Goniometria: introduzione, valori delle funzioni e formule goniomentriche

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LEZIONI ED ESERCITAZIONI DI FISICA

Prof. Francesco Marchi

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Esercitazione su: angoli, funzioni e formule

goniometriche

Indice

1 Rappresentazione e misura degli angoli 2

1.1 Esercizio 1. . . 2

2 Valori delle funzioni goniometriche 2 2.1 Esercizio 1. . . 2

3 Formule goniometriche 3 3.1 Vero o falso . . . 3

3.1.1 Esercizio 1 . . . 3

3.2 Esercizio 2 (esempio svolto) . . . 3

3.2.1 Testo dell’esercizio . . . 3

3.2.2 Soluzione (calcoli esatti) . . . 3

3.2.3 Soluzione (calcoli approssimati) . . . 4

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1 Rappresentazione e misura degli angoli

1.1 Esercizio 1

Rappresentare su una circonferenza goniometrica i seguenti angoli, e convertirli in gradi sessagesimali o in radianti a seconda dei casi:

π 4; − 14 4 π; − 17 3 π; 43 6 π; −60◦; 765◦; −900◦; 480◦;

1.2 Esercizio 2

Rappresentare su una circonferenza goniometrica i seguenti angoli, e convertirli in gradi sessagesimali o in radianti a seconda dei casi:

2, 45; −3

7; −14, 3; −32◦; 546◦; −321◦;

2 Valori delle funzioni goniometriche

2.1 Esercizio 1

Calcolare il valore delle seguenti espressioni: 1. sin π₄ − cos 3π + cos −5₄π = 2. 4 tan 7₃π + 2 tan 5₄π −√5 tan2(20π) = 3. cos 11₆π − 4 sin 17 2π + tan π 6 = 4. sin −7 6π + 9 4cos 2 21 2π − √ 3 cos2 ₋15 4π =

5. sin 15₆π − 2 cos 28₇π + tan2 16₆π = 6. 2 sin 15₆π −4

3sin 18

4π =

7. sin 34₃π + tan2 11₄π − 2 cos 7₃π − sin 34₃π =

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3 Formule goniometriche

3.1 Vero o falso

3.1.1 Esercizio 1

Dire se le seguenti affermazioni sono vere o false: 1. sin α2_{+ cos α}2_{= 1.}

2. cos 2π +π₅ = cos(2π) + cosπ₅. 3. cos 2π +π₅ = cosπ₅.

4. tan(2α) = _1+tan2 tan α2_α.

3.2 Esercizio 2 (esempio svolto)

3.2.1 Testo dell’esercizio

Si considerino due angoli, x e y tali che: cos x = −1 8, con π < x < 3 2π; tan y = −2 3, con π 2 < y < π.

Completare la tabella1: per quanto riguarda i valori esatti, utilizzare le formule goniometriche; per i valori approssimati, utilizzare una calcolatrice scientifica. 3.2.2 Soluzione (calcoli esatti)

1. Calcolo di cosx − π₄: cosx −π 4 = cos x cosπ 4 + sin x sin π 4 = = −1 8 · √ 2 2 − √ 63 8 · √ 2 2 = − √ 2(1 +√63) 16

Dove abbiamo usato la formula per esprimere il seno in funzione del coseno. 2. Calcolo di tanx +π₄: tanx + π 4 = tan x + tan(π/4) 1 − tan x tan(π/4) = = √ 63 + 1 1 −√63 · 1 = 32 +√63 31

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Tabella 1: Tabella relativa all’esercizio3.2.

Espressione Valore esatto Valore approssimato

cos x −π₄ − √ 2(1+√63) 16 0, 8 tan x +π₄ sin(x + y) tan 2y cosx 2 + sin 2 y 2 + cos 2 y 2

cos x −π₄ + tan(x + y) + sin 7₄π + cos 2π +π₃

Avendo utilizzato l’espressione della tangente in termini di seno e coseno ed avendo razionalizzato nell’ultimo passaggio.

In modo simile si procede per le altre espressioni. 3.2.3 Soluzione (calcoli approssimati) Calcoliamo innanzitutto x: x = cos−1−1 8 ' 1, 44 Calcolo di cosx −π₄: cosx − π 4 ' cos(1, 44 − 0, 79) ' cos(0, 65) ' 0, 8 In modo simile si procede per le altre espressioni.

3.3 Esercizio 3

Analogamente all’esercizio precedente, si considerino due angoli, α e β, tali che: cos α = −4 7, α ∈ π 2, π ; sin β = 8 9, β ∈ 0,π 2 ; Completare la tabella2.

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tan 2α sin 3α + cos α 5 sin α + 2 cos β + tan 2α sin(4β + 47◦) tan(α + 2β − 35◦

3.4 Esercizio 4

Ancora come negli esercizi precedenti, si consideri un angolo β tale che: cos β = −2 9, β ∈ π,3 2π Completare la tabella3.

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β β 20 cos2 β 20 sin2 β₂₀ cos2 β₂₀+ sin2 β₂₀ tan 2β 2 sin(β + 2β) 3 cos2β +π₅