Università degli Studi dell’Aquila - Corso di Laurea Triennale in Ingegneria Civile e Ambientale Fisica Generale 2 - Prova scritta d’esame del 20 Luglio 2016
Nome e Cognome: ………..…… No. di matricola: …….…....…Docente……… Num. CFU< 6, Problemi n.1 e 2: 1 ora e 40 min.
Problema n.1 (10 punti)
In un tubo catodico, gli elettroni sono emessi dalla superficie scaldata di un piatto di metallo e ricevuti da un altro piatto metallico parallelo al primo e posto a distanza d. La superficie dei due piatti è molto maggiore della distanza d. Il potenziale elettrico tra i due piatti segue la legge ! ! = !!!/!, dove x è la distanza dall’emettitore. Determinare:
a) Le densità di carica superficiale σe sulla superficie dell’emettitore e quella σc sul collettore
(3 punti);
b) assumendo che gli elettroni partano da fermi, la velocità con cui arrivano sul collettore (3 punti);
c) l’espressione della densità di carica di volume ρ(x) tra 0 < x < d e il suo valore in x = d/2 (4 punti).
Dati: d = 5 mm, k = 30 V m-‐4/3, me = 9.109 × 10-‐31 kg, e = -‐1.602 × 10-‐19 C.
Problema n. 2 (10 punti)
Il circuito in figura ha inizialmente entrambi gli interruttori T1 e T2 aperti.
All’istante t=0 viene chiuso l’interruttore T1
Dopo aver raggiunto l’equilibrio in questa situazione, si
chiude anche l’interruttore T2.
Determinare:
d) la carica sul condensatore C a regime con l’interruttore T1 chiuso (2 punti);
e) la carica sul condensatore C a t=t0 dalla chiusura di T1 (3 punti);
f) la differenza di potenziale su R3 al tempo t1 dalla chiusura dell’interruttore T2(3 punti)
g) l’energia dissipata sulla resistenza R3 da quando viene chiuso l’interruttore T2(2 punti)
Dati del problema: C = 15nF, R1= 6 Ω, R2= 30 Ω, R3= 40 Ω, f= 10V, t0= 100ns, t1 = 150ns
Problema n. 3(10 punti)
Un filo conduttore infinitamente lungo percorso da una corrente costante I e un avvolgimento piatto di N spire di forma rettangolare con lati a e b giacciono
nello stesso piano, a distanza x0. La resistenza
dell’avvolgimento di spire è R. Ad un certo istante t=0 l’avvolgimento di spire viene messo in moto con velocità costante v a partire dalla posizione x0. Si trascuri il
coefficiente di autoinduzione dell’avvolgimento di spire. 1) Calcolare la corrente che circola nell’avvolgimento di
spire. (punti 3)
2) Determinare il verso della corrente. (punti 2)
3) Determinare la forza istantanea che deve essere applicata all’avvolgimento per mantenerlo in moto con velocità costante. (punti 3)
4) Determinare la potenza dissipata nell’avvolgimento in funzione del tempo. (punti 2)
SOLUZIONI Problema 1
Dal teorema di Coulomb sappiamo che il campo elettrico sulla superficie di un conduttore è proporzionale alla densità di carica superficiale. Il campo elettrico è calcolabile come gradiente del potenziale elettrico cambiato di segno. In questo caso, il problema è unidimensionale lungo x: ! ! = −!"!" = −!!!!!/!
Dal teorema di Coulomb: !! = !!! ! = 0 = 0 C/m2
!! = !!! ! = ! = −!
!!!!!
!/! = -‐6.1 × 10-‐11 C/m2
La velocità di arrivo degli elettroni sul collettore può essere calcolata con la conservazione dell’energia: !∆! =!
!!!!
! → ! = !!∆!
!! = 9.5 ×104m/s
La densità di carica volumetrica tra i piatti può essere invece calcolata applicando la prima legge di Maxwell: ! ! = !!∇ ∙ ! = !!!"!" = −!!!!!!!!/!
Per cui: ! ! =!! = −!!!!! !! !
!
! = -‐6.4 × 10-‐9 C/m3
Problema 2
a) La carica a regime può essere calcolata considerando il circuito equivalente di Thevenin. La resistenza di Thevenin è data da R3 in serie con il parallel R1-‐R2, pertanto:
!!! = !!+!!!!!
!! !! = 45 Ω ed !!! = !!! = !!! = ! !!!!!!!
Quindi: a regime con l’interruttore T1 chiuso e T2 aperto la carica sul condensatore C sarà:
QC = CfTh = !!!!!! !!! = 125!".
b) La carica sul condensatore varia con la legge: ! ! = !! 1 − !!! ! con τ = CRTh= 675ns.
Quindi a t= t1 vale: Q(t1) = 17.2nC
c) una volta chiuso l’interruttore T2, il condensatore si scarica solo su R3. Pertanto la
differenza di potenziale ai capi della resistenza sarà data da: !!!= !(!)!! con !(!) = !"!" = !!
!!!!! !! con τ’ = CR3. Quindi, al tempo t1, !!! !! = 6.49V
d) L’energia dissipata sulla resistenza R3 è pari all’energia immagazzinata dal condensatore. ! =!!!!!
! = 520!"
Problema 3
1) Il campo magnetico generato dal filo a distanza x è: ! ! = !!!
!!" . Il flusso attraverso un
rettangolo infinitesimo dell’avvolgimento di lati a e dx è: !" =!!!"#$ !!" .
Il flusso totale è: ! = !!!!"!! !!!!!"! = !!!!"!! ln!!!! con ! = !! + !" . La f.e.m. indotta è: ∈= −!"!" = −!!!!"!! !!!! !!−!!!!! ! =!! ! !"!!"#$
!!!" !!!!"!! e la corrente ! ! = ∈ !
2) La corrente circola in senso orario.
3) La forza che deve essere applicata è uguale e opposta alla forza di Lorentz FL:
!! = !" ! ! ! ! − ! ! + ! = !" ! ! !!"!!! −!! !!!!!! = !!!! !!!!"!!!!"# !!! !!!!"!!!!"# ! !
4) La potenza sviluppata nell’avvolgimento è ! = !!! = ! !!!!"#$ !!" !!!!" !!!!"!!
!
