LEZIONI ED ESERCITAZIONI DI FISICA
Prof. Francesco Marchi
1Esercitazione su: angoli, funzioni e formule
goniometriche
Indice
1 Rappresentazione e misura degli angoli 2
1.1 Esercizio 1. . . 2
1.2 Esercizio 2. . . 2
2 Valori delle funzioni goniometriche 2 2.1 Esercizio 1. . . 2
3 Formule goniometriche 3 3.1 Vero o falso . . . 3
3.1.1 Esercizio 1 . . . 3
3.2 Esercizio 2 (esempio svolto) . . . 3
3.2.1 Testo dell’esercizio . . . 3
3.2.2 Soluzione (calcoli esatti) . . . 3
3.2.3 Soluzione (calcoli approssimati) . . . 4
3.3 Esercizio 3. . . 4
3.4 Esercizio 4. . . 5
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1
Rappresentazione e misura degli angoli
1.1
Esercizio 1
Rappresentare su una circonferenza goniometrica i seguenti angoli, e convertirli in gradi sessagesimali o in radianti a seconda dei casi:
π 4; − 14 4 π; − 17 3 π; 43 6 π; −60◦; 765◦; −900◦; 480◦;
1.2
Esercizio 2
Rappresentare su una circonferenza goniometrica i seguenti angoli, e convertirli in gradi sessagesimali o in radianti a seconda dei casi:
2, 45; −3
7; −14, 3; −32◦; 546◦; −321◦;
2
Valori delle funzioni goniometriche
2.1
Esercizio 1
Calcolare il valore delle seguenti espressioni: 1. sin π4 − cos 3π + cos −54π = 2. 4 tan 73π + 2 tan 54π −√5 tan2(20π) = 3. cos 116π − 4 sin 17 2π + tan π 6 = 4. sin −7 6π + 9 4cos 2 21 2π − √ 3 cos2 −15 4π =
5. sin 156π − 2 cos 287π + tan2 166π = 6. 2 sin 156π −4
3sin 18
4π =
7. sin 343π + tan2 114π − 2 cos 73π − sin 343π =
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3
Formule goniometriche
3.1
Vero o falso
3.1.1 Esercizio 1
Dire se le seguenti affermazioni sono vere o false: 1. sin α2+ cos α2= 1.
2. cos 2π +π5 = cos(2π) + cosπ5. 3. cos 2π +π5 = cosπ5.
4. tan(2α) = 1+tan2 tan α2α.
3.2
Esercizio 2 (esempio svolto)
3.2.1 Testo dell’esercizioSi considerino due angoli, x e y tali che: cos x = −1 8, con π < x < 3 2π; tan y = −2 3, con π 2 < y < π.
Completare la tabella1: per quanto riguarda i valori esatti, utilizzare le formule goniometriche; per i valori approssimati, utilizzare una calcolatrice scientifica. 3.2.2 Soluzione (calcoli esatti)
1. Calcolo di cosx − π4: cosx −π 4 = cos x cosπ 4 + sin x sin π 4 = = −1 8 · √ 2 2 − √ 63 8 · √ 2 2 = − √ 2(1 +√63) 16
Dove abbiamo usato la formula per esprimere il seno in funzione del coseno. 2. Calcolo di tanx +π4: tanx + π 4 = tan x + tan(π/4) 1 − tan x tan(π/4) = = √ 63 + 1 1 −√63 · 1 = 32 +√63 31
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Tabella 1: Tabella relativa all’esercizio3.2.
Espressione Valore esatto Valore approssimato
cos x −π4 − √ 2(1+√63) 16 0, 8 tan x +π4 sin(x + y) tan 2y cosx 2 + sin 2 y 2 + cos 2 y 2
cos x −π4 + tan(x + y) + sin 74π + cos 2π +π3
Avendo utilizzato l’espressione della tangente in termini di seno e coseno ed avendo razionalizzato nell’ultimo passaggio.
In modo simile si procede per le altre espressioni. 3.2.3 Soluzione (calcoli approssimati) Calcoliamo innanzitutto x: x = cos−1−1 8 ' 1, 44 Calcolo di cosx −π4: cosx − π 4 ' cos(1, 44 − 0, 79) ' cos(0, 65) ' 0, 8 In modo simile si procede per le altre espressioni.
3.3
Esercizio 3
Analogamente all’esercizio precedente, si considerino due angoli, α e β, tali che: cos α = −4 7, α ∈ π 2, π ; sin β = 8 9, β ∈ 0,π 2 ; Completare la tabella2.
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Tabella 2: Tabella relativa all’esercizio3.2.
Espressione Valore esatto Valore approssimato
tan 2α sin 3α + cos α 5 sin α + 2 cos β + tan 2α sin(4β + 47◦) tan(α + 2β − 35◦
3.4
Esercizio 4
Ancora come negli esercizi precedenti, si consideri un angolo β tale che: cos β = −2 9, β ∈ π,3 2π Completare la tabella3.
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Tabella 3: Tabella relativa all’esercizio3.4.
Espressione Valore esatto Valore approssimato
β β 20 cos2 β 20 sin2 β20 cos2 β20+ sin2 β20 tan 2β 2 sin(β + 2β) 3 cos2β +π5