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ORDINAMENTO 2012 -
PROBLEMA 1
1)
327
)
(
x
x
f
=
,
=
sen
x
x
g
π
2
3
)
(
Il periodo T della funzione g è dato da
3
4
2
3
2
=
=
π
π
T
Il grafico di f (in rosso) si ottiene dal grafico della funzione di equazione
y
=
27x
3(cubica con flesso a tangente orizzontale in O, dispari, passante per il punto di coordinate
1;
3
1
) confermando la parte positiva e ribaltando rispetto all’asse x la parte negativa (tratteggiata in figura). Nell’origine non è presente punto angoloso e si tratta di una funzione pari.-1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 -15 -10 -5 5 10 15 x y
2/4
-1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 -1 -0.5 0.5 1x
y
I due grafici nello stesso sistema di riferimento sono indicati nella seguente figura:
-1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 -1 -0.5 0.5 1
x
y
2)
La retta r, tangente al grafico di f nel punto
1;
3
1
, ha coefficiente angolare m=f ’(1/3); per x>0 l’equazione di f è
y
=
27x
3, quindif
'
(
x
)
=
81
x
2, da cui m=f ’(1/3)=9; r ha quindi equazione: y-1=9(x-1/3), cioè R: y = 9x – 2.La retta s, tangente al grafico di g nel punto
1;
3
1
, ha coefficiente angolare m=g ’(1/3);
=
x
x
g
π
π
2
3
cos
2
3
)
(
'
, quindi m=g’(1/3)= 0. s ha quindi equazione: y = 1.3/4
coefficiente angolare della r:
tg
α
=
9
⇒
α
=
arctg
(
9
)
≅
83
,
66
°
≅
83
°
40
'
.3)
0.2 0.4 0.6 0.8 1 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 x yPer trovare l’area della regione R si calcola il seguente integrale:
∫
−
−
=
=
−
=
−
3 1 0 3 1 0 312
8
4
27
2
3
4
27
2
3
cos
3
2
π
π
π
π
π
x
x
dx
x
x
sen
4)
Il volume del solido S, ottenuto ruotando la regione R attorno all’asse x si calcola mediante l’integrale:
(
)
∫
( )
∫
−
=
−
3 1 0 2 3 2 3 1 0 2 227
2
3
)
(
)
(
x
f
x
dx
sen
x
x
dx
g
π
π
π
N.B. Il volume del solido ottenuto dalla rotazione della regione delimitata dall’asse x, dalle rette x=a e x=b e dal grafico di una funzione f è dato da:
∫
b
a
dx
x
f
2(
)
π
, che equivale alla somma di infiniti cilindretti di raggio)
(x
f
e altezza dx:π
f
2(
x
)
dx
; tale somma va estesa all’intervallo [a;b].4/4
nell’intervallo delle ascisse [0;1/3] la f e la g sono invertibili ed hanno come codominio l’intervallo delle ordinate [0;1].
Le funzioni inverse sono: 1 3
3
1
)
(
y
y
f
−=
e(
)
3
2
)
(
1y
arcsen
y
g
π
=
− .Il volume di T si calcola quindi mediante l’integrale:
dx
y
arcsen
y
∫
−
1 0 2 2 3(
)
3
2
3
1
π
π
N.B. Il calcolo del volume di T sarebbe più semplice utilizzando il metodo dei “gusci cilindrici”, che porta al
calcolo del seguente integrale:
