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FORMULE DI TAYLOR DELLE FUNZIONI IPERBOLICHE

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Academic year: 2021

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FORMULE DI TAYLOR DELLE FUNZIONI IPERBOLICHE

Ricordiamo che le funzioni iperboliche sinh e cosh sono definite come

sinh x = ex − e−x

2 cosh x = ex + e−x

2 , ∀ x ∈ R . Ricordiamo che il polinomio di Taylor di grado n ∈ N e centro 0 della funzione esponenziale f+(x) = ex `e dato da

Tn(f+)(x) = 1 + x + x2

2! + x3

3! + · · · + xn n! .

Sostituendo −x al posto di x nella formula precedente, otteniamo il polinomio di Taylor di grado n e centro 0 della funzione f(x) = e−x:

Tn(f)(x) = 1 − x + x2

2! − x3

3! + · · · + (−1)nxn n! . Dalla definizione delle funzioni iperboliche, dalle espres- sioni dei polinomi di Taylor Tn(f ) e Tn(f ) e dalla

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linearit`a dell’operazione Tn che associa ad una fun- zione f (n volte derivabile in un intorno di 0) il suo polinomio di Taylor di grado n, ricaviamo ora il po- linomio di Taylor di grado n della funzione sinh. Si calcola:

Tn(sinh)(x) = 1

2 (Tn(f+)(x) − Tn(f)(x))

= 1 2



2x + 2x3

3! + · · · + (1 − (−1)n)xn n!



= x + x3

3! + · · · + (1 − (−1)n) 2

xn n! . Osservando che

1 − (−1)n =

(0 , per n pari , 2 , per n dispari

per ogni intero k ≥ 0, si deduce per il polinomio di Taylor della funzione sinh di grado n = 2k + 1 e centro

(3)

0 l’espressione seguente

T2k+1(sinh)(x) = x+x3

3!+· · ·+ x2k+1

(2k + 1)! =

k

X

h=0

x2h+1 (2h + 1)! . Si osserva che il polinomio di Taylor suddetto coinvolge

soltanto le potenze di x con esponente dispari. Si con- fronti l’espressione predetta con quella del polinomio di Taylor di pari grado (e uguale centro 0) della funzione trigonometrica sin,

T2k+1(sin)(x) = x − x3

3! + · · · + (−1)k x2k+1 (2k + 1)!

=

k

X

h=0

(−1)h x2h+1 (2h + 1)! ,

in cui compaiono esattamente gli stessi termini ma con segni alternati.

Si osserva anche che il polinomio di Taylor di sinh di grado 2k + 2 e centro 0, T2k+2(sinh), coincide con T2k+1(sinh); infatti il coefficiente della potenza di x

(4)

con esponente 2k + 2 (come quello di ogni potenza di x ad esponente pari) che interviene nell’espressione del polinomio T2k+2(sinh) `e zero.

Dalle considerazioni predette e dalla formula del Teo- rema di Taylor-Peano si ricava per la funzione sinh la seguente formula di Taylor:

sinh x =

k

X

h=0

x2h+1

(2h + 1)! + o(x2k+1)

=

k

X

h=0

x2h+1

(2h + 1)! + o(x2k+2) , x → 0 , ∀ k ≥ 0 .

La prima delle uguaglianze predette `e conseguenza diretta del Teorema di Taylor-Peano per il polinomio di Taylor T2k+1(sinh) di grado 2k + 1 e centro 0 per la funzione sinh: la differenza sinh x − T2k+1(sinh)(x)

`e o(x2k+1) per x → 0. La seconda uguaglianza `e conseguenza del fatto che T2k+2(sinh) = T2k+1(sinh) (i polinomi di Taylor di sinh contengono solo le potenze di x ad esponente dispari).

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Con considerazioni analoghe, ricaviamo ora l’espres- sione del polinomio di Taylor di grado n e centro 0 della funzione iperbolica cosh. Si calcola:

Tn(cosh)(x) = 1

2 (Tn(f+)(x) + Tn(f)(x))

= 1 + x2

2! + · · · + (1 + (−1)n) 2

xn n! . Osservando che

1 + (−1)n =

(2 , per n pari , 0 , per n dispari

per ogni intero k ≥ 0, si deduce per il polinomio di Taylor della funzione cosh di grado n = 2k e centro 0 l’espressione seguente

T2k(cosh)(x) = 1 + x2

2! + · · · + x2k (2k)! =

k

X

h=0

x2h (2h)! . Si osserva che il polinomio di Taylor suddetto coinvolge soltanto le potenze di x con esponente pari. Si con-

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fronti l’espressione predetta con quella del polinomio di Taylor di pari grado (e uguale centro 0) della funzione trigonometrica cos,

T2k(cos)(x) = 1 − x2

2! + · · · + (−1)k x2k (2k)!

=

k

X

h=0

(−1)h x2h (2h)! ,

in cui compaiono esattamente gli stessi termini ma con segni alternati.

Si osserva anche che il polinomio di Taylor di cosh di grado 2k + 1 e centro 0, T2k+1(cosh), coincide con T2k(cosh); infatti il coefficiente della potenza di x con esponente 2k + 1 (come quello di ogni potenza di x ad esponente dispari) che interviene nell’espressione del polinomio T2k+1(cosh) `e zero.

Dalle considerazioni predette e dalla formula del Teo- rema di Taylor-Peano si ricava per la funzione cosh la

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seguente formula di Taylor:

cosh x =

k

X

h=0

x2h

(2h)! + o(x2k)

=

k

X

h=0

x2h

(2h)! + o(x2k+1) , x → 0 , ∀ k ≥ 0 .

Alle formule precedenti si applicano considerazioni ana- loghe a quelle relative alla funzione sinh. La pri- ma uguaglianza `e conseguenza diretta del Teorema di Taylor-Peano per il polinomio di Taylor T2k(cosh) di grado 2k e centro 0 per la funzione cosh: la dif- ferenza cosh x − T2k(cosh)(x) `e o(x2k) per x → 0.

La seconda uguaglianza `e conseguenza del fatto che T2k+1(cosh) = T2k(cosh) (i polinomi di Taylor di cosh contengono solo le potenze di x ad esponente pari).

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