero. Al fine di implementare il modello in MATLAB, sono state prese come riferimento le dimensioni tipiche per il funzionamento di un cuscinetto portante con lubrificante criogenico. Il risultato, preso al variare dell’eccentricità relativa e delle dimensioni del cuscinetto è stato confrontato con quelli generati dai modelli analitici per ILA e ISA.

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SPECTRAL SOLUTION OF REYNOLDS FILM LUBRICATION EQUATION ii

INDICE

1 Introduzione ... 8

1.1 Motori a Razzo a Liquido Criogenico ... 9

1.2 Razzi a Metano Liquido ... 12

1.2.1 Valori Tipici di un Razzo a Metano Liquido ... 15

1.3 Cuscinetti per Motori a Razzo a Liquido Criogenico ... 17

1.3.1 Panoramica Generale dei Cuscinetti ... 17

1.4 Modelli Analitici per il design di un Cuscinetto ... 24

1.4.1 Panoramica delle Soluzioni Analitiche ... 25

1.4.2 Cuscinetto Infinitamente Lungo (ILA) ... 28

1.4.3 Forze sull’Albero nel caso ILA ... 30

1.4.4 Cuscinetto Infinitamente Corto (ISA)... 31

1.4.5 Forze sull’Albero nel caso ISA ... 33

2 Nuovo modello Analitico... 34

2.1 Modello In Forma Chiusa ... 35

2.1.1 Pressione all’Interno di un Journal Bearing ... 36

2.1.2 Soluzione Spettrale: Risoluzione dell’Equazione di Reynolds 37 2.1.3 Risolvere gli Integrali con il Metodo dei Residui ... 43

2.1.4 Soluzione del Modello Analitico ... 53

2.1.5 Reazioni del Cuscinetto ... 55

2.2 Data Sheet ... 61

2.3 Scegliere mmax,nmax,kmax ... 62

2.4 Problemi Incontrati Durante l’Implementazione ... 62

2.5 Singolarità nei Risultati ... 64

3 Nuovo Modello Analitico: Caso Whirlante ... 67

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SPECTRAL SOLUTION OF REYNOLDS FILM LUBRICATION EQUATION iii

3.1.1 Pressure in Oil-Lubricated Whirling Journal Bearings... 73 3.1.2 Spectral Solution for the Reynolds equation problem ... 75 4 Conclusione e Sviluppi Futuri ... 80

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SPECTRAL SOLUTION OF REYNOLDS FILM LUBRICATION EQUATION iv

INDICE FIGURE

Figure 1 Esempio di GG Gas Generator Engine [1s] ... 10

Figure 2 Esempio di Staged Combustion Cycle [1s] ... 11

Figure 3 Scarico completo del Raptor Engine-Oxidizer (Space X)del pre-bruciatore mostrato durante i test del sottosistema su un banco di prova presso Stennis-Space-Center. [2s] ... 13

Figure 4 Test di fuoco del motore AVIO M10 per il lanciatore VEGA[4s] ... 14

Figure 5 Il test Space X lancia il motore Raptor su larga scala per il suo prossimo grande razzo [3s] ... 14

Figure 6 Plain bearing: posiozione dell’albero al variare del numero di giri/ velcoità n [6s] ... 21

Figure 7 Friction coefficient è funzione della velocità- v0 è il punto di transizione, μ=FRFN dove FR è la friction force FN è normal force[6s] ... 21

Figure 8 Parametri fondamentali diun cuscinetto idrodinamico: ... 23

Figure 9 Parametri fondamentali per il modello analitico ... 25

Figure 10 Tipica distribuzione del parametro adimensionale di pressione Cp (L/D>>1) ... 29

Figure 11 Rappresentazione delle reazioni di un cuscinetto ... 30

Figure 12 Tipica distribuzione per il parametro adimensionale di pressione Cp (L/D) <<1 a z=L/2 ... 32

Figure 13 Reazioni all’interno del cuscinetto ... 33

Figure 14 Distribuzione di pressione per m=n=k=10 ε=0.5 e L/D=1 ... 63

Figure 15 Distribuzione di pressione lungo il ϑ-axis per m=n=k=10 ε=0,5 e L/D=1 ... 63

Figure 16 Distribuzione di pressione lungo z con m=n=k=10 ε=0,5 e L/D=1 ... 64

Figure 17 Superficie della distribuzione di pressione con ε=0.8 e mmax=10 ... 64

Figure 18 Distribuzione di pressione rispetto a ϑ con ε=0.8 e mmax=10 ... 65

Figure 19 Distribuzione di pressione con ε=0.9 e mmax=10 ... 65

Figure 20 Distribuzione di pressione rispetto a ϑ con ε=0.9 e mmax=10 ... 65

Figure 21 Questo grafico mostra tre differenti tipi di instabilità – frequenza di roto-vibrazione rispetto alla velocità di rotazione dell’albero [4] ... 68

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SPECTRAL SOLUTION OF REYNOLDS FILM LUBRICATION EQUATION v

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SPECTRAL SOLUTION OF REYNOLDS FILM LUBRICATION EQUATION vi

INDICE TABELLE

Table 1 Parametro di progettazione dei valori Turbopump e DN [2]; ... 16 Table 2 Dati tipici di una turbina per motore a razzo a metano liquido [2] ... 61 Table 3 Dati tipici di una pompa per motore a razzo a metano liquido [2] ... 61 Table 4 Dati utilizzati per l'implementazione - * indica valori misurati a 111 K . 61

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SPECTRAL SOLUTION OF REYNOLDS FILM LUBRICATION EQUATION vii

INDICE SIMBOLI

SIMBOLO DESCRIZIONE UNITÀ

Am,n Coefficiente del vettore soluzione del sistema di

equazioni / c clearance m2 Cp Coefficiente di pressione / D Diametro albero m e Eccentricità m

𝐹∥ Reazione del cuscinetto parallela al vettore eccentricità N

𝐹⊥ Reazione del cuscinetto parallela al vettore eccentricità N

h Spessore sottile del lubrificante m Ik,m Integrale al variare di k e m /

L Lunghezza del cuscinetto m

p Distribuzione di pressione Pa

po Pressione atmosferica Pa

R Raggio dell’albero m

Re Numero di Reynolds /

r Distanza radiale dalla superficie dell’albero m r,ϑ,z Variabile radiale, angolo azimutale, variabile z lungo

l’albero

m,radiant,m

Rs Residuo dell’integrale /

U Velocità di rotazione dell’albero m/s u Velocità del flusso lungo x m/s v Velocità del flusso lungo y m/s w Velocità del flusso lungo z m/s

z Variabile complessa z /

δm,n Delta di Kroncker /

ε Eccentricità relativa /

μm Autovalore per la variabile ϑ /

𝜈l Autovalore per la variabile z /

𝜌 Densità del lubrificante Kg/m3

ϕ Autofunzione per la variabile ϑ / ψ Autofunzione per la variabile z /

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SPECTRAL SOLUTION OF REYNOLDS FILM LUBRICATION EQUATION 8

1 I

NTRODUZIONE

Lo scopo principale di questo studio è lo sviluppo di una soluzione in forma chiusa dell'equazione di Reynolds per i cuscinetti idrodinamici. Molti dei modelli analitici utilizzati per la previsione dei più importanti parametri della vita operativa di un cuscinetto a film lubrificato sono spesso ricavati da approssimazioni relative alle dimensioni del cuscinetto (modelli analitici ILA e ISA , infinitely long approxiamtion, infinitely short approximation).

Le ragioni che hanno spinto ad approfondire questo tema sono di natura duplice: l'interesse per un modello matematico funzionale alternativo e, soprattutto, la possibilità di trovare un modello in forma chiusa in grado di fornire risultati prossimi alla soluzione reale ed al comportamento operativo di un cuscinetto idrodinamico.

L'obiettivo di questa tesi di laurea è quello di fornire un modello analitico per risolvere l'equazione di Reynolds che possa essere applicato a cuscinetti di lunghezza finita che funzionino con lubrificanti pressoché incomprimibili e che sia in grado di prevederne i parametri fondamentali (pressione, reazioni del cuscinetto, portata di lubrificante, ecc.) per il supporto alla progettazione di cuscinetti lubrificati.

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1.1 Motori a Razzo a Liquido Criogenico

Il motore a razzo criogenico utilizza carburanti liquidi che vengono raffreddati a temperature molto basse che altrimenti sarebbero allo stato gassoso alla normale pressione e temperatura atmosferica, come l'idrogeno e l'ossigeno. L'efficienza di uno stadio a razzo criogenico fornisce una spinta migliore per ogni chilogrammo di propellente che brucia, rispetto agli stadi a razzo a propellente liquido solido e immagazzinabile sulla terra. L'impulso specifico ottenibile con propellenti criogenici è molto più elevato rispetto ai propellenti liquidi e solidi immagazzinabili sulla terra, conferendogli un sostanziale vantaggio di carico utile. Dal primo all'ultimo stadio non solo diminuisce l'impulso specifico, ma diminuisce anche le dimensioni del motore. Questo, incentiva e suscita l'interesse per la ricerca di cuscinetti che possano lavorare con turbo-pompe sempre più piccole e ad altissima velocità. Esistono diversi tipi di motori liquidi criogenici che utilizzano diversi combustibili e ossidanti, solo alcuni saranno elencati come esempio: • LH2/LOx • Kerosene/LOx • RP-1/LOx • RL-10 • LE-7/7A

I motori a razzo criogenici seguono la stessa configurazione dei cicli del tipico motore a razzo:

• Gas Generator Cycle (GG); • Staged Combustion Cycle (SG);

• Full-Flow staged combustion cycle (FFSC);

I cicli possono essere soggetti a cambiamenti in parte della loro struttura, tra cui il numero di turbo-pompe, la disposizione delle turbine (in serie e in parallelo), la disponibilità di pompe booster, la disponibilità di kick pump, ecc.

Gas Generator Cycle è un dispositivo per la generazione di gas, come dice il nome stesso. Un dispositivo GG può creare gas con una reazione chimica per

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fonte solida o liquida. Questo ciclo fornisce una migliore e maggiore potenza motrice a causa delle condizioni in cui sono prodotti perché conferisce una migliore attività chimica energetica e inferiore, che consente di lavorare con temperature elevate (figura 1)

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Staged Combustion cycle questo tipo di configurazione può utilizzare dispositivi di combustione ricchi di combustibile o ossidanti, questo dipende dal propellente. Ad esempio, il motore a idrogeno liquido è progettato con un dispositivo pre-bruciatori ricco di carburante, mentre il motore a propellente a idrocarburi è progettato con un dispositivo pre-bruciatori ricco di ossidante.(Figura 2).

Full-Flow staged combustion cycle (FFSC) questo tipo di configurazione utilizza entrambi i tipi contemporaneamente.

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1.2 Razzi a Metano Liquido

I carburanti utilizzati per un motore a propellente liquido sono molteplici e con caratteristiche diverse (idrogeno, cherosene, etanolo). Dai combustibili fossili del razzo sovietico Proton fino allo Space Shuttle americano, che emette vapore acqueo pulito allo scarico. Il metano liquido invece è un tipo di combustibile con caratteristiche intermedie. Non è ottimo per l'ambiente in quanto produce anidride carbonica, un gas serra, sebbene in quantità minore rispetto ad altri combustibili. Inoltre, rispetto all'idrogeno liquido, può essere immagazzinato in serbatoi più piccoli. Le agenzie spaziali stanno finanziando lo sviluppo di motori a razzo a metano liquido con requisiti di riutilizzabilità con l'obiettivo di abbattere sia i costi di ciclo di vita (Life Cycle Costs).

Ad esempio, il cherosene, finora spesso utilizzato per molti razzi, è un combustibile a base di idrocarburi che diventa “gommoso” e deposita un film duro sui componenti del motore all'aumentare della temperatura, un processo noto come "coking". L’effetto del coking rende problematica la possibilità di utilizzarlo per il raffreddamento della di combustione del motore. Questo fenomeno, con il metano liquido, non avviene e consente quindi eventualmente di utilizzarlo efficacemente come refrigerante in alternativa all'ossigeno liquido il cui utilizzo comporta il difficile superamento di alcune criticità tecnologiche relative alla compatibilità ad alta temperatura con i materiali con cui viene in contatto. Quindi, con il motore a metano liquido si acquisiscono alcuni vantaggi:

• Il metano liquido brucia senza inquinare; • Alleggerimento del razzo;

• Riutilizzo con conseguente riduzione dei costi;

L'impiego di LOx / LCH4 come propellenti per motori a razzo fu originariamente proposto negli anni '60 come un'alternativa all'idrogeno per alimentare il veicolo spaziale per spedizioni di lunga durata con equipaggio su Marte. Il metano liquido presenta una capacità di conservazione più lunga, più facile e una densità maggiore dell'idrogeno. Anche la NASA ha iniziato a progettare motori a metano liquido e il primo prototipo è stato sviluppato per essere usato durante le fasi di controllo (sistema di controllo e sistemi di manovra

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satellitare) dopo il 2000. L'agenzia spaziale russa "ROSCOSMOS" , negli anni '90, non solo ha sviluppato nuovi modelli ma ha anche convertito, per l’utilizzo di questo propellente verde, quelli esistenti. Tuttavia, il primo concetto di motore è stato sviluppato dall'agenzia spaziale privata SpaceX, che lo ha applicato in una famiglia di motori identificata con il nome di "Raptors" (fig. 3). Anche Avio Aero, una società italiana con la collaborazione dell'agenzia russa KBKHA, ha sperimentato il primo motore prototipo in Europa (M10) e, come ha commentato l'amministratore delegato di Avio Giulio Ranzo, “In the medium term, this engine will allow to replace the last two propulsion stages (Z9 and Avum) with a new cryogenic propulsion stage far more efficient and flexible. Our objective is to keep on increasing Vega’s cost competitiveness and manoeuvrability to orbit small satellites in low earth orbit, while the possibility to launch bigger satellites in geostationary and medium orbits will be ensured by Ariane 6”.

Figure 3 Scarico completo del Raptor Engine-Oxidizer (Space X)del pre-bruciatore mostrato durante i test del sottosistema su un banco di prova presso Stennis-Space-Center.[2s]

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Figure 4 Test di fuoco del motore AVIO M10 per il lanciatore VEGA[4s]

Figure 5 Il test Space X lancia il motore Raptor su larga scala per il suo prossimo grande razzo [3s]

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1.2.1 Valori Tipici di un Razzo a Metano Liquido

Il motore funziona con ossigeno liquido (LOx) come ossidante e metano liquido come propellente (CH4). Come esempio, verrà considerata la configurazione più utilizzata per i motori (ciclo GG): il metano liquido scorre attraverso la pompa e aumenta la sua entalpia raffreddando la camera di combustione, quindi l'aumento dell'entalpia del combustibile viene utilizzato nell'espansione in turbina. In questo modo il lavoro meccanico ottenuto viene utilizzato per azionare le due pompe, per ossidante e combustibile, che potrebbero essere posizionate nello stesso albero (per maggiori informazioni vedere riferimento [1] e [2]). Innanzitutto, è importante definire i diversi parametri che dobbiamo usare come riferimento per sviluppare e testare il modello analitico:

• Salto di pressione pompa; • Velocità di rotazione albero; • Parametro DN del cuscinetto; • Salto di pressione nella turbina; • Temperatura turbina;

• Potenza all’albero; • Peso;

Il parametro DN, a differenza di alcuni parametri elencati che non richiedono ulteriori spiegazioni, richiede una breve descrizione del perché è importante per il dimensionamento dei cuscinetti

Paramentro DN è definito come un prodotto tra il diametro D dell'albero e la sua velocità di rotazione N (in giri / min). È un parametro fondamentale che viene utilizzato per determinare la corretta viscosità dell'olio per la lubrificazione di vari tipi di cuscinetti e può anche essere utilizzato per stabilire se un cuscinetto è adatto all'uso in una determinata applicazione. Inoltre, per i futuri sistemi di trasporto spaziale, per ridurre i costi di lancio e aumentare l'efficienza, negli ultimi anni sono stati richiesti motori a razzo avanzati caratterizzati da elevata durabilità e da alte prestazioni (rapporto peso/potenza). Per conseguire questo obiettivo, è richiesto un funzionamento delle turbopompe con velocità estremamente alte, superiori a 100.000 giri / min.

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Pertanto, il fattore DN cresce proporzionalmente alle richieste appena elencate sopra e deve essere preso in considerazione se si desidera che il sistema venga dimensionato in maniera corretta.

La tabella seguente mostra i valori tipici di una turbopompa che lavora con LH2 per il secondo e il primo stadio con diversa configurazione (GG-SG). Questi valori saranno presi come esempio e riferimento per il funzionamento dei cuscinetti (vedi riferimento [2]):

Second Staged of H-1 (GG) First Staged of H-2 (SG)

Turbopompa LO2 LH2 LO2 LH2

Peso 23 Kg 25 Kg 160 Kg 200 Kg

Pressione pompa 5,2 MPa 5,5 MPa 17,4 MPa 36 MPa

Velo. Rot. Albero 16.500 rpm 50.000 rpm 18.000 rpm 42.000 rpm

Parametro DN

(mm x rpm)

49,5 x 104 _{125 x 10}4 _{81 x 10}4 _{168 x 10}4

Press. Turbina. 0,48 MPa 2,4 MPa 19,1 MPa 20,6 MPa

Temp. Turbina. 690 K 840 K 810 K 830 K

Pot. all’albero 130 kW 490 kW 4.700 kW 19.700 kW Table 1 Parametro di progettazione dei valori Turbopump e DN [2];

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1.3 Cuscinetti per Motori a Razzo a Liquido Criogenico

La ricerca sui cuscinetti per motori a razzo ha avuto uno sviluppo costante, ovviamente accompagnato da continue ricerche e prove sperimentali. Queste attività sono condotte in parallelo alla costruzione di nuovi razzi che devono assolvere missioni sempre più complesse ( viaggi futuri su Luna e Marte).

1.3.1 Panoramica Generale dei Cuscinetti

Nelle turbopompe a propellente liquido criogenico sono stati installati diversi sistemi di cuscinetti:

Ball Bearings: per carico radiale e di spinta, dipende dalla loro posizione. Il rotore della turbopompa è direttamente supportato da due serie di cuscinetti a sfera autolubrificanti dal fluido della pompa criogenica. La tenuta meccanica del turbopompa è installata tra la pompa criogenica e la turbina a gas. Le componenti che funzionano ad alta velocità, come i cuscinetti, le tenute per alberi, le tenute a labirinto, gli anelli di usura ed i pistoni di bilanciamento, operano tramite lubrificanti adeguati per proteggerli da forti attriti e dall'usura nell'ambiente del combustibile (LH2) o dell'ossidante (LO2) dei propellenti criogenici (vedi riferimento [3]). Gli elementi volventi che funzionano in ambienti criogenici sono generalmente lubrificati da un film solido di teflon, che viene trasferito dalla gabbia del cuscinetto agli elementi volventi e quindi alle piste dei cuscinetti. In altri casi spesso si utilizza il propellente pompato dalla macchine direttamente come lubrificante. In caso di mancata o insufficiente lubrificazione, in genere si verifica il cedimento del cuscinetto dovuto all'eccessiva usura della gabbia, degli elementi volventi e / o delle piste. Quindi, l'usura è il fenomeno limitante per i cuscinetti volventi di lunga durata in queste applicazioni.

Vantaggi (vedi riferimento [5s]): • Basso attrito;

• Lubrificazione minima;

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• Non è richiesto movimento separato; Svantaggi:

• Sensibile agli urti;

• Rumoroso ad alta velocità;

• Più alti i costi iniziali;

Cylindrical Bearing: maggiore capacità di carico radiale rispetto al cuscinetto a sfere e libertà dell'albero in direzione assiale. Di solito la configurazione e la posizione sono le stesse del cuscinetto a sfere

Vantaggi (vedi riferimento [5s]):

• A causa del contatto lineare, la coppia di rotazione è maggiore per i cuscinetti a rulli rispetto ai cuscinetti a sfera, maggiore è anche la rigidità;

• La capacità di carico è maggiore per i cuscinetti volventi. I cuscinetti a rulli cilindrici dotati di un labbro possono sopportare lievi carichi assiali. La combinazione di cuscinetti a rulli conici in coppia consente ai cuscinetti di sostenere un carico assiale in entrambe le direzioni;Svantaggi:

• Sensibile agli urti;

• Rumoroso ad alta velocità;

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Hydrostatic Bearing: i cuscinetti idrostatici sono cuscinetti per fluido pressurizzati esternamente. In generale, il cuscinetto idrostatico si affida alla pressurizzazione del fluido esterno per generare supporto del carico allo spunto ed all'arresto e fornisce un'elevata rigidezza anche in assenza di rotazione dell'albero e indipendentemente dalla viscosità del fluido. Di seguito sono riportati i vantaggi e gli svantaggi dei cuscinetti idrostatici.

Vantaggi (vedi riferimento [6s]):

• Il carico non dipende dallo spessore del film o dalla viscosità del lubrificante;

• Lunga vita senza usura della superficie;

• Fornisce rigidità e coefficiente di smorzamento di varia grandezza;

• Supporta carichi di grandi dimensioni. Il supporto del carico è funzione della caduta di pressione attraverso il cuscinetto e l'area d’azione della pressione del fluido;

• Lubrificazione del fluido sempre attiva, inclusi avviamento e degradazione, quindi nessun rischio di usura eccessivo;

• dimensioni minori e minori perdite per attrito rispetto a cuscinetti idrodinamici di uguale portata;

Svantaggi:

• Elevato consumo energetico a causa delle perdite di pompaggio;

• Potenziale causa di instabilità idrodinamica nel funzionamento in modalità ibrida;

• Richiede attrezzature ausiliarie. Maggiori costi di installazione e manutenzione;

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• Necessità di apparecchiature per la filtrazione del fluido. Perdita di prestazioni con contaminazione del fluido;

• Maggiori costi di produzione rispetto ai cuscinetti a strisciamento idrodinamici (diverse operazioni di fabbricazione);

Hybrid Bearing: si compone di cuscinetto a sfere e idrostatico. Questa configurazione è stata utilizzata per i motori a razzo a propellente liquido (ad esempio il razzo a LH2 / LOx). In particolare, il cuscinetto è costituito da una coppia di cuscinetti a sfere a contatto obliquo racchiusi in un perno, supportato, a sua volta, da un film di fluido criogenico.

Un'altra categoria di cuscinetti che non è stata elencata in precedenza perché non è mai stata utilizzata nei motori a razzo criogenici, è quella dei cuscinetti idrodinamici. Sono importanti a causa dei recenti requisiti relativi al sistema della turbopompa per motori a razzo criogenici (elevata durata, regime di rotazione ultraveloce, alte prestazioni di carico, vedere la sezione 1.2.1).

• Hydrodynamic Bearing: su di esso sono stati fatte varie ricerche e sviluppi. Per questo tipo di cuscinetti possiamo distinguere tre fasi: avvio, funzionamento, arresto. L'avvio è la fase operativa da fermo a piena velocità operativa. All'aumentare della velocità di scorrimento, i cuscinetti a strisciamento idrodinamici presentano un attrito misto, composto da attrito secco che gradualmente lascia il posto all'attrito fluido quando la velocità aumenta ulteriormente. Infine, il punto di transizione viene raggiunto quando le superfici si separano completamente l'una dall'altra e viene stabilita la lubrificazione a film fluido completo con un minimo di perdite per attrito (vedere riferimento [6s]). Man mano che la velocità di scorrimento aumenta ulteriormente, lo spessore del fluido lubrificante cresce, ma le perdite aumentano leggermente (fig. 6 and fig. 7).

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Figure 7 Friction coefficient è funzione della velocità- v0 è il punto di transizione,

μ=FRFN dove FR è la friction force FN è normal force[6s]

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Vantaggi (vedi riferimento [2s]): • Basso attrito;

• Lunga vita operativa senza eccessivo deterioramento; Svantaggi:

• I cuscinetti idrodinamici richiedono una lubrificazione forzata per mantenere il film completo;

• È necessaria la viscosità corretta del lubrificante per evitare il contatto tra albero e mozzo;

• Durante l'avviamento e il degrado (le due fasi transitorie), la lubrificazione a film fluido completo è impossibile, con conseguente usura delle superfici di scorrimento (attrito misto);

Per i motivi spiegati nel paragrafo 1.2.1, gli ultimi tre cuscinetti devono essere implementati sui motori a razzo a metano liquido (come per i cuscinetti ibridi nei motori a razzo LH2 / LOX). La Figura 8 mostra i parametri di base per la fase operativa di un cuscinetto del “journal bearing”.

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Figure 8 Parametri fondamentali diun cuscinetto idrodinamico: 1. Lubricant;

2. hmin = minimo spessore del film fluido;

3. Fext = forza esterna agente sul cuscinetto;

4. Pressure distribution = distribuzione di pressione nel cuscinetto; 5. Fhyd = forza idrodinamica;

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1.4 Modelli Analitici per il design di un Cuscinetto

In letteratura ci sono diversi metodi numerici ma pochi modelli analitici per risolvere l'equazione di Reynolds. Tuttavia, i modelli analitici finora utilizzati, richiedono approssimazioni sulla dimensione del cuscinetto che ne limitano l'uso. Molto spesso si preferisce adattare il cuscinetto al modello e non viceversa. I principali modelli analitici sono:

• ILA – Infinitely Long Approximation which considers a journal bearing from 𝐿 𝐷⁄ ≫ 1;

• ISA – Infinitely Short Approximation which considers a journal bearing from 𝐿 𝐷⁄ ≪ 1;

Questi due modelli verranno spiegati brevemente per introduzione, ma il lettore può consultare qualsiasi libro di testo per ulteriori informazioni.

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1.4.1 Panoramica delle Soluzioni Analitiche

Innanzitutto, definiamo le equazioni di Reynolds generiche con le seguenti ipotesi

• Flusso incomprimibile, viscosità costante µ;

• Approssimazione di flusso quasi-parallelo (strato sottile) Clearance c << R

Le equazioni generali sono:

𝜕𝜌 𝜕𝑧+ 1 𝑟 𝜕 𝜕𝑟(𝑟𝜌𝑢) + 1 𝑟 𝜕 𝜕𝜗(𝜌𝑣) + 𝜕 𝜕𝑧(𝜌𝑤) = 0 (1.1) 𝜕𝑢 𝜕𝑡+ 𝑢 𝜕𝑢 𝜕𝑟+ 𝑣 𝜕𝑢 𝑟𝜕𝜗+ 𝑤 𝜕𝑢 𝜕𝑧− 𝑣2 𝑟 = = −1 𝜌 𝜕𝑝 𝜕𝑟+ 𝜈 [ 1 𝑟 𝜕 𝜕𝑟(r 𝜕𝑢 𝜕𝑟 ) + 𝜕2_𝑢 𝑟𝜕𝜗2− 𝑢 𝑟2− 2𝜕𝑣 𝑟2_𝜕𝜗+ 𝜕2_𝑢 𝜕𝑧2] (1.2)

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SPECTRAL SOLUTION OF REYNOLDS FILM LUBRICATION EQUATION 26 𝜕𝑣 𝜕𝑡+ u 𝜕𝑣 𝜕𝑟+ 𝑣 𝜕𝑣 𝑟𝜕𝜗+ 𝑤 𝜕𝑣 𝜕𝑧− 𝑢𝑣 𝑟 = = −1 𝜌 𝜕𝑝 𝜕𝑟+ 𝜈 [ 1 𝑟 𝜕 𝜕𝑟(r 𝜕𝑢 𝜕𝑟 ) + 𝜕2𝑢 𝑟𝜕𝜗2− 𝑢 𝑟2− 2𝜕𝑣 𝑟2_𝜕𝜗+ 𝜕2𝑢 𝜕𝑧2] (1.3) 𝜕𝑤 𝜕𝑡 + u 𝜕𝑤 𝜕𝑟 + 𝑣 𝜕𝑤 𝑟𝜕𝜗+ 𝑤 𝜕𝑤 𝜕𝑧 − 𝑢𝑣 𝑟 = (1.4) = −1 𝜌 𝜕𝑝 𝜕𝑟+ 𝜈 [ 1 𝑟 𝜕 𝜕𝑟(r 𝜕𝑤 𝜕𝑟 ) + 𝜕2𝑤 𝑟𝜕𝜗2+ 𝜕2𝑤 𝜕𝑧2] (1.5)

Essendo c << R con la posizione r = R + x dove x è la distanza dalla superficie dell'albero (fig.9), possiamo condurre un'analisi dimensionale:

𝑣~𝑢𝑐 𝑅; 𝜕 𝜕𝑟= 𝜕 𝜕𝑥~ 1 𝑐; 𝜕2 𝜕𝑟2= 𝜕2 𝜕𝑥2~ 1 𝑐2; (1.6) 𝜕 𝜕𝜗~ 𝜕2 𝜕𝜗2~1; 𝜕 𝜕𝑧~ 𝜕2 𝜕𝑧2 (1.7)

Quindi le equazioni approssimative sono (trascurando i termini dell'ordine c / R << 1 o superiore): 𝜕𝜌 𝜕𝑡+ 𝜕(𝜌𝑢) 𝜕𝑥 + 𝜕(𝜌𝑣) 𝑅𝜕𝜗 + 𝜕(𝜌𝑤) 𝜕𝑧 = 0 ⇒ 𝜕𝜌 𝜕𝑡+ 𝜕(𝜌𝑢) 𝜕𝑥 + ∇ · (𝜌𝑼) = 0 (1.8) 0 = −𝜕𝑝 𝜕𝑥 (1.9)

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SPECTRAL SOLUTION OF REYNOLDS FILM LUBRICATION EQUATION 27 { 0 = − 𝜕𝑝 𝑅𝜕𝜗+ µ 𝜕2 𝜕𝑥2 0 = −𝜕𝑝 𝜕𝑧+ µ 𝜕2_𝑤 𝜕𝑥2 ⟹𝜕 2_𝑈 𝜕𝑥2 = ∇′𝑝 µ (1.10)

Integrazione due volte in x da 0 a h (spessore del film) con U|x=0=ΩR𝒆𝝑 e U|x=h=0

𝑈 = 𝒆𝝑ΩR (1 −

𝑥 ℎ) +

𝑥2− ℎ𝑥

2µ ∇′𝑝 (1.11)

Ora integrando l'equazione di continuità (1.6) e quindi usando la regola di Leibnitz per il primo termine e integrando il secondo termine:

𝜕(𝜌ℎ) 𝜕𝑡 = ∇ · ( 𝜌ℎ3 12µ∇ ′_{𝑝 −}𝜌Ω𝑅ℎ 2 𝒆𝝑) (1.12)

Tenendo presente che la stessa forma dell’ equazione di Reynolds vale per: • Journal Bearing, dove per il teorema di Carnot, al primo ordine

𝑐 𝑅

⁄ ≪ 1 (1.13)

(𝑅 + ℎ)2= (𝑅 + 𝑐)2+ 𝑒2− 2(𝑅 + 𝑐)𝑒 cos 𝜗 (1.14)

⇒ ℎ = 𝑐 − 𝑒 cos 𝜗 (1.15)

• Slider Bearing, entrambi lineare o rotante (Michell), con:

{ ℎ0+ ( ∆ℎ ∆𝑦) 𝑦 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑟 𝑏𝑒𝑎𝑟𝑖𝑛𝑔𝑠 ℎ0+ ( ∆ℎ ∆𝜗) ∆𝜗 𝑀𝑖𝑐ℎ𝑒𝑙𝑙 𝑏𝑒𝑎𝑟𝑖𝑛𝑔𝑠 (1.16)

• Compressible-flow bearings (air bearings, ventilated bearing), con 𝜌= 𝜌(p);

(29)

Nei prossimi paragrafi analizzeremo i due casi utilizzati per la semplificazione delle equazioni di Reynolds (ILA e ISA).

1.4.2 Cuscinetto Infinitamente Lungo (ILA)

La prima considerazione da fare è L >> 2R e ∂ / ∂z = 0, ma ce ne sono altri: • Stazionario, flusso completamente controllato;

• Densità costante, 𝜌, e viscosità, µ;

• P=Pi a 𝜗 = 𝜗𝑖 = 0 (pedice i per punto di iniezione);

Dall’equazione di Reynolds (1.10) la relazione semplificata è :

𝜕 𝑅𝜕𝜗(ℎ

3 𝜕𝑝

𝑅𝜕𝜗− 6ℎµΩ𝑅) = 0 (1.17)

In termini fisici, questa approssimazione implica che il termine associato alle perdite è trascurabile.

Con le seguenti condizioni a bordo:

𝑝(𝜗_𝑖) = 𝑝(𝜗_𝑖 + 2𝜋) = 𝑝_𝑖 and ℎ = 𝑐 − 𝑒 cos 𝜗

Dopo integrando due volte con

ɛ

= e/c (eccentricità relativa) si ottiene:

𝐶𝑝= 𝑝 − 𝑝𝑖 6µΩ (𝑅_{𝑐 )} 2= − 2 − 𝜀 cos 𝜗 2 + 𝜀2 𝜀 cos 𝜗 (1 − 𝜀 cos 𝜗)2 ₍_1.18)

(30)

La distribuzione della pressione è simmetrica rispetto a ϑ = 0, e cresce rispetto all'eccentricità (maggiore è l'eccentricità, maggiore è il picco di pressione e viceversa). Inoltre, la curva non è sinusoidale a causa della dipendenza non lineare di h.

(31)

1.4.3 Forze sull’Albero nel caso ILA

E’ importante analizzare la distribuzione delle forze sull'albero, quindi considerando l'eccentricità ci sono due componenti una parallela ad essa e una perpendicolare ad essa: 𝐹||= − ∫ (𝑝 − 𝑝𝑖)𝑅 cos 𝜗𝑑𝜗 𝜋 −𝜋 (1.19) 𝐹⊥= − ∫ (𝑝 − 𝑝𝑖)𝑅 sin 𝜗𝑑𝜗 𝜋 −𝜋 (1.20)

Per la prima integrazione i risultati sono: 𝐹_|| = 0 𝐹⊥= 6𝜋µΩ𝑅 ( 𝑅 𝑐) 2

_ɛ

√1 −

ɛ

2_{(1 +}1 2

ɛ

2) (1.21)

Mentre il momento torcente si può calcolare con la relazione:

(32)

SPECTRAL SOLUTION OF REYNOLDS FILM LUBRICATION EQUATION 31 𝑀 = ∫ µ𝜕𝑣 𝜕𝑥 𝜋 −𝜋 | |_𝑥=0𝑅2𝑑𝜗 = 4𝜋µΩ𝑅2( 𝑅 𝑐) 1 √1 −

ɛ

2 (1.22)

Come si può vedere, sia la forza che la coppia sono proporzionali con Ω e non linearmente con ɛ. tuttavia, F è proporzionale a ɛ è quasi lineare e M ~ ɛ0 (costante) in ɛ per valori moderati di ɛ ≪ 1.

1.4.4 Cuscinetto Infinitamente Corto (ISA)

Come suggerisce il titolo stesso, il presupposto principale è quello di avere la relazione L<<2R and 𝜕𝑝

𝑅𝜕𝜗≪ 𝜕𝑝

𝜕𝑧 ma ce ne sono altri non meno importanti: • Flusso costantemente controllato;

• Densità costante 𝜌 e viscosità costante µ; • Spessore film linearizzato ℎ = 𝑐 − 𝑒 cos 𝜗;

• p=pa (pressione ambiente) alla fine del cuscinetto (𝑧 = ± 𝐿 2⁄ );

Nell'approssimazione del cuscinetto “short”, possiamo trascurare il primo termine componente tangenziale e considerare il secondo, componente assiale. Quindi, l'equazione di Reynolds (1.10) diventa:

𝜌ℎ3 12µ 𝜕2𝑝 𝜕𝑧2− 𝜌𝛺 2 𝑑ℎ 𝑑𝜗≅ 0 (1.23)

Fisicamente, questa approssimazione implica che il termine associato al flusso nella direzione del movimento di scorrimento è trascurabile rispetto al secondo termine. Per quanto riguarda nei cuscinetti lunghi, ora analizziamo le forze dell'albero. Integrazione dell'equazione della pressione (1.23) con condizioni a bordo: { 𝜕𝑝 𝜕𝑧 ⁄ |𝑧=0= 0 𝑝|𝑧=𝐿/2 = 𝑝𝑎 (1.24)

(33)

Integrando con _{ℎ = 𝑐 − 𝑒 cos 𝜗 ⟹ 𝜕ℎ 𝜕𝜗}⁄ = 𝑒 sin 𝜗 si ottiene:

𝑝 − 𝑝𝑎= 3µɛ 𝑐2 sin 𝜗 1−ɛ cos 𝜗3(𝑧 2₋𝐿2 4) 𝑤ℎ𝑒𝑟𝑒

ɛ =

𝑒 𝑐 (1.25) E componente di velocità 𝑈 =𝑥 2_{− ℎ𝑥} 2µ ∇ ′_{𝑝 + Ω𝑅 (1 −}𝑥 ℎ) 𝑒𝜗 ⟹ { 𝑣 = ΩR (1 −𝑥 ℎ) 𝑤 ≅𝑥 2_{− ℎ𝑥} 2µ 𝜕𝑝 𝜕𝑧 (1.26)

Sotto una distribuzione tipica per il modello analitico con cuscinetti “short”. Per il calcolo del grafico seguente sono stati presi dati tecnici generici. È a scopo informativo:

Figure 12 Tipica distribuzione per il parametro adimensionale di pressione Cp (L/D) <<1 a z=L/2

(34)

1.4.5 Forze sull’Albero nel caso ISA

Integrando le forze di pressione e della coppia viscosa sulla superficie infinitesima dell'asse 𝑑𝑆 = 𝑛𝑅𝑑𝜗𝑑𝑧, F||=0 e F perpendicolare al vettore eccentricità sarà: 𝐹⊥= 𝜋µΩRL 2 ( 𝐿 𝑐) 2 _𝜀 (1 − 𝜀2₎3/2 (1.27) 𝑀 = 𝜋µΩ𝑅2L 𝑅_⁄_𝑐 1 − 𝜀2 (1.28) Qui, il cuscinetto “short” dipende, sia per F che per M, da Ω e ε.

(35)

2 N

UOVO MODELLO

A

NALITICO

Un modello analitico in forma chiusa, al contrario di uno numerico, sarebbe più manovrabile con i dati iniziali e più preciso. Innanzitutto, verranno elencati i passaggi analitici, quindi i risultati verranno mostrati e commentati. Una risoluzione efficace con il minor numero di approssimazioni possibile aiuterebbe a prevedere il comportamento operativo nel modo più preciso possibile. Potremmo conoscere la distribuzione della pressione, la portata, la reazione dei cuscinetti e la coppia di moto per cuscinetti a lunghezza finita, lunghi e corti. Si dice che un cuscinetto è finito se il rapporto lunghezza / diametro L/D è dell'ordine 1 e per questo tipo di cuscinetti le soluzione ISA o ILA sono scarsamente accurate. Ovviamente, esistono comunque dei metodi numerici (ovvero il metodo delle differenze finite) che potrebbero aiutare a risolvere l'equazione di Reynolds, anche in termini di cuscinetti finiti. Una soluzione numerica non offre una forma algebrica, ma offre un sistema in grado di calcolare solo il risultato finale. Ciò significa che, pur volendo aggiornare un metodo, aumentarne la precisione o, in generale, modificarlo, non è possibile. Essere in grado di progettare il giusto cuscinetto significa avere prima di tutto un metodo di calcolo per prevedere i parametri più importanti della vita operativa di un cuscinetto.

Lo sviluppo di cuscinetti lubrificati a film che funzionino con un rapporto DN elevato (velocità di rotazione ≥20000 rpm) e con lubrificante criogenico (bassa viscosità), è stata e rimane la ragione principale per la ricerca in questo settore tecnologico. D'ora in poi il modello verrà visualizzato con tutti i passaggi e le operazioni.

(36)

2.1 Modello In Forma Chiusa

Le principali assunzioni sono uguali ai modelli analitici precedenti: • Flusso a viscosità incomprimibile, viscosità costante; • Flusso quasi-parallelo (strato sottile): clearance 𝑐 ≪ 𝑅;

Per governare l'equazione in coordinate cilindriche r, ϑ, z possiamo fare riferimento a quelli precedentemente scritti nel paragrafo 1.4.

Sappi che c≪R con la posizione r = (R + x) (x = distanza radiale dalla superficie dell'albero) 𝑢~𝑣𝑐 𝑅; 𝜕 𝜕𝑟= 𝜕 𝜕𝑥~ 1 𝑐; 𝜕2 𝜕𝑟2= 𝜕2 𝜕𝑥2~ 1 𝑐2; (2.1) 𝜕 𝜕𝜗~ 𝜕2 𝜕𝜗2~1; 𝜕2 𝜕𝑧2~ 1 𝑅2 (2.2)

Da questa analisi dell'ordine di grandezza: 𝐷𝒖 𝐷𝑡 = 𝜌 𝜕𝒖 𝜕𝑡+ 𝜌𝒖 · ∇𝐮~𝝆𝛺 2_{𝑅 , ∇𝑝~}𝑝0 𝑅 and 𝜇∇ 2_𝒖~𝜇𝛺𝑅 𝑐2

e l'equazione del momento non dimensionale (indicata da tilde) scrive: 𝜕~u 𝜕𝑡 +~u · ∇~u = 𝑝₀ 𝜌𝛺2_𝑅2 ~_∇_~_p ₊ 𝜈 𝛺𝑐2 ~_∇₂_~_u

Quindi i termini inerziali possono essere trascurati senza termini viscosi purché il numero di Reynolds del film lubrificante sia:

𝑅𝑒_𝑐 =𝛺𝑐 2 𝜈 ≪ 1

Una condizione generalmente verificata nei cuscinetti a snodo lubrificati ad olio. Approssimazioni di equazioni per ordinare 0 pollici 𝑐 𝑅 ≪ 1⁄ for Rec≪ 1:

(37)

SPECTRAL SOLUTION OF REYNOLDS FILM LUBRICATION EQUATION 36 𝜕𝜌 𝜕𝑡 + 𝜕(𝜌𝑢) 𝜕𝑥 + 𝜕(𝜌𝑣) 𝑅𝜕𝜗 + 𝜕(𝜌𝑤) 𝜕𝑧 = 0 ⇒ 𝜕𝜌 𝜕𝑡+ 𝜕(𝜌𝑢) 𝜕𝑥 + ∇′ · (𝜌𝑼) (2.3) 0 = −𝜕𝑝 𝜕𝑥 (2.4) { 0 = − 𝜕𝑝 𝑅𝜕𝜗+ µ 𝜕2 𝜕𝑥2 0 = −𝜕𝑝 𝜕𝑧+ µ 𝜕2𝑤 𝜕𝑥2 ⟹𝜕 2_𝑼 𝜕𝑥2 = ∇′𝑝 µ (2.5)

Integrazione due volte in x da 0 a h (spessore del film) con U|x=0=ΩR𝑒𝜗 and U|x=h=0 𝑼 = 𝒆𝝑ΩR (1 − 𝑥 ℎ) + 𝑥2− ℎ𝑥 2µ ∇′𝑝 (2.6)

Si noti che il flusso è controllato dall'equilibrio tra pressione e forze viscose e le equazioni di governo sono identiche nelle coordinate cilindriche e cartesiane.

2.1.1 Pressione all’Interno di un Journal Bearing

Fino ad ora è stata eseguita una procedura standard per le equazioni di Reynolds con le approssimazioni necessarie, ma ora, entrando nel cuore dell'argomento, procediamo in modo diverso.

Dalla forma costante dell'equazione di lubrificazione del film di Reynolds:

Sviluppare le differenziazioni e semplificare:

𝜕 𝑅𝜕𝜗( ℎ3 6µ 𝜕𝑝 𝑅𝜕𝜗) + 𝜕 𝜕𝑧( ℎ3 6µ 𝜕𝑝 𝜕𝑧) = Ω 𝜕ℎ 𝜕𝜗+ 2 𝜕ℎ 𝜕𝑡 (2.8) (𝒆𝝑 𝜕 𝑅𝜕𝜗+ 𝒆𝒛 𝜕 𝜕𝑧) · ( 𝜌ℎ3 12µ𝒆𝝑 𝜕𝑝 𝑅𝜕𝜗+ 𝜌ℎ3 12µ𝒆𝒛 𝜕𝑝 𝜕𝑧− 𝜌Ω𝑅ℎ 2 𝒆𝝑) = 𝜕(𝜌ℎ) 𝜕𝑡 (2.7)

(38)

SPECTRAL SOLUTION OF REYNOLDS FILM LUBRICATION EQUATION 37 o: 𝜕2𝑝 𝜕𝜗2+ 3 ℎ 𝜕ℎ 𝜕𝜗 𝜕𝑝 𝜕𝜗+ 𝑅 2𝜕 2_𝑝 𝜕𝑧2 = 6µ𝑅2 ℎ2 (Ω 𝜕ℎ 𝜕𝜗+ 2 𝜕ℎ 𝜕𝑡) (2.9) con: {0 ≤ 𝜗 ≤ 2𝜋 0 ≤ 𝑧 ≤ 𝐿

(equazione alle derivate parziali del secondo ordine in due dimensioni quasi lineare) con condizioni a bordo del tipo:

{ 𝑝|𝜗 = 𝑝|𝜗+2𝜋 𝜕𝑝 𝜕𝜗|𝜗 = 𝜕𝑝 𝜕𝜗|𝜗+2𝜋 𝑎𝑛𝑑 𝑝|𝑧=0,𝐿 = 0

2.1.2 Soluzione Spettrale: Risoluzione dell’Equazione di Reynolds

Considerato un problema agli autovalori (EVP):

𝜙′′_{(𝜗) + 𝜇}2_{𝜙(𝜗) = 0 𝑤𝑖𝑡ℎ 2𝜋 − 𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑑𝑖𝑐} _(2.10)

dopo:

𝜙(𝜗) ∼ 𝑒𝜆𝜗⟹ 𝜆 = ±𝑖𝜇 ⟹ 𝜙(𝜗) = 𝐴 cos 𝜇𝜗 + 𝐵 sin 𝜇𝜗 (2.11)

con:

𝜇 = 𝜇𝑚 = 𝑚 𝑚 = 1,2 … (ϑ-eigenvalues) (2.12)

e, per simmetria, condizioni a bordo omogenee: 𝜙(0) = 0 ⟹ 𝐴 = 0

(39)

SPECTRAL SOLUTION OF REYNOLDS FILM LUBRICATION EQUATION 38 𝜙(𝜗) = 𝜙_𝑚(𝜗) = sin(𝜇_𝑚𝜗) = sin(𝑚𝜗) e perciò: 𝜙_𝑚′ _{(𝜗) = 𝜇} 𝑚cos(𝜇𝑘) = 𝑚 cos(𝑚𝜗) inoltre, per ogni due autofunzioni:

{𝜙𝑚 ′′_{(𝜗) + 𝜇}2_𝜙 𝑚(𝜗) = 0 𝜙𝑘′′(𝜗) + 𝜇2𝜙𝑘(𝜗) = 0 ⟹ 𝜙𝑘′′(𝜗)𝜙𝑚(𝜗) − 𝜙𝑚′′(𝜗)𝜙𝑘(𝜗) = = (𝜇𝑚2 − 𝜇𝑘2)𝜙𝑚(𝜗)𝜙𝑘(𝜗) (2.13)

Integrando per parti e usando le condizioni a bordo:

quindi: ∫ 𝜙𝑚(𝜗)𝜙𝑘(𝜗) 2𝜋 0 𝑑𝜗 = 0 𝑓𝑜𝑟 𝑚 ≠ 𝑘 (2.15) ∫ 𝜙𝑚2 2𝜋 0 𝑑𝜗 = ∫ sin2(𝜇_𝑚𝜗) 2𝜋 0 𝑑𝜗 = = ∫ sin2(𝑚𝜗) 2𝜋 0 𝑑(𝜗) = (𝜇𝑚2 − 𝜇𝑘2) ∫ 𝜙𝑚(𝜗)𝜙𝑘(𝜗) 2𝜋 0 𝑑𝜗 = ∫ [𝜙𝑘 ′′_(𝜗)𝜙 𝑚(𝜗) − 𝜙𝑚′′(𝜗)𝜙𝑘(𝜗)] 2𝜋 0 = = [𝜙𝑘′(𝜗)𝜙𝑚(𝜗) − 𝜙𝑚′(𝜗)𝜙𝑘(𝜗)]02𝜋+ − ∫ [𝜙𝑘′(𝜗)𝜙𝑚(𝜗) − 𝜙𝑚′(𝜗)𝜙𝑘(𝜗)]𝑑𝑠 = 0 2𝜋 0 (2.14)

(40)

SPECTRAL SOLUTION OF REYNOLDS FILM LUBRICATION EQUATION 39 = ∫ 1 − cos(2𝑚𝜗) 2 𝑑𝜗 2𝜋 0 = = [1 2𝜗 − 1 4𝑚sin(2𝑚𝜗)]0 2𝜋 = 𝜋 (2.16)

Poi, considerando un problema agli autovalori per l’altra variabile z (EVP): 𝜓′′_{(𝑧) + 𝜈}2_{𝜓(𝑧) = 0 with 𝜓(𝑧) = 0 𝑎𝑡 𝑧 = 0, 𝐿}

𝜓(𝑧) ∼ 𝑒𝜆𝑧⟹ 𝜆 = ±𝑖𝜈 ⟹ 𝜓(𝑧) = 𝐴 cos(𝜈𝑧) + 𝐵 sin(𝜈𝑧) (2.21)

e imponendo le condizioni a bordo:

{_{𝐵 sin(𝜈𝐿) = 0}𝐴 = 0 ⟹ { 𝜈 = 𝜈𝑛= 𝑛𝜋 𝐿⁄ 𝜓(𝑧) = 𝜓𝑛(𝑧) = sin(𝜈𝑛𝑧)

𝑛 = 1,2,3, … (2.17)

Come prima, per ciascuna delle due autofunzioni si applica la condizione di ortogonalità: {𝜓𝑙 ′′_{(𝑧) + 𝜈} 𝑙2𝜓𝑙(𝑧) = 0 𝜓_𝑛′′(𝑧) + 𝜈_𝑛2_𝜓 𝑛(𝑧) = 0 ⟹ 𝜓_𝑙′′(𝑧)𝜓𝑛(𝑧) − 𝜓𝑙′′(𝑧)𝜓𝑛(𝑧) = = (𝜈𝑙2− 𝜈𝑛2)𝜓𝑙(𝑧)𝜓𝑛(𝑧) (2.18)

Integrando per parti e con le condizioni a bordo:

(𝜈𝑚2 − 𝜈𝑘2) ∫ 𝜓𝑛(𝑧)𝜓𝑙(𝑧) 𝑙 0 𝑑𝜗 = = ∫ [𝜓𝑛′′(𝑧)𝜓𝑙(𝑧) − 𝜓𝑙′′(𝑧)𝜓𝑛(𝑧)] 𝐿 0 = = [𝜓𝑛′(𝑧)𝜓𝑙(𝑧) − 𝜓𝑛′(𝑧)𝜓𝑙(𝑧)]0𝐿+ − ∫ [𝜓𝑛′(𝑧)𝜓𝑙(𝑧) − 𝜓𝑙′(𝑧)𝜓𝑛(𝑧)]𝑑𝑠 = 0 𝐿 0 (2.19)

(41)

SPECTRAL SOLUTION OF REYNOLDS FILM LUBRICATION EQUATION 40 quindi: ∫ 𝜓𝑙(𝑧)𝜓𝑛(𝑧) 𝐿 0 𝑑𝑧 = 0 𝑓𝑜𝑟 𝑙 ≠ 𝑛 (2.20) se l=n calcolo: ∫ 𝜓𝑛2 𝐿 0 𝑑𝜗 = ∫ sin2(𝜈_𝑛𝑧)𝑑𝑧 𝐿 0 = = ∫ 1 − cos(2𝜈𝑛𝑧) 2 𝐿 0 𝑑(𝑧) = = [1 2𝑧 − 1 4𝜈𝑛 sin(2𝜈𝑛𝑧)] 0 𝐿 =𝐿 2 e: (2.21) ∫ 𝜓𝑛(𝑧)𝑑𝑧 = ∫ sin(𝜈𝑛) 𝐿 0 𝐿 0 𝑑𝑧 = [− 1 𝜈𝑛 cos(𝜈𝑛)] 0 𝐿 = =1 − cos(𝜈𝑛𝐿) 𝜈𝑛 = 1 − cos(𝑛𝜋) 𝑛𝜋 𝐿⁄ = =1 − (−1) 𝑛𝜋 𝐿⁄ 𝑛 (2.22)

usando 𝜓_𝑛(𝑧) e 𝜙𝑚(𝜗) come funzioni comparate, possiamo assumere una soluzione BVP per la distribuzione di pressione del tipo:

𝑝(𝜗, 𝑧) = ∑ ∑ 𝐴𝑚,𝑛 +∞ 𝑛=1 +∞ 𝑚=1 𝜙𝑚(𝜗)𝜓𝑛(𝑧) (2.23)

Con Am,n costanti da essere determinate. Poi, sostituendo nell’equazione stazionaria di Reynolds 𝜕2𝑝 𝜕𝜗2+ 3 ℎ 𝜕ℎ 𝜕𝜗 𝜕𝑝 𝜕𝜗+ 𝑅 2𝜕 2_𝑝 𝜕𝑧2 = 6𝜇Ω𝑅2 ℎ3 𝜕ℎ 𝜕𝜗 (2.24) si ottiene:

(42)

SPECTRAL SOLUTION OF REYNOLDS FILM LUBRICATION EQUATION 41 =6Ω𝜇𝑅 2 ℎ3 𝜕ℎ 𝜕𝜗 (2.25) dove usando: { 𝜙 ′′_{(𝜗) + 𝜇}2_{𝜙(𝜗) = 0 𝜇 = 𝜇} 𝑚 = 𝑚 𝑚 = 1,2,3 … 𝜓(𝑧) = 𝜓𝑛(𝑧) = sin(𝜈𝑛𝑧) 𝜈 = 𝜈𝑛= 𝑛𝜋 𝐿⁄ 𝑛 = 1,2,3. . (2.26) si ottiene: ∑ ∑ 𝐴𝑚,𝑛[−(𝜇𝑚2+ 𝑅2𝜈𝑛2)𝜙𝑚(𝜗) + 3 ℎ 𝜕ℎ 𝜕𝜗𝜙𝑚 ′_{(𝜗)] 𝜓} 𝑛(𝑧) = +∞ 𝑛=1 +∞ 𝑚=1 =6Ω𝜇𝑅 2 ℎ3 𝜕ℎ 𝜕𝜗 (2.27) moltiplicando: 𝜙𝑘(𝜗) = sin(𝜇𝑘𝜗) = sin(𝑘𝜗) (2.28)

Integrando tra 0 ≤ 𝜗 ≤ 2𝜋, usando l’ortogonalità di 𝜙_𝑘(𝜗) e 𝜙𝑚(𝜗) e ricordando l’espressione di ℎ = 𝑐 − 𝑒 cos 𝜗 , si ottiene:

∑ ∑ 𝐴𝑚,𝑛 +∞ 𝑛=1 +∞ 𝑚=1 [−(𝜇𝑚2+ 𝑅2𝜈𝑛2) ∫ 𝜙𝑚(𝜗)𝜙𝑘 2𝜋 0 (𝜗)𝑑𝜗 + + ∫ 3 ℎ 2𝜋 0 𝜕ℎ 𝜕𝜗𝜙 ′ 𝑚(𝜗)𝜙𝑘(𝜗)𝑑𝜗] 𝜓𝑛(𝑧) = ∫ 6𝜇𝛺𝑅2 𝑐2 2𝜋 0 𝜕ℎ 𝜕𝜗𝜙𝑘(𝜗)𝑑𝜗 (2.29) o: ∑ ∑ 𝐴𝑚,𝑛[𝜙𝑚′′(𝜗)𝜓𝑛(𝑧) + 3 ℎ 𝜕ℎ 𝜕𝜗𝜙𝑚 ′_(𝜗)𝜓 𝑛(𝑧) + 𝑅2𝜙𝑚′′(𝜗)𝜓𝑛′′(𝑧)] = +∞ 𝑛=1 +∞ 𝑚=1

(43)

SPECTRAL SOLUTION OF REYNOLDS FILM LUBRICATION EQUATION 42 ∑ ∑ 𝐴𝑚,𝑛[−(𝑚2+ (𝑛𝜋𝑅)2⁄ )𝜋𝛿𝐿2 𝑘,𝑚+ 3𝜀𝑚𝐼𝑘,𝑚]𝜓𝑛(𝑧) +∞ 𝑛=1 +∞ 𝑚=1 = =6𝜇𝛺𝑅 2_𝜀 𝑐2 𝐼𝑘 (2.30)

dove 𝛿𝑘,𝑚 è l’ indice di Kronecker, 𝜀 = 𝑒 𝑐⁄ è l’eccentricità relativa del cuscinetto e: 𝐼𝑘,𝑚 = ∫ sin 𝜗 1 − 𝜀 cos 𝜗 2𝜋 0 cos(𝑚𝜗) sin(𝑚𝜗) 𝑑𝜗 (2.31) 𝐼𝑘 = ∫ sin 𝜗 (1 − 𝜀 cos 𝜗)3 2𝜋 0 sin(𝑘𝜗) 𝑑𝜗 (2.32)

Ora moltiplicando per 𝜓_𝑙(𝑧) = sin(𝜈_𝑙_{𝑧) = sin(𝑙𝜋 𝐿}⁄ ), integrando per 0 ≤ 𝑧 ≤ 𝐿 e usando la condizione di ortogonalità di 𝜓_𝑙(𝑧) e 𝜓𝑛(𝑧) otteniamo:

∑ ∑ 𝐴𝑚,𝑛[−(𝑚2+ (𝑛𝜋𝑅)2⁄ )𝜋𝛿𝐿2 𝑘,𝑚+ 3𝜀𝑚𝐼𝑘,𝑚] 𝐿 2 +∞ 𝑛=1 +∞ 𝑚=1 = =6𝜇𝛺𝑅 2_𝜀 𝑐2 𝐼𝑘 1 − (−1)𝑛 𝑛𝜋 𝐿⁄ (2.33)

(44)

2.1.3 Risolvere gli Integrali con il Metodo dei Residui

Gli integrali, compresi tra 0 e 2π (lungo un circuito chiuso), sono risolvibili con il metodo del residuo. Infatti, se f è un cerchio di funzione analitica ζ senza il suo centro z0. f è risolvibile con la serie Laurent con il centro a, è possibile scrivere: 𝑓(𝑧) = ∑ 𝑎𝑛 ∞ 𝑛 (𝑧 − 𝑧0)𝑛 dove: 𝑎_𝑛 = 1 2𝜋𝑖∮ 𝑓(𝑧) (𝑧 − 𝑧₀)𝑛+1𝑑𝑧 , 𝑛 = 0, ±1, ±2, … per n= −1 𝑎₋₁= 1 2𝜋𝑖∮ 𝑓(𝑧)𝑑𝑧

risultato formalmente ottenibile dallo sviluppo in serie dell'integrazione da termine a termine e ricordando che:

∮ 𝑑𝑧

(𝑧 − 𝑧0)𝑘

= { 2𝜋𝑖, 𝑓𝑜𝑟 𝑘 = 1

0 𝑓𝑜𝑟 𝑎𝑛𝑦 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑒𝑟 𝑘 𝑜𝑡ℎ𝑒𝑟 𝑡ℎ𝑎𝑛 1

Il coefficiente il coefficiente a-1 è definito come il residuo della funzione f in z = z0 (simbolicamente, Resf(z0) o talvolta Resz0(f)), poiché a-1 è l'unico coefficiente della serie, che non annulla l'integrazione della f sulla circonferenza.

Il suo calcolo è relativamente semplice, se la molteplicità del polo è nota in z0. Se il polo è semplice, per la formula integrale di Cauchy i valori di un a-1 possono essere calcolati come segue:

𝑎−1= lim 𝑧→𝑧0

(𝑧 − 𝑧0)𝑓(𝑧).

Nel caso in cui sia un multiplo di m, è possibile utilizzare la seguente formula:

𝑎−1= lim 𝑧→𝑧0 1 (𝑚 − 1) 𝑑𝑚−1 𝑑𝑧𝑚−1[(𝑧 − 𝑧0)𝑚𝑓(𝑧)].

(45)

Infine, il teorema dei residui: f sia una funzione analitica in un dominio D esclusi i punti z1, z2, ..., zm, che presentano una singolarità in ciascuno di essi. Indicato, quindi, con C, una curva chiusa liscia contenente al suo interno z1, z2, ..., zm, è possibile scrivere il seguente risultato:

1

2𝜋𝑖∮ 𝑓(𝑧) 𝑑𝑧 = ∑(𝑅𝑒𝑠𝑓)(𝑧𝑗 𝑚

𝑗=1

)

In altre parole, l'integrale di f su C è uguale a 2πi per la somma dei residui di f in C.

Quindi, in questo caso, con la trasformazione di ϑ - angolo in campo complesso e variabile complessa z:

𝑧 = 𝑖𝜗 ⟹ 𝑑𝜗 =𝑑𝑧 𝑖𝑧

The integrals Ik,m and Ik in ϑ over 0 ≤ 𝜗 ≤ 2𝜋 are transformed in counter clockwise line integrals on the unit circle C in the complex z-plane:

𝐼𝑘,𝑚 = ∫ sin 𝜗 1 − 𝜀 cos 𝜗 2𝜋 0 cos(𝑚𝜗) sin(𝑘𝜗) 𝑑𝜗 = = ∫ 1 1 − 𝜀1₂(𝑒𝑖𝜗_{+ 𝑒}−𝑖𝜗₎ 2𝜋 0 𝑒𝑖𝜗_{− 𝑒}−𝑖𝜗 2𝑖 𝑒𝑖𝑚𝜗_{+ 𝑒}−𝑖𝑚𝜗 2 𝑒𝑖𝑘𝜗_{− 𝑒}−𝑖𝑘𝜗 2𝑖 𝑑𝜗 = = ∮ 2 2 − 𝜀(𝑧 + 𝑧−1₎ 𝑧1+ 𝑧−1 2𝑖 𝑧𝑚+ 𝑧−𝑚 2 𝑧𝑘− 𝑧−𝑘 2𝑖 𝑑𝑧 𝑖𝑧 = = ∮ 2 𝜀𝑖 ⁄ 𝑧2_{− (2 𝜀}_{⁄ )𝑧 + 1} 𝑧2 _{− 1} 2𝑧 𝑧2𝑚 _{+ 1} 2𝑧𝑚 𝑧2𝑘_{− 1} 2𝑧𝑘 𝑑𝑧 =

(46)

SPECTRAL SOLUTION OF REYNOLDS FILM LUBRICATION EQUATION 45 = 1 4𝜀𝑖∮ (𝑧2_{− 1)(𝑧}2𝑚_{+ 1)(𝑧}2𝑘_{− 1)} (𝑧 − 𝑧₁)(𝑧 − 𝑧₂)𝑧1+𝑚+𝑘 𝑑𝑧 = ∮ 𝑔(𝑧) 𝑧 − 𝑧2 𝑑𝑧 (2.34) dove: |𝑧₁𝑧2| = 1 𝑧1− 𝑧2= 2√ 1 𝜀2− 1 = 2 3√1 − 𝜀 2 𝑧1,2= 1 𝜀± √ 1 𝜀2− 1 = 1 ± √1 − 𝜀2 𝜀 (2.35)

così, dentro C l’integrando:

𝑓𝑚,𝑘(𝑧) = 1 4𝜀𝑖 (𝑧2_{− 1)(𝑧}2𝑚_{+ 1)(𝑧}2𝑘_{− 1)} (𝑧 − 𝑧1)(𝑧 − 𝑧2)𝑧1+𝑚+𝑘 (2.36)

Per il calcolo degli integrali con il metodo del residuo è sufficiente considerare i poli dell'integrando. Ci sono 3 poli ma solo due di questi devono essere considerati: |𝑧₁𝑧2| = 1; |𝑧1| = 1 ± √1 − 𝜀2 𝜀 > 1 ⟹ |𝑧2| < 1 ⟹ {𝑧1 𝑜𝑢𝑡𝑠𝑖𝑑𝑒 𝐶 𝑧2 𝑖𝑛𝑠𝑖𝑑𝑒 𝐶 (2.37)

• Pertanto, all'interno di C l'integrando ha un polo di ordine 1 + k + m≥3 all'origine z = 0 dove: 𝑔1,𝑚,𝑘= 1 4𝜀𝑖𝑧 1+𝑚+𝑘_𝑓 𝑚,𝑘 = 1 4𝜀𝑖 (𝑧2_{− 1)(𝑧}2𝑚_{+ 1)(𝑧}2𝑘_{− 1)} (𝑧 − 𝑧1)(𝑧 − 𝑧2) (2.38)

(47)

SPECTRAL SOLUTION OF REYNOLDS FILM LUBRICATION EQUATION 46 con residuo: 𝑅_1,𝑚,𝑘(0) = 𝑔2,𝑚,𝑘(𝑧2) (𝑚 + 𝑘)! • e un polo di ordine 1 a: 𝑧 = 𝑧₂ = 1 − √1 − 𝜀 2 𝜀 dove 𝑔2,𝑚,𝑘(𝑧) = 1 4𝜀𝑖(𝑧 − 𝑧2)𝑓𝑚,𝑘(𝑧) (2.39) = 1 4𝜀𝑖 (𝑧2_{− 1)(𝑧}2𝑚_{+ 1)(𝑧}2𝑘_{− 1)} (𝑧 − 𝑧1)𝑧1+𝑚+𝑘 (2.40) con residuo: 𝑅2,𝑚,𝑘(𝑧2) = − 1 4𝜀𝑖 𝜀 2√1 − 𝜀2(𝑧2− 𝑧2 −1_)(𝑧 2𝑚+ 𝑧2−𝑚)(𝑧2𝑘− 𝑧2−𝑘) (2.41) • permettere: 𝑔1,𝑚,𝑘(𝑧) = 𝑔1,𝑚,𝑘(0) (𝑧) = 1 4𝜀𝑖 (𝑧2_{− 1)(𝑧}2𝑚_{+ 1)(𝑧}2𝑘_{− 1)} (𝑧 − 𝑧₁)(𝑧 − 𝑧₂) = 1 4𝜀𝑖 𝑁_1,𝑚,𝑘(0) (𝑧) 𝐷_1,𝑚,𝑘(0) (𝑧) (2.42) dove: 𝑁(0)(𝑧) = 𝑧2𝑚+2𝑘+2_{− 𝑧}2𝑚+2𝑘_{− 𝑧}2𝑚+2₊ +𝑧2𝑘+2+ 𝑧2𝑚− 𝑧2𝑘− 𝑧2+ 𝑧0⟹ (2.43) ⟹ 𝑜𝑓 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑟 2(𝑚 + 𝑘 + 1)

(48)

SPECTRAL SOLUTION OF REYNOLDS FILM LUBRICATION EQUATION 47 𝐷(0)= 𝑧2_{− (2 𝜀}_{⁄ )𝑧 + 𝑧}0_⟹ ⟹ 𝑜𝑓 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑟 2 (2.44) scritto: 𝑁_1,𝑚,𝑘(𝑟) (𝑧) =(2𝑚 + 2𝑘 + 2)! (2𝑚 + 2𝑘 + 2)!𝑧 2𝑚+2𝑘+2₋(2𝑚 + 2𝑘)! (2𝑚 + 2𝑘)!𝑧 2𝑚+2𝑘₊ +(2𝑚 + 2)! (2𝑚 + 2)!𝑧 2𝑚+2₊(2𝑘 + 2)! (2𝑘 + 2)!𝑧 2𝑘+2₊(2𝑚)! (2𝑚)!𝑧 2𝑚₊ −(2𝑘)! (2𝑘)!𝑧 2𝑘₋(2)! (2)!𝑧 2₊0! 0!𝑧 0 _(2.45) Differenziando per 𝑟 ≤ 2𝑚 + 2𝑘 + 2: 𝑁_1,𝑚,𝑘(𝑟) (𝑧) = (2𝑚 + 2𝑘 + 2)! (2𝑚 + 2𝑘 + 2 − 𝑟)!𝑧 2𝑚+2𝑘+2−𝑟₊ − (2𝑚 + 2𝑘)! (2𝑚 + 2𝑘 − 𝑟)!𝑧 2𝑚+2𝑘−𝑟₋ (2𝑚 + 2)! (2𝑚 + 2 − 𝑟)!𝑧 2𝑚+2−𝑟₊ − (2𝑘 + 2)! (2𝑘 + 2 − 𝑟)!𝑧 2𝑘+2−𝑟₊(2𝑚)! (2𝑚)!𝑧 2𝑚−𝑟₋(2𝑘)! (2𝑘)!𝑧 2𝑘−𝑟₊ − (2)! (2 − 𝑟)!𝑧 2−𝑟₊ 0! 0 − 𝑟!𝑧 0−𝑟 (2.46)

dove solo i poteri non negativi di z devono essere mantenuti. quindi:

𝑁_1,𝑚,𝑘(0) (0) =(0)! (0)!𝑧

0 _{= 1}

(49)

SPECTRAL SOLUTION OF REYNOLDS FILM LUBRICATION EQUATION 48 𝑁_1,𝑚,𝑘(2) (0) = { (2)! (0)!− (2)! (0)!= 0 𝑓𝑜𝑟 𝑚 = 1, 𝑘 > 1 −(2)! (0)!− (2)! (0)!= 4 𝑓𝑜𝑟 𝑚 > 1, 𝑘 = 1 (2)! (0)!− (2)! (0)!− (2)! (0)!= −2 𝑓𝑜𝑟 𝑚 = 1, 𝑘 = 1 e continuando con 3,4,5…rmax

similmente: 𝐷_1,𝑚,𝑘(0) (𝑧) = 𝑧2 − (2 𝜀⁄ )𝑧 + 𝑧0 _{⟹ 𝐷} 1,𝑚,𝑘 (0) (𝑧) = 1 𝐷_1,𝑚,𝑘(1) _{(𝑧) = 2𝑧 − (2 𝜀}⁄ ) ⟹ 𝐷_1,𝑚,𝑘(1) _{(𝑧) = −(2 𝜀}⁄ ) 𝐷_1,𝑚,𝑘(2) (𝑧) = 2 ⟹ 𝐷_1,𝑚,𝑘(2) (𝑧) = 2 differenziando: 𝑁_1,𝑚,𝑘(0) (𝑧) 4𝜀𝑖 = 𝑔1,𝑚,𝑘 (0) (𝑧)𝐷_1,𝑚,𝑘(0) (𝑧) (2.47) otteniamo: 𝑁_1,𝑚,𝑘(1) (𝑧) 4𝜀𝑖 = ( 1 0) 𝑔1,𝑚,𝑘 (1) (𝑧)𝐷_1,𝑚,𝑘(0) (𝑧) + (1 1) 𝑔1,𝑚,𝑘 (0) (𝑧)𝐷_1,𝑚,𝑘(1) (𝑧) = = ∑ (1 𝑟) 1 𝑟=0 𝑔_1,𝑚,𝑘(1−𝑟)𝐷_1,𝑚,𝑘(𝑟) (𝑧) (2.48)

(50)

SPECTRAL SOLUTION OF REYNOLDS FILM LUBRICATION EQUATION 49 𝑁_1,𝑚,𝑘(2) (𝑧) 4𝜀𝑖 = ( 2 0) 𝑔1,𝑚,𝑘 (2) 𝐷_1,𝑚,𝑘(0) (𝑧) + (2 1) 𝑔1,𝑚,𝑘 (1) (𝑧)𝐷_1,𝑚,𝑘(1) (𝑧) + + (2 2) 𝑔1,𝑚,𝑘 (0) 𝐷_1,𝑚,𝑘(2) (𝑧) = ∑ (2 𝑟) 2 𝑟=0 𝑔_1,𝑚,𝑘(2−𝑟)𝐷_1,𝑚,𝑘(𝑟) (𝑧) (2.49)

e continuando con 3,4,5…rmax in generale: 𝑁_1,𝑚,𝑘(𝑟) (𝑧) 4𝜀𝑖 = ∑ ( 𝑞 𝑟) 𝑞 𝑟=0 𝑔_1,𝑚,𝑘(𝑞−𝑟)(𝑧)𝐷_1,𝑚,𝑘(𝑟) (𝑧) = (2.50) = 𝑔(𝑞)(𝑧)𝐷_1,𝑚,𝑘(0) (𝑧) + ∑ 𝑞! (𝑞 − 𝑟)! 𝑟! 𝑞 𝑟=0 𝑔_1,𝑚,𝑘(𝑞−𝑟)(𝑧)𝐷_1,𝑚,𝑘(𝑞) (𝑧) (2.51)

e perciò (in maniera recursiva):

𝑔_1,𝑚,𝑘(𝑟) (𝑧) = [ 1 4𝜀𝑖𝑁1,𝑚,𝑘 (𝑟) _{(𝑧) − ∑} 𝑞! (𝑞 − 𝑟)! 𝑟! 𝑞 𝑟=0 𝑔_1,𝑚,𝑘(𝑞−𝑟)(𝑧)𝐷_1,𝑚,𝑘(𝑞) (𝑧)] 1 𝐷_1,𝑚,𝑘(0) (𝑧) (2.52)

poi, per il teorema dei residui:

𝐼𝑘,𝑚= 2𝜋𝑖[𝑅1,𝑚,𝑘(0) + 𝑅2,𝑚,𝑘(𝑧2)] (2.53)

similmente, per il secondo integrale:

𝐼𝑘 = ∫ sin 𝜗 (1 − 𝜀 cos 𝜗)3sin(𝑘𝜗) 2𝜋 0 𝑑𝜗 = = ∫ 1 [1 − 𝜀1₂(𝑒𝑖𝜗_{+ 𝑒}−𝑖𝜗_)]3 2𝜋 0 𝑒𝑖𝜗_{− 𝑒}−𝑖𝜗 2𝑖 𝑒𝑖𝑘𝜗_{− 𝑒}−𝑖𝑘𝜗 2𝑖 𝑑𝜗 =

(51)

SPECTRAL SOLUTION OF REYNOLDS FILM LUBRICATION EQUATION 50 = ∮ 8 [2 − 𝜀(𝑧 + 𝑧−1_)]3 𝑧2_{− 𝑧}−1 2𝑧 𝑧2𝑘_{− 𝑧}−𝑘 2𝑧𝑘 𝑑𝑧 𝑖𝑧 = = ∮ 2𝑧 3_⁄_𝜀3 [𝑧2_{− (2 𝜀}_{⁄ )𝑧 + 1]}3 𝑧2− 1 𝑧 𝑧2𝑘− 1 𝑧𝑘 𝑑𝑧 𝑖𝑧 = = 2 𝑖𝜀3∮ (𝑧2− 1)(𝑧4− 1) (𝑧 − 𝑧₁)3_{(𝑧 − 𝑧} 2)3𝑧𝑘−1 𝑑𝑧 (2.54)

così, dentro C l’integrando:

𝑓𝑘(𝑧) = 2 𝜀3_𝑖 (𝑧2_{− 1)(𝑧}2𝑘_{− 1)} (𝑧 − 𝑧₁)3_{(𝑧 − 𝑧} 2)3𝑧𝑘−1 (2.55)

▪ un polo di ordine k-1 per k>1 nell’origine z=0 dove:

𝑔1,𝑘(𝑧) = 𝑧𝑘−1𝑓(𝑧) = 2 𝑖𝜀3 (𝑧2_{− 1)(𝑧}4_{− 1)} (𝑧 − 𝑧1)3(𝑧 − 𝑧2)3 (2.56) Con il residuo: 𝑅1,𝑘(𝑧2) = { 0 𝑓𝑜𝑟 𝑘 < 1 𝑔1,𝑘(𝑘−2) (𝑘 − 2)! 𝑓𝑜𝑟 𝑘 > 1 (2.57) così: 𝑔1,𝑘(0)(𝑧) = 2 𝑖𝜀3 𝑁_1,𝑘(0)(𝑧) 𝐷_1,𝑘(0)(𝑧) (2.58) dove:

(52)

SPECTRAL SOLUTION OF REYNOLDS FILM LUBRICATION EQUATION 51 𝑁_1,𝑘(0)(𝑧) = 𝑧2𝑘+2_{− 𝑧}2𝑘 _{− 𝑧}2_{+ 𝑧}0_{𝑜𝑓 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑟 2𝑘 + 2} 𝐷_1,𝑘(0)(𝑧) = (𝑧 − 𝑧1)3(𝑧 − 𝑧2)3 𝑜𝑓 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑟 6 scrivendo: 𝑁1,𝑘(𝑟)(𝑧) = (2𝑘 + 2)! (2𝑘 + 2 − 𝑟)!𝑧 2𝑘+2−𝑟₋(2𝑘)! (2𝑘)!𝑧 2𝑘−𝑟₊ − (2)! (2 − 𝑟)!𝑧 2−𝑟₊ 0! 0 − 𝑟!𝑧 0−𝑟 (2.59)

dove deve essere mantenuta solo la potenza non negativa di z. Allo stesso modo, espandendo per il denominatore:

𝐷1,𝑘(0)(𝑧) = (𝑧 − 𝑧1)3(𝑧 − 𝑧2)3

(2.60)

Con Potenza di z and differenziando, calcolo:

𝐷1,𝑘(𝑟)(𝑧) for r = 1,2,…6 (2.61) • differenziando: 2𝑁_1,𝑘(0)(𝑧) 𝑖𝜀3 = 𝑔1,𝑘(0)(𝑧)𝐷1,𝑘(0)(𝑧) (2.62) si ottiene: 2𝑁_1,𝑘(𝑟)(𝑧) 𝜀3_𝑖 = ∑ ( 𝑞 𝑟) 𝑞 𝑟=0 𝑔_1,𝑘(𝑞−𝑟)(𝑧)𝐷_1,𝑘(𝑟)(𝑧) = (2.63)

(53)

SPECTRAL SOLUTION OF REYNOLDS FILM LUBRICATION EQUATION 52 = 𝑔_1,𝑘(𝑟)(𝑧)𝐷_1,𝑘(0)(𝑧) + ∑ 𝑞! (𝑞 − 𝑟)! 𝑟! 𝑞 𝑟=0 𝑔_1,𝑘(𝑞−𝑟)(𝑧)𝐷_1,𝑘(𝑞)(𝑧) (2.64)

e perciò (in maniera ricorsiva):

𝑔_1,𝑘(𝑟)(𝑧) = [ 2 𝜀3_𝑖𝑁1,𝑘(𝑟)(𝑧) − ∑ 𝑞! (𝑞 − 𝑟)! 𝑞! 𝑞 𝑟=1 𝑔1,𝑘 (𝑞−𝑟)_(𝑧)𝐷 1,𝑘 (𝑞)_(𝑧)] 1 𝐷_1,𝑘(0)(𝑧) (2.65) • si ha: 𝑔2,𝑘(𝑧) = (𝑧 − 𝑧2)3𝑓(𝑧) = 2 𝑖𝜀3 (𝑧2_{− 1)(𝑧}2𝑘_{− 1)} (𝑧 − 𝑧₁)3_𝑧𝑘−1 (2.66) dove: 𝑁_2,𝑘(0)(𝑧) = 𝑧2𝑘+2_{− 𝑧}2𝑘_{− 𝑧}2_{+ 𝑧}0_{of order 2k+2} _(2.67) e i suoi derivati hanno la stessa espressione di 𝑔₁(𝑧), e:

𝐷(0)2,𝑘(𝑧) = (𝑧 − 𝑧1)3𝑧𝑘−1 of order k+2 (2.68) Dall’espansione di 𝐷_2,𝑘(0)(𝑧) in potenze di z e differenziando, si calcola

𝐷_2,𝑘(𝑟)(𝑧) for r=1,2,…k+2 (2.69) • differenziando: 2𝑁_2,𝑘(0)(𝑧) 𝑖𝜀3 = 𝑔2,𝑘 (0)_(𝑧)𝐷 2,𝑘 (0)_(𝑧) _(2.70) Si ottiene: 2𝑁_2,𝑘(𝑟)(𝑧) 𝑖𝜀3 = ∑ ( 𝑟 𝑞) 𝑔2,𝑘 (𝑟−𝑞) 𝑟 𝑞=0 (𝑧)𝐷_2,𝑘(𝑞)(𝑧) = (2.71) = 𝑔_2,𝑘(𝑟)(𝑧)𝐷_2,𝑘(0)(𝑧) + ∑ 𝑞! (𝑞 − 𝑟)! 𝑟! 𝑞 𝑟=0 𝑔_2,𝑘(𝑞−𝑟)(𝑧)𝐷_2,𝑘(𝑞)(𝑧) (2.72)

e perciò (in maniera ricorsiva):

𝑔_2,𝑘(𝑟)(𝑧) = [ 2 𝜀3_𝑖𝑁2,𝑘(𝑟)(𝑧) − ∑ 𝑞! (𝑞 − 𝑟)! 𝑞! 𝑞 𝑟=1 𝑔2,𝑘 (𝑞−𝑟)_(𝑧)𝐷 2,𝑘 (𝑞)_(𝑧)] 1 𝐷_2,𝑘(0)(𝑧) (2.73)

(54)

dopo, usando il teorema dei residui

𝐼𝑘= 2𝜋[𝑅1,𝑘(0) + 𝑅2,𝑘(𝑧2)] (2.74)

2.1.4 Soluzione del Modello Analitico

Sostituendo l'espansione in serie dell'equazione di lubrificazione del film di Reynolds: 𝑝(𝜗, 𝑧) = ∑ ∑ 𝐴𝑚,𝑛 +∞ 𝑛=1 +∞ 𝑚=1 sin(𝑚𝜗) sin (𝑛𝜋𝑧 𝐿 ) (2.75)

Con coefficienti Am,n determinati dalla soluzione di:

∑ ∑ 𝐴𝑚,𝑛[−(𝑚2+ (𝑛𝜋𝑅)2⁄ )𝜋𝛿𝐿2 𝑘,𝑚+ 3𝜀𝑚𝐼𝑘,𝑚] +∞ 𝑛=1 +∞ 𝑚=1 𝐿 2= (2.76) =6𝛺𝜇𝑅 2_𝜀 𝑐2 𝐼𝑘 1 − (−1)𝑛 𝑛𝜋 (2.77)

Le serie sopra, quando opportunamente troncate (m = 1,2, .. mmax, n = 1,2,… nmax), rappresentano quindi per qualsiasi valore di n = 1,2,3… nmax un sistema lineare di equazioni mmax per i coefficienti Am,n ottenuti assegnando all'indice k i valori k = 1,2,3,… mmax).

così, per esempio, per n=1:

∑ 𝐴𝑚,1[−(𝑚2+ (𝑛𝜋𝑅)2⁄ )𝜋𝛿𝐿2 1,𝑚+ 3𝜀𝑚𝐼1,𝑚] +∞ 𝑚=1 = =6𝛺𝜇𝑅 2_𝜀 𝑐2 𝐼1 1 − (−1)𝑛 𝑛𝜋

che può essere scritto volte mmax per ciascuno dei numeri interi k = 1,2,3… mmax che porta al seguente sistema:

(55)

SPECTRAL SOLUTION OF REYNOLDS FILM LUBRICATION EQUATION 54 { ∑ 𝐴𝑚,1[−(𝑚2+ (𝑛𝜋𝑅)2⁄ )𝜋𝛿𝐿2 1,𝑚+ 3𝜀𝑚𝐼1,𝑚] +∞ 𝑚=1 = =6𝛺𝜇𝑅 2_𝜀 𝑐2 𝐼1 1 − (−1)𝑛 𝑛𝜋 ∑ 𝐴𝑚,1[−(𝑚2+ (𝑛𝜋𝑅)2⁄ )𝜋𝛿𝐿2 2,𝑚+ 3𝜀𝑚𝐼2,𝑚] +∞ 𝑚=1 = =6𝛺𝜇𝑅 2_𝜀 𝑐2 𝐼2 1 − (−1)𝑛 𝑛𝜋 … ∑ 𝐴_𝑚,1[−(𝑚2+ (𝑛𝜋𝑅)2⁄ )𝜋𝛿𝐿2 _𝑚_{𝑚𝑎𝑥,}_𝑚+ 3𝜀𝑚𝐼_𝑚_𝑚𝑎𝑥_,𝑚] +∞ 𝑚=1 = =6𝛺𝜇𝑅 2_𝜀 𝑐2 𝐼𝑚𝑚𝑎𝑥 1 − (−1)𝑛 𝑛𝜋 per le incognite 𝐴1,1 𝐴2,2,…𝐴𝑚𝑚𝑎𝑥,1.

Così, per esempio, n=2 segue il seguente sistema:

{ ∑ 𝐴_𝑚,2[−(𝑚2+ (𝑛𝜋𝑅)2⁄ )𝜋𝛿𝐿2 _1,𝑚+ 3𝜀𝑚𝐼_1,𝑚] +∞ 𝑚=1 = 0 ∑ 𝐴_𝑚,2[−(𝑚2+ (𝑛𝜋𝑅)2⁄ )𝜋𝛿𝐿2 _2,𝑚+ 3𝜀𝑚𝐼_2,𝑚] +∞ 𝑚=1 = 0 … ∑ 𝐴𝑚,2[−(𝑚2+ (𝑛𝜋𝑅)2⁄ )𝜋𝛿𝐿2 𝑚𝑚𝑎𝑥,𝑚+ 3𝜀𝑚𝐼𝑚𝑚𝑎𝑥,𝑚] +∞ 𝑚=1 = 0

Per le incognite A1,2 A2,2…Ammax,2, e similmente per n=3,4,..nmax

▪ Si noti che per 𝑛 ≡ 𝑝𝑎𝑟𝑖 il sistema è omogeneo e quindi

𝐴_𝑚,𝑛 = 0 𝑓𝑜𝑟 𝑛 ≡ 𝑒𝑣𝑒𝑛 Quindi con la sostituzione di n→2n-1:

𝑝(𝜗, 𝑧) = ∑ ∑ 𝐴𝑚,𝑛sin[𝑚𝜗] sin [ (2𝑛 − 1)𝜋𝑧 𝐿 ] +∞ 𝑛=1 +∞ 𝑚=1 (2.78)

(56)

SPECTRAL SOLUTION OF REYNOLDS FILM LUBRICATION EQUATION 55 ∑ 𝐴𝑚,𝑛{− [𝑚2+ ((2𝑛 − 1)𝜋𝑅)2 𝐿2 ] 𝜋𝛿𝑘,𝑚+ 3𝜀𝑚𝐼𝑘,𝑚} = +∞ 𝑚=1 =6𝛺𝜇𝑅 2_𝜀 𝑐2 4𝐼𝑘 (2𝑛 − 1)𝜋 (2.79)

con k=1,2,3…mmax per ogni valore di n=1,2,…nmax

2.1.5 Reazioni del Cuscinetto

Per il calcolo delle forze parallele e perpendicolari al vettore di eccentricità 𝐹_∥ and 𝐹_⊥ calcolare: 𝐹∥= − ∫ 𝑑𝑧 ∫ 𝑝(𝜗, 𝑧)𝑅𝑐𝑜𝑠𝜗𝑑𝜗 2𝜋 0 𝐿 0

= −𝑅 ∑ ∑ 𝐴𝑚,𝑛∫ sin[(𝑚)𝜗] cos 𝜗 𝑑𝜗 ∫ sin [

(2𝑛 − 1)𝜋𝑧 𝐿 ] 𝑑𝑧 𝐿 0 2𝜋 0 +∞ 𝑛=1 +∞ 𝑚=1 (2.80) dove: ∫ sin[(𝑚)𝜗] 2𝜋 0 cos 𝜗 𝑑𝜗 = (2.81) = { [1 2sin 2_𝜗] 0 2𝜋 = 0 𝑓𝑜𝑟 𝑚 = 1 [sin 𝜗 sin[(𝑚)𝜗] + 𝑚 cos 𝜗 cos(𝑚𝜗)

1 − 𝑚2 ] 0 2𝜋 = 0 𝑓𝑜𝑟 𝑚 ≠ 1 (2.82) e ∫ sin [(2𝑛 − 1)𝜋𝑧 𝐿 ] 𝑑𝑧 = − 𝐿 (2𝑛 − 1)𝜋{cos (2𝑛 − 1)𝜋𝑧 𝐿 } 0 𝐿 𝐿 0 =