Geometria delle aree

Geometria delle Aree

Finora ci si è occupati di determinare le sollecitazioni che agiscono su sezioni di elementi monodimensionali

In realtà lo studio della Meccanica delle Strutture non si accontenta di tale risultato in quanto vuole determinare lo Stato di Sollecitazione locale (i.e. in un punto

materiale qualsiasi)

In tal caso infatti si può valutare le condizioni di stress di una struttura andando ad identificare se localmente si possa verificare il superamento di un limite, la cui

definizione consentirebbe di confrontare ogni sezione, non solo quelle tra loro affini

La Geometria delle Aree in particolare consente 3 importanti passi in avanti:

 trasformare azioni interne in sollecitazioni

 valutare l’elasticità delle strutture per risolvere problemi legati all’elasticità

Baricentro di una sezione

Il baricentro di un corpo (sezione) è quel punto al quale si può concentrare una forza in grado di contrastare tutte le forze agenti in ognuno dei punti che

descrivono il corpo (sezione)

Ha senso quindi parlare di baricentro di un corpo nello spazio, di una sezione, di un elemento monodimensionale

Geometria delle Masse

Questa considera che sui punti materiali agisce un campo di forze conservativo e costante (ad esempio gravità) – In tal caso si parla di centro di massa (o di gravità)

Prima di passare all’analisi di corpi estesi, conviene riferirsi a sistemi di punti

Retta risultante

Il baricentro è il punto di intersezione della retta risultante per qualunque sistema di forze

Introdotto un sistema di riferimento cartesiano, il centro di massa risulta dal calcolo della risultante delle forze – Somma pesata delle coordinate di ciascun punto (il peso è la massa associata)

i i i i i i i i i G G G x m g y m g z m g x y z mg mg mg 











Se le masse associate ad ogni punto sono identiche, il baricentro diviene una sola proprietà geometrica

1 2 3 1 2 3 1 2 3 3 3 3 3 G G x x x y y y z z z x    y    z   

Notare che in questo caso il baricentro coincide anche con il baricentro del triangolo (incrocio mediane)

Se si considera i corpi continui come insieme di infiniti punti materiali, le sommatorie si trasformano in integrali

V V V G G G x dV y dV z dV x y z m m m 

















Nel caso di copri omogenei (ρ = cost)

V V V G G G x dV y dV z dV x y z V V V 











Per una sezione piana, infine A A A G G G x dA y dA z dA x y z A A A 











Momenti statici di sezioni [L3_]

x y

A A

S





y dA

S





x dA

Confrontando con le precedenti, si evince che x_G Sy y_G Sx

A A

 

Se ne deduce che se il sistema di riferimento ha per origine G (0,0), i momenti statici sono nulli qualunque sia l’orientazione degli assi

Esempio 1: rettangolo 2 0

1

2

h x A

S





y dA





by dy



bh

2

1

2

b y A

S





x dA





hx dx



hb

Il baricentro:

1

2

G

x



h

1

G

y



b

G

Esempio 2: triangolo 2 0

1

6

h x A

h

y

S

y dA

y b

dy

bh

h















Dal teorema di Talete:

_{l y}

 

_b

h

y

h





Riferimento appoggiato sulla base b

L’ordinata del baricentro:

Esempio 3: semicerchio

dA r

( , )





r d



dr

 

0 0

sin

R x A

S





y dA







r



r d



dr

 

2 3 0 0

2

cos

3

R x

S

 



_





_





r dr



R

1

3

G

y



h

3 2

2 3

1

1 2

3

x G

S

R

y

R

A

R









I momenti statici sono grandezze algebriche (con segno) e sono additivi

Una figura complessa può essere

calcolata suddividendola in elementari

In particolare il baricentro può essere calcolato facendo una media delle coordinate di ciascun baricentro - pesata dalle aree stesse





3 1x

30 10 5 1500

S





 

mm

G





3 1y

30 10 15

4500

S









mm





3 2x

15 20 20

6000

S









mm





3 2y

15 20 7.5

2250

S









mm

Area 1 Area 2

Oppure sommando i momenti statici e dividendo per l’area risultante





4500

2250

11.25

300 300

G

x







mm







1500 6000

12.50

300 300

G

y







mm



Momenti d’inerzia di sezioni [L4_]

Questi ultimi non sono altro che momenti statici del II ordine

2 2

x y

A A

J





y dA

J





x dA

I momenti d’inerzia sono sempre positivi

Anche i momenti di inerzia godono dell’additività

Si può anche definire un momento del II ordine misto (x-y) mom. centrifugo

xy

A

J





xy dA

Il momento centrifugo misto ha segno

Può anche essere nullo (ad esempio se anche uno solo degli assi cartesiani è asse di simmetria)





3 2 2 2 2

₁₂

h x _h A

b h

J

y dA

y

bdy



















3 2 2 2 2

₁₂

b y _b A

h b

J

x dA

x

hdx



















2 2 2 2

0

h b xy _{h b} A

J

xy dA

xdx ydy

 







 



Momenti d’inerzia polare [L4_]

È un momento del II ordine calcolato

utilizzando un sistema di coordinate polari

2

p

A

J





r dA

Si calcolare noti i momenti d’inerzia utilizzando la semplice relazione

2 2 2

r



x



y

J

p



J

x



J

y

Per una sezione rettangolare, ad esempio:

1



2 2



12

p

J



bh b



h

Per una sezione circolare è più agevole calcolare J_p e poi desumere J_x e J_y





2 4 4 0

2

₂

₃₂

R p

J





r



rdr





R





D

4 4

2

4

64

p x y

J

J



J







R





D

Leggi per il trasporto dei momenti d’inerzia O O O

X

x

X

Y

y

Y

 

 

Su un nuovo SdR (XY) spostato di O di coordinate X_O Y_O:





2 _{2 2}

2

X O O O A A A A

J





y Y



dA





y dA Y





dA



Y



ydA

2

2

X x O x O

J



J



Y S



Y A

J

_Y



J

_y



2

X S

_{O y}



X A

_O2







XY O O xy O y O x O O A

J





x



X

y Y



dA



J



X S



Y S



X Y A

Momento centrifugo:

Se il riferimento xy ha per origine il baricentro (O  G), le trasformazioni sono:

2 2 g g g X x G Y y G XY xy G G

J

J

Y A

J

J

X A

J

J

X Y A













L’utilità di queste trasformazioni è notevole, in

quanto il calcolo dei momenti di inerzia si semplifica molto suddividendo la sezione in parti elementari, ciascuna delle quali viene sommata dopo averla riportata al baricentro dell’intera struttura



₃







2 ₄ 1

1

30 10

12.5 5

300

19375

12

x

J





 







mm

12.50



₃







2 ₄ 2

1

15 20

10 10 12.5

300

26875

12

x

J















mm

2 1 2

46250

x x x

J



J



J



mm



₃







2 ₄ 1

1

10 30

15 11.25

300

26718

12

y

J













mm

2 1 2

36561

y y y

J



J



J



mm



₃







2 ₄ 2

1

20 15

11.25 7.5

300

9843

12

y

J





 







mm







4 1xy

0

15 11.25

12.5 5 300

8437

J

 





 

 

mm







4 2xy

0

11.25 7.5 20 12.5 300

8437

J

  







 

mm

2 1 2

16875

xy xy xy

J



J



J

 

mm

N.B. J_xy risulta negativo perché la figura si

sviluppa soprattutto nel II e IV quadrante (ove xy è negativo)

Raggi di inerzia (o raggi giratori) Si tratta della lunghezza che soddisfa le seguenti relazioni:

2 x x x x

J

J

r A

r

A





2 y y y y

J

J

r A

r

A





2 p p p p

J

J

r A

r

A





Anche qui vale la

r

p2



r

x2



r

y2

Si noti che il raggio di girazione di un cerchio non coincide con il suo raggio, ma ad esso ridotto di un fattore 2

4 2

2

2

giraz p

R

R

r

R











Quindi il raggio di girazione di una sezione rappresenta, se moltiplicato per , il raggio di una sezione circolare che presenta il

medesimo momento di inerzia (diam. o pol.) 2

Momenti di inerzia Principali

Il concetto viene introdotto quando si prova a ruotare il sistema di riferimento senza modificare le coordinate dell’origine, nel baricentro: solo orientamento

Dopo una rotazione θ, le nuove coordinate sono

cos

sin

sin

cos

x

x

y

y

x

y

 



  











Riscrivendo con tali condizioni i momenti di inerzia

 

2

2 2

'

cos

sin

2

sin cos

x x y xy

A

J





y



dA



J





J





J





 

2

2 2

'

sin

cos

2

sin cos

y x y xy

A

J





x



dA



J





J





J





 







2 2



'

sin cos

cos

sin

xy x y xy

A

J





x y dA

 



J



J







J







Ricordando le formule:

sin 2





2sin cos





2 2

'

cos 2

sin 2

2

2

x y x y x xy

J

J

J

J

J













J



'

cos 2

sin 2

2

2

x y x y y xy

J

J

J

J

J













J



'

sin 2

cos 2

2

x y xy xy

J

J

J









J



I valori dipendono dalla rotazione del sistema di riferimento. Per particolari direzioni si può avere che il momento centrifugo si annulla

Tali direzioni vengono dette Principali, e i momenti di inerzia J_x e J_y momenti principali di inerzia

'

sin 2

cos 2

0

2

x y xy xy

J

J

J









J





tan 2

2

xy y x

J

J

J







Nel caso della sezione ad L in precedenza calcolata:









2

16875

1

tan

37

2

arc

36561 46250

 



 



